CC BY
9
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА /
удк 519.614 Научные статьи
doi:10.31799/1684-8853-2021-5-2-9 Articles
Матричные витражи и регулярные матрицы Адамара
А. А. Вострикова, канд. техн. наук, доцент, orcid.org/0000-0002-8513-3683, vostricov@mail.ru аСанкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Б. Морская ул., 67, Санкт-Петербург, 190000, РФ
Введение: кронекерово произведение матриц Адамара, когда одна матрица порядка n вставляется по месту каждого элемента другой матрицы порядка m, наследуя знак замещаемого элемента, рассматривается как основа получения этих ортогональных матриц порядка nm. Операция вставки, наследующая не только знаки, но и структурные элементы — орнаменты портретов матриц, рассматривается как операция создания витража — более общего результата. Витражи на базе типичных квазиортогональных матриц Мерсенна (М), Зейделя (S), Эйлера (Е) и других, помимо наследования знака и орнамента (узора), иначе наследуют значение отличных от единицы (по амплитуде) элементов, вызывая необходимость пересмотреть и систематизировать накопленный опыт. Цель: описать новые алгоритмы обобщенного произведения матриц, выделяя конструкции, ведущие к регулярным матрицам Адамара высоких порядков. Результаты: предложен алгоритм получения матричных витражей вставкой матриц Мерсенна в матрицы Зейделя, позволяющий расширить аддитивные цепочки матриц вида M-E-M-E-... и S-E-M-E-..., получаемые удвоениями порядков и добавлением каймы. Операция формирования матричного витража позволяет получать матрицы высоких порядков с сохранением такого важного инварианта структуры, как орнамент. Показано, что формирование матричного витража наследует логику произведения Скарпи, но не сводится к ней, поскольку ненулевое расстояние между сомножителями M и S по порядку упрощает итоговый орнамент регулярной матрицы отсутствием циклических смещений. Чередование матриц M и S позволяет продолжить мультипликативные цепочки до известных пробелов в матрицах S. Это по-новому освещает теорию регулярных матриц Адамара как результатов произведения матриц Мерсенна и Зейделя. Практическая значимость: ортогональные последовательности с плавающими уровнями и алгоритмы эффективного нахождения регулярных матриц Адамара, выделенных рядом полезных свойств, имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.
Ключевые слова — ортогональные матрицы, регулярные матрицы, матрицы Адамара, матрицы Мерсенна, матрицы Зейделя, кронекерово произведение, алгоритм Скарпи, вставки матриц, матричные витражи.
Для цитирования: Востриков А. А. Матричные витражи и регулярные матрицы Адамара. Информационно-управляющие системы, 2021, № 5, с. 2-9. doi:10.31799/1684-8853-2021-5-2-9
For citation: Vostrikov A. A. Matrix vitrages and regular Hadamard matrices. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2021, no. 5, pp. 2-9 (In Russian). doi:10.31799/1684-8853-2021-5-2-9
Введение
Квазиортогональные (ортогональные) матрицы широко используются в таких практических применениях, как обработка сигналов, сжатие, маскирование и помехоустойчивое кодирование изображений [1-4], криптография [5] и т. д. Это широко известные матрицы Адамара [6], матрицы Мерсенна [7] и др. Для поиска таких матриц известно большое количество методов и алгоритмов, отличающихся своей эффективностью при поиске матриц высоких порядков, или структурированных матриц, или матриц с целочисленными и вещественными элементами и пр. Наибольший интерес сегодня для задач обработки изображений представляет поиск квазиортогональных структурированных матриц высоких порядков [8-11], вычисления с которыми и их хранение наиболее эффективны [12].
Сегодня оборудование, осуществляющее обработку и передачу визуальной информации реального времени, оперирует разрешениями в 2, 4 и 8 тысяч пикселей внутри каждого видеокад-
ра при скорости обновления от 30 до 120 и более кадров/с. Матрицы исследуемых порядков выступают в роли операторов преобразования с различными целями, и увеличение их порядка до сотен и тысяч существенно повлияет как на скорость обработки, так и на качество восстанавливаемого изображения для потребителя. Кроме этого, ввиду малого числа уровней (количества различных значений элементов таких матриц) в процессе вычислений ресурсоемкая процедура умножения заменяется значительно более быстрой и менее энергозатратной процедурой выборки из памяти. Совокупный эффект в результате нахождения и применения новых ортогональных матриц высоких порядков способен оказать существенное влияние на эффективность перспективных систем цифровой обработки сигналов и их двумерного представления — цифровых видеоизображений.
