Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928.4

МЕДЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ СО СМЕНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

© 2012 Т.В. Симонова1

Данная работа является обобщением теоремы о медленных интегральных многообразиях со сменой устойчивости на случай векторной быстрой переменной. Приведены условия существования склеивающей функции. Решена задача построения интегрального многообразия со сменой устойчивости систем с векторной быстрой и медленной переменной.

Ключевые слова: сингулярные возмущения, склеивающая функция, интегральное многообразие, смена устойчивости.

Введение

Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений интенсивно развивается, и ее методы активно применяются для решения широкого круга задач из разнообразных областей естествознания. Это обусловлено тем, что такие системы естественным образом возникают при моделировании и исследовании объектов различной природы, для которых характерна способность совершать одновременно быстрые и медленные движения [1]. Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах А.Н. Тихонова. Обычное предположение теории состоит в том, что основной функциональный определитель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако во многих прикладных задачах это условие нарушается, и возникают различные критические ситуации, например, появляются траектории-утки. В последнее время интерес к ним существенно возрос, так как выяснился факт, что эти траектории моделируют критические явления различной природы [2].

Итак, основным объектом рассмотрения является сингулярно возмущенная система [3] обыкновенных дифференциальных уравнений вида

X = /(х,у,г,е), у = д(х,у,г,е), ег = р(х, у, г, а, е), (1)

где е — малый положительный параметр, а — скалярный параметр, х — скалярная переменная, у и 2 — векторные переменные размерности п и т +1, соответственно. В случае п = 0, т = 0 наличие дополнительного параметра а позволяет строить решения, называемые траекториями-утками. Под траекторией-уткой можно понимать траекторию сингулярно возмущенной системы, которая проходит

Симонова Татьяна Викторовна ([email protected]), кафедра дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

вначале по устойчивому интегральному многообразию, а затем по неустойчивому, причем оба раза проходятся расстояния порядка единицы.

Использование траекторий-уток для моделирования критических режимов позволяет решить важные задачи теории горения [4; 5]. А анализ некоторых задач вызвал необходимость доказательства новых теорем о траекториях-утках [6; 7].

Напомним, что под медленной поверхностью системы (1) понимается поверхность, описываемая уравнением

р(х, у, г, а, 0) = 0. (2)

Лист медленной поверхности устойчив, если собственные числа матрицы др/дг(х,у, ф(х,у, а), а, 0), где г = ф(х,у,а) — изолированное решение уравнения (2), имеют отрицательные вещественные части. Если хотя бы у одного из собственных чисел этой матрицы вещественная часть становится положительной, то лист теряет устойчивость. Листы медленной поверхности разделяются так называемыми поверхностями срыва, имеющими размерность вектора у, на которых

др

ёе^ —(х, у, ф(х, у, а), а, 0) = 0.

В е-окрестности устойчивого и неустойчивого листов медленной поверхности лежат устойчивое и неустойчивое медленные интегральные многообразия. Медленное интегральное многообразие представляет собой гладкую инвариантную поверхность, движение по которой осуществляется со скоростью порядка единицы.

Наличие дополнительного скалярного параметра а обеспечивает условия для того, чтобы устойчивое и неустойчивое интегральные многообразия можно было склеить в одной точке поверхности срыва. Именно через эту точку проходит траектория, которая является уткой. Из вышесказанного следует, что траектория-утка содержит одномерное медленное интегральное многообразие, склеенное из неустойчивой и устойчивой частей.

Однако в том или ином моделируемом процессе возможны возмущения, в результате которых траектория может отклониться от рассчитанной траектории-утки, проходящей через единственную точку склейки устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий. Таким образом склеивая устойчивое и неустойчивое медленные инвариантные многообразия в одной точке поверхности срыва, нельзя гарантировать безопасность процесса. Данную проблему можно решить, если осуществить склейку этих многообразий во всех точках поверхности срыва одновременно при помощи уже не параметра, а склеивающей функции, получив тем самым инвариантную поверхность со сменой устойчивости. При внешнем возмущении траектория решения системы уравнений в этом случае просто перейдет с одной траектории-утки на другую, также описывающую безопасный режим. В данной работе решается задача построения инвариантного многообразия со сменой устойчивости систем с быстрыми и медленными переменными.

