CC BY
8
УДК 536.24.08
Алексей Евгеньевич Барочкин
ФГБОУВО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», кандидат технических наук, доцент кафедры тепловых электрических станций, Россия, Иваново, телефон (4932) 26-99-13, e-mail: acorp27@yandex.ru
Матричный метод решения обратной задачи теплопередачи в контактных аппаратах с учетом фазового перехода в теплоносителях
Авторское резюме
Состояние вопроса. Приоритетами государственной энергетической политики Российской Федерации, в том числе, являются: переход к экологически чистой и ресурсосберегающей энергетике, рациональное природопользование и энергетическая эффективность. Одним из направлений энергосбережения является максимальное использование теплоты сгорания топлива с одновременным получением конденсата из продуктов сгорания природного газа. Несмотря на большое количество научных публикаций по утилизации тепла дымовых газов на большинстве газовых котельных, энергетических предприятий и тепловых электрических станций, в нашей стране конденсационные теплоутили-заторы не применяются. Этому есть ряд причин, вызванных отсутствием универсальных методик расчета и проектирования теплоутилизаторов конденсационного типа. В связи с этим разработка новых методов моделирования многопоточных теплообменных аппаратов с учетом фазового перехода в теплоносителях является актуальной задачей для энергетики.
Материалы и методы. Для решения обратной задачи теплопередачи в теплообменных аппаратах с учетом фазового перехода в теплоносителях использованы матричные модели теплопередачи, построенные на уравнениях баланса массы и энергии.
Результаты. Разработан метод расчета и выбора конструкций многопоточных теплообменных аппаратов с учетом фазового перехода в теплоносителях. Для иллюстрации эффективности предложенного метода выполнено численное решение задачи по выбору конструкции контактного экономайзера парового котла ТЭС, используемого для утилизации тепла дымовых газов.
Выводы. Предложенный метод решения обратной задачи теплопередачи обеспечивает возможность одновременного поиска наиболее приемлемых значений параметров теплоносителей и конструктивных характеристик теплообменных аппаратов различного назначения.
Ключевые слова: обратная задача теплопередачи, матричная модель теплопередачи, фазовый переход, многопоточный теплообменник, баланс энергии, баланс массы, теплообменные аппараты, дымовые газы, тепловые электрические станции
Aleksei Yevgenyevich Barochkin
Ivanovo State Power Engineering University, Candidate of Engineering Sciences (PhD), Associate Professor of Heat Power Plants Department, Russia, Ivanovo, telephone (4932) 26-99-31, e-mail: acorp27@yandex.ru
Matrix method to solve inverse problem of heat transfer in heat exchangers with phase transition in heat carriers
Abstract
Background. The transition to environmentally friendly and resource-saving energy, efficient use of natural resources and energy performance are the key priorities of the state energy policy of the Russian Federation. Maximum use of heat combustion of fuel and simultaneously production of condensate water of the combustion products of natural gas is one of the directions of energy saving policy. Despite many scientific papers on the issues of utilization of flue gas heat, condensation heat exchangers are not used in most gas boiler houses, energy power providers and thermal power plants in this country. And there are several reasons to explain this fact due to the lack of universal methods to calculate and design condensation-type heat exchangers. Thus, the development of new methods to simulate multithreaded heat exchangers considering the phase transition in heat carriers is an urgent task of power engineering and industry sectors.
© Барочкин А.Е., 2021 Вестник ИГЭУ, 2021, вып. 5, с. 68-75.
Materials and methods. Matrix models of heat transfer based on mass and energy balance equations are applied to solve the inverse problem of heat transfer in heat exchangers, considering the phase transition in heat carriers.
Results. A method to calculate and select the designs of multi-threaded heat exchangers, considering the phase transition in heat carriers, has been developed. The author suggests a numerical solution to choose the design of a contact economizer of a heat power plant steam boiler used for heat recovery of flue gases to illustrate the effectiveness of the proposed method.
Conclusions. The proposed method to solve the inverse problem of heat transfer provides the possibility to identify simultaneously the most acceptable values of the parameters of heat carriers and design characteristics of heat exchangers for various purposes.