В настоящей работе предлагаются новые алгоритмы поиска матриц на основе обобщенного произведения матриц с выделением конструкций, ведущих к регулярным матрицам Адамара высоких порядков.
Необходимые термины и определения
Определение 1. Квазиортогональная матрица A порядка п — это квадратная матрица, удовлетворяющая уравнению ATA = юПД, где ю(п) — некоторая весовая функция, определяющая тип матрицы, а I — единичная матрица.
Можно использовать (с оговоркой) термин «взвешенная матрица», но это слово уже занято целочисленными ее представителями с элементами {0, 1, -1} и линейной функцией веса ю(п) = = п - k, где k — целое число.
Случай k = 0 соответствует матрицам Адамара [6] с ее ненулевыми элементами; k = 1 соответствует матрицам Белевича (конференц-матри-цам) [13]. Случай k > 1 относят к взвешенным матрицам W(n, п - к), рассматриваемым как обобщение матриц Адамара в работах [7, 14]. Для иррациональных значений k подходит обозначение W(n, ю(п)).
Иными словами, квазиортогональная матрица — это взвешенная W(n, ю(п)) матрица с вещественными элементами {а = 1, -Ь} в ней или образующих ее блоках. Инверсия знака при блоках не меняет состав базисных элементов. Третий элемент обычно выделен (как и у матриц Белевича) позиционированием на диагонали ^, a = 1, -Ь} ^ < Ь < 1) или кайме {а = 1, -Ь, в} (Ь < в < 1) матрицы.
Чтобы не путать W(n, п - к) с W(n, ю(п)), профессор Дж. Себерри предложила называть последние критскими матрицами, подчеркивая не-целочисленность значений их элементов.
Как известно, кронекерово умножение С = A®B двух матриц А и В с элементами {1, -1} реализуется вставкой матрицы B по месту элементов матрицы A с наследованием знака замещаемого элемента в виде
(апБ а^Б — а1пВ ^
ч ап1Б ап2Б — аППБу
Результатом умножения, например, двух матриц Адамара порядков пит будет матрица Адамара порядка пт. Именно произведение Кронекера использовалось для увеличения порядка ортогональных матриц первооснователями направления исследований Сильвестром и Адамаром.
Определение 2. Портрет квазиортогональной матрицы — визуальное изображение, на котором ее элементы представлены в виде клеток разных цветов, соответствующих значениям элементов.
На портрете матрицы совокупность разных по цвету клеток создает орнамент [15]. Для рассма-
триваемых в работе матриц возможны не более трех цветов клеток, соответствующих наборам значений элементов {1, -1}, {1, 0, -1}, {d, 1, -b} или {1, -b, в}.
Первооткрывателя направления Сильвестра привлекала именно орнаментальная составляющая портрета матрицы: при обращении матрицы орнамент ее сохраняется с точностью до транспонирования. Адамар, в свою очередь, расширил количество матриц, используемых в произведениях (вставках), предложенных Сильвестром.
Определение 3. Витраж — это более общий результат кронекерова произведения двух матриц с косвенным наследованием числовых и структурных (орнамент матричного портрета) элементов.
У. Скарпи [16] предложил свой алгоритм реализации вставки спустя четыре года после опубликования Адамаром статьи [6], в которой тот сумел найти всего лишь пару новых матриц порядков 12 и 20, дополняющих порядки Сильвестра n = 2t, где t — целое число.
Матрица Адамара после нормирования выведением в единицу элементов ее первых строки и столбца, называемых каймой, приобретает так называемую основу (core) отделением этой каймы. Порядки 2t - 1 представляют собой числа Мерсенна, причем полученную матрицу снова можно ортогонализовать введением плавающего уровня (изменением значения -1 на -b, где \b \ < 1). Детерминант таких матриц выше, если число положительных элементов 1 выше числа отрицательных элементов -b на единицу. Поэтому они инвертированы по знаку к основе (core), где это соотношение выдерживается с точностью до наоборот.
Получаемые в процессе этого преобразования ортогональные матрицы были названы матрицами Мерсенна [7]. Обнаружение существования таких матриц на порядках 11 и 19 позволило высказать предположение, что, как и матрицы Адамара, матрицы Мерсенна могут быть расширены на все порядки n - 1, где n = 4t (гипотеза Н. А. Балонина). В этом виде гипотеза представляет собой альтернативную формулировку гипотезы Адамара о существовании всех выделенных им матриц на порядках, кратных 4 [17]. Но, поскольку матрицы Мерсенна — это, в том числе, и матрицы с иррациональными элементами (с учетом уровня -b), теория матриц с плавающим уровнем или уровнями открывает новые перспективы для доказательства упомянутых гипотез.