1. Основные результаты

1.1. Постановка задачи

Рассматриваются автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений для переменных х, у, г, которые после исключения независимой переменной времени приводятся к виду:

% = У(х,у,гьг2,е), у € Д", х € Д;

е= 2хв(х,у)г1 + ^(х, у, гь г2, е) + а(у,е), г! € Д; (3)

е = В(х, у)г2 + ^(х, у, г1, г2, е) + а(у, е)6(х, у, е), г2 € Дт.

Здесь В(х, у) — блочно-диагональная матрица (т х т) порядка, собственные числа ЛДх, у) которой удовлетворяют условию ДеЛДх,у) ^ —2^ < 0, г = 1,2, ...,т, 6(х, у,е) — векторная функция, е — малый скалярный параметр, а(у, е), в(х, у) — скалярные функции, ^(х, у, г1, г2, е) — скалярная функция, а ^(х, у, г1, г2, е) — векторная размерность т. Функции У, ^1, ^2, в, а, 6, В предполагаются непрерывными и подчиняющимися неравенствам:

|| У(х,у,г1,г2,е) к, (4)

|^1(х,у,г1,г2,е)| < М(е2 + е || г || + || г ||2), (5)

|| ^(х,у,г1,г2,е) |К М(е2 + е || г || + || г ||2), (6)

|| У(х, у, г1, г2, е) — У(х, *, г!, ¿2, е) |К М(|| у — * || + || г — * ||), (7) |^(х,у, г1,г2,е) — ^(х, *, г1,г*,е)| <

< М[(е+ || 5 ||)||г — *|| + (е2 + е || г || + || г ||2)||у — *||], (8)

||^2(х,у, г1,г2,е) — ^(х, *, г~ь г*,е)|| <

< М[(е+ || 5 ||)||г — *|| + (е2 + е || г || + || г ||2)||у — *||], (9)

где г = ( , * = ( £ ) , ||5|| = тах{||г||, ||*||},

|а(у,е)| < е2К, 0 < в1 < в(х,у) < в2 < ||6(х, у,е)|| < (10)

||В(х,у) < М||, |а(у,е) — а(у,е)| < е2Ь||у — *||, (11)

|в(х,у) — в(х,*)| < 7||у — *||, (12)

||6(х, у, е) — 6(х,*,е)|| < V ||у — *||, (13)

||В(х,у) — В(х,*)|| < М(|х — х| + ||у — *||). (14)

Здесь к, К, М, Ь, в1, в2, 7, М, V — некоторые положительные константы. Обозначим через Н полное метрическое пространство непрерывных функций

Мх,у,е)= ( £(х,у,е) ) >1 € Д>2 € Дт, действующих из Д х Д" в Дт+1 и удовлетворяющих неравенствам:

с метрикой

Мх,у,е)| < е3/2^, (15)

|^(х,у,е) — ^1(х,*,е)| < е3/2^||у — (16)

|^2(х,у,е)| < е2д, (17)

|^2(х,у,е) — ^2(х,у,е)| < е2^||у — *|| (18)

р(Л., Л.) = вир ||^(х, у, е) — Л.(х, у, е )||.

х,У

Отметим, что в силу неравенств (15)—(18) существует некоторая константа С такая, что

ЦК(х,у,е)Ц < е3/2дС, (19)

ЦК(х,у,е) - К(х,у,е) || < е3/26С ||у - у||. (20)

На элементах пространства Н зададим оператор Т = ^ Т ^ по формулам:

со

- У! е21: гр{г,<рЦ,х))<и/Е[21(.) + а(<р(з,х),е)]с18, х > 0,

Т-\_Ъ,(х, у, е)

■ 1 | е2^ №,фх))<и/Е[2;1{-) + а(ф,х),е)]<18, х< 0,

£

— СО

Т2К(х, у,е) = - I Wф(x, 8, е)^(-) + а(г(8,х), е)Ь(8, г(8,х), е)^8,

£ — со

где %1,2(-) = Zl,2(s,lf>(s,x),hl(s,lf>(s,x),е),h2(s,^f>(s,x),е),е). W¡f(x,8,е) — фундаментальная матрица однородного уравнения е= В(х,г(8,х))г2, удовлетворяющая условию Wlp(8, 8, е) = Е. Функция г(8,х) определяется следующим образом. Для произвольного элемента h € Н рассматривается начальная задача:

г = У(т, Г, ^(т, г, е), Ъа(г, г, е), е), г(х) = у0, (21)

ат

полученная из первого уравнения (3) подстановкой К вместо г, с переобозначением у на г и х на 8. Решение этой задачи обозначим у(8,х) = Ф(8, х,уо, е | К).

