Матричный анализ достижимости маркировок неориентированных двудольных мультиграфов (Т-сетей) Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.95

МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ДОСТИЖИМОСТИ МАРКИРОВОК

НЕОРИЕНТИРОВАННЫХ ДВУДОЛЬНЫХ МУЛЬТИГРАФОВ (Т-СЕТЕЙ)

В. А. Клочков, Д. В. Фатхи

Донской государственный технический

университет, Ростов-на-Дону, Российская

Федерация

vityaka49@mail.ru

fatkhi@mail.ru

Матричный анализ неориентированных двудольных мультиграфов (Т-сети) основан на использовании матриц изменений при срабатывании перехода слева и справа. Метод анализа позволяет определить достижимые маркировки Т-сети, в которой переходы могут срабатывать в различных направлениях.

Ключевые слова: Т-сети, сети Петри, матрицы, маркировка, переходы, векторы.

UDC 519.95

MATRIX ANALYSIS OF MARKINGS REACHABILITY OF AN UNDIRECTED BIPARTITE MULTIGRAPH (T-NETWORKS)

V. A. Klochkov, D. V. Fathi

Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation

vityaka49@mail.ru fatkhi@mail.ru

The article considers the matrix analysis of undirected bipartite multigraph (T-network) which is based on the use of transition matrices when the transition fires from left to right. This method of analysis allows determining the reachable markings of T-nets in which transitions can fire in various directions.

Keywords: T-network, Petri net, matrix, marking, transitions, vector.

Введение. Для представления параллельных процессов и их исследования широко применяются сети Петри — ориентированные двудольные мультиграфы [1]. В них, методами анализа на основе деревьев достижимости и матричных преобразований, могут выявляться различные критические состояния процессов — зацикливания, тупики и др. Однако, сетями Петри сложно моделировать, так называемые, реверсивные процессы, когда, согласно терминологии сетей Петри, по постусловиям моделируемого процесса получают предусловия. С целью расширения моделирующих возможностей сетевых средств и представления реверсивных процессов, предложены Т-сети — неориентированные двудольные мультиграфы [2].

Применение Т-сетей для моделирования требует проведения анализа достижимости маркировок сети при реверсивных процессах. Для анализа возможно применение метода, основанного на дереве достижимости, по аналогии с сетями Петри. В дереве достижимости для Т-сетей последовательность достижимых маркироок определяется как в прямом направлении, начиная с начальной маркировки, так и в обратном — в направлении к начальной маркировке.

Матричный же анализ, используемый при формализованном анализе сетей Петри, не применим к Т-сетям, в связи с этим, в работе предлагается метод матричного анализа Т-сетей. Основные определения Т-сетей. Формально, сеть-Т есть четвёрка

Ст =(Р, Т, Рь, РЕ),

где Р, Т — конечные множества соответственно, позиций и переходов; Рь, Рк — функции, ставящие в соответствие переходам слева и справа некоторые числа позиций.

Для маркировки Т-сетей используются отображение Ц: Р ^ N^ {0}, где N — множество целых чисел, больше 0.

Для Т-сетей разрешается запуск перехода Ц , если для всех Р1 е Р выполняются условия РЕщ) (*))) — кратность позиции р; относительно перехода Ц слева (справа). Запуск перехода и последующий справа (слева) от перехода по одной метке для каждого ребра.

Переход Ц в Т-сети с маркировкой ц может быть запущен каждый раз, когда он разрешен. В результате запуска разрешенного перехода Ц образуется новая маркировка ц', определяемая соотношением:

ц'( р;) = ц( р;) - #(Р;Ет ) + #(р„Рад ()). Разработка метода матричного анализа Т-сетей. Т-сети вида (Р, Т, Рь, Рк) в

альтернативном виде можно представить в виде (Р, Т, ДЬ(К)-, ДЬ(К)+), где Дцк)- и Дцк)+ представляют входную и выходную функции в матричном виде.

Определим входы в переходы структуры Т-сети слева (справа) как,

Дь(К)- [у] = #(Рь РЬ(К) и выходы из переходов структуры Т-сети слева и (справа) как,

Дь(К)+ [1,)] = Рь(К) ()). Указанные матрицы содержат т строк, соответствующих переходам и п столбцов, соответствующих позициям.