Произведение самим У. Скарпи было сформулировано громоздко, еще до введения понятия нормальной формы матрицы Адамара и ее основы, поэтому приведем его в нашей редакции. Формулировка даже значительно более простая по алгоритму вычисления произведения, чем предложенная Д. Джоковичем [18].
■ Рис. 1. Портрет матрицы Мерсенна M7 и витраж — портрет матрицы Адамара H56
■ Fig. 1. Portrait of the Mersenne matrix M7 and stained glass — portrait of the Hadamard matrix H56
Опираясь на определение матриц Мерсенна, произведение Скарпи можно переписать как обобщенное матричное произведение матриц M, где роль множителя произведения Кронекера играет кайма, которая расширяет размер вставляемой основы до размера матрицы Адамара. Такие произведения не характерны для алгоритмов Сильвестра и Адамара, поэтому Скарпи сумел получить ряд новых матриц порядка п(п - 1), где (п - 1) — порядки матриц Мерсенна.
Поскольку итоговый порядок кратен четырем, значение плавающего уровня -Ь в результирующей матрице снова становится равным -1. В результате получаем [19]
( ' -1 T A m-ne ' -1 T A m12e
ч m11e M J ч m12e M
' -1 T A m21e ' -1 t A m22e
M ® M = v m21e M J V m22e TM j
-1 т(п-1)1е m(n-1)1e M
Л (
-1
m(n-1)2e
""(л-1)2{
Tn-2M
_T A
(
-1
m(n-1)(n-1)
-1 t A m1(n-1)e A
m1(n-1)e M J
-1 TA m2(n-1)e
m2(n-1)e Tn-2M J
T A
m(n-1)(n-1)e
e T(n-2)(n-2)M
//
где e — вектор единичных элементов каймы; T — матрица циклического смещения всех элементов, каждый блок смещается на величину произведения ^ - 1)(/ - 1), индексы для смещений нумеруются с нуля. Символ сложного произведения не меняем.
В качестве иллюстрации на рис. 1 приведены портреты матрицы Мерсенна порядка 7 и результата матричного произведения Скарпи — витража, в котором вставляемая матрица циклически смещается на величину, определяемую произведением индексов ее положения. Знак наследуется не прямо, а в виде знака каймы.
Приведенная на рис. 1 матрица Мерсенна порядка 7 вставляется сама в себя, с добавлением каймы (первая точка ее всегда отрицательная). В итоге получаем матрицу порядка матрицы Адамара 7(7 + 1) = 56, которая таковой и является, если считать элементы равными 1 и -1. Из приведенного примера видно, что это произведение напоминает кронекерово и описывает достаточно просто, как вставку (витраж), обширный класс матриц, порождаемых матрицами Мерсенна.
Изобретение Скарпи предлагается расширить на произведения иных квазиортогональных матриц, например, порядков (п - 1) и (п + 1). В итоге становятся достижимы квадратичные порядки п2 - 1, характерные для основ регулярных матриц Адамара порядка п = п2 = 4и2, где и — целое число.
Определение 4. Матрицы Адамара являются регулярными, если имеют одинаковые значения сумм элементов строк и столбцов.
Предикторы цепочек критских матриц
Наиболее интересными критскими матрицами, в аспекте данной статьи, являются матрицы Мерсенна M и матрицы Одина, совпадающие орнаментом с матрицами Зейделя S с точностью до зна-
чений их плавающих уровней. Матрицы М и S (далее матрица Одина) являются двумя предикторами цепочек критских матриц вида M(или Я)-Е-М-Е-... [20].
Прежде всего, их можно использовать для получения простейших витражей сильвестро-ва типа, получаемых умножением предикторов и членов цепочки на матрицу Адамара второго порядка Н2, например Е = Н2®М, без коррекции элементов. Для произведения Н2®Я витраж корректируют, исправляя элементы диагоналей матрицы Одина для получения уровня матрицы Эйлера Е [19]. Здесь М — это матрица Мерсенна порядка п = 4г - 1 = 3(mod 4), критская матрица
г
с элементами {а = 1, -Ь}, Ь =
г + 7?
, k = (2г - 1) х
х (1 - Ь2), ю(п) = ((п + 1) + (п - 1)Ь2)/2, г > 0 — целое число. Рабочее предположение (гипотеза [17]) состоит в том, что эти матрицы существуют для любого выделенного для них порядка.
