МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ AX+XB=C НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Научная статья УДК 512.624.3

doi: 10.18522/1026-2237-2021-4-4-9

МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ AX+XB=C НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

Аливерд Бахтиярович Бабаев1, Вадим Донатович Кряквин2^

1,2 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

[email protected] [email protected]

Аннотация. Рассматривается матричное уравнение AX+XB=C над конечным полем Галуа. Исследуются вопросы его разрешимости. Для анализа разрешимости выполняется преобразование уравнения к виду A X +XB =C, где матрицы A и B имеют жорданову нормальную форму над полем разложения произведения характеристических многочленов матриц A и B. Это позволяет рассматривать последнее уравнение в виде системы блочных равенств. Для этого матрицы A , B, C, X разбиваются на блоки A ар, B ар, C „р, X „р, каждый из которых соответствует только одной жордановой клетке с собственным значением Ха матрицы A и только одной жордановой клетке с собственным значением цр матрицы B. Для нахождения неизвестных блоков используется метод итераций Фробениуса. Если характеристические многочлены матриц A и -B являются взаимно простыми, то решение матричного уравнения существует и является единственным. Если же для некоторых пар корней из поля разложения характеристических многочленов матриц A и B верно равенство Ъ+цр=0, то решение существует тогда и только тогда, когда выполняется условие разрешимости. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Ключевые слова: матричное уравнение, конечное поле Галуа, поле разложения многочлена, спектр матрицы, жорданова нормальная форма, условие разрешимости

Для цитирования: Бабаев А.Б., Кряквин В.Д. Матричное уравнение AX+XB=C над конечным полем // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2021. № 4. С. 4-9.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

Original article

MATRIX EQUATION AX+XB=C OVER A FINITE FIELD

Aliverd B. Babaev1, Vadim D. Kryakvin2B

1,2Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

[email protected] [email protected]

Annotation. The matrix equation AX+XB=C over a finite Galois field is considered, and the questions of the solvability of this equation are investigated. To analyze the solvability, the equation is transformed to the form A X + X B =C, where the matrices A and B have Jordan normal form over the decomposition field of the product of

© Бабаев А.Б., Кряквин В.Д., 2021

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4

the characteristic polynomials of the matrices A and B. This allows us to consider the last equation in the form of a system of block equalities. For this, the matrices A , B, C, X are partitioned into blocks A ap, B ap, C „p , X „p, each of which corresponds to only one Jordan box with an eigenvalue Xa of the matrix A and only one Jordan box with an eigenvalue fip of the matrix B. To find the unknown blocks, the Frobenius iteration method is used. If the characteristic polynomials of the matrices A and -B are coprime, the solution to the matrix equation exists and is unique. If Xa+^p=0 is true for some pairs of roots from the decomposition field of the product the the characteristic polynomials of the matrices A and B, then the solution exists if and only if the solvability condition is satisfied. Examples are given to illustrate the obtained results.

Keywords: matrix equation, finite Galois field, decomposition field of a polynomial, spectrum of a matrix, Jordan normal form, solvability condition

For citation: Babaev A.B., Kryakvin V.D. Matrix Equation AX + XB = C over a Finite Field. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2021;(4):4-9. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).

Введение

В 1896 г. Ф.Г. Фробениус [1] исследовал матричное уравнение АХ — ХВ = 0 в связи с описанием всех матриц, коммутирующих с матрицей А: АХ — ХА = 0 [2, с. 199-207]. Подходы к исследованию матричного уравнения

АХ + ХВ = С, (1)