Переход • Ц)(Ц •) с пометкой левой (правой) стороны при маркировке ц разрешён, если ц > е [ЦДт . Здесь е [/] — вектор-строка, содержащая единицу ву'-й компоненте. Результат запуска перехода • Ц при маркировке ц записывается в виде:

5(ц, • ) = ц - е []] Дц- + е []] Дц+ = ц + е [/]• Дь , где Дь = Дь+ - Дь - матрица изменений, а результат запуска для )

5(ц, !)•) = ц - е [ДДК- + е [/]• Д/ = ц + е [/]Дк , где Дк = Дк+ - Дк~ — матрица изменений.

Тогда, если последовательность запусков перехода о = ) г)2... ) с Ц слева или справа 5(ц,о) = о + е [/!]• Дь(К) + е [/2]Дь(К) +• • • + е [/к] Дця)= ц +1(оУДцяу

Здесь/(о) — вектор запусков /(о) = е [/1] + е [/2]+ - + е [/к] последовательности Ц2 ... слева или справа. Каждый элемент вектора запусков — есть число запусков каждого перехода в последовательности.

Матричный анализ Т-сетей является инструментом для решения проблемы достижимости. Маркировка ц' достижима из маркировки ц если существует последовательность запусков о переходов, которая приводит из ц в ц'.

Пример применения матричного метода анализа Т-сети. На рисунке 1 представлена Т-сеть для демонстрации проведения анализа.

Рис. 1 . Т-сеть

Представим матрицы В и В :

Б =

10 0 0 0 2 10 0 0 10

Б+ =

0 110 0 0 0 1 0 0 0 1

Составная матрица изменений В = - В имеет вид

-11 10"

0 - 2 -11 0 0 -1 1

Б =

ь

Матрицы и В :

Б + =

к

10 0 0 0 2 10 0 0 10

ь

L4QQ/J

Составная матрица изменений DR = DR+ - DR имеет вид:

1 -1 -1 0 " 0 2 1 -1 0 0 1 -1

Dr =

При начальной маркировке ц0=(1,0,1,0) переход '¿3 разрешен и приводит к маркировке ц'

= (1,0,1,0) + (0,0,1L)

-1110 0 - 2 -11 0 0 -1 1

= (1,0,1,0) + (0,0,-1,1) = (1,0,0,1)

Это получено по формуле:

ц' = ц + I (о)Д

Здесь /(о) — вектор запусков переходов. В примере /(о) = (0,0,1/,) — переход ¿3 запускается один раз слева. Дь — составная матрица изменений, полученная из матриц входов в переходы слева и выходов из переходов слева (Дь+ и ).

Рассмотрим последовательность срабатывания переходов о = »¿3 ¿2* •¿3 ¿2* ¿1*, что представляется вектором запусков /(о) = (1Я, 2Я, 2Ь).

ц' = (1,0,1,0) + (1r, 2R, 2l) •

"1 -1 -1 0 "

0 2 1 -1

0 0 0 -1 R

"-1 1 1 0"

0 -2 -1 1

0 0 -1 1 L ,

= (1,0,1,0) +

(1 -1 -1 0 ^ 0 4 2 - 2

v0 0 - 2 2 у

= (1,0,1,0) + (1,3,-1,0) = (2,3,0,0). Полученный вектор описывает результирующую маркировку Т-сети.

IВЯ \

Матрицы в фигурных скобках являются матрицами изменений 1 ^ г. При умножении

значений вектора запусков переходов с индексом Я сомножитель берется из соответствующей строки матрицы расположенной над чертой, а при умножении значения вектора запусков переходов с индексов Ь сомножитель берется с соответствующей строки матрицы Дь, расположенной под чертой.

Заключение. Предложенный матричный метод анализа Т-сети учитывает левую и правую пометки переходов, отраженных в матрицах изменений Дь и и представленных сдвоенной матрицей, учитывающей и

Библиографический список.

1. Питерсон, Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем / Дж. Питерсон — Москва : Мир, 1984. — 264с.

2. Фатхи, Д. В Неориентированные двудольные мультиграфы как инструмент, расширяющий моделирующие возможности сетей Петри / ., Д. В. Фатхи, В. А. Фатхи // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2015. — №4. — С. 3-8.

3. Котов, В. Е. Сети Петри / В. Е. Котов. — Москва : Наука, 1984. —160 с.

4. Есикова, Т. Н. Алгоритм построения множества достижимых маркирований для анализа свойств сетей Петри / Т. Н. Есикова // Вычислительные системы : сб. науч. тр. — Новосибирск, 1983. — № 97. — С. 53-68.

5. Мурата, Т. Сети Петри : свойства, анализ, приложения / Т. Мурата // Труды ТИИЭР. — 1989. — Т.77, № 4. — С. 41-85.