CC BY
51
УДК 004.042
А. А. Востриков, Ю. Н. Балонин
МАТРИЦЫ АДАМАРА — МЕРСЕННА КАК БАЗИС ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ МАСКИРОВАНИИ ВИДЕОИЗОБРАЖЕНИЙ
Рассматривается процедура маскирования изображений с использованием М-матриц как ортогонального базиса. Предлагается на этапе спектрального разложения изображения использовать оригинальные двухуровневые ортогональные симметричные М-матрицы порядков, соответствующих последовательности Мерсенна, для которой не существует матриц Адамара.
Ключевые слова: ортогональные матрицы, М-матрицы, матрицы Адамара, матрицы Адамара — Мерсенна, числа Мерсенна, обработка видеоизображений.
Стремительное развитие технологий, связанных с передачей видеопотоков по сетям общего пользования, привело к необходимости создания надежной защиты видеоинформации от несанкционированного доступа и подмены. Разработано множество безупречных систем защиты, которые успешно и широко применяются на практике [1]. Однако большинство традиционных систем не могут напрямую использоваться для защиты цифровой видеоинформации в системах реального времени, поскольку базируются на алгоритмах шифрации и требуют значительных вычислительных затрат.
В работах [2—4] представлена альтернативная технология маскирования видеоизображений, при которой разрушение кадров видеопоследовательности до уровня шума обеспечивается на передающей стороне распределенной системы, а восстановление кадров — на приемной стороне. При использовании данной технологии актуальность маскируемой информации сохраняется в течение непродолжительного времени; эта технология предполагает также упрощение схемы преобразования на основе криптографических примитивов [4].
В монографии [5] вводится понятие стрип-оператора, позволяющего применить матричные методы кодирования видеоинформации на основе базисов ортогональных преобразований. В отличие от традиционных базисов, здесь основное значение имеют качества, определяемые экстремальными свойствами базисных наборов. Таковы, например, матрицы Ада-мара, оптимальные в смысле нейтрализации последствий воздействия точечных помех при передаче данных по каналам связи [6].
Кроме дискретности значений элементов матрицы Адамара, удобной при выполнении процедуры маскирования изображений с использованием цифровых устройств, не менее важную роль играет оригинальность базиса, обеспечивающая „скрытность" получаемых преобразованных данных. Современное состояние процессоров цифровой обработки сигналов, характеризующееся увеличением производительности и структурной ориентацией на выполнение операции свертки в формате вещественных чисел, позволяет использовать более полные базисы, включая п-уровневые М-матрицы [7, 8].
В работах [9, 10] предложены версии малоуровневых (двух- и трехуровневых — по количеству фиксированных значений элементов матрицы) ортогональных матриц. Эти матрицы имеют нечетные порядки, соответствующие последовательностям Мерсенна и Ферма. Последовательность Мерсенна, задаваемая формулой п = 2к - 1, начинается с чисел 1, 3, 5, 15, 31, ...
и принадлежит подмножеству чисел вида 4к - 1. Последовательность Ферма, определяемая 2к
формулой п = 2 +1, начинается с чисел 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, ... и принадлежит
подмножеству чисел вида 4к+1. В работах [11, 12] эти понятия обобщены и дополнены матрицами смежных порядков.
В настоящей статье предлагается новый подход, заключающийся в замене используемых хорошо известных базисов при сжатии кадров видеоизображений (например, на основе дискретного преобразования Фурье) на базисы, основанные на недавно открытом классе вычисляемых ортогональных матриц Адамара — Мерсенна.
Матрицы порядков, соответствующих последовательности Мерсенна, вычисляются с помощью модифицированной процедуры Сильвестра
( М п М п ^
$2п =
V М я
М
п У
*
отличающейся от классической тем, что двухуровневая матрица Мп образована перестанов-
Ч 4Ч
кой местами ее уровней а=1 и -Ь, где Ь=И2 при п=3, а в остальных случаях Ь =---, где
Ч — 4
Ч=п+1 — порядок матрицы Адамара. Для матриц Адамара при Ь=1 это приводит лишь к смене знаков всех элементов. Здесь и далее индекс „п" соответствует порядку матрицы.
Матрицы Адамара — Мерсенна образованы дополнением к указанной основе строки и столбца:
(
М
2п+1
2п У
где X = -а — собственное число; е — собственный вектор матрицы 82п, половину элементов
которого составляют элементы -Ь, другую половину — элементы а; таким образом, элементы собственного вектора находятся не численно, а аналитически. Итерации начинаются с матрицы
( а —Ь а ^
М3 =
а —Ь а
—Ь а а
а а —Ь
Предложенная вычислительная схема компактна и позволяет находить матрицы, альтернативные матрицам Адамара, но на нечетных значениях порядков.
Типичная последовательность этапов обработки изображения на основе матричного
преобразования приведена на рис. 1. _
Изображение
Преобразование Фурье
Фильтрация
Сжатие
Спектральное разложение Рис. 1
Использование дискретного преобразования Фурье обеспечивает получение спектра изображения с низкочастотной областью, сосредоточенной в левом верхнем углу преобразованной матрицы. Применение затем фильтра устраняет высокочастотную область спектра, а статистическая обработка по Хаффману устраняет избыточность.
