CC BY
8
Информатика, вычислительная техника и управление
DOI 10.36622^Ти.2022.18.4.001 УДК 681.3
МАТРИЧНАЯ РЕПЛИКАЦИЯ В ^-ПОЛНЫХ ЗАДАЧАХ КОМБИНАТОРНОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ
С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев
Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Аннотация: ставится задача повышения вероятности нахождения глобального экстремума в №-полных задачах комбинаторной оптимизации большой размерности. Показано, что комбинаторный характер формирования вариантов решений приводит к изолированному расположению глобального экстремума в области определения функции цели. Указанное обстоятельство существенно снижает эффективность эволюционных алгоритмов поиска, основанных на воспроизведении свойств наследственности и изменчивости в биологической эволюции. В связи с этим предложено ввести в упомянутые алгоритмы механизм матричной репликации. В соответствии с гипотезой М. Эйгена, этот механизм характерен для добиологического этапа возникновения жизни и заключается в формировании макромолекул путём их наращивания элементарными блоками по принципу сигнатуры - самоинструкции. Проанализированы свойства матричной репликации, раскрыто содержание алгоритмических процедур, необходимых для её реализации: построение матриц репликации, осуществление независимой эволюции для каждого варианта матрицы; отбор лучших вариантов. Получены количественные оценки многообразия вариантов возможных матриц и вариантов решений с ними. Даны рекомендации по выбору длины матрицы и их количеству при решении практических задач. Отмечено, что введение матрицы репликации в алгоритм генетического поиска снижает размерность исходной задачи на длину этой матрицы и, как следствие, сводит решение исходной задачи к решению конечного ряда подзадач меньшей размерности. Представлен пример использования механизма матричной репликации для решения №-полной задачи нахождения оптимального маршрута, и подтверждена эффективность применения этого механизма при поиске глобального экстремума
Ключевые слова: №-полная задача оптимизации, генетические алгоритмы, матричная репликация
Введение
Растущая сложность современных задач комбинаторной оптимизации всё чаще сталкивается с так называемым проклятием размерности - свойством комбинаторных задач, подмеченным Р. Беллманом ещё в 60-х годах ХХ века [1]. Практически это свойство выражается в быстром увеличении трудоёмкости решения указанных задач с ростом их размерности [2]. Проблема высокой трудоёмкости в настоящее время особенно актуальна в задачах обучения искусственных нейросетей, обработки больших массивов данных, в алгоритмах получения оптимальных проектных решений [3-5].
Сравнительная оценка трудоёмкости решения различных комбинаторных задач позволила выделить NP (от англ. non-deterministic polynomial) класс таких задач, названных так в силу того, что не найдены детерминированные алгоритмы, решающие эти задачи за время, полиномиально зависящие от размерности задачи [6-8]. Оказалось, что многообразие NP задач содержит сравнительно небольшой подкласс
© Подвальный С.Л., Васильев Е.М., 2022
типовых - КР-полных задач, к которым за полиномиальное время можно свести любую КР задачу: задача коммивояжёра, задача о назначениях, задача о независимых множествах, задача Штейнера и т.д. [9-11]. Перечисленные КР-полные задачи широко используются в качестве тестовых при исследовании различных алгоритмов комбинаторной оптимизации.
Невозможность за приемлемое время найти точное решение КР-полной задачи смягчается тем практическим обстоятельством, что во многих случаях достаточно получить решение, не совпадающее с глобальным экстремумом, но близкое к нему. На этом основании широкое распространение получили вероятностные, эволюционные и эвристические алгоритмы: генетические, отжига, сотрудничающих агентов - муравьиные, роя пчёл, стаи серых волков и т.п. [12-16].
Вместе с тем, проблема близости полученного решения к глобальному экстремуму остаётся нерешённой. Причина этого заключается в том, что в комбинаторных задачах не существует пологой области притяжения к этому экстремуму, т.е. глобальный экстремум в области определения функции цели Дх) располага-
ется изолированно, без шлейфа близлежащих локальных экстремумов, рис. 1 [17].