Key words: inverse heat transfer problem, matrix model of heat transfer, phase transition, multithreaded heat exchanger, energy balance, mass balance, heat exchangers, flue gases, thermal power plants
DOI: 10.17588/2072-2672.2021.5.068-075
Введение. По способу использования математических моделей при проведении теплотехнических расчетов можно выделить прямые и обратные задачи. Прямые задачи предполагают выполнение конструкторского или поверочного расчетов, которые в первом случае необходимы для определения поверхности теплообмена и конструктивных размеров выбранного аппарата, а во втором - для проверки возможности получения требуемых параметров теплоносителей на выходе из теп-лообменного аппарата при фиксированных конструктивных параметрах [1-3]. В обратных задачах реализуются проектные расчеты, которые ориентированы на одновременный подбор как конструктивных, так и режимных параметров работы теплооб-менных аппаратов, обеспечивающих наиболее эффективную работу оборудования [1], что сокращает общее время и количество расчетов.
Раннее [4] была рассмотрена задача решения обратной задачи теплопередачи в теплообменных аппаратах без фазового перехода. Ниже выполнено развитие данного подхода на случай учета фазового перехода в теплоносителях. Возможности матричного метода решения обратной задачи теплопередачи продемонстрированы на примере контактных многопоточных теплообменников, используемых для утилизации влаги и тепловой энергии дымовых газов на ТЭС [5-10]. В качестве греющих потоков теплоносителей в данных аппаратах выступают дымовые газы и водяные пары, в качестве нагреваемого потока -охлаждающая вода. Объем водяных паров, получаемых при сжигании 1 м3 природного газа, составляет 2,1-2,5 м3. Конденсация водяных паров из дымовых га-
зов позволяет увеличить КПД парового или водогрейного котла, а также получить дополнительный поток теплоносителя, который может быть использован в тепловой схеме ТЭС или котельной. Внедрение в энергетике теплообменных аппаратов для утилизации тепла дымовых газов сдерживается отсутствием методов расчета многопоточных теплообменных аппаратов с возможным фазовым переходом в теплоносителях. Таким образом, моделирование и расчет многопоточных теплообмен-ных аппаратов с учетом фазового перехода в теплоносителях являются для энергетики актуальной задачей.
Объектом исследования являются многопоточные теплообменные аппараты.
Предметом исследований является метод решения обратной задачи теплопередачи в многопоточных теплообменных аппаратах с учетом фазового перехода в теплоносителях [2, 3, 11].
Целью исследования является определение наиболее эффективных конструктивных и режимных характеристик многопоточных теплообменных установок с фазовым переходом теплоносителей.
Методы исследования. Для решения обратной задачи теплопередачи с фазовым переходом теплоносителей используются математические модели теплообмена, построенные на дифференциальных уравнениях баланса массы и энергии [11-14]. Для решения полученной в ходе моделирования системы дифференциальных уравнений применяются численные и аналитические методы, а также методы математического программирования [15-18].
Схема установки контактного тепло-обменного аппарата представлен на рис. 1.
Рис. 1. Схема установки контактного экономайзера: 1 - входной газоход из конвективной части котла; 2 - контактный экономайзер; 3 - кап-леулавливающая насадка; 4 - слой рабочей насадки; 5 - вход сырой воды; 6 - фундамент; 7 - водораспределитель из перфорированных труб; 8 - байпасный газоход
Расчетная схема процесса теплопередачи с фазовым переходом первого теплоносителя и с указанием направления движения потоков теплоносителей представлена на рис. 2. Поверхность нагрева разделена на две части: без фазового перехода (Р1) и с фазовым переходом (Р2). Принимается допущение, что потоки теплоносителей двигаются по отдельным каналам без перемешивания внутри аппарата. Смешение теплоносителей происходит на выходе из установки.