В алгоритме маскирования все этапы, представленные на рис. 1, сохраняются, однако матрица дискретного преобразования Фурье заменяется оригинальной матрицей ортогональ-
ного базиса. Это позволяет, во-первых, сохранить принципиальную возможность сжатия маскируемой информации, например, адаптацией процедуры фильтрации к структурным особенностям базиса, что способствует неразличимости маскированного и немаскированного видеопотоков по каналу связи. Во-вторых, неизвестная матрица и ключ маскирования в виде вектора перестановки строк и столбцов, неизвестные третьей стороне, способствуют, как показало исследование программных реализаций маскиратора [13] и демаскиратора изображений [14], надежной защите видеоизображения от перехвата и подмены.
На рис. 2, а, б приведены портреты оригинальных ортогональных симметричных матриц Адамара — Мерсенна порядков 15 и 63 соответственно [9], найденные при помощи специального программного обеспечения — исследовательского программного комплекса ММаШх [15]. На рисунке белое поле соответствует элементу матрицы со значением уровня а (а = 1), черное поле — элементу со значением уровня -Ь (|Ь| < 1). Эти матрицы отличаются, в общем, от матриц Адамара вещественным значением одного из уровней, зависящим от размерности, а также тем, что они существуют на нечетных порядках. Вместе эти отличия приводят к существенному усложнению задачи демаскирования видеопотока третьей стороной. Пример выполнения процедуры маскирования и демаскирования изображения представлен на рис. 3.
а) б)
Рис. 2
Исходное изображение Маскир°ванн°е Восстановленное
изображение изображение
Рис. 3
Дополнительный аргумент рациональности использования базисов, построенных на последовательностях Мерсенна, Ферма, Эйлера [9—11], среди которых матрицы Адамара — Мерсенна отличает их близость к матрицам Адамара, состоит в том, что алгоритм их построения фрактален и матрицы, при определенной структуре алгоритма, обладают повышенной чувствительностью к изменению разрядной сетки процессора и начальным данным.
Усложнение задачи маскирования видеоизображений заключается в том, что матрица ортогонального преобразования не вычисляется заранее, а является результатом работы алгоритма, и по открытому каналу в качестве ключа передаются только настройки для ее вычисления. Не менее важны при этом и рекурсивные процедуры увеличения порядка матрицы.
Итак, в процессе поиска для алгоритмов маскирования изображений оригинальных базисов нечетных порядков, близких к матрицам Адамара по свойствам, выделен предпочтительный класс двухуровневых матриц, называемых матрицами Адамара — Мерсенна. Порядок этих матриц равен числам Мерсенна вида 2k - 1, а их элементы с ростом значений целочисленного аргумента k стремятся к значениям {1, -1}, как и у матриц Адамара.
Практическое применение таких матриц целесообразно в задачах повышения степени помехоустойчивости и защищенности при передаче видеоизображений. Использование для сжатия изображений алгоритма, устраняющего избыточность исходной информации (см. рис. 1), в этом случае одновременно приводит к формированию защищенного массива. При этом следует отметить, что матричные методы преобразования информации очень практичны, поскольку предполагают эффективную реализацию в современных микропроцессорных структурах, ориентированных на цифровую обработку сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ерош И. Л., Сергеев А. М., Филатов Г. П. О защите цифровых изображений при передаче по каналам связи // Информационно-управляющие системы. 2007. № 5(30). С. 20—22.
2. Литвинов М. Ю., Беззатеев С. В., Трояновский Б. К., Филатов Г. П. Выбор алгоритма преобразования, обеспечивающего изменение структуры изображения // Информационно-управляющие системы. 2006. № 6(25). С. 2—6.
3. Litvinov M. Y., Sergeev A. M. Problems on formation protected digital images // Proc. of the XI Intern. Symp. on Problems of Redundancy in Information and Control Systems. St. Petersburg, 2007. P. 202.
4. ЛитвиновМ. Ю. Алгоритмы маскирующих преобразований видеоинформации: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. СПб, 2009.
5. Мироновский Л. А., Слаев В. А. Стрип-метод преобразования изображений и сигналов. СПб: Политехника, 2006. 163 с.
6. Van Lint J. H., Seidel J. J. Equilateral point sets in elliptic geometry // Indagationes Mathematicae. 1966. Vol. 28. P. 335—348.
7. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14—21.
8. Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87—90.
9. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Мироновский Л. А. Вычисление матриц Адамара — Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92—94.
10. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Мироновский Л. А. Вычисление матриц Адамара — Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90—93.
11. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. О двух способах построения матриц Адамара — Эйлера // Информационно-управляющие системы. 2013. № 1. С. 7—10.
12. Балонин Н. А. О существовании матриц Мерсенна 11-го и 19-го порядков // Информационно-управляющие системы. 2013. № 2. С. 90—91.
13. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ № 20126188124. Программа „Маскиратор изображений^/Software "Images masking" / М. Б. Сергеев, Н. А. Балонин, Ю. Н. Балонин, А. А. Востриков. 27.09.2012 г.
14. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2012618700. Программа „Демаскиратор изображений"/Software "Images recovering" / М. Б. Сергеев, Н. А. Балонин, Ю. Н. Балонин, А. А. Востриков. 24.09.2012 г.
15. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2012614356. Программа поиска М-матриц / М. Б. Сергеев, Н. А. Балонин, Ю. Н. Балонин. 16.05.2012 г.
Антон Александрович Востриков
Юрий Николаевич Балонин
Сведения об авторах канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, НИИ информационно-управляющих систем; заместитель директора; E-mail: vostricov@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра вычислительных систем и сетей; программист; E-mail: yuraball@mail.ru
Рекомендована
НИИ информационно-управляющих систем
Поступила в редакцию 01.07.13 г.
