CC BY
15
УДК 534.014.2
И.П. Попов1, В.Г. Чумаков1, С.С. Родионов2, Л.Я. Чумакова1
МЕХАНИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСЫ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
АГРОБИЗНЕСА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУРГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ Т.С. МАЛЬЦЕВА», КУРГАН, РОССИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ», КУРГАН, РОССИЯ
I.P. Popov1, V.G. Chumakov1, S.S. Rodionov2, L.Ya. Chumakova1 MECHANICAL RESONANCES IN TECHNICAL SYSTEMS OF AGRIBUSINESS 1 FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION «KURGAN STATE
AGRICULTURAL ACADEMY BYT.S. MALTSEV», KURGAN,RUSSIA 31 FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION KURGAN STATE
UNIVERSITY, KURGAN, RUSSIA
Игорь Павлович Попов
Igor Pavlovich Popov [email protected]
Владимир Геннадьевич Чумаков
Vladimir Gennadevich Chumakov Доктор технических наук, доцент [email protected]
Сергей Сергеевич Родионов
Sergey Sergeevich Rodionov кандидат технических наук, доцент [email protected]
Любовь Яковлевна Чумакова
Lyubov Yakovlevna Chumakova [email protected]
Аннотация. Установлено, что резонанс сил - это резонанс, возникающий в механической системе, включающей инертное тело и упругий элемент, при котором развиваемые ими реактивные силы максимальны и противоположны. Резонанс скоростей - это резонанс, возникающий в механической системе, включающей инертное тело и упругий элемент, при котором развиваемые ими скорости максимальны и противоположны. Уравнению вынужденных механических колебаний соответствует схема параллельного соединения, при котором инертное тело и изменения размеров упругого элемента и демпфера имеют единую скорость, а их реактивные силы складываются. При этом сумма реактивных сил потребителей механической мощности равна силе, развиваемой источником механической мощности, который подобно источнику напряжения в электротехнике можно назвать источником силы. В механической системе, состоящей из параллельно соединенных инертного тела, упругого элемента и демпфера, возникает резонанс сил. Инертное тело, упругий элемент и демпфер можно соединять не только параллельно, но и последовательно. При последовательном соединении к элементам системы приложена единая сила, а скорости инертного тела и изменения размеров упругого элемента и демпфера складываются. При этом сумма скоростей потребителей механической мощности равна скорости, развиваемой источником механической мощности, который подобно источнику тока в электротехнике можно назвать источником скорости. В механической системе, состоящей из последовательно соединенных инертного тела, упругого элемента и демпфера, возникает резонанс скоростей. Описываемый в курсах теоретической механики механический резонанс является резонансом сил. Ему соответствует параллельное соединение инертного тела, упругого элемента и демпфера. При последовательном соединении этих элементов возникает резонанс скоростей.
Ключевые слова: резонанс сил, скоростей, параллельное соединение, последовательное, источник силы, скорости.
Abstract. It has been established that the resonance of forces is a resonance arising in a mechanical system that includes an inert body and an elastic element, in which the reactive forces they develop are maximum and opposite. Velocity resonance is a resonance arising in a mechanical system including an inert body and an elastic element at which the speeds they develop are maximum and opposite. The equation of forced mechanical vibrations corresponds to the parallel connection scheme, in which the inert body and changes in the size of the elastic element and damper have a single speed, and their reactive forces add up. In this case, the sum of the reactive forces of consumers of mechanical power is equal to the force developed by a source of mechanical power, which, like a voltage source in electrical engineering, can be called a source of force. In a mechanical system consisting of an inert body, an elastic element and a damper connected in parallel, a resonance of forces occurs. An inert body, an elastic element and a damper can be connected not only in parallel, but also in series. When connected in series, a single force is applied to the elements of the system, and the velocities of the inert body and the resizing of the elastic element and damper add up. The sum of the speeds of consumers of mechanical power is equal to the speed developed by a source of mechanical power, which, like a current source in electrical engineering, can be called a source of speed. In a mechanical system consisting of an inert body, an elastic element and a damper connected in series, a speed resonance arises. The mechanical resonance described in theoretical mechanics courses is a resonance of forces. It corresponds to a parallel connection of an inert body, an elastic element and a damper. When these elements are connected in series, a speed resonance arises.
Keywords: resonance of forces, velocities, parallel connection, series, source of force, speed.