Таким образом, актуальной задачей является разработка алгоритмов, позволяющих с высокой вероятностью находить изолированные глобальные экстремумы в задачах комбинаторной оптимизации.
В представленной ниже работе для достижения поставленной цели предлагается применить общий методологический подход к анализу сложных систем - эволюционную концепцию многоальтернативности, включающую в себя принципы многоуровневости, блочности и многообразия решений [18-21].
Рис. 1. Примеры расположения глобальных экстремумов: а) со шлейфом локальных экстремумов; б) изолированное
В частности, в качестве базового метода решения NP-полной комбинаторной задачи в работе использован генетический алгоритм, который по своей естественной основе близок к процедурам поиска оптимального решения.
С целью повышения сходимости генетического алгоритма к глобальному экстремуму будет применён недостаточно распространённый в технических задачах, но хорошо известный в биологии эффективный механизм эволюции -механизм матричной репликации [22].
Матричная репликация в генетических алгоритмах
Генетические алгоритмы реализуют два основных свойства эволюции: преемственность и изменчивость, первое из которых обеспечивает направленность эволюционного процесса, а второе - поддерживает генетическое разнообразие в популяции.
К указанным процедурам в классическом случае относятся скрещивание и мутации. Проведённый авторами количественный анализ сходимости этих процедур к глобальному экстремуму на тестовых NP-полных задачах квадратичного программирования tai«, n = 12...20 показал, что эффективность генетического алгоритма по мере роста размерности n задачи
очень быстро снижается [23]. На рис. 2 показано, что с увеличением п примерно в два раза (с п = 12 до п = 20) многообразие М вариантов решения возрастает с М = 12!=4,79-108 до М = 20!=2,433-1018, и процентное содержание поисков, завершающихся нахождением глобального экстремума, снижается со 100% до 2...5%.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что механизмы генетического скрещивания и мутаций не эффективны при решении задач с изолированным глобальным экстремумом.
Следует заметить, что этот вывод непосредственно вытекает из закона гомологических рядов Н.И. Вавилова: родственные виды имеют сходственные спектры изменчивости, -т.е. скрещивание хромосом и мутации в них не являются полностью случайными, а зависят от состава хромосом конкретного биологического вида [24].
12!=4,8-108
100%
15!=1,3-10
12
80%
20!=2,4-10
18
12
15
' .•''.•'' 2-5% 20 n
Рис. 2. Сравнение процентных долей поисков, завершившихся нахождением глобального экстремума задач 1аП2а, 1аП5а, 1а120а
В связи с этим, в качестве биологической аналогии решения №-полной задачи предлагается рассмотреть довидовый этап возникновения жизни, т.е. процесс создания простейших живых организмов, отличающийся очень низкой вероятностью их возникновения.
Воспользуемся гипотезой М. Эйгена [25] о том, что формирование добиологических макромолекул происходит не в результате скрещивания, а путём последовательного своего наращивания элементарными блоками по принципу сигнатуры (самоинструкции) - свойства, возникающего в уже сформированной части макромолекулы. Указанный способ построения сложных образований из простых элементов называют матричной репликацией.
Сформулируем основные свойства матричной репликации:
исходным элементом для построения макромолекулы является матрица - относительно простая молекула, которая обладает различной степенью взаимодействия со свободными структурами;
формирование макромолекулы происходит случайным, но преимущественным подсоединением тех свободных структур, которые имеют большую степень взаимодействия с матрицей;
процессе формирования молекул из различных матриц во времени или пространстве разделён и не подвержен внутривидовой конкуренции.
Для реализации перечисленных свойств матричной репликации при поиске комбинаторного экстремума рассмотрим следующие процедуры:
1) Формирование некоторого множества матриц репликации.
Пусть генетическая модель задачи (хромосома) имеет п локусов с общим количеством п! вариантов их заполнения генами, имеющими условные номера 1,...и.
