Матричные математические модели дифференцируемых функций и краевые задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

© Б.Б. Ошоров

МАТРИЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

В статье предлагаются матричные математические модели функций комплексной переменной, кватернион-функций и их условий дифференцируемости. Эти условия приводят к матричным дифференциальным уравнениям, для которых рассматриваются краевые задачи.

Ключевые слова: комплексное число, кватернион, матричная модель, функция комплексной переменной, кватернион-функция, условия Коши-Римана, система уравнений с частными производными, краевая задача.

B.B. Oshorov

MATRIX MATHEMATICAL MODEL FOR DIFFERENTIABLE FUNCTIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS

In the article matrix mathematical models of sets of complex numbers, sets of quaternions, functions of complex variable, quaternion functions and their conditions of differentiability are proposed. These conditions lead to matrix differential equations, boundary value problems are considered for them.

Keywords: complex number, quaternion, matrix model, function of complex variable, quaternion function, Cauchy-Riemann conditions, system of partial differential equations, boundary value problem.

Введение

Пусть R - множество действительных чисел. Известны различные модели расширения этого числового множества до множества комплексных чисел. Например, вводится мнимая единица i = , и тогда множеством комплексных чисел называют C = {z = x + iy | x, y e R} . В этом

случае C з R = {x = x + i0} . Также множество комплексных чисел рассматривается как C = {(x, y) : x, y e R}, при этом R = {(x, 0)} .

Дальнейшее расширение числового множества C осуществляется за счет введения одной действительной единицы и трех линейно независимых мнимых единиц, что приводит к множеству кватернионов. В свое время интерес к этим математическим объектам был столь силен, что была создана «Международная ассоциация для содействия изучению кватернионов и родственных математических систем», просуществовавшая до первых десятилетий ХХ в. Затем интерес к кватернионам несколько ослаб. Но в связи с применением кватернионов в теоретической физике в настоящее время появляются новые работы, посвященные теории кватернионов и их приложениям. Довольно обширная библиография по этим вопросам имеется в книге А.В. Березина, Ю.А. Курочкина, Е.А. Толкачева [1].

Впрочем, интерес к кватернионам с математической точки зрения вполне закономерен, если вспомнить теорему Фробениуса: Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной некоммутативной алгеброй без делителей нуля [2].

Оказалось, что удобными, наглядными и единообразными являются матричные модели этих двух множеств и соответственно - матричные представления функций комплексной переменной, кватернион-функций и условий их дифференцируемости.

1. Комплексные числа и кватернионы

Сначала предлагаем матричную модель множества комплексных чисел. По сравнению с традиционными моделями, по мнению автора, она не имеет особых преимуществ. Но, как было отмечено во введении, такое построение осуществляется не только для поля комплексных чисел, но и для тела кватернионов, и позволяет рассматривать эти множества с единых позиций.

Множество комплексных чисел можно рассматривать как линейное двумерное пространство С квадратных матриц второго порядка, где роль базиса играют матрицы

Г1 0 Л Г 0 - Л

Е —

01

I —

10

Тогда матрица X — х^Е + Х21 —

V х2

- Х2 ^

х

где х1, х2

(1)

Я, называется

1

матричным представлением комплексного числа или просто комплексным числом.

Нетрудно убедиться, что это пространство изоморфно относительно операций сложения элементов и умножения элемента на скаляр и изомет-рично относительно евклидовой метрики пространству Я2 . Но в пространстве С , в отличие от евклидова пространства, определяются операции умножения и деления. Отталкиваясь от этого замечания и определения, можно построить матричную теорию множества комплексных чисел как линейного нормированного (метрического) пространства и поля одновременно.

Следуя идее, изложенной выше, в качестве пространства, изоморфного и изометричного евклидову пространству Я4 возьмем известное множество кватернионов. В книге [3] в качестве базиса предлагаются матрицы

Е —

ГЕ 0 Л 0 Е

Е2 —

Г 0 - Е Л

Е =

ГI 0 л Г 0 IЛ

, Е Л —

V0 -Ь " 4 V1 0 ,

где

Е =

Г1 0^ 0 1

I =

Г о - Л 10

0=

Го о^ 00

Если X = (Хх, х2, х3, х4 ) — некоторая точка пространства Я4, то ей вза-

имно однозначно соответствует матрица X = ^ хгЕг, которая называет-

г=1

ся кватернионом.