Для порядков значений простых целых чисел это циклические матрицы, для степеней целых чисел - блочные. Как видно из цепочки матриц Е и М, большинство из них можно найти через бициклические матрицы Эйлера Е. Будучи предиктором матриц Мерсенна, т. е. основой без специфической каймы, матрицы Эйлера тоже существуют на всех выделенных для них порядках п = 4г - 2 = 2(mod 4). Весовую функцию и элементы матрицы Эйлера Е несложно определить с помощью связи Е = = Н2®М, она сложена из двух циклических матриц Мерсенна. Аналогичен путь ее построения из циклических матриц Одина структуры Зейделя, с некоторыми поправками входящий в алгоритм [19, 21].
Матрица Я порядка п = 4г - 3 = 1(mod 4) — это критская матрица с элементами а = 1, -Ь},
Ь = 1 - 2d, d = —1¡=, k = 1 - d2 + 2(г - 1)(1 - Ь2),
1 + у! П
ю(п) = d2 + ((п - 1) + (п - 1)Ь2)/2, где г > 1 — целое число. Эти матрицы существуют для любого выделенного для них порядка, если их порядок — сумма двух квадратов. Первые проблемные для матриц Одина порядки: 21, 33, 57 и т. п. До первой сотни существуют, но неизвестны (не найдены) матрицы Одина составных простых порядков 65 и 85.
Оригинальность бицикла Е и его место в цепочках критских матриц состоит в том, что как связной элемент бесконечных цепочек итераций М(или Я)-Е-М-Е-... он существует независимо от форм, которые принимают первоначальные матрицы Мерсенна и Одина. По сути, на старте это вполне себе независимая матрица, которую мы можем предопределять через предикторы М или Я (служащих основой) только ради экономии сил и времени на ее отыскание.
Регулярные матрицы Адамара Н = [Я®М] или Н = [М®Я]
Каждая из описанных нами цепочек в пределе стремится к матрице Адамара, но на бесконечно большом порядке, так как пара {а = 1, -Ь} стремится к {а = 1, -1}. Иными словами, функция уровней Ь(п) элементов матриц Мерсенна — монотонная, стремящаяся к единице. Особенность критских цепочек состоит в том, что формула Скарпи более универсальная и позволяет умножать не только матрицы Мерсенна (сами на себя), но и пары близко расположенных матриц Н = [Я®М] или Н = [М®Я]. Используемые здесь квадратные скобки обозначают добавляемую к произведению (основе) кайму из единиц.
Формула не требует смещения, характерного для произведения Скарпи, диагональные элементы сомножителей замещены некоторыми компенсаторами, в остальном это обычное кро-некерово произведение. Тем самым бесполезные, на первый взгляд, уровневые матрицы Одина выделены тем, что в сочетании с матрицами Мерсенна дают регулярные матрицы Адамара. Напомним, что в форме Буша (помимо тривиальных случаев, связанных с цепочкою матриц Сильвестра) за всю историю поисков найдено всего три регулярные матрицы Адамара первых порядков 36, 100 и 324. Матрица порядка 196 не найдена.
Витраж как основа построения регулярных матриц Адамара
Структура витража, опирающаяся на кроне-керово произведение матриц, относится к простым структурам. Она порождает квазиортогональную матрицу с абсолютными значениями элементов, равными произведениям сомножителей. Эта версия произведения нам менее интересна, хотя она и имеет право на существование как источник ортогональных матриц. Основой регулярных матриц Адамара являются нормализованные произведения Н = [Я(1)®М(1)] или Н = [М(1)®Я(1)] двух смежных (отличающихся на 2) простых порядков.
Сложный витраж отличается от результата кронекерова произведения общей для всей матрицы каймой и матрицей компенсатором, размещенным вдоль оси симметрии (диагонали).
В качестве блоков на оси симметрии (диагональных блоков) используется матрица из единиц ^ если первый сомножитель больше по порядку второго. В противном случае — матрица J - 21, где I — единичная матрица (знак центральных элементов квадрата компенсируется), причем диагональ вставляемой матрицы варьи-
руется в зависимости от знака замещаемого блоком элемента.
В остальном это произведение не отличается от кронекерова, чем и привлекательно. Вставки поднимают абсолютные значения элементов произведения квазиортогональных матриц до единицы. Это компенсационный принцип как у алгоритма Скарпи с его окаймлением блоков. Если порядки матриц Мерсенна составные, то используется сомножитель М(2) порядка (2т + 1), построенный из матриц простых порядков т.