Тогда матрицы репликации можно сформировать двумя способами.
Способ равновероятного формирования: в качестве матрицы выбирается любое число г < п локусов А/, / = 1,., п -1,7 = 1,., г, которые могут занимать в хромосоме произвольные г мест с общим количеством вариантов, равным количеству сочетаний Сгп без повторений, рис. 3.
п!
Сг -
п
г! (п - г)!
(1)
hl А! hз А6 А72 а3 а9 А10
Хромосома
Рис. 3. Иллюстрация одного варианта расположения трёхместной матрицы в хромосоме, п = 10, г = 3
В каждом варианте расположения г локусов может быть без повторений размещено г генов из их общего числа п. В результате будет получено Агп матриц: п!
Аг -п
- п(п - 1)...(п - г +1). (2)
(п - г)!
Всего г-мерных матриц будет сформировано Р:
Например, для п = 10 и г = 2 получим: Сгп - 45; Агп - 90; Р = 4050.
Для каждой матрицы число Т вариантов расположения оставшихся (п - г) генов составляет Т(г,п) = (п - г)! = 40320. Общее количество вариантов хромосом:
5(г, п) - Р(г, п)Т(г,п). (4)
Для данного примера получим значение 5(2,10) =4050-40320 « 163-106.
Заметим, что исходное многообразие вариантов решения определяется выражением М(п)= п! = 10! = 3 628 800 « 3,6-106, что значительно меньше 5(2,10) « 163 -106.
Сравнительная оценка величин Сгп, Р(г,п), 5(г,п), Т(г,п) для п = 10 показана на рис. 4. ,10
1 -10
С, Р, 5,1 Т, М 1 1 1 1 1 1
10
108
107
106
105
104
10 100 10 1 0.1
5( г,10)
"Ч*
хР(г,1 0) М(10)
" Т(г, 10)
\— /С 10
Чч
0 2 4 6 8 10 г
Рис. 4. Сравнение величин С1г0 , Р(г,10), 5(г, 10), Т(г, 10), М (10)
Качественное соотношение Сгп, Р(г,п), 5(г,п), Т(г,п) сохраняется при любых п.
Способ приоритетного формирования основан на том свойстве матричной репликации, которое обеспечивает не равновероятное подсоединение новых структур к уже имеющейся части макромолекулы, а с приоритетом по степени их взаимодействия. В качестве количественной меры степени взаимодействия может быть использована частота встречаемости тех или иных групп одинаково заполненных локу-сов в результатах предварительного проведения поиска классическим генетическим алгоритмом. Эти группы локусов целесообразно выбрать в качестве матриц репликации. При таком способе формирования матриц репликации в одной хромосоме может образоваться несколько матриц различной длины.
Р(г,п) - СгпАп .
(3)
Практические приёмы приоритетного выделения матриц репликации представлены в разделе с примером.
2) Поиск решения для каждой сформированной матрицы.
Если матрицы сформированы по равновероятной способу, то одна матрица из Р обязательно принадлежит оптимальной хромосоме, т.е. глобальному экстремуму. Отсюда следует, что проведя Р независимых поисков решения, мы исследуем всю область определения функции цели, включая домен, в котором расположен глобальный экстремум. Каждый поиск проводится классическим генетическим алгоритмом с той особенностью, что во всех особях каждой популяции присутствует выбранная матрица репликации, т.е. занятые ею локусы не изменяют своего содержания. Из этого следует, что размерность задачи в каждом независимом поиске уменьшена на г, т.е. многообразие вари-
п!
антов в каждом поиске снижается в -
(п - г)!
раз, (линия Т(г,10) на рис. 4).
