CC BY
31
Тогда, учитывая зависимости (1) и (5), получим
¥ г
^ (р) = |е -Р ^ (Щ№ = Е % Фг (р)> (5)
0 7=°
где г(р) - изображение по Лаплассу элемента матрицы регулируемой величины г(().
Используя систему дифференциальных уравнений в области интегрального преобразования Лапласса (2) и правило Крамера, определим матрицу искомой регулируемой величины многомерной системы в комплексной области
- I I ^аУа
2 ], ,
где Уа- изображение по Лаплассу управляющего воздействия.
Элементы матрицы моментов регулируемой величины т определяются по элементам матрицы
т9г = ^ (р) р=о,1,2,..., , т = \mij.m2j--mx /-.-У = 12>->п. (6)
Подставив (6) в (5), для каждого элемента матрицы и получим матрицу с ортогональной системной характеристикой Сг, по которой, использовав равенство (3), окончательно получим матрицу искомой регулируемой величины.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Реш Е.А. Применение функции Хаара для исследования динамических систем // Сб. науч. тр. научноисследовательского института приборостроения. Самара: СГАУ, 1999. Вып. 5. 13-15 с.
2. ДиткинВ.А., Прудников А.П. Операционные исчисления: М.: Высш. школа, 1966.
УДК 519.7 О.И.Гревцев
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ПРИ НЕЧЕТНОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Рассматривается метод классификации объектов, характеризующихся нечетко заданными признаками. Введение понятий нечетных множеств снимает проблему качественных описаний признаков объектов и эталонов представленных классов. Решение задачи классификации объектов сводится к нахождению наибольшего значения степени принадлежности объекта определенному классу.
В теории распознавания [1,2] отнесение объекта к определенному классу производится на основании оценок результатов сравнения количественных значений признаков, описывающих объекты и эталоны соответствующих классов. В случае качественного описания признаков проведение подобного сравнения представляет проблему по причине отсутствия количественных оценок признаков и может привести к неверным результатам. Предложенный в работе подход позволяет решить задачу классификации объектов при субъективном качественном оценивании признаков.
Пусть дано универсальное множество X объектов {х}. Каждый объект ху ¡/=1, т описывается набором признаков { }, 1=1, п. Этот набор признаков один и тот же для всех объектов,
рассматриваемых в данной задаче.
В соответствии с накладываемыми ограничениями на объект х в множестве X определено подмножество допустимых решений Б с X. Множество Б разбито на конечное число подмножеств классов Lq, Б= и Lq, д=1, к.
Каждый класс Lq априорно представлен своим эталоном l q, который характеризуется тем же набором признаков { Wy }, что и объекты. Признаки определены качественной оценкой эксперта, в силу чего они не имеют четких количественных значений и рассматриваются как нечеткие множества. Тогда качественные оценки объектов и эталонов относительно признаков можно выразить как степень принадлежности этих элементов нечетким множествам признаков в виде значений функций Jw,](X) - для объектов X] и Jw,q(lq) - для эталона lq .Нечеткое представление признаков расширяет описание классов, исключая границы класса и вводя понятия нечетного множества [3]. Объект может принадлежать разным классам, но с различной степенью принадлежности каждому классу, определяемой функцией /Hiq (X]) є [0,1]. Задача классификации объектов сводится к определению значения функции принадлежности объекта x к каждому классу Lq, q= 1, к. Наибольшее из значений функции принадлежности объекта x классу /Lliq (x) определяет класс этого объекта. Одной из характеристик объекта и эталона является главный вектор признаков [4]. Каждый из объектов в множестве признаков может
быть представлен в виде главного вектора признаков [4]: Ww (X] )=( JLlcoi j( xj),...,fwn]( x,)), "] = 1, m, а каждый из эталонов lq є Lq представлен в виде главного вектора признаков эталона: Waiq(lq) = (Jcoiq(lq),...,Ja)m,(lq)), "q = 1, к.
Но не все признаки одинаково важны в каждом эталоне. Важность признака эталона зависит от цели классификации. Второй характеристикой эталонов будет являться вектор приоритетов признаков относительно цели классификации: PRWLq = (PR (W1q),..., PR(Wnq)).
В силу нечеткости описания признаков w,q эталонов l q приоритеты признаков будут выражать меру важности признака w, в q классе и определяться как степени принадлежности признака w, нечеткому множеству соответствующего класса Lq.
При определении степени принадлежности объекта классу Lq происходит отображение нечетких множеств признаков объекта в соответствующий класс Lq. Приоритеты признаков объекта принимаются равными соответствующим приоритетам признаков данного класса. Обобщенную оценку принадлежности объекта классу Lq можно представить как сумму произведений степеней принадлежностей объектов нечетким множествам признаков w, в классе Lq и приоритетов соответствующих признаков данного класса:
П
/Lq( X]) = ^ Jw,( X] ) flLq ( Wi), (1)
1=1
"] = 1, m, q=1, к; fw, (X]) - значение функции принадлежности объекта X] нечетному множеству признака W,; jLhq( w,) - приоритет i признака в q классе.
Для получения формализованных оценок приоритетов признаков эталонов и значений степеней принадлежностей объектов нечетким множествам признаков используется матричный способ относительных попарных сравнений важностей этих элементов[5]. Экспертные оценки относительной важности элементов определяются с помощью шкалы сравнения [5,6], определяющей степень превосходства одного элемента по сравнению с другими.