Рис. 2. Расчетная схема трехпоточного тепло-обменного аппарата с указанием направления движения потоков теплоносителей и потоков тепловой энергии за счет теплопередачи
Разработка модели процесса осуществляется в два этапа: на первом этапе происходит охлаждение дымовых газов без фазового перехода до точки росы, на втором - конденсация водяных паров. Математическая модель теплопередачи для
первого этапа в виде системы трех дифференциальных уравнений относительно температур водяных паров и, дымовых газов /2 и охлаждающей воды при отсутствии в них фазового перехода записывается следующим образом [13, 19]:
61
1 — —а^ ¿1 + а^ ¿2 ]
б/ бР
— — —а4 ¿2 + а4 т3,
— а2 ¿1 — (а2 + а3 ) ¿2 + а3 ¿3 ,
(1)
где К - коэффициент теплопередачи; с -удельная теплоемкость; О - расход теплоносителя; а — К 2 / (с ), а2 — К 2 / (с2 ), а — Кз / (с2 ), а—к23 / (с3 ^); одинарный индекс показывает номер теплоносителя; двойной индекс коэффициента теплопередачи соответствует номерам теплоносителей, между которыми происходит теплопередача.
Для начальных условий — ¿10,
¿2 Р—0 — ¿20 ,
Р—Р — ¿30
(Р1 - площадь поверхности теплообмена) решение системы (1) запишем в следующем виде [4]:
' Ьц Ь12 Ь13 — 1 0 01
Ь21 Ь22 Ь23 0 — 1 0
V Ь31 Ь32 Ь33 0 0 —^
(/ 1 ¿10
¿20
¿30
¿1
V ¿3 У
(0 1 0
V 0 У
(2)
где
Ьц —
"(5 — 5)+ "
^е^1 — 51) +(1 — Б2) е* + + Б (Б1 — ег2р)
+^1 — 1) ег3р
Б (5, — 1)
Ь12 —
Ь13 —
(5 — 3) +
(1 — 53еГ2/1) +(1 — Б2) еГ2р + + Б (ег2Р — 1)
+(5 — 1) ег3р
Б (^ — 1)
(52 — 3) + ( 1 — Б2) еГ2р +(Б1 — 1) ег3р
Б
Ь21 =-
Ь22 =■
Ь23 =
Ь31 =■
Ь32 =■
Ь33 =
^е^ - Б'] "Б - Б') + +(1- б2 ) БеГ2р + + (Б -1) Б2еГ3р + ББ (1- е^)
(1- Эве^1) Б (Б'-1) "(Б2 -Б) + + (Б -1) Б2еГ3р + + (1- Б) Бе^ + Б (Бе^ -1)
Б (Б' -1) (Б -1) б2ег3р+(1 - б) бе2+(Б - Б)
(Бе^1 - Б') б "(Б2-Б') + +(Б -1) Б4еГ3р + +(1 - Б2) Б3еГ2' 1 - Б ^е^ - Б')
(1- Э3еГ2р1) б (Б' -1) (Б-Б) + +(Б -1) Б^ + +(1-Б2) Бе'2' -Б (-Бе'2' +1)
Б (Б' -1) 1 (Б -1) Б4еГ3р +(Б - Б) + (' - Б) Б3еГ2р.
( ь^ ь.
б
б — бе* (б -1)+б - б + (1 - б)бз^;
О _ а1 + Г2 ■ с _ а1 + Г3 .
Б1 = ; э2 =->
_г22 + г*2 (а + а2 + аз) + ааз
Б3 = >
а1а3
5 _Г32 + Г3 (а1 + а2 + аз ) + а1аз
Г1,2 = ■
-а + '~2
Уа2 - 4р .
2
а — а+а+а—а' Р—аа—аа—аа ■
Система (2) включает три уравнения, записанные относительно шести температур. Это позволяет произвольно задавать три температуры и определять оставшиеся три неизвестные температуры из решения системы. Для унификации и автоматизации составления модели при произвольном задании трех независимых параметров система (2) дополняется тремя уравнениями связи, с помощью которых задаются известные значения параметров теплоносителей [4]:
'12
21
Ь31 1
0
0
ч
или
ВТ = Тп
22
ь32 0
1
0
"13
Ь23
Ь33 0
0
1
-1 0 0 0 0 0
0 -1 0 0 0 0
0 Л 0 -1 0 0 0
(t Л '10
^20
'30
'1
' 2
V '3 у
( 0 Л 0 0
'10
'20 V '30 у
(3)
(4)
где
В
Т:
( Ь'1
Ь21
Ь31 1
0
Ч 0
'10 '20 '30 '1
V '3 у
Ь12 Ь13 -1 0 0 Л
Ь22 Ь23 0 -1 0
Ь32 Ь33 0 0 -1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 у
( 0 Л
где '10, и
0 0
'10 '20 V '30 у
'30 - численные значения из-
вестных параметров теплоносителей.