Количество Р матриц репликации зависит от г и имеет экстремальный характер с максимумом при г = 0,5п (линия Р(г,10) на рис. 4). В результате общее многообразие вариантов решения задачи S(г, п) = Р(г, п)Т(г,п) всегда превышает исходное количество вариантов М(п), рис. 4. Этот вывод означает, что общая мощность множества решений задачи с использованием матриц репликации возрастает. Например, для п = 10 и г = 2 имеем: М (10) « 3,6-106, а S(2,10) « 163 • 106, т.е. общее число вариантов увеличилось примерно в 40 раз. Однако поиск решения производится не на многообразии S(r,n), а разбит на Р независимых поисков с мощностью множества решений, уменьшенной в (п - г)! раз. И поскольку одна из матриц репликации обязательно принадлежит решению с глобальным экстремумом, то в соответствии с гипотезой М. Эйгена вероятность "выращивания" на этой матрице наилучшей хромосомы значительно возрастает. В частности, в работах [17,22] показано, что введение матричной репликации в 5-10 раз увеличивало частоту нахождения глобального экстремума генетическим алгоритмом. Аналогичные результаты получены и в рассматриваемом ниже примере решения NP-полной задачи.
Выбор длины г матриц репликации зависит от конкретной задачи и определяется степенью изолированности глобального экстремума. В том случае, если глобальный экстремум
предположительно сопровождается шлейфом локальных экстремумов, целесообразно применять малые значения r, обеспечивающие выполнение неравенства P(r,n) << T(r,n), т.е. доминирующую роль в ходе поиска будут играть механизмы скрещивания и мутаций. При изолированном расположении глобального экстремума предпочтение следует отдавать значениям r, при которых P(r,n) >> T(r, n) с доминирующим влиянием матриц репликации. В неопределённых случаях первоначальный выбор r целесообразно осуществлять по условию:
r = max{r: P(r,n) < T(r,n)}, (5)
т.е. следует выбирать максимальный размер матрицы, обеспечивающий многообразие свободной части хромосомы больше, чем многообразие самих матриц, см. таблицу.
Выбор длины r матрицы репликаций
n r P(r,10) T(r,10)
10 1 1.00-102 3.63-105
10 2 4.05-103 4.03-104
10 3 8.64-104 5.04-103
10 4 1.06-106 7.20-102
20 1 4.00-102 1.22-101'
20 2 7.22-104 6.40-1015
20 3 7.80-106 3.56-1014
20 4 5.63-108 2.09-1013
20 5 2.88-1010 1.31-1012
20 6 1.08-1012 8.72-1010
Из таблицы следует, что, например, при п = 10 условию (5) удовлетворяет значение г = 2, а при п = 20 - значение г = 5.
В способе приоритетного формирования матриц последние не охватывают всю область определения функции цели. Поэтому в текущих популяциях допускается присутствие особей, не содержащих матрицы.
Важно отметить, что программный поиск решения для каждой матрицы удобно реализовать в виде независимых параллельных вычислений.
3) Отбор лучшего решения сводится к просмотру результатов Р независимых поисков и отбору одного или нескольких конкурентоспособных вариантов решения.
Пример решения NP-полной задачи с использованием матричной репликации
Задача о маршруте сверления печатной платы Воспользуемся образцом платы распространённого преобразователя USB-RS485, исключив из неё с целью тестирования тривиальные участки топологии с линейным расположением большого количества точек и дополнив условием замыкания маршрута, рис. 5.
30 25 20 15 10
Рис. 5. Тестовый образец платы для построения оптимального маршрута
Плата содержит 99 отверстий. Размеры платы указаны в миллиметрах.
Требуется найти кратчайший замкнутый маршрут их сверления.
Начало маршрута должно совпадать с его концом для того, чтобы станок мог начать сверление очередной платы без предварительного начального перемещения сверла.
Типовой генетический алгоритм для решения этой задачи содержал только процедуры мутации и отбора. Размер популяции составлял 2000 особей, каждый поиск был ограничен по длительности 1000 циклами эволюции.
Пятисоткратное повторение поиска привело к определению нескольких близких маршрутов длиною L = 261.264 мм.