В любом таком случае мы можем указать положение компенсатора на диагонали: у матриц Белевича это нули; у произведения роль нуля играют матричные блоки без орнамента, приходящиеся на ось симметрии или антисимметрии. Компенсатор помогает дополнять не равные по числу положительных и отрицательных элементов в строках (столбцах) матрицы сосредоточениями однородных элементов, обеспечивающих необходимый нулевой баланс.
Для освоения этой техники приведем примеры. Отметим, что циклическая форма матриц Мерсенна существует и для порядков, равных произведениям близких пар целых чисел, отличающихся на 2. Например, для порядков 3 х 5 = 15, 5 х 7 = 35, 7 х 9 = 63 и т. п., но они не отличаются явно выраженной осью симметрии. Такие ущербные матрицы наделены общей для всех матриц Мерсенна способностью порождать матрицу Адамара добавлением к этой основе каймы из отрицательных элементов — вид обобщенного умножения на матрицу Адамара первого порядка.
Регулярные матрицы Адамара
Регулярные матрицы Адамара существуют на порядках 4и2 = (т + 1)(т - 1) + 1, где и — целое число, т. е. 4, 16, 36, 100, 144, 196, 324, 196, 324, 676, 900, 1444, 1764, 2116, 2500, 2916 и т. п. Для вычисления промежуточных матриц порядков 21 х 23 + 1 = 484 и 33 х 35 + 1 = 1156 нет соответствующих матриц Одина.
Рассмотрим первые три циклические матрицы для получения витражей. Это матрицы Мерсенна M3, Одина S5 и Мерсенна M7. Будем далее обозначать M = (М^), S = (8^) округленные до целых значений элементов матрицы с нулями на диагонали. В таком случае эти матрицы перестанут быть ортогональными, и их портреты совпадут с матрицами Q квадратичных вычетов с выделенными диагональными (осевыми) элементами, представленными на рис. 2.
Для четных порядков 4 (тривиальный), 16, 36, 100, 144, (не 196 = 13 х 15 + 1), 324, (не 676), 900, (не 1444), 1764, (не 2116), 2500, (не 2916) возможны простые сомножители.
Алгоритм поиска. Для произведения Н = = [М®8] вычисляем А = 8 - I, В = -8 - I, а для Н = [8®М], наоборот: А = М - I, В = -М - I. Эти матрицы замещают положительный и отрицательный элементы первого сомножителя, диагональные элементы на оси симметрии замещаются J - 2Г Итоговую матрицу наращиваем каймой.
Тривиальный случай — это порядок 1 х 3 + + 1 = 4, когда регулярная матрица Адамара получается расширением округленной матрицы Мерсенна М3 с помощью каймы из положительных элементов, кроме первого отрицательного элемента. На случай порядка 3 х 5 + 1 = 16 матрица М3 образует витраж с матрицей 85, ведущий к матрице Н16 (рис. 3).
Для порядка 5 х 7 + 1 = 36 матрица 85 образует витраж с матрицей М7, ведущий к матрице Н36. Произведем выравнивание сумм элементов строк и столбцов матриц Адамара инверсией второй половины блоков ее ядра. Регулярные матрицы Н16 и Н36 (рис. 4) сходны. Для синтеза матриц порядков 7 х 9 + 1 = 64 и 9 х 11 + 1 = 100 используем блочную матрицу 89 = М3®М3, соответствующую кратной степени.
Первый по-настоящему не рабочий для такого алгоритма порядок это уже известный порядок 196 (13 х 15 + 1). Заметим, что построение матрицы 813 проблем не вызывает. В разложении непростого числа 15 = 2 х 7 + 1 фигурирует простой порядок уже знакомой матрицы М(1) = М7, с помощью которой можно составить кососимметри-
■ Рис. 2. Портреты трех циклических матриц квадратичных вычетов порядков 3, 5, 7
■ Fig. 2. Portraits of three cyclic matrices of quadratic residues of orders 3, 5, 7
■ Рис. 3. Портреты матриц Адамара H4 и H16
■ Fig. 3. Portraits of the Hadamard matrices H4 и H16
■ Рис. 4. Портреты регулярных матриц Адамара H16
и H36
■ Fig. 4. Portraits of the regular Hadamard matrices
H16 и H36
■ Рис. 5. Портреты матриц S13 и M(2) = M15
■ Fig. 5. Portraits of the matrices S13 и M(2) = M15
ческую матрицу M(2) = M15 с симметрией второго порядка (рис. 5). Тем самым путь к построению регулярных матриц Адамара порядка 196 открыт.