Математическая модель второго этапа теплопередачи, описывающая фазовый переход в первом теплоносителе, для рассматриваемой на рис. 2 расчетной схемы трехпоточного теплообменного аппарата записывается в следующем виде [13]:
бХ' _ — — — = -а1 тП1 + а112,
= а2 'п1 -(а2 + а3 ) '2 + а3 t3,
(5)
_
— = -а4 12 + а4 Г3 ,
где а = К2 /(^); г - удельная теплота
парообразован ия; /П1 — температура водяного пара; х1 — степень сухости пара.
Для начальных условий х^^0— х10,
'2 —0 = '20, '3 я—я = '30 (^2 — площадь поверхность теплообмена) решение системы (5) запишем в следующем виде:
' Ьц Ь12 Ь1з -1 0 0 Л
Ь21 Ь22 Ь2з 0 -1 0
V Ьз1 Ьз2 Ьзз 0 0
(t Л '10
'20
'30
V 'з У
1 Л -б
V-d з У
, (6)
где
Ьц = 1;
Ь12 =
(-Зе^2 + 32е'2р2 + 31еГ2реГзр2 - 32егзре'2р2)
-34еГ2р2 + З3егЛ
Ь1з =■
(3^4 — З2З3 — З4Зе 2 + 3 )
-Зе^2 + Зе
Г,р,
н1
(-Зе^2 + 32еГр + 3е'2реГзр2 - 32егзрег^) (33 З2З 2 + 3^32е3 |
-34еГ2р2 + 33еГзр2
Ь21 = 0;
Ь22 =
(33еГ2реГзр2 - 34еГзРеГ2р2)
-34еГ2р2 + 33еГзр2 (3з34еГзР - 3з34е^)
Ь2з =■
-34еГ2р2 + 33еГзр2
Ъ = '
п1
(Зег2регзр2 - 34егзрег2р2) -34еГ2р2 + 33егЛ
(3з34е з - 3з34е 2 )
-34еГ2р2 + 33егЛ
Ьз1 = 0;
Ьз2 =
(еГзр2 еГ2р - еГ2р2 еГз'
р).
Ьзз =
-34еГ2р2 + 33еГзр2 (З3егзр - 34еГ2р)
-3аеГ2р2 + Зе
гр
б = '
п1
(егзр е^ - егр еГзр) (ззеГзр - 34еГ2р) ^ 1 - е^2 ~ "= ^ а^З.
З1 =
-34еГ2р2 + 33еГзр2
-34еГ2р2 + 33еГзр2
а13з С _ а134 о _
- ' 32 = _ ' Зз =
г Г ^ 1 - Г2
а4
3 =
( Г ^
1- Гз а4у
Г1,2 =-
-а + л/а2
■у/а2 + 4р
, а = а + а - а, Р = а2ал ■
Система (6) дополняется тремя уравнениями связи, с помощью которых задаются известные значения параметров теплоносителей:
(Ьц Ь12 Ь1з -1 0 0 Л
Ь21 Ь22 Ь2з 0 -1 0
Ьз1 Ьз2 Ьзз 0 0 -1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
V0 0 1 0 0 0 У
(х >
'20
'з0
V 'з У
(-б1 -б2
Л
10
20 V 'з0 У
, (7)
где х10, '20, '30 - численные значения известных параметров теплоносителей.
Модели (3) и (7) описывают изменение параметров теплоносителей в разных диапазонах значений температуры теплоносителя: первая - до, а вторая - после достижения им температуры насыщения. Полученные модели предлагается использовать для решения обратной задачи теплопередачи в теплообменных аппаратах при наличии фазового перехода в одном или нескольких теплоносителях.
Рассмотрим последовательность решения обратной задачи при скользящей границе фазового перехода. Считаем, что в качестве исходных данных заданы температуры теплоносителей на входе в аппарат. Для решения задачи предлагается использовать следующий алгоритм.
1. На первом этапе теплообменный аппарат рассматривается как одноступенчатая установка. Рассчитываются температуры теплоносителей на выходе из установки. Полученные значения сравниваются с температурами насыщения теплоносителей, определяется наличие фазового перехода в установке.