Введение. Учет резонансных явлений в технических системах агробизнеса является актуальной задачей [1-10]. В основе их описаний лежит широко известное дифференциальное уравнение
d2 х
dx
ctr, —- + а,--h а,,х = a sin соt,
- dt2 1 dt 0
которое имеет решение X = xl = х2, где
Вестник Курганской ГСХА №3,2019 Технические науки 59
х, = ае '" 8гп(ю/ + а) (2)
- собственные затухающие колебания,
х2 ~ Азт(т/ - ф) (3)
-вынужденные колебания, а, а-постоянные интегрирования,
8П
N
/
2 а-,
А =
л/Ц-А/Г +4й2Х:
2КК со Ь я
= =—> Л= —, ^о = ■
1 - Л," со„ со„ а„
При подстановках
а^ =111, ах=г, а0 = к, аю = /•'
,(4)
(5)
(6)
иллдМ
к
о
\ ч ч <л
Рисунок 1 - Параллельное соединение
Инертное тело, упругий элемент и демпфер можно соеди-уравнение (1) превращается в классическое дифференци- Нять не только параллельно, но и последовательно (рисунок 2). альное уравнение вынужденных механических колебаний
т—— + г--l-foí: = Fsincof или
Л' Л
т— + гу + к\уЛ = Р втсо?. ж 1
Л
(7)
При
(8)
имеет место резонанс.
Теоретическая электротехника, объекты и процессы которой математически изоморфны механическим, различает два резонанса - резонанс напряжений и резонанс токов.
В 1873 г. Максвелл ввел первую (из двух) систему электро-механических аналогий, в соответствии с которой напряжение дуально силе, а ток - скорости. В этой связи возникает закономерный вопрос: резонанс применительно к уравнению (7) это резонанс сил или скоростей? Ответ на этот и связанные с ним вопросы составляет цель настоящего исследования.
Резонанс сил - это резонанс, возникающий на частоте (8) в механической системе, включающей инертное тело и упругий элемент, при котором развиваемые ими реактивные силы максимальны и противоположны.
Резонанс скоростей - это резонанс, возникающий на частоте (8) в механической системе, включающей инертное тело и упругий элемент, при котором развиваемые ими скорости максимальны и противоположны.
Задачи исследования состоят в установлении условий возникновения резонансов сил и скоростей.
Актуальность настоящего исследования обусловлена необходимостью минимизации вредного воздействия резонансных явлений на технические системы в агробизнесе.
Методика. Уравнению (7) - соответствует схема параллельного соединения (рисунок 1), при котором инертное тело и изменения размеров упругого элемента и демпфера имеют единую скорость, а их реактивные силы складываются. При этом сумма реактивных сил потребителей механической мощности равна силе, развиваемой источником механической мощности, который подобно источнику напряжения в электротехнике, можно назвать источником силы.
Рисунок 2 - Последовательное соединение
При последовательном соединении к элементам системы приложена единая сила, а скорости инертного тела и изменения размеров упругого элемента и демпфера складываются. При этом сумма скоростей потребителей механической мощности равна скорости, развиваемой источником механической мощности, который, подобно источнику тока в электротехнике, можно назвать источником скорости.
Результаты. При выполнении условия (8) в механической системе, состоящей из параллельно соединенных инертного тела, упругого элемента и демпфера (рисунок 1), что соответствует уравнению (7), возникает резонанс сил.
Действительно, в соответствии с (4)-(6)
А =
И
1
т(>г
2\
+ 4
г2т тсо2 4 т2к к Т7
^ (о/к^к/оз-та)2 + г2 со^(А-/со- и/со)
2
со - т со) + г
В установившемся режиме
х = Л8т(со^ - ф) =
л =кх =
кР
ч2
(й-та) +г
зт(со^ - ф)
со^(к/со - отсо) + г
-зт(со^ - ф)
(9)
= т
сС~х
¡ту !•'
(о^к/а-та) +г~ При выполнении условия (8)
8т(соГ-ф) (ю)
fk ~
kF
■yjk/m^k/\jk/m -m^jk/m^ +r
-sin(cof-cp) =
4mkF . . -sin(cof - ф) =
Jk/mJmkF kF . , = —-sin(coí — ф) =—sin(coí — ф)
cor cor
f =-
J m
ту] 'kjmF
y/(кЦк/т- -my¡ ¡k¡m} Г +r2
sin(cof — ф) =
y[mkF . , --sin(cof - ф) =
сa-JmkF . , ч соmF . ,
-sin(coí - ф) =--sin(cof - ф) .
mr
v... =
Ir... 1 , dx 1 df
— fdt, vk =—-k— = ——.