Заключение
Скарпи трактовал свое произведение как череду операций с матрицей Адамара. Предложенный в работе алгоритм построения регулярных матриц Адамара через витражи является новым, поскольку в качестве сомножителей произведения не используются матрицы Адамара — впервые для этого вводятся критские матрицы с плавающими уровнями и манипуляции с ними, в том числе повышение уровня по мере роста порядка матрицы.
Кроме матриц Адамара, результатом обобщенного кронекерова произведения являются и матрицы Мерсенна более высоких порядков. В обобщенном кронекеровом произведении вполне можно обойтись без процедуры общего окаймления, трактуя его именно как путь получения матриц Мерсенна.
Кроме аддитивных цепочек матриц вида M-E-M-E-... и S-E-M-E-..., получаемых удвоениями порядков и добавлением каймы, возникают мультипликативные цепочки генерации критских матриц.
Изложенный материал является основой для получения регулярной матрицы порядка 196 и далее матрицы порядка 676. Поскольку порядок матрицы S25 является квадратом простого числа, то для нее легко строится матрица квадратичных вычетов и регулярная матрица порядка 1444. Построение матрицы порядка 2116 зависит от блочной матрицы S45, являющейся ядром особой конференц-матрицы С46. И, наконец, матрицу S25 можно использовать при построении матрицы порядка 2916.
В практическом смысле результаты проведенных исследований существенно расширяют возможности применения цифровых систем обработки как одномерных сигналов, так и изображений высокого разрешения в целях их сжатия и защиты от несанкционированного доступа.
Благодарность
Автор выражает благодарность профессорам Н. А. Балонину и М. Б. Сергееву за конструктивные замечания и помощь в подготовке статьи.
Финансовая поддержка
Статья подготовлена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение №№ FSRF-2020-0004.
Литература
1. Wang R. Introduction to Orthogonal Transforms with Applications in Data Processing and Analysis. Cambridge University Press, 2010. 504 p.
2. Mironovsky L. A., Slaev V. A. Strip-Method for Image and Signal Transformation. De Gruyter, 2011. 175 p.
3. Vostrikov A., Sergeev M. Expansion of the quasi-orthogonal basis to mask images. Smart Innovation,
Systems and Technologies, 2015, vol. 40. pp. 161-168. doi:10.1007/978-3-319-19830-9_15
4. Ahmed N., Rao R. Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1975. 263 p.
5. Koukouvinos С., Simos D., Varbanov Z. Hadamard matrices, designs and their secret-sharing schemes. Algebraic Informatics, 2011, pp. 216-229. doi:10.1007/ 978-3-642-21493-6_14
6. Hadamard J. Résolution d'une Question Relative aux Déterminants. Bulletin des Sciences Mathématiques, 1893, vol. 17, pp. 240-246.
7. Сергеев А. М. О взаимосвязи одного вида квазиортогональных матриц, построенных на порядках последовательностей 4k и 4k-1. Известия ЛЭТИ,
2017, № 7, с. 12-17.
8. Di Matteo O., Djokovic D. Z., Kotsireas I. S. Symmetric Hadamard matrices of order 116 and 172 exist. Special Matrices, 2015, vol. 3.1, pp. 227-234.
9. Kharaghani H. and Tayfeh-Rezaie B. A Hadamard matrix of order 428. J. Combin. Designs, 2005, vol. 13, pp. 435-440.
10. Horadam K. J. Hadamard matrices and their applications: Progress 2007-2010. Cryptography and Communications, 2010, no. 2, iss. 2, pp. 129-154.
11. Seberry J., Yamada М. Hadamard Matrices: Constructions using Number Theory and Linear Algebra. John Wiley & Sons, 2020. 352 p.
12. Vostrikov A., Sergeev М., Balonin N., Sergeev А. Use of symmetric Hadamard and Mersenne matrices in digital image processing. Procedia Computer Science,
2018, pp. 1054-1061. doi:10.1016/j.procs.2018.08.042
13. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony. Electrical Communication, 1950, no. 26, pp. 231-244.