Если множество всех кватернионов обозначить через Я4, то следует отметить, что в этом пространстве определяются операции умножения (некоммутативное) и деления (левое и правое). Автором было найдено еще несколько конкретных базисов в этом пространстве. Наиболее удобным с точки зрения исследования краевых задач оказался базис (2) (обозначения матриц сохранены). Отметим, что для базисных матриц имеет место следующая таблица умножения:

Е Ег = ЕЕ = Е, г = 14; Е2 = —Ех, г = 2,4;

Е2Е3 = —Е3Е2 = E4, Е3Е4 = —Е4Е3 = E2, Е4Е2 = —Е2Е4 = Е3.

Е =

Г1 0 0 0 > Г 0 —1 0 0 >

0 1 0 0 А = 1 0 0 0

0 0 1 0 2 0 0 0 —1

V 0 0 0 1У V 0 0 1 0 У

Г 0 0 —1 0 > Г 0 0 0 -1 >

0 0 0 1 , -^л 0 0 —1 0

=

1 0 0 0 ' 4 0 1 0 0

V 0 —1 0 0 У V 1 0 0 0,

(2)

4 =

Если рассмотренное выше построение тела кватернионов назвать его моделью над полем действительных чисел, то можно предложить еще одно представление кватернионов, которое естественно называть моделью над полем комплексных чисел.

Пусть г - мнимая единица. Рассмотрим матрицы:

Г10^ Г 0 1 ^ Г о — г ^ Г10 ^

Е =

01

Е =

10

Е =

0

Е =

V0 — Ъ

Непосредственно убеждаемся, что для этих матриц имеет место следующая таблица умножения:

р 2 = р 2 = р 2 = р •

-|2 _ Г3 _ Г4 ~ Г\ '

р р = — рр = гр •

Г2Г3— Г3Г2 — "4,

Р Р =—Р Р = гР • Р Р =—Р Р = гР

Г3Г4— Г4Г3—1Г2, Г^,— 4 — 1Г3.

Поэтому в линейном пространстве кватернионов в качестве базиса можно взять систему матриц

0 = ^ О2 —

0

Л

v ь 0 у

, О3 ——

0 -1 v1 0/

, о4 ——

- 0 V0 Ь

(3)

Тогда любой кватернион имеет вид:

X — х^ -Ь(х2^2 + х3^3 + х4^4), х — (х,,х2,х3,х4) е Я4, а сопряженный кватернион -

X — х1 ^ + ь(х2 ¥г + х3 К, + х4 ).

Модель над полем комплексных чисел тела кватернионов позволяет привести в качестве примера одно из приложений этой теории.

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Я3 задан ортонормиро-ванный базис е1, е2, е3, в котором любой вектор имеет представле-

3

ние х — Е х.в. . Любое линейное преобразование А пространства Я3

.—1

задается в этом базисе квадратной матрицей третьего порядка А — ), 1, ^ — 1,3 . Договоримся не делать различий в обозначениях преобразования и матрицы, задающей это преобразование.

Ортогональное линейное преобразование А в пространстве Я3, т.е.

х' — Ах, ААТ — АТА — Е, где Е - единичная матрица, называется вращением (собственным), если ёе! А — 1.

3

Известно, что каждый действительный трехмерный вектор х — Е х.в.

1—1

может быть представлен комплексной эрмитовой матрицей [4]:

{ х х - Ьх \ 3

н —

- х,

V х! + Iх 2

—Е +1,

3 У 1—1

где матрицы которые называются спиновыми матрицами

Паули, соответствуют базисным векторам е1, е2, е3. Это соответствие является изоморфизмом относительно сложения векторов и умножения векторов на действительные числа.

Тогда вектор вращения х' — Ах представляется матрицей

н' —Е х^.+1 — ,

Ь—1

где и - комплексная унимодулярная (ёе! и — 1) матрица:

Г а -Ь Л - Г а Ь Л

и —

Ь

а

и —

Ь а у

а — а1 + Ьа2, Ь — Ь1 + ЬЬ2,

I а |2 +1 Ь |2 — 1.

Числа а и Ь определяют вращение однозначно. При этом числа а, Ь,-Ь, а называются параметрами Кэли-Клейна данного вращения.