связанные с использованием методов решений систем дифференциальных уравнений, изложены в монографиях П. Ланкастера [3, с. 239-241] и Р. Беллмана [4, с. 211-212]. В работах А.К. Деменчука и Е.К. Макарова [5, 6] получены формулы для решения матричного уравнения при дополнительных условиях на уравнение. Е.Л. Рабкин в работе [7] в 2014 г. полностью описал алгебраическими методами условия разрешимости матричного уравнения (1) и представил формулы для нахождения общего решения над полем комплексных чисел. Интерес к этому матричному уравнению и актуальность его исследования подтверждаются недавними публикациями по этой теме, например [8, 9]. Алгебра-ичность подходов работ [1, 2, 6] позволяет осуществить перенос полученных в них результатов на случай матричного уравнения, рассматриваемого над конечным полем Галуа [10]. Очевидно, что основным приложением является поиск и подсчёт количества матриц енад конечным полем, которые коммутируют с заданной матрицей. Конечно, иногда интересны матрицы X и их количество, удовлетворяющие соотношению АХ = ХВ для заданных матриц А и В. Для неоднородного уравнения приложения могут возникать, например, в криптографии и алгебраической теории помехоустойчивого кодирования.

Постановка задачи

Будем исследовать матричное уравнение (1), где А и В - квадратные матрицы порядка п и т соответственно; С - матрица размером пхт. Матрицы А, В, С заданы над полем Галуа , неизвестная матрица X размером пхт - с элементами из . Рассматриваются стандартные вопросы об условиях разрешимости матричного уравнения (1), в случае разрешимости - о количестве решений, а также формулы для их вычисления.

Основные преобразования

Первым важным шагом для решения матричного уравнения (1) является приведение матриц А и В к жордановой нормальной форме. Для этого придётся рассмотрение матричного уравнения перенести в расширение поля (в поле разложения произведения характеристических многочленов матриц А и В), которое будем обозначать (С^ с С^). Тогда жордановы нормальные формы матриц А и В будут иметь клеточно-диагональную форму

А = diag(Jnl(Al), 1„2(Я2), ■■■, В = diag(/ml(^l), 1т2(^),... ,

где клетки матрицы А порядка П; имеют вид

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4

Ai 1 0 • 0 0

0 Ai 1 • 0 0

0 0 Ai • 0 0

0 0 0 • • • 1

0 0 0 • 0 я,-

Jn^i) =

- собственные числа матрицы А из поля С^. Аналогично для матрицы В. Пусть им V - соответственно матрицы перехода к жордановой нормальной форме матриц А м В, т.е. выполнены равенства А = и-1Аи, В = У-1ВУ, где А м В - матрицы, имеющие жорданову нормальную форму над полем (и и V заданы над ). Тогда уравнение (1) можно преобразовать к виду

А X + X В = С, (2)

где

X = и-1ХУ, С = и-1СУ. (3)

Следуя методу работы [7], получаем, что матрицы С,Х в равенстве (2) разбиваются на блоки Са(бДа(б размером па X т^, каждый из которых соответствует только одной жордановой клетке 1па(^а) с собственным значением Аа матрицы А и только одной жордановой клетке с соб-

ственным значением ^ матрицы В. Для каждого такого блока из (2) получаем матричное уравнение вида

(АаЕ + 1па(0))Ха^ + Ха<б (^Е + 1тд(0)) = Са(б, (4)

где Е - единичная матрица соответствующего размера.

Условие единственности

Повторяя выкладки работы [7], получаем, что для любого блока Ха^, такого, что выполняется условие Аа + ^ ^ 0, в поле имеет место равенство

(-1)1 VI гк I лтйг I т^-к

W = Ег=о ß (Аа+^)*+1 Cifc 1па(0)*Са,6 Jmp(0)i

(5)

Если для всех точек спектра Аа матрицы А и для всех точек спектра ^ матрицы В выполняется условие Аа + ^ ^ 0, то матрица X существует, а следовательно, и решение матричного уравнения АХ + ХВ = С существует и является единственным. Очевидно, что в этом случае матрица X состоит из элементов, принадлежащих полю С^.

Теорема 1. Матричное уравнение (1) над полем имеет, причем единственное, решение тогда и только тогда, когда характеристические многочлены матриц А м — В являются взаимно простыми. Решение X = иХУ-1 можно построить из блоков (5).

Заметим, что все вычисления в последней формуле выполняются в поле разложения произведения характеристических многочленов. Тем не менее получающаяся в итоге матрица X состоит из элементов, принадлежащих полю С^.