В результате анализа этих конкурентоспособных вариантов решения были выявлены часто встречающиеся локусы, выделенные на рис. 5. Эти локусы были использованы в качестве матриц репликации, и все четыре матрицы од-
новременно введены в исходный генетический алгоритм. Размерность задачи при этом снижается с п = 99 до п = 99-26 = 73.
После примерно пятидесяти повторений поиска были найдены значительно лучшие варианты решений с длинами маршрутов L = 232 мм и L = 236 мм, рис. 6 и рис. 7.
Дальнейшие многократные повторения поиска этот результат не изменили.
30 25 20 15 10 5 0 Рис. 6. Решение задачи с длиной маршрута 232 мм
Рис. 7. Решение задачи с длиной маршрута 236 мм
Найденные решения существенно отличаются по своей топологии в центральной части,
с наиболее плотным расположением отверстий, но разница в их длине составляет всего 2%. Это обстоятельство указывает на наличие в рассматриваемой задаче, по меньшей мере, двух изолированных экстремумов.
Заключение
Результаты работы показали, что задача повышения вероятности нахождения глобального экстремума в комбинаторных задачах высокой размерности может быть успешно решена на базе генетических алгоритмов, использующих, помимо типовых процедур скрещивания, мутации и отбора, механизм матричной репликации.
Использование этого механизма в методическом плане означает, что для каждого варианта эволюции его индивидуальная матрица будет предопределять (инструктировать) предпочтения при формировании новых особей-решений. В результате эволюция популяций с разными матрицами пойдёт независимыми путями без вытесняющей конкуренции между ними. Размерность задачи для каждой такой эволюции снижается на размер матрицы.
Последнее обстоятельство позволяет исходную задачу большой размерности свести к некоторому количеству подзадач меньшей размерности. Такое снижение размерности каждой отдельной подзадачи совместно с регулярным перебором сформированного множества матриц репликации обеспечивают, в итоге, повышение вероятности нахождения глобального экстремума.
Литература
1. Bellman R.E. Dynamic programming. Prinseton, New Jersey: Princeton University Press. 1957, 2010 edition. 392 p.
2. Гришин В.А. Классическая теория управления и методы искусственного интеллекта. Проклятие размерностей // Некоторые аспекты современных проблем механики и информатики. 2018. С. 19-26.
3. Шапошникова Н.В., Ганжа Я.С. Эффективное обучение глубоких нейронных сетей для распознавания образов // Решетневские чтения. 2020. С. 260-261.
4. Лемешко Б.Ю., Лемешко С.Б., Семенова М.А. К вопросу статистического анализа больших данных // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. №. 44. С. 40-49.
5. Доронина Ю.В., Рябовая В.О., Чесноков Д.И. Применение модельно-ориентированного проектирования для решения задачи структурного синтеза // Информатика и автоматизация. 2016. Т. 6. № 49. С. 122-143.
6. Кельманов А.В., Пяткин А.В. NP-полнота некоторых задач выбора подмножества векторов // Дискретный
анализ и исследование операций. 2010. Т. 17. №. 5. С.
37-45.
7. Гушанский С.М., Потапов В.С., Коваленко М.С. Разработка и исследование программного обеспечения и методов построения квантовых алгоритмов для решения задач NP класса // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. 2021. № 2 (281). С. 56-65.
8. Савось Н.Ю. Проблема классов P и NP // 68-я научно-техническая конференция учащихся, студентов и магистрантов: сб. науч. работ. В 4 ч. Минск: БГТУ, 2017. Ч. 4. С. 292-295.
9. Soto R., Rodriguez-Tello E., Monfroy E. Recent advances on swarm intelligence for solving complex engineering problems // Mathematical Problems in Engineering. 2018. Vol. 2018. 5642786. 1 p.
10. An overview of classical and quantum complexity theory / C.H. Ugwuishiwu, M.C. Okoronkwo, P.S. Bande, C.N. Asogwa // 2021 IEEE 4th International Conference on Information Systems and Computer Aided Education. Dalian, China. 2021. P. 166-171.