14. Balonin Yu. N., Sergeev A. M. Two-circulant Hadamard matrices, weighing matrices, and Ryser's conjecture. Информационно-управляющие системы, 2018, № 3, с. 2-9. doi:10.15217/issn1684-8853. 2018.3.2
15. Sergeev A., Sergeev M., Vostrikov A., Kurtyanik D.
Portraits of orthogonal matrices as a base for discrete textile ornament patterns. Smart Innovation, Systems and Technologies, 2019, vol. 143, pp. 135-143. doi:10.1007/978-981-13-8303-8_12
16. Scarpis U. Sui determinanti di valore massimo, Ren-diconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e Let-tere, 1898, vol. 31, pp. 1441-1446.
17. Сергеев А. М. Обобщенные матрицы Мерсенна и гипотеза Балонина. Автоматика и вычислительная техника, 2014, № 4, с. 35-43.
18. Djokovic D. Generalization of Scarpis' theorem on Hadamard matrices. Linear and Multilinear Algebra, 2017, vol. 65, iss. 10, pp. 1985-1987.
19. Балонин Н. А., Сергеев А. М., Синицына О. И. Алгоритмы конечных полей и групп поиска ортогональных последовательностей. Информационно-управляющие системы, 2021, № 4, с. 2-17. doi:10. 31799/1684-8853-2021-6-2-17
20. Balonin N. A., Vostrikov A. A., Sergeev M. B. On two predictors of calculable chains of quasi-orthogonal matrices. Automatic Control and Computer Sciences, 2015, vol. 49, no. 3, pp. 153-158. doi:10.3103/ S0146411615030025
21. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Себерри Дж., Синицына О. И. Окружности на решетках и матрицы максимума детерминанта. Информационно-управляющие системы, 2020, № 6, с. 2-11. doi:10. 31799/1684-8853-2020-6-2-11
UDC 519.614
doi:10.31799/1684-8853-2021-5-2-9
Matrix vitrages and regular Hadamard matrices
A. A. Vostrikova, PhD, Tech., Associate Professor, orcid.org/0000-0002-8513-3683, vostricov@mail.ru aSaint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 67, B. Morskaia St., 190000, Saint-Petersburg, Russian Federation
Introduction: The Kronecker product of Hadamard matrices when a matrix of order n replaces each element in another matrix of order m, inheriting the sign of the replaced element, is a basis for obtaining orthogonal matrices of order nm. The matrix insertion operation when not only signs but also structural elements (ornamental patterns of matrix portraits) are inherited provides a more general result called a "vitrage". Vitrages based on typical quasi-orthogonal Mersenne (M), Seidel (S) or Euler (E) matrices, in addition to inheriting the sign and pattern, inherit the value of elements other than unity (in amplitude) in a different way, causing the need to revise and systematize the accumulated experience. Purpose: To describe new algorithms for generalized product of matrices, highlighting the constructions that produce regular high-order Hadamard matrices. Results: We have proposed an algorithm for obtaining matrix vitrages by inserting Mersenne matrices into Seidel matrices, which makes it possible to expand the additive chains of matrices of the form M—E—M—E—... and S—E—M—E—..., obtained by doubling the orders and adding an edge. The operation of forming a matrix vitrage allows you to obtain matrices of high orders, keeping the ornamental pattern as an important invariant of the structure. We have shown that the formation of a matrix vitrage inherits the logic of the Scarpi product, but is cannot be reduced to it, since a nonzero distance in order between the multiplicands M and S simplifies the final regular matrix ornamental pattern due to the absence of cyclic displacements. The alternation of M and S matrices allows you to extend the multiplicative chains up to the known gaps in the S matrices. This sheds a new light on the theory of a regular Hadamard matrix as a product of Mersenne and Seidel matrices. Practical relevance: Orthogonal sequences with floating levels and efficient algorithms for finding regular Hadamard matrices with certain useful properties are of direct practical importance for the problems of noise-proof coding, compression and masking of video data.
Keywords — orthogonal matrices, regular matrices, Hadamard matrices, Mersenne matrices, Seidel matrices, Kronecker product, Scarpi algorithm, matrix inserts, matrix vitrages.
For citation: Vostrikov A. A. Matrix vitrages and regular Hadamard matrices. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2021, no. 5, pp. 2-9 (In Russian). doi:10.31799/1684-8853-2021-5-2-9
References
1. Wang R. Introduction to Orthogonal Transforms with Applications in Data Processing and Analysis. Cambridge University Press, 2010. 504 p.