Пример 1. Рассмотрим уравнение (1) над полем Галуа GFз с матрицами

1 2 1 0\ /1 2 0 1\ /2 1

А =

0 2 1 1), В = Р

2 1 1 1 Г (1 0 1 1 2 1 Характеристические многочлены матриц А

1 0 0 и

С =

0 2 1 2

—В соответственно равны х4 + 2х2 + х + 2 и х4 + 2х2 + х. Легко проверяется, что они взаимно просты. Значит, уравнение имеет единственное решение. По формулам (3) и (5) получаем, что решение имеет вид

0202 0020 10 2 1 0102

При этом, если пользоваться формулами (2), (4) для вычисления матрицы X, то эти вычисления нужно выполнять в поле разложения произведения характеристических многочленов, состоящем из 729 элементов.

X =

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4

Условие разрешимости

Пусть многочлен к - наибольший общий делитель характеристических многочленов матриц А и —В. Обозначим через ст(^) множество всех корней многочлена к (в поле разложения этого многочлена). В теореме 1 был учтен случай пустого множества ст(^). Пусть это множество не пусто. Это значит, что для некоторых блочных равенств (3) выполняется равенство Аа + ^ = 0. Тогда (4) равносильно уравнению 1„а(0)Ха^ + Х^ЦДО) = Са(б.

Очевидно, что отсюда следует система равенств Х(+:,у + ху— = с^, где ¿ = 1,2, ...,па, У = 1,2, .,т(д, если считать, что +:,у = Х(,0 = 0.

Итерируя г — 1 раз равенство х^ = С(,у+: — получим

X,

ч

Efc=0( i)K Q+fcj+fc+1 +( i)r*(+r,

j'+r .

Так как хп ,■ = с

= ^W+1 и Х(1 = С(-1,Ъ то

Е^^—^^-г+й^ = 0, г = 1,2, ...,тт(па,тр). (6)

Условие (6) является достаточным для разрешимости блочного уравнения (4). При выполнении условия (6) получаем формулу для вычисления элементов неизвестного блока

X;

ij = Efc=0(—i) £¿-/¿-1,7-/6 У = i,2,

^m^, í = i,2, ...,na

(7)

(S)

если na > m^, c0y являются свободными неизвестными, c¿y = 0 при í < 0, и формулу

% = Efe=0í(-1)fc Ci+fcJ+fc+b ¿ = 1,2, ...,na, y = l,2, ,

если na < m^, c¿являются свободными неизвестными, c¿y = 0 при у > m^ + 1.

Теорема 2. Матричное уравнение (1) над полем имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда для всех Аа 6 ст(^) и ^, таких, что Аа + ^ = 0, для блока Cajg выполняется условие разрешимости (6). При этом элементы неизвестного блока Xajg вычисляются по формуле (7), если иа > m^. В противном случае элементы неизвестного блока Xajg вычисляются по формуле (8). Пример 2. Рассмотрим уравнение (1) над полем Галуа GF2 с матрицами

А =

'О i i 0^

i О О i

О О i i

чО О i i/

,В =

'0 i i 0N

i i О О

i О i i

а О i О/

,i)C =

'i i О г

0 i i О

1 О О i

v0 i 0 i

, или ii) С =

Ч i О i

0 i i О

1 i i i чО i О !/

Характеристические многочлены матриц А и —В соответственно равны х4 + х2 и х4. Они не взаимно просты, поэтому уравнение либо не имеет решения, либо их больше одного. Оказалось, что оба характеристических многочлена раскладываются на линейные множители в исходном поле. Собственные числа матрицы А - 0 и 1 кратности 2. Матрица В имеет одно нулевое собственное значение кратности 4. Если и и V - матрицы перехода к жордановой нормальной форме для матриц А и В соответственно,