2. При наличии фазового перехода система условно делится на две зоны (подсистемы) по границе начала фазового перехода. Формируется матрица для расчета двухступенчатого аппарата: одна ступень описывается моделью без учета, а вторая - с учетом фазового перехода в теплоносителе.
3. Расчет по п. 2 повторяется при изменении границы между двумя зонами до достижения одинаковых значений температуры теплоносителя на границе между зонами с температурой насыщения.
Для демонстрации расчётных возможностей предлагаемого метода рассматривается пример определения наибо-
2
з
2
лее эффективной поверхности нагрева утилизационной установки дымовых газов для блока 800 МВт при сжигании природного газа. Значения расходов, теплоемкостей и начальных температур теплоносителей, которые были использованы при расчете, приведены в таблице.
Исходные данные для расчетного примера
Наименование параметра Значение параметра
водяной пар дымовые газы охлаждающая вода
Расход в, кг/с 20,6 657,2 2143,3
Теплоемкость с, кДж/кг К 2,0 1,0 4,187
Скрытая теплота парообразования г, кДж/кг 2 200 — —
Температура на входе t, оС 67,6 67,6 20
Температура насыщения ^, оС [20] 46,9 — —
Для рассматриваемой расчетной схемы сначала выполняется расчет процесса теплопередачи во второй части теп-лообменного аппарата (рис. 2) с фазовым переходом первого теплоносителя. Такая очередность определяется противоточным характером движения третьего теплоносителя на расчетной схеме, из-за чего для расчета первой части теплообменного аппарата требуется сначала определить температуру охлаждающей воды На этом этапе производится подбор оптимальной поверхности теплообмена Р2 исходя из условия необходимости полной конденсации водяных паров (т.е. получения х1 = 0). Данный расчет реализуется с помощью уравнения (7). Результаты расчетного анализа в виде расчетных зависимостей изменения температур и степени сухости теплоносителей вдоль поверхности теплообмена представлены на рис. 3.
Анализ полученной графической зависимости показывает, что полная конденсация водяных паров при заданных параметрах теплоносителей достигается при поверхности нагрева Р2 = 2150 м2.
На втором этапе производится расчет процесса теплопередачи в первой части теплообменного аппарата (рис. 2) без фазового перехода первого теплоносителя. Задача сводится к поиску поверхности теплооб-
мена Р1 исходя из необходимости снижения температуры водяных паров до точки насыщения (т.е. получения и = /н = 46,9 оС). Данный расчет реализуется с помощью уравнения (3). Поскольку рассматриваемая схема теплообменного аппарата предполагает противоточную схему движения третьего (вода) и первых двух (пар и газы) теплоносителей, то в качестве начальной температуры воды в первой части тепло-обменного аппарата для уравнения (3) используется результат расчета температуры воды на выходе из второй части теплооб-менного аппарата, полученного по рис. 3 (Ь = Ь0к = 27,0 оС). Результаты расчетного анализа в виде расчетных зависимостей изменения температур теплоносителей вдоль поверхности теплообмена представлены на рис. 4.
Рис. 3. Зависимости температур теплоносителей и степени сухости пара от площади теплообмена для второй зоны теплообмена с фазовым переходом
Рис. 4. Зависимости температур теплоносителей от площади теплообмена для первой зоны теплообмена без фазового перехода
Анализ полученной графической зависимости показывает, что охлаждение водяных паров до параметров насыщения дости-
гается при поверхности нагрева F1 = 278 м2. Таким образом, площадь рассматриваемого теплообменного аппарата для принятых параметров теплоносителей составляет 278 + 2150 = 2428 м2.
Выполненный расчетный анализ утилизационной установки дымовых газов показал, что предложенная методика решения обратной задачи теплопередачи в контактных аппаратах позволяет определить изменение температуры теплоносителей и процент сконденсированных водяных паров в каждой точке теплообменника, что обеспечивает выбор наиболее эффективных конструкции и режимов работы тепло-обменной установки.
Выводы. Разработанный матричный метод решения обратной задачи теплопередачи для многоступенчатых теплооб-менных аппаратов со скользящей границей фазовых переходов теплоносителей служит основой для создания более эффективных методов организации процессов теплопередачи в технологических установках различного назначения с произвольным числом теплоносителей с учетом фазового перехода.