Wi J
к dt к dt
f
vr =—, v =-Feosгоt. r
v,„ +vk+ v, = ^
l df f 1 r
——+ — + — fdt - -Feosсо/ к dt r mJ'
пли
1 d2f 1 df 1
, ■ н---— н— f - Fcosin cor.
r dt m'
(15)
(11) (12)
к М1
Последнее уравнение изоморфно (1). Собственные затухающие колебания силы на штоке источника скорости для последовательного соединения в соответствии с (2) определяются выражением
fx = cíe ы sin(co/ + а) = ае
к Í
-t
' sin
к к2
----t + а
т 4 г
\
(13)
(14)
Вынужденные колебания силы на штоке источника скорости для последовательного соединения в соответствии с (3) определяются выражениями
А--—--
Л](\-Х2)2 + 4И2Х2 2
Гсо т Усо т
Выражения (11) и (13) показывают, что fk и fk равны и противоположны. (9) и (12), (10) и (14) показывают, что fk
и fm максимальны.
Таким образом, в системе имеет место резонанс сил.
В первую (максвелловскую) систему электро-меха-нических аналогий необходимо добавляется следующее дуально-инверсное соответствие - последовательное соединение потребителей электрической мощности при резонансе напряжений дуально параллельному соединению потребителей механической мощности при резонансе сил.
При резонансе сил реактивная сила системы упругий
элемент-инертное тело равна нулю, поскольку fk =—fm .
Величину у/тк по аналогии с электротехникой можно назвать волновым сопротивлением (системы).
Если yfmk > г , то реактивные силы, развиваемые инертным телом и упругим элементом, превышают приложенную силу.
Пример 1. F = 100 Н , со = 2 рад/с, т = 10 кг . к = 40 кг • cf2, г = 5 кг • (Г1. Найти fk и fm.
В соответствии с (12) и (14)
40-100 . ч . , ч тт
fk =-sm(co/ - ф) = 400sin(co/ - ф) (Н),
2-10-100 . , ч ЛПП ■ , fm =--Sínico/1 - ф) = -400 sillico/1 - ф) (Н).
Реактивные силы, развиваемые инертным телом и упругим элементом, превышают приложенную силу. Скорости компонентов системы (рисунок 2) равны
, о т } . к' т о „,
1 —со"— +4—-—со"— со т.
2Кк „ tgq> =-— = 2
V
4г2 к к со т
т
Т
1
_L_® Y+_L
ют к) г2 _ со m
1-А,2 2г к l-&2m/k г(от(1/(от-(о/к)
/, = ^4sin(cof - ф) = о) t - arctg
[1/(ю?и)-соД']2+1/г2
-sin
1
г(1/ю?и — (о/к)
При выполнении условия (8) в механической системе, состоящей из последовательно соединенных инертного тела, упругого элемента и демпфера, что соответствует уравнению (15), возникает резонанс скоростей.
Действительно, в установившемся режиме
/ =
V
^[1/(сот)-со/£]2+1/г2
sin(cof - ф)
V. =
V
— \fdt--т '
ат д/[1/(ши7)-ШД]2 + 1/Г: 1 df _ со V
12+1/г2
v„ = -
kdt к д/[1/(шИ7)-шД]
При выполнении условия (8) 1 V
cos(coí — ф) (16) соз(со/1-ф). (17)
+ Ц г-
Vr
4тк yjk/mVr
cos(mt - ц>) =
-cos(o)í-cp) =
(18)
Vr
i—-cos(a>t - <p) =--соз(соГ-ф). (19)
(üsjmk сода
Вестник Курганской ГСХА №3,2019 Технические науки \
yjk/m V
1 1 [l Qkjmm)-^ >к/т Д] Г+1A2
Vr
л]тк
со Vr ■yjk/m -Jmk
cos(cof-cp) =
cos(cof-cp) =
(20)
со Vr
cos(cot - ф) =-cos(cof - ф) . (21)
Выражения (18) и (20) показывают, что Ук и Ут равны и противоположны. (16) и (19), (17) и (21) показывают, что
Ук и Ут максимальны.
Таким образом, в системе имеет место резонанс скоростей.
В первую (максвелловскую) систему электро-меха-нических аналогий необходимо добавляется следующее дуально-инверсное соответствие - параллельное соединение потребителей электрической мощности при резонансе токов дуально последовательному соединению потребителей механической мощности при резонансе скоростей.
При резонансе скоростей точка приложения силы к системе упругий элемент-инертное тело неподвижна, поскольку
(22)
Если Vтк < г, то скорости, развиваемые инертным телом и упругим элементом, превышают скорость штока источника воздействия.
Пример 2. Г = 10м-с"1, г = 80кг• с4, остальные
данные из примера 1. Найти Ук и
В соответствии с (19) и (21)
Ю-80 ч „„ , .
\'т = — СОБуСО/ - ф) = -40 СОБЕСА/ - ф) (м • с ),
• 2 10-80 ч лл ч ..
\'к = ———со$(ы/ - ф) = 40соз(оз/ - ф) (м • с ).
Скорости, развиваемые инертным телом и упругим элементом, превышают скорость штока источника воздействия.