Любая комплексная матрица размером 2 х 2 может быть представлена кватернионом X — х1 ^ - ь(х2 + х3 ^ + х4 ). В частности,

и — ^ - ь(Ь2 ¥г + Ьх + а2 ), и — ах ^ + Ь(Ь2 ¥г + Ьх + а2 ).

Матрица и определяет вращение однозначно. Таким образом, получено представление вращений кватернионами, которые можно называть кватернионами вращения.

2. Матричные функции

Пусть О ^ С - некоторое множество. Тогда функцию и : О ^ С будем называть функцией комплексной переменной X.

Согласно определению множества С функция и (X) имеет вид

Г и1( X ) -и2( X ) Л и^) — и1 (X) Е + и2 (X) I — 14 ' 24 7

и2( X ) и1( X )

и (X) — и1(х1, х2)Е + и2( х1, х2)! —

ик:О ^Я, к —1,2.

Здесь матрицы Е и I образуют базис (1).

В силу изоморфизма пространств С и Я2 представление функции и(X) можно также записать в виде:

и1 (х1, х2 ) -и2 (х1, х2 ) чи2 (х1, х2 ) и1 (х1, х2 ) у

Пусть теперь на некотором множестве О ^ Я4 определена вектор-функция

иТ (х) — (и1 (х), и2 (х), и3 (х), и4 (х)), и : О ^ Я4.

Множеству О взаимно однозначно соответствует множество О ^ Я4, на котором определена функция (кватернионфункция)

и(X) — ¿иг(х)Ег, и: О ^Я4,

г—1

взаимно однозначно соответствующая вектор-функции и(х) . Для удобства в дальнейшем мы не будем делать различия в обозначениях вектор-функции и кватернион-функции.

Согласно формулам (2) по определению кватернион-функции имеем Г и1( х ) -и2( х) -и3( х) -и4( х) ^

и2( х ) и1( х) -и4( х) и3( х)

и3( х) и4( х) и1( х) -и2( х)

V и4( х) -и3( х) и2( х) и1( х)

и (X) —

Из этих двух определений видно, что матрицы, задающие функции, имеют одинаковую структуру. Поэтому некоторые новые понятия можно вводить сразу для обеих функций.

Предварительно отметим, что поскольку С и Я4 — метрические пространства, то естественным образом вводятся понятия предела и непрерывности этих функций, а затем доказывается справедливость всех основных свойств этих понятий.

В пространствах С и Я задана операция деления, поэтому полагаем, что:

ёЦ(X) = ^ АЦ(X)

ёХ АХ '

Нетрудно доказать, что необходимыми условиями существования производной будут матричные равенства:

Л

и1х1 Щх1 ^

«Ц

(

П2х) и\:

\

—и\х

ип

и

V4 х

—и2 х\ —и3 х —и4 х

и\х\ —и4 х и3 х\

и4 х и\х\ —и2 х

—и3 х и2 х и\Х

—и Л Г

и3 х3 и4 х3 и\х3

—и4 х3 и3 х3 —и2 х3

—и\х3 и2 х3 и3х3

и2 х3 и\х3 —и4 х3

1 У

—и2 х Л

и

2 х2

—и,

и4 х

—и

\х2

3 х2

—и

\х3

и

4 х3

3 х3

;3 У

4 х4

и

и3 х

—и

2 х.

—и

\х4

и2х, У

и\х2 —и4 х2 и3 х2 Л

и2 х2 и3 х2 и4 х2

—и3х2 и2 х2 и\х2

—и4 х2 —и\х2 и2х2 У

—и3 х4 и2 х4 и\х4

и4 х4 и\х4 —и2 х„

—и\х4 и4 х4 —и3 х4

и2 х4 х и3х4 и4 х4

которые становятся достаточными, если все частные производные непрерывны. Беглого взгляда достаточно, чтобы сказать, что структура матричных моделей дифференцируемости функций одинакова. Более того, матрицы второго условия с точностью до знаков и номеров переменных состоят из блоков, которыми служат матрицы первого условия. Первое равенство называется условием Коши-Римана, а второе - его четырехмерный аналог.