При определении оператора Т1 в верхней строке записан оператор, используемый для доказательства существования неустойчивых (устойчивых влево) интегральных поверхностей, а в нижней строке — оператор, используемый при доказательстве устойчивых интегральных поверхностей [8; 9].

1.2. Вспомогательные неравенства

Для краткости записи введем следующие обозначения: Г1(8,х) = Ф(8,х,у, е\К), Г2(8,х) = Ф(8,х,у,е\К). Из (21) следуют равенства

в

г(8,х) = у + 1У (п,г(п,х),К1(п,г(п,х),е),К2(п,г(п,х),е),е)ап,

х

в

Г1(8,х) = у + J У (п,Т1(п, х),К1(п,Г1(п, х),е),К2 (п,п(п, х),е),е)3,п,

х

в

Г2(8,х) = у + 1У(п, Г2(п, х),К1(п, Г2(п, х),е),К2(п, Г2(п, х),е),е)3,п.

х

Используя последние соотношения, неравенства (7), (20) и неравенство Гронуол-ла — Беллмана, получаем оценки:

Ш8,х) - п(8,х)Ц < ||у - у||е"°|в-х|, (22)

М8,х) - Г2(8,х)Ц < ХР+^5С (е^-1), (23)

где

В > М(1 + е3/25С). (24)

1.3. Существование функции а(у,е)

Для произвольной, но фиксированной функции Н € Н рассмотрим интегро-функциональное уравнение

I е-2 ¡0 t|3(t,ф,0))dt/e[zZl(s, 0), Н1(8, 0), е), Н2(в, <р(в, 0), е), е)+а(<р(в, 0), е)]^ = 0

— С

(25)

относительно функции а(у, е), где 0) = Ф(в, 0, у, е|Н). Это уравнение представляет собой условие непрерывности функции Т1Н при х = 0. Введем обозначение

в

X

Тогда из (10) следует, что

в182 < N(0,<р) < в2 82. (26)

Перепишем это уравнение в виде

А^а(у) = . (27)

Здесь

сю

А^а(у) = е—^(0,^)/еа(^(8,0))^, (28)

Л —СО ^

—с

сю

= с е—1{0„)/еа ! е—-(0,^)/ех^(8, 0),Н1 (8,^(8, 0),е),Н2(8,^(8, 0),е),е)^.

Л—со ^

— с

(29)

Последние выражения определяют линейный оператор А^ : а(у) ^ А^а(у), который удобно представить в виде суммы двух операторов А^ = I + Д^, где I -тождественный оператор, а оператор Д^ определяется выражением:

1

Д^а(у) = гс _-((Ы/е. е--(0,у)/е[а(<£>) — а(у)]^. (30)

-с

В силу неравенств (4), (11), (26) справедлива оценка:

-- сю

|Д^а(у)| ^ / е_в1 в2,ее2Ьх V еп ;

— с

в

х||/У (п, ^(п, 0), Н1(п, ^(п, 0), е), Н2(п, *^(п, 0), е), е)^п||^з ^

0

._ сс в ,_

& / е_в1«2,ее2Ь^ Ып)^ < е5,2.

} в1 V п

— с 0

Если е5/2< 1, то существует линейный оператор (I + Д^) — 1, и для него справедлива оценка:

1(1 + Ю-11 <

1 - е5/2 ЩМ

Л V п

(31)

Тогда из (27) следует:

а(у) = (I + Щ,) 1 Ян,у.