U =

А =

iiii i О i О i i О О

а О О О/

'О i О 0N ОООО

о О i i v0 0 0 i

v =

В =

'i 0 0 i

i i i 0

i 0 i 0

40 i i 0/

'0 i 0 0^

0 0 i 0

0 0 0 i ОООО

, то

, i) С =

'i 0 0 0N

0 i i i

i i 0 0

.0 0 i 0/

, ii) С =

'i 0 0 0^

0 0 i i

i i 0 0

v0 i i 0/

1) Матрица А состоит из двух жордановых клеток второго порядка, матрица В - из одной. Поэтому в соответствии с алгоритмом разбиваем матрицу С на блоки

11

=(

i 0 0 0\ « = /i i 0 0>

0 i i i^ 21 (0 0 i 0)

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4

Условие (6) нужно проверять только для блока С11; отвечающего нулевым собственным значениям ПРИ Г = 1 Efc=1 C2-l+fc,fc = ¿21 = ПРИ Г = 2 2fc=1 ¿2-2+fc,fc = Cil + (?22 = 0.

Условие (6) выполняется, а значит, решение существует и единственности нет. Более того, можно утверждать, что различных решений ровно четыре. Неизвестный блок блочного уравнения для блока Си ищем по формуле (8). Рассмотрим случай, когда оба свободных элемента равны нулю. Остальные три случая получаются аналогично при выборе других значений свободных элементов. Тогда

х

— £ fc=0^1+fc,1+fc+1 — ^12 + ^23 — 1.

11

Аналогично находятся остальные элементы блока. Хц Второй блок находим по формуле (5)

12(0)С21! 4-к(0) = (1

—(1

V — V2+4-2

Л21 — Л(=0

1 1

1).

0 1

Оба блока дают матрицу X =

1 1 0 0

0 0 0

Находим матрицу (одно из четырех решений) X = UXV'

1

ii) Как и раньше, разбиваем матрицу С на блоки СС11 = (

0 0

1

00

0 1

1 0 1 1

21

0 0)

Первый блок нужно проверить на выполнение условия (6). Для г = 1 это условие выполняется, а Для Г = 2 £ 1=1 (?2-2+Й,Й = СЦ + С22 = 1 * 0.

В этом случае матричное уравнение не имеет решения.

Число решений матричного уравнения

Отметим особо, что для блочного уравнения, отвечающего жордановой клетке порядка I матрицы А с Я на главной диагонали и жордановой клетке порядка у матрицы В с —Я на главной диагонали, количество свободных неизвестных среди всех элементов неизвестного блока равно тт( I,у). Учитывая все блочные уравнения для фиксированного Я 6 ст(^), получаем, что число свободных неизвестных среди всех элементов всех неизвестных блоков равно £Р=1 Л/1 (Я) £у=1 ^-В(Я) тт(г,у), где через Л 4 (Я) и Л-в(Я) обозначено количество жордановых клеток матрицы А порядка 7 с Я на диагонали и, соответственно, количество жордановых клеток матрицы В порядка j с —Я на диагонали. Учитывая все точки множества ст(^), получим количество свободных неизвестных среди всех элементов неизвестной матрицы Х С = £я£Г=1Л/1(Я)£у=1Л^-5(Я) тт(г,у), где суммирование в первой сумме ведется по всем Я 6 ст(^).

Введем обозначение г/4 (Я) = rang((А — ЯЕ)') для ранга 7-й степени матрицы А — ЯЕ при Я 6 ст(^). Хорошо известно [11, 12], что число жордановых клеток 7-го порядка с собственным значением Я на главной диагонали можно найти по формуле Л4 (Я) = г/-1(Я) — 2 г/4 (Я) + г/+1(Я).

Воспользовавшись этим, разбив внутреннюю сумму на два слагаемых

£у=1 &в(—Я) тт(г,у) = £у=1Л;в(—Я) -у + £у=/+1Л;в(—Я) • £ и учитывая свойства г-в(Я), получим равенство Ху^ А:-в(Я)тт(1,у) = г0-в(Я) — г-в(Я).

Число свободных неизвестных среди всех неизвестных элементов матрицы Х равно * = £я£Г=1^/-1(Я) — 2 г/4 (Я) + г/+1(Я)][т — г-в(Я)].