3. Краевые задачи

Матричные условия дифференцируемости порождают матричные уравнения для функций комплексной переменной

ки = 2 (Ц + Цу ) = ©, (4)

Ш = ки + Си = ^ (X), (5)

и (X) = ( U1(Х'У) -u2(Х'у) 1 С( X) = f С1(Х'У) -c2(Х'у) 1

1 u2(X,у) U1(X,у) J I c2(X,у) с1(X,у)

F (X) =

f У1( X, у) -f2(x, у)Л fo 01

0 =

0 0

V f2( X у) f( X у) Уравнения (4) и (5) будем называть уравнением Коши-Римана и обобщенным уравнением Коши-Римана (во избежание множества индексов вместо пары (x13X2) пишем пару (X,у)). Краевая задача 1. В прямоугольнике

D = { X е С: 0 < Re X < k ;0 < ImX < l} найти решение уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям

(U+и)| = (и+и)| = I(и - и)| = I(и - и)| =0.

v llmX=0 iRe X=k ylReX=0 v /llmX=l

Теорема 1. Если матрица С(X, у) непрерывна в D и За = const,

J2(k2 +12)

0 < а --,

kl

такое, что ||Си||0 < а||и||0, то для VF(X,у) е L2(D) существует единственное слабое обобщенное решение краевой задачи 1 и(X, у) е W (D), которое почти всюду в области D удовлетворяет уравнению (5).

Идея доказательства взята из работы [5] и трансформирована для матричных моделей. Отметим, что в силу условия на матрицу С (X, у), утверждение теоремы 1 останется справедливым и для уравнения (4).

Условие существования производной кватернион-функции приводит к уравнению

ми (X) s 4 £ e ди = 0.

4 г=1 dXt

(6)

Для вектор-функции

ПТ (х) = (и1 (х), и2 (х), и3 (х), и4 (х)), и: В ^ Я4

уравнение (6) эквивалентно уравнению

4 ди

ти(х) = Х Кг дП = 0. (7)

г=1 дхг

Теперь рассмотрим систему уравнений

Ш = ТП + СП = ¥ (х), (8)

где С (о) - квадратная матрица четвертого порядка, ¥ (х) - заданная четырехмерная вектор-функция.

Краевая задача 2. В параллелепипеде

В = {х = (, х2, х3, х4) еЯ4: 0 < xi < к1, г = 1,4} найти решение уравнения (8) при следующих краевых условиях:

Мл\ — м л\ — и^ — и^ — Uo I — UO I — 0,

Ч Xj— 0 4I Xj —k 2 I Xj—0 2 I x —k 3 Ixj—0 3 Ixj —kj 5

U2 I 0 — U] I k — M3 I 0 — M3 I k — U4 I 0 — U4 I k — 0, М31 0 — и 21 k — Ui I 0 — Uj | к — и 4] 0 — и 41 k — 0,

и 4 — M3 k — Uj — м J k — и 2i — м 2 , — 0.

IX4 —0 IX4 —k4 I X4 —0 IX4 — k4 IX4 —0 I X4 — k4

- V2

Теорема 2. Если матрица C(x) e C(D) и За, 0<а<-, где

k

k — min^, k2, k3, k4 ) такое, что ||C^|| 0 0, то для любой вектор-

функции F(x) e L2 (D) краевая задача 2 имеет единственное решение из пространства W^ (D) .

Заключение

Единая методика исследования матричных математических моделей дифференцируемых функций приводит к матричным уравнениям, которые являются эллиптическими по классификации Петровского. Изучение краевых задач проводится с единых позиций, при этом эллиптичность уравнений не играет существенной роли. Отсюда становится возможным исследование краевых задач для матричных уравнений без определенного типа по устоявшейся классификации. Некоторые изыскания в этом направлении уже начаты [6]. Кроме того, представление кватернионов в базисе (3) и соответствующие приложения позволяют предполагать возможность применения краевых задач в квантовой механике.

Литература

L Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 200 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Наука, !976. - 352 с.

3. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, !975. - 400 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, !984. - 83j с.

5. Ошоров Б.Б. Задачи Римана - Гильберта и Пуанкаре с разрывными краевыми условиями для некоторых модельных систем уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. - 20П. - Т. 47, №5. - С. 696-704.

6. Ошоров Б.Б., Ошоров Бато Б. Краевые задачи для некоторых неклассических систем уравнений // Обратные и некорректные задачи математической физики. Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева: тезисы докл. - Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 20!2. - С. 409-4Ш.

Ошоров Батор Батуевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления (ВСГУТУ), доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики Бурятского государственного университета (БГУ), e-mail oshorovbb@pochta.ru