Покажем, что функция а(у), определяемая таким образом, удовлетворяет неравенствам (10), (11). Используя (5), (19) и (26), имеем:

1С^уI <1М(е2 + е5/2дС + е3д2С2). У Р1

Используя последнюю оценку и неравенство (31), получим:

у/ЖЩМ (е2 + е5/2дС + е3д2С2)

1а(у)1 <

1 - е5/2~ Л V п

(32)

Оценивая каждый модуль отдельно, в итоге получим:

1

1а(у) - а(уУ)1 <

1 - е5/2Щ.&

Л V п

х [Щ1в2(3Б +-41 (е2 + е5/2дС + е2д3С2))+

Р1 Р1

+е2 ^ Р ^ ^ » - у"'

Пусть

5/2 ^к.ГК < -

вЛ п < 2,

тогда, если выполнены неравенства

2М< — (1 + /едС + ед2С2) < К,

У в1

,^-М(1 + е3/25С) < 1, V Р1

2Щ в2 (3(1 + / дС + е д2С2 + /I дС (1 + /е дС))+

V Р1

(33)

(34)

(35)

(36)

+ ^ (1 + / дС + е д2С 2)) + ^Ь (3 + (9 + ^ А)) < Ь,

(37)

то существует функция а(у, е), удовлетворяющая условиям (10), (11). Получим теперь еще одно вспомогательное неравенство. Пусть функция а(у, е) -решение уравнения (25), а функция а(у, е) — решение уравнения (25), где вместо

К =

подставлена функция к =

Имеем тождества Л^а(у,е) = Qhy

или (I + Е^)а(у,е) = Qh,y и Л^2а(у,е)= ,у, или (I + Я^2 )а(у,е) = С>, где

С

h ,У

Г е-К(°^2)/еа8

■) — со

е-М (0,^2 )/ех

1

К

1

1

К

2

2

1

хZl(s, у>2(«, 0), Н1(в,^2(8,0), е), Н2(в,^2(«, 0),е),е)йв, (38)

1

^2

I е -ая

I/ —т

с

ОО

г е—-(0,^2)/еа5

л —с

1

А,2а(у)= гс )/е, I е—-(0,^2)/еа(^2(8,0))а*, (39)

Д^а(у) = гс )/е, I е—-(0,^2)/е[а(^2) — а(у)]а8. (40)

а(у) = Г е—-(0,*2)/еа8 У е

—с

Вычитая из первого тождества второе, после элементарных преобразований получим:

а — а = (I + Ду) — 1[<ь,у — <9 л,у + (Д>2 — Д^)а]. (41)

Оценим почленно выражения в квадратных скобках:

|<л,у — <Я,у| < ^вг(25 + е + е3,2?С + ^(е2 + е5,2?С + е3?2С2))р(Н, Н), (42)

|(Ду — Д^2)а(у)| < [2е2^в2 + 7^Лв?е5/2 (9 + ^в^^^ Н). (43) Таким образом, если выполнены неравенства (34) и (36), из (42) и (43) получим

р(а, а) < 2,/в2[М(25 + е + е3,2?С + ^(е2 + е5,2?С + е32))+ в1 в1

+2е2Ь + (9 + 7у ^)]р(Н, Н) = Р • Р(Н, Н). (44)

1.4. Существование медленного многообразия

Найдем условия, при которых оператор ТН(х, у, е) действует в пространстве Н. Пусть для определенности х ^ 0. Тогда из (5), (10), (19), (26) следует:

е3/2 гп~

|Т\Н(х,у,е)| < — ^ — (К + М(1 + у^С + е?2С2)). (45)

Далее

|Т\Н(х, у, е) — Т\Н(х,у,е)| ^ [3/2(М5 + е2Ь)+

ев1

+ (М(е2 + е5,2«С + е3?2С2) + е2К)]||у — *||. (46)

Таким образом, при выполнении неравенств 1 /~п~

2У А(К + М(1 + ^^ + е?2С2)) < (47)

гп 3

,/ — [3(М (1 + + е?2С2 + (1 + )) + Ь)+ в1 2

+ ^(М(1 + + е?2С2)+ К)] < 5 (48)

2в1

Т1Н(х, у, е) удовлетворяет условиям (15), (16).