Список литературы
1. Майков В.П. Введение в системный анализ. — М.: МГУИЭ, 2005. — 100 с.
2. Цой П.В. Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса. — М.: МЭИ, 2005. — 568 с.
3. Исаченко В.П., Осипова В.А., Суко-мел А.С. Теплопередача: учебник для вузов. — М.: Энергоатомиздат, 1981. — 416 с.
4. Матричный метод решения обратной задачи теплопередачи в теплообменных аппаратах / В.П. Жуков, А.Е. Барочкин, М.С. Боброва и др. // Вестник ИГЭУ. — 2021. — Вып. 2. — С. 62—69. РСН: 10.17588/2072-2672.2021.2.062-069.
5. Седлов А.С., Солодов А.П., Бухо-нов Д.Ю. Получение конденсата из уходящих дымовых газов на экспериментальной установке ОАО ГРЭС-24 // Энергосбережение и водо-подготовка. — 2006. — № 5(43). — С. 76—77.
6. Беспалов В.В., Беспалов В.И. Технология осушения дымовых газов ТЭС с использованием теплоты конденсации водяных паров // Известия Томского политехнического университета. — 2010. — Т. 316, № 4. — С. 56—59.
7. Аронов И.З. Контактный нагрев воды продуктами сгорания природного газа. — Л.: Недра, 1990. — 280 с.
8. Установка утилизации тепла дымовых газов / Н.Ф. Свиридов, Р.Н. Свиридов,
И.Н. Ивуков, Б.Л. Терк // Новости теплоснабжения. - 2002. - № 8. - С. 29-31.
9. Галустов В.С. Утилизация теплоты дымовых газов // Энергия и менеджмент. -2004. - № 6. - С. 44.
10. Андреев Е.И. Расчет тепло- и массо-обмена в контактных аппаратах. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 172 с.
11. Разработка математической модели многопоточных теплообменных аппаратов с учетом фазового перехода в теплоносителях / К.А. Касаткин, А.Е. Барочкин, В.П. Жуков, Г.Г. Орлов // Вестник ИГЭУ. - 2018. - Вып. 5. -С.61-67.
12. Матричный метод расчета сложных тепломассообменных систем с многокомпонентными теплоносителями / А.Е. Барочкин,
B.П. Жуков, М.С. Шумилова и др. // Вестник ИГЭУ. - 2020. - Вып. 1. - С. 59-68.
13. Жуков В.П., Барочкин Е.В. Системный анализ энергетических тепломассообменных установок. - Иваново, 2009. - 176 с.
14. Жуков В.П., Барочкин А^., Беляков А.Н. Исследование процесса теплопередачи в многопоточных теплообменных аппаратах // Известия высших учебных заведений. Сер. Химия и химическая технология. - 2011. -Т. 54, № 11. - С. 116-119.
15. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М.: Дрофа, 2004. - 207 с.
16. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). -М.: Высш. шк., 1973. - 500 с.
17. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 488 с.
18. Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: Вильямс, 2005. - 901 с.
19. Барочкин А.Е., Жуков В.П., Касаткин К.А. Матричная формализация расчета и анализ многопоточных многоступенчатых тепло-обменных аппаратов со сложной конфигурацией потоков // Вестник ИГЭУ. - 2019. - Вып. 1. -
C. 70-76. DOI: 10.17588/2072-2672.2019.1.070-076.
20. Тепловой расчет котлов (Нормативный метод). - СПб.: ЦКТИ, 1998. - 258 с.
References
1. Maykov, V.P. Vvedenie v sistemnyy ana-liz [Introduction to system analysis]. Moscow: MGUIE, 2005. 100 p.
2. Tsoy, P.V. Sistemnye metody rascheta kraevykh zadach teplomassoperenosa [System methods for calculating boundary value problems of heat and mass transfer]. Moscow: MEI, 2005. 568 p.