Таким образом, если множество ст(^) не пусто и выполняется условие разрешимости, то число решений матричного уравнения (1) равно ^.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No.4

Список источников

1. Frobenius G. Ueber die vertauschbare Matrizen // Sitz.-Ber. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse. Berlin, 1896. P. 601-614.

2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 560 с.

3. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973. 280 с.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с.

5. Деменчук А.К., Макаров Е.К. Полиномиальная формула для самосопряженных решений матричного уравнения AX-XA = C с нормальным коэффициентом // Докл. НАН Беларуси. 2008. Т. 52, № 2. С. 5-10.

6. Demenchuk A.K., Makarov E.K. Explicit polynomial formulas for solutions of the matrix equation AX-XA=C // J. of Mathematical Physics. 2009. Vol. 50, № 8. P. 083508. Doi: 10.1063/1.3187779.

7. Рабкин Е.Л. Полное исследование матричного уравнения AX+XB = C и, в частности, AX+XA = C // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 1. С. 165-184.

8. Икрамов Х.Д. Условия нормальности матричных уравнений типа Сильвестра // Докл. Академии наук. 2014. Т. 459, № 4. С. 403. Doi: 10.7868/S0869565214340064.

9. Икрамов Х.Д., Воронцов Ю.О. Численное решение матричных уравнений Сильвестра с нормальными коэффициентами // Вестн. Московского ун-та. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2017. № 4. С. 3-6.

10. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. M.: Мир, 1988. Т. 1, 2. 822 с.

11. Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. М.: Вузовская книга, 2001. 216 с.

12. Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. СПб.: Лань, 2016. 592 с.

References

1. Frobenius G. Ueber die vertauschbare Matrizen. Sitz.-Ber. Akad. Wiss. Phys.- Math. Klasse. Berlin, 1896:601614. (In Deutsch).

2. Gantmacher F. R. The theory of matrices. Moscow: Nauka Publ.; 1967. 560 p. (In Russ.).

3. Lankaster P. The theory of matrices. Moscow: Nauka Publ.; 1973. 280 p. (In Russ.).

4. Bellman R. Introduction to matrix analysis. Moscow: Nauka Publ.; 1969. 368 p. (In Russ.).

5. Demenchuk A. K., Makarov E. K. A polynomial formula for selfadjoint solutions of the matrix equation AX-XA=C with a normal coefficient. Dokl. Nats. akad. nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus. 2008;52(2):5-10. (In Russ.).

6. Demenchuk A. K., Makarov E. K. Explicit polynomial formulas for solutions of the matrix equation AX-XA=C. J. of Mathematical Physics. 2009;50(8):083508, doi: 10.1063/1.3187779.

7. Rabkin E.L. Full investigation of the matrix equation AX+XB = C and specifically of the equation AX-XA = C. St. Petersburg Mathematical Journal. 2015;26(1):117-130.

8. Ikramov Kh. D. Normality conditions for matrix equations of the Sylvester type. Dokl. Math. 2014;90(3):727-729, doi: 10.7868/S0869565214340064.

9. Ikramov Kh. D., Vorontsov Yu. O. Numerical solution of Sylvester matrix equations with normal coefficients. Moscow Univ. Comput. Math. Cybern. 2017;41(4):153-156.

10. Lidl R., Niederreiter H. Finite fields. Moscow: Mir Publ.; 1988. Vol. 1, 2. 822 p. (In Russ.).

11. Kozak A.V., Pilidi V.S. Linear algebra. Moscow: Vuzovskaya kniga Publ.; 2001. 216 p. (In Russ.).

12. Kryakvin V.D. Linear algebra in problems and exercises. Saint Petersburg: Lan Publ.; 2016. 592 p. (In Russ.).

Информация об авторах

Бабаев А.Б. - аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Кряквин В.Д. - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Information about the authors

Babaev A.B. - Postgraduate, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.

Kryakvin V.D. - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.

Статья поступила в редакцию 07.09.2021; одобрена после рецензирования 24.09.2021; принята к публикации 26.11.2021. The article was submitted 07.09.2021; approved after reviewing 24.09.2021; accepted for publication 26.11.2021.