2. Mironovskij L. A., Slaev V. A. Strip-Method for Image and Signal Transformation. De Gruyter, 2011. 175 p.
3. Vostrikov A., Sergeev M. Expansion of the quasi-orthogonal basis to mask images. Smart Innovation, Systems and Technologies, 2015, vol. 40. pp. 161-168. doi:10.1007/978-3-319-19830-9_15
4. Ahmed N., Rao R. Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1975. 263 p.
5. Koukouvinos C., Simos D., Varbanov Z. Hadamard matrices, designs and their secret-sharing schemes. Algebraic Informatics, 2011, pp. 216-229. doi:10.1007/978-3-642-21493-6_14
6. Hadamard J. Résolution d'une Question Relative aux Déterminants. Bulletin des Sciences Mathématiques, 1893, vol. 17, pp. 240-246 (In French).
7. Sergeev A. M. On interconnection of one type of quasi-orthogonal matrices constructed by orders of 4k and 4k-1 sequences. Izvestia LETI, 2017, no. 7, pp. 12-17 (In Russian).
8. Di Matteo O., Djokovic D. Z., Kotsireas I. S. Symmetric Hadamard matrices of order 116 and 172 exist. Special Matrices, 2015, vol. 3.1, pp. 227-234.
9. Kharaghani H. and Tayfeh-Rezaie B. A Hadamard matrix of order 428. J. Combin. Designs, 2005, vol. 13, pp. 435-440.
10. Horadam K. J. Hadamard matrices and their applications: Progress 2007-2010. Cryptography and Communications, 2010, no. 2, iss. 2, pp. 129-154.
11. Seberry J., Yamada M. Hadamard Matrices: Constructions using Number Theory and Linear Algebra. John Wiley & Son,s 2020. 352 p.
12. Vostrikov A., Sergeev M., Balonin N., Sergeev A. Use of symmetric Hadamard and Mersenne matrices in digital image processing. Procedia Computer Science, 2018, pp. 10541061. doi:10.1016/j.procs.2018.08.042
13. Belevitch V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony. Electrical Communication, 1950, no. 26, pp. 231-244.
14. Balonin Yu. N., Sergeev A. M. Two-circulant Hadamard matrices, weighing matrices, and Ryser's conjecture. Infor-matsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2018, no. 3, pp. 2-9. doi:10.15217/issn1684-8853.2018.3.2
15. Sergeev A., Sergeev M., Vostrikov A., Kurtyanik D. Portraits of orthogonal matrices as a base for discrete textile ornament patterns. Smart Innovation, Systems and Technologies, 2019, vol. 143, pp. 135-143. doi:10.1007/978-981-13-8303-8_12
16. Scarpis U. Sui determinanti di valore massimo, Rendiconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. 1898, vol. 31, pp. 1441-1446 (In Italian).
17. Sergeev A. M. Generalized Mersenne matrices and Balo-nin's hypothesis. Automatic Control and Computer Sciences, 2014, no. 4, pp. 35-43 (In Russian).
18. Djokovic D. Generalization of Scarpis' theorem on Hadamard matrices. Linear and Multilinear Algebra, 2017, vol. 65, iss. 10, pp. 1985-1987.
19. Balonin Yu. N., Sergeev A. M., Sinicyna O. I. Algorithms for finite fields and search groups for orthogonal sequences. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2021, no. 4. pp. 2-17 (In Russian). doi:10.31799/1684-8853-2021-6-2-17
20. Balonin N. A., Vostrikov A. A., Sergeev M. B. On two predictors of calculable chains of quasi-orthogonal matrices. Automatic Control and Computer Sciences, 2015, vol. 49, no. 3, pp. 153-158. doi:10.3103/S01464116150 30025
21. Balonin N. A., Sergeev M. B., Seberry J., Sinitsyna O. I. Circles on lattices, and maximum determinant matrices. Infor-matsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2020, no. 6, pp. 2-11 (In Russian). doi:10.31799/1684-8853-2020-6-2-11
УВАЖАЕМЫЕ АВТОРЫ!
Научные базы данных, включая SCOPUS и Web of Science, обрабатывают данные автоматически. С одной стороны, это ускоряет процесс обработки данных, с другой — различия в транслитерации ФИО, неточные данные о месте работы, области научного знания и т. д. приводят к тому, что в базах оказывается несколько авторских страниц для одного и того же человека. В результате для всех по отдельности считаются индексы цитирования, что снижает рейтинг ученого.
Для идентификации авторов в сетях Thomson Reuters проводит регистрацию с присвоением уникального индекса (ID) для каждого из авторов научных публикаций.
Процедура получения ID бесплатна и очень проста, есть возможность провести регистрацию на 12-ти языках, включая русский (чтобы выбрать язык, кликните на зеленое поле вверху справа на стартовой странице): https://orcid.org