В результате оценок сравнения важностей признаков эталонов класса Lq получим матрицу A размера nx n , элементы которой определяют относительные важности признаков данного
класса О] = Jl (W^J;l (w ), при этом обеспечивается непротиворечивость суждений эксперта в виде О], = уп .
/ іЛу
Главный собственный вектор матрицы А вычисляется в результате решения матричного уравнения [5]
А• Wa = l max- Wa , (2)
где l max-наибольшее собственное значение матрицы А; Wa - собственный вектор матрицы А.
После нормирования собственного вектора матрицы А получим компоненты вектора эталона lq :PRWLq ={ jUiq(Wi)}, "q = 1,к,i = 1,n, определяемые по формуле [7]:
Jl
Для n признаков и k классов получим матрицу С= q (w.))n х к , определяющую приоритеты признаков эталонов каждого класса. Определение компонент главного вектора признаков объектов производится аналогично, матричным способом относительных парных сравнений [5] путем попарных сравнений значений функций принадлежностей объектов и эталонов, а также объектов между собой и эталонов, относительно нечеткого множества каждого признака.
При m объектах и k эталонов будем иметь для каждого i признака матрицу B^ размера
1 \ / 1 \ (i) L-twiq (1q) (i) Ltwiq(iq')
(m+ к) х (m + к), элементами которой будут ь . = -----------------, а также ь = ---------------- и
q JUwy (xj) qp jUwip(ip)
(i) Lm'(x;) ■ т—
h = ---------, i =1, n.
r JLtwij( Xj)
В результате решения матричного уравнения
B Wb = l max Wb (4)
и нормирования собственного вектора Wb матрицы В находятся компоненты главного вектора признаков объектов Ww,j (Xj )={ Jwi(X;)}, выражающие значения функций принадлежности объектов множеству каждого признака. Для m объектов и n признаков получим матрицу E=(Lwi(Xj))m х n.
В результате умножения матрицы Е=( JLlw(Xj))m х n на матрицу С=( JLlLq(Wi))n х к получим матрицу
n
F=( ^ Jw (Xj) • JUbq(Wi))m х к, (5)
i=1
"q = 1, к, j = 1, m, каждый элемент которой определяет степень принадлежности объекта X; классу Lq.
Наибольшее значение функции принадлежности jLhq(Xj) из всех k классов каждого объекта определит принадлежность объекта соответствующему классу.
Задачу ранжирования объектов, характеризующихся одним и тем же набором признаков, можно рассматривать как частный случай задачи классификации объектов при отсутствии эталона класса.
В этом случае класс объектов совпадает с областью допустимых решений (объектов)
L=D с X. В зависимости от значений степеней принадлежности объекта x каждому нечетному
множеству признака и приоритета этого признака относительно поставленной цели ранжирования определяется обобщенная оценка важности объекта x в данной области D в виде
n
Jd( xj) = ^ Jwi (xj) • Jd( Wi), (6)
i=1
где приоритет признака JD(wi) и степень принадлежности объекта Xj нечетному множеству признака JLlw(xj) определяются соответственно по формуле (3) [7].
Наибольшая из обобщенных оценок степени принадлежности объекта Xj области D определит оптимальное решение задачи ранжирования [8].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ГореликА.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.:Высш. школа, 1989. 232с.
2. ТуДж, ГансалесР. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978. 416 с.
3. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 168 с.
4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254 с.
5. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993. 224 с.
6. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. Обработка нечетной информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. 303 с.
7. Гревцев О.И. Нахождение оптимального решения многокритериальных задач // Вестн. Сам ГТУ. Сер. «Физ.-мат. науки». Вып. 6. Самара: СамГТУ, 1998. С. 135-136.
8. Гревцев О.И. Выбор оптимальных решений многокритериальных задач // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. девятой межвуз. конф. Самара: СамГТУ, 1999. С.31-33.
УДК 62-50
А.И. Данилушкин, О.О. Осипов, И.В. Фрыгин
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА НЕПРЕРЫВНОГО ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ЗАГОТОВОК ПОДШИПНИКОВЫХ КОЛЕЦ
Предложена аналитическая модель процесса непрерывного индукционного нагрева кольцевых заготовок, учитывающая тепловые потери с внутренней поверхности и ориентированная на решение задач оптимального проектирования и управления.
Индукционные нагревательные установки непрерывного действия являются необходимой составной частью крупных технологических комплексов по обработке металлов давлением, например, при прессовании, штамповке, раскатке, калибровке и т.д.
В индукторе непрерывного действия располагается одновременно несколько заготовок одной партии, которые нагреваются в процессе их равномерного перемещения от входа к выходу. Темп выдачи заготовок задается деформирующим оборудованием.
Процесс непрерывного индукционного нагрева колец описывается нестационарным уравнением теплопроводности в цилиндрической системе координат [1]
(1)
Уравнение (1) дополняется начальными
(2)
и граничными условиями второго рода
(3)
(4)
Здесь относительные значения
соответственно для температур-
(5)
ного поля
полого цилиндра, потоков тепла Q1 (R,t,x), Q2(R1,x,t) с внешней и внут-
ренней поверхностей цилиндра соответственно, а также относительные значения точников х(г, х, t) внутреннего тепловыделения вводятся согласно соотношениям [2]