3. Isachenko, V.P., Osipova, V.A., Suko-mel, A.S. Teploperedacha [Heat transfer]. Moscow: Energoatomizdat, 1981. 416 p.
4. Barochkin, A.E., Zhukov, V.P., Bobro-va, M.S., Belyakov, A.N., Shuvalov, S.I. Matrich-nyy metod resheniya obratnoy zadachi teplop-eredachi v teploobmennykh apparatakh [Matrix method to solve the inverse problem of heat transfer in heat exchangers]. Vestnik IGEU, 2021, issue 2, pp. 62-69. DOI: 10.17588/2072-2672.2021.2.062-069.
5. Sedlov, A.S., Solodov, A.P., Bukho-nov, D.Yu. Energosberezhenie i vodopodgotovka, 2006, no. 5(43), pp. 76-77.
6. Bespalov, V.V., Bespalov, V.I. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta, 2010, vol. 316, no. 4, pp. 56-59.
7. Aronov, I.Z. Kontaktnyy nagrev vody produktami sgoraniya prirodnogo gaza [Contact heating of water by natural gas combustion products]. Leningrad: Nedra, 1990. 280 p.
8. Sviridov, N.F., Sviridov, R.N., Ivukov, I.N., Terk, B.L. Novosti teplosnabzheniya, 2002, no. 8, pp. 29-31.
9. Galustov, V.S. Energiya i menedzhment, 2004, no. 6, p. 44.
10. Andreev, E.I. Raschet teplo- i mas-soobmena v kontaktnykh apparatakh [Calculation of heat and mass transfer in contact devices]. Moscow: Energoatomizdat, 1985. 172 p.
11.Kasatkin, K.A., Barochkin, A.E., Zhukov, V.P., Orlov, G.G. Razrabotka matematich-eskoy modeli mnogopotochnykh teploobmennykh apparatov s uchetom fazovogo perekhoda v tep-lonositelyakh [Development of a mathematical model of multi-current heat exchangers taking into account phase transition in heat carriers]. Vestnik IGEU, 2018, issue 5, pp. 61-67.
12. Barochkin, A.E., Zhukov, V.P., Shu-milova, M.S., Barochkin, E.V., Belyakov, A.N. Matrichnyy metod rascheta slozhnykh tep-lomassoobmennykh sistem s mnogokomponent-nymi teplonositelyami [The matrix method for calculating complex heat and mass transfer systems
with multicomponent coolants]. Vestnik IGEU, 2020, issue 1, pp. 59-68.
13. Zhukov, V.P., Barochkin, E.V. Sistemnyy analiz energeticheskikh teplomassoobmennykh ustanovok [System analysis of energy heat and mass exchange plants]. Ivanovo, 2009. 176 p.
14. Zhukov, V.P., Barochkin, A.E., Belya-kov, A.N. Issledovanie protsessa teploperedachi v mnogopotochnykh teploobmennykh apparatakh [Study of heat transfer process in multi-stream heat exchangers]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Seriya Khimiya i khimicheskaya tekhnologiya, 2011, vol. 54, no. 11, pp. 116-119.
15. Venttsel', E.S. Issledovanie operatsiy: zadachi, printsipy, metodologiya [Operation Research: Objectives, Principles, Methodology]. Moscow: Drofa, 2004. 207 p.
16. Korn, G., Korn, T. Spravochnik po ma-tematike (dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov) [Handbook of Mathematics (for Scientists and Engineers)]. Moscow: Vysshaya shkola, 1973. 500 p.
17. Moiseev, N.N. Matematicheskie zadachi sistemnogo analiza [Mathematical problems of system analysis]. Moscow: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury, 1981. 488 p.
18. Takha, Kh. Vvedenie v issledovanie operatsiy [Introduction to Operation Research]. Moscow: Vil'yams, 2005. 901 p.
19. Barochkin, A.E., Zhukov, V.P., Kasat-kin, K.A. Matrichnaya formalizatsiya rascheta i an-aliz mnogopotochnykh mnogostupenchatykh teploobmennykh apparatov so slozhnoy konfigu-ratsiey potokov [Matrix formalization of calculation and analysis of multi-threaded multi-stage heat exchangers with a complex flow configuration]. Vestnik IGEU, 2019, issue 1, pp. 70-76. DOI: 10.17588/2072-2672.2019.1.070-076.
20. Teplovoy raschet kotlov (Normativnyy metod) [Thermal calculation of boilers (Normative method)]. Saint-Petersburg: TsKTI, 1998. 258 p.