Теперь получим условия, при которых оператор Т2к(х,у,е) удовлетворяет неравенствам (17), (18). Используя (6), (10), (19), а также известную оценку

ЦШ^(х,в,е)Ц < —в-и(х-а)/е, х > в, — > 1, (49)

||Т2(х,у,е)Ц < -(И(е2 + е3/2дС + е3д2С2) + е2Кр). (50)

ш

„т,, ^ М! — (ИБ + ре2Ь + Уе 2К)

2 Н(х,у,е) - Т2^х,у, е)|1 < [ 1_е Щ1 ++ 3/ЧсК +

(И(е2 + е5/2дС + е3д2С2) + е2Кр)]Цу - у||. (51)

ш2

Таким образом, при выполнении неравенств

-(И(1 + уДдС + ед2С2) + Кр) < д, (52)

ш

получаем

Далее

-(И (1 + УедС + ед2С2 + Уе5С (1 + ^едС)) + рЬ + Ж)

Ш—ёы^гТёУ^Щ

+

4—2 И

+-и(И(1 + УедС + ед2С2) + Кр) < 5 (53)

ш2

Т2Н(х,у,е) удовлетворяет условиям (17), (18).

Следовательно при выполнении условий (47), (48), (52), (53) оператор Т действует в пространстве Н. Ясно, что при достаточно малых значениях параметра е существуют положительные числа д и 5, не зависящие от е, для которых эти неравенства имеют место.

Покажем, что оператор Т сжимающий. Для этого с учетом (8), (10), (11), (19), (20), (44) получим следующие оценки:

- I п И Р

|ВДх, у, е) - Т1к(х, у,е)1 ^ — [ИБ + е2Ь + —(е + е3/2дС) + - +

+ (И(е2 + е5/2дС + е3д2С2) + е2К)]р(к, к). (54)

2р1

^ [еИ —(ИБ + е2рЬ + е2уК) , —(И(е + е3/2дС)+ рР) , 11Т2к(х, у,е) - Т2к(х,у,е)|1 ^ [ ш(ш - еИ(1 + е3/26С)) +-Ш-+

2—2 И

+(И(е2 + е5/2дС + е3д2С2) + е2Кр) ) ^ (55)

Так как после выбора независящих от е констант д и 5 величины Б = 0(е2) и Р = 0(е2), то из неравенств (54) и (55) следует, что при достаточно малых значениях оператор Т является сжимающим.

Подведя итог, отметим, что полученные выше условия обеспечивают в силу принципа сжатия существование и единственность неподвижной точки оператора Т в пространстве Н. Таким образом, доказана

Теорема. Пусть выполняются условия (4)-(14). Тогда существуют такие числа д, 5, К, Ь, е о > 0, что для всех е € (0, е о) существуют функция а(у, е), удовлетворяющая условиям (10), (11), и соответствующее ей медленное интегральное многообразие г = к(х,у, е), удовлетворяющее условиям (19)-(20).

Литература

[1] Теория бифуркаций / В.И. Арнольд [и др.]. // Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-218.

[2] Соболев В.А., Щепакина Е.А. Редукция моделей и критические явления в макрокинетике. М.: Физматлит, 2010. 320 с.

[3] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

[4] Щепакина Е.А. Притягивающе-отталкивающие интегральные поверхности в задачах горения // Математическое моделирование. 2002. № 14:3. С. 30-42.

[5] Щепакина Е.А. Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения // Математическое моделирование. 2003. № 15:8. С. 113-117.

[6] Горелов Г.Н., Соболев В.А., Щепакина Е.А. Сингулярно возмущенные модели горения. Самара: СамВен, 1999. 185 с.

[7] Соболев В.А., Щепакина Е.А. Интегральные поверхности со сменой устойчивости // Известия РАЕН. Сер.: МММИУ. 1997. Т. 1. № 3. С. 151-175.

[8] Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1975. 512 с.

[9] Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988. 256 с.

Поступила в редакцию 22/IX/2011;

в окончательном варианте — 22/IX/2011.

SLOW INTEGRAL MANIFOLDS WITH A CHANGE

OF STABILITY

© 2012 T.V. Simonova2

The paper is devoted to the investigation of slow integral manifolds with a change of stability in the case of vector fast variable. The existence conditions of the gluing function are given. The problem of construction of the integral manifold with a change of stability for systems with vector fast and slow variables is solved.

Key words: singular perturbations, clutching function, integral manifold, change

of stability.

Paper received 22/IX/2011. Paper accepted 22/IX/2011.

2Simonova Tatyana Viktorovna ([email protected]), the Dept. of Differential Equations and Control Theory, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.