Существуют устройства, в удовлетворительном приближении способные выполнять функции источников силы и источников скорости. Источником гармонической скорости может выступать привод с кривошипно-кулисным механизмом и маховиком с большим моментом инерции. Источником гармонической силы может выступать шток пневмоци-линдра, полость которого сообщается с полостью другого пневмоцилиндра, диаметр которого неизмеримо выше, чем у первого, а поршень совершает гармонические колебания.
В [11] описана механическая система из двух инертных тел и двух упругих элементов, для которой обнаружено «удивительное явление», при котором точка приложения гармонической силы остается неподвижной. Это явление, казалось бы, очевидным образом названо антирезонансом. Степень неудачности этого термина можно оценить, применив его к резонансу токов в электротехнике.
В действительности упомянутая система представляет собой суперпозицию «элементарных» систем, рассмотренных выше. По этой причине процессы, происходящие в ней, являются суперпозицией соответствующих процессов, одним из которых и был резонанс скоростей, ошибочно принятый за «антирезонанс». При этом неподвижность точки приложения гармонической силы («удивительное яв-
ление») соответствует (22).
Выводы. Описываемый в курсах теоретической механики механический резонанс является резонансом сил. Ему соответствует параллельное соединение инертного тела, упругого элемента и демпфера. При последовательном соединении этих элементов возникает резонанс скоростей.
Список литературы
1 Фоминых А.В., Фомина С.В., Мекшун Ю.Н. Решетный стан с переменной амплитудой // Сельский механизатор. 2005. № 8. С. 28.
2 Фоминых А.В., Фомина С.В., Мекшун Ю.Н. Решетный стан, совершающий колебания в своей плоскости с переменной амплитудой по длине решета // Сборник научных трудов КрасГАУ. 2005. № 5. С. 201-205.
3 Фоминых А.В. Повышение эффективности сепарирования зерна и сои на основе совершенствования фракционных технологий и машин: Дис... д-ра техн. наук/А.В. Фоминых. Челябинск, 2007. 317 с.
4 Фоминых А.В., Чумаков В.Г. Алгоритм расчета процесса сепарации на решетных устройствах // Аграрный вестник Урала.-Екатеринбург: Изд-во Уральской ГСХА. 2010. № 7. С. 77-79.
5 Попов И.П., Чумаков В.Г, Родионов С.С., Чумакова Л.Я., Родионова С.И. Полная механическая мощность при колебательных технологических процессах в кормопроизводстве // Вестник Курганской ГСХА. 2017. № 3 (23). С. 69-71.
6 Попов И.П., Чумаков В.Г, Левитский В.Ю., Чумакова Л.Я. Автобалансировка решетных сепараторов с постоянным приведенным моментом инерции // Вестник Курганской ГСХА. 2019. № 1 (29). С. 59-61.
7 Попов И.П., Чумаков В.Г., Левитский В.Ю., Родионов С.С., Чумакова Л.Я., Родионова С.И. Предпосылки создания биинертного осциллятора // Вестник Курганской ГСХА. 2018. № 2 (26). С. 76-79.
List of reference
1 Fominykh A.V., Fomina S.V., Mekshun Yu.N. Sieve mill with variable amplitude // Rural mechanic. 2005. № 8. Pp. 28.
2 Fominykh A.V., Fomina S.V., Mekshun Yu.N. Sieve mill, oscillating in its plane with a variable amplitude along the length of the sieve // Collection of scientific works of KrasGAU. 2005. № 5. Pp. 201-205.
3 Fominykh, A.V. Improving the efficiency of separation of grain and soy based on the improvement of fractional technologies and machines: Dis. Dr. tech. sciences / A.V. Fominykh. Chelyabinsk, 2007. 317 p.
4 Fominykh A.V., Chumakov V.G. Algorithm for calculating the separation process on sieve devices //Agrarian Bulletin of the Urals. Ekaterinburg: Publishing House of the Ural State Agricultural Academy. 2010. № 7. Pp. 77-79.
5 Popov I.P., Chumakov V.G., Rodionov S.S., Chumako-va L.Ya., Rodionova S.I. Full mechanical power during oscillatory technological processes in feed production // Bulletin of the Kurgan State Agricultural Academy. 2017. №3(23). Pp. 69-71.
6 Popov I.P., Chumakov V.G., Levitsky V.Yu., Chumako-va L.Ya. Autobalancing of sieve separators with constant reduced moment of inertia // Bulletin of Kurgan State Agricultural Academy. 2019. № 1 (29). Pp. 59-61.
7 Popov I.P., Chumakov V.G., Levitsky V.Yu., Rodionov S.S., Chumakova L.Ya., Rodionova S.I. Prerequisites for creating a biinert oscillator// Bulletin of the Kurgan State Agricultural Academy. 2018. № 2 (26). Pp. 76-79.