11. Васильев Е.М., Маренчук В.Р. Решение задачи Штейнера на базе генетических алгоритмов // Системы управления и информационные технологии. 2005. №2. С.
38-44.
12. Костенко В.А., Фролов А.В. Генетический алгоритм с самообучением // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2015. № 4. С. 24-38.
13. О применении эволюционных алгоритмов при анализе больших данных / К.Ю. Брестер, В.В. Становов, О.Э. Семенкина, Е.С. Семенкин // Искусственный интеллект и принятие решений. 2017. №3. С. 82-93.
14. Зорин Д.А., Костенко В.А. Алгоритм имитации отжига в задачах построения многопроцессорных расписаний // Автоматика и телемеханика. 2014. № 10. С. 97109.
15. Курейчик В.М., Кажаров А.А. Использование роевого интеллекта в решении NP-трудных задач // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2011. Т. 120. №. 7. С. 30-36.
16. Лагунова А.Д. Алгоритм стаи серых волков (GWO) для задач оптимизации // Оригинальные исследования. 2019. Т. 9. № 4. С. 52-62.
17. Васильев Е.М., Крутских И.В. Генетический алгоритм решения квадратичной задачи о назначениях // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. Т. 7. №3. С. 29-33.
18. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Многоальтер-нативность: эволюционная стратегия биологических систем // Управление большими системами. 2019. Вып. 77. С. 125-170.
19. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Эволюционные принципы построения интеллектуальных систем многоальтернативного управления // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 57. № 3. С. 4-8.
20. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Модели многоальтернативного управления и принятия решений в сложных системах // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 56. № 2.1. С. 169-173.
21. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Интеллектуальные системы многоальтернативного управления: принципы построения и пути реализации // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014: тр. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. С. 996-1007.
22. Васильев Е.М., Крутских И.В. Эволюционные алгоритмы с матричной репликацией // Вестник Воронеж-
CKoro rocygapcTBeHHoro TexHnnecKoro yHHBepcnTeTa. 2011. T. 7. №2. C. 21-23.
23. Taillard E.D. Comparison of iterative searches for the quadratic assignment problem // Location Science. 1995. №3. P. 87-105.
24. Вавилов Н.И. Закон гомологических рядов в наследственной изменчивости. Л.: Наука, 1987. 256 с.
25. Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул. М.: Мир, 1973. 224 с.
Поступила 15.06.2022; принята к публикации 17.08.2022 Информация об авторах
Подвальный Семён Леонидович - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: spodvalny@yandex.ru, тел. (473) 243-77-18 Васильев Евгений Михайлович - канд. техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, тел. (473) 243-77-20
MATRIX REPLICATION IN NP-COMPLETE PROBLEMS OF COMBINATORIAL
OPTIMIZATION
S.L. Podval'ny, E.M. Vasil'ev
Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
Abstract: the task is to increase the probability of finding a global extremum in NP-complete high-dimensional combinatorial optimization problems. We show that the combinatorial nature of the formation of solutions leads to an isolated location of the global extremum in the domain of the goal function. This circumstance significantly reduces the efficiency of evolutionary search algorithms based on the reproduction of the properties of heredity and variability in biological evolution. In this regard, we propose to introduce a matrix replication mechanism into the mentioned algorithms. In accordance with the hypothesis of M. Eigen, this mechanism is characteristic of the prebiological stage of the emergence of life, and consists in the formation of macromolecules by building them up with elementary blocks according to the principle of signature - self-instruction. We analyzed the properties of matrix replication and disclosed the content of the algorithmic procedures necessary for its implementation: the construction of replication matrices, the implementation of independent evolution for each variant of the matrix; selection of the best options. We obtained quantitative estimates of the variety of options for possible matrices and solutions with them. We give recommendations on the choice of the length of the matrix and their number in solving practical problems. We note that the introduction of a replication matrix into the genetic search algorithm reduces the dimension of the original problem by the length of this matrix and, as a result, reduces the solution of the original problem to solving a finite number of subproblems of lower dimension. We presented an example of using the matrix replication mechanism for solving the NP-complete problem of finding the optimal route and confirmed the efficiency of using this mechanism in the search for a global extremum
Key words: NP-complete optimization problems, evolutionary algorithms, matrix replication
References
1. Bellman R.E. "Dynamic programming", Prinseton, New Jersey, Princeton University Press, 1957, 2010 edition, 392 p.
2. Grishin V.A. "Classical control theory and methods of artificial intelligence", Some aspects of modern problems of mechanics and informatics (Nekotoryye aspekty sovremennykh problem mekhaniki i informatiki), 2018, pp. 19-26.
3. Shaposhnikova N.V., Ganzha Ya.S. "Efficient training of deep neural networks for pattern recognition", Reshetnev Readings, (Reshetnevskiye chteniya), 2020, pp. 260-261.
4. Lemeshko B.Yu., Lemeshko S.B., Semenova M.A. "On the issue of statistical analysis of big data", Bulletin of Tomsk State University. Control, Computer Engineering and Informatics (Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravleniye, vychis-litel'naya tekhnika i informatika), 2018, no. 44, pp. 40-49.
5. Doronina Yu.V., Ryabovaya V.O., Chesnokov D.I. "Application of model-based design to solve the problem of structural synthesis", Informatics and Automation (Informatika i avtomatizatsiya), 2016, vol. 6, no. 49, pp. 122-143.
6. Kel'manov A.V., Pyatkin A.V. "NP-completeness of some vector subset selection problems", Discrete Analysis and Operations Research (Diskretnyy analiz i issledovaniye operatsiy), 2010, vol. 17, no. 5, pp. 37-45.
7. Gushanskiy S.M., Potapov V.S., Kovalenko M.S. "Development and research of software and methods for constructing quantum algorithms for solving problems of the NP class", Bulletin of Adyghe State University. Series 4: Natural-Mathematical and Technical Sciences (Vestnik Adygeyskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 4: Yestestvenno-matematicheskiye i tekhnicheskiye nauki), 2021, no. 2 (281), pp. 56-65.
8. Savos' N.YU. "The problem of classes P and NP", Proc. of 68th Scientific and Technical Conf. of Pupils, Students and Undergraduates (68-ya nauchno-tekhnicheskaya konferentsiya uchashchikhsya, studentov i magistrantov), Minsk, BGTU, 2017, pp. 292-295.
9. Soto R., Rodriguez-Tello E., Monfroy E. "Recent advances on swarm intelligence for solving complex engineering problems", Mathematical Problems in Engineering, 2018, vol. 2018, 5642786, p. 1.
10. Ugwuishiwu C.H., Okoronkwo M.C., Bande P.S., Asogwa C.N. "An overview of classical and quantum complexity theory", 2021 IEEE 4th Int. Conf. on Information Systems and Computer Aided Education, Dalian, China, 2021, pp. 166-171.
11. Vasil'ev E.M., Marenchuk V.R. "Solution of the Steiner problem based on genetic algorithms", Control Systems and Information Technology (Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii), 2005, no. 2, pp. 38-44.
12. Kostenko V.A., Frolov A.V. "Genetic algorithm with self-learning", News of the Russian Academy of Sciences. Theory and control systems (Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Teoriya i sistemy upravleniya), 2015, no. 4, pp. 24-38.
13. Brester K.Yu., Stanovov V.V., Semenkina O.E., Semenkin Ye.S. "On the application of evolutionary algorithms in the analysis of big data", Artificial Intelligence and Decision Making (Iskusstvennyy intellekt i prinyatiye resheniy), 2017, no. 3, pp. 8293.
14. Zorin D.A., Kostenko V.A. "Annealing simulation algorithm in problems of building multiprocessor schedules", Automatics and Remote Control (Avtomatika i telemekhanika), 2014, no. 10, pp. 97-109.
15. Kureychik V.M., Kazharov A.A. "Using swarm intelligence in solving NP-hard problems", Proc. of the Southern Federal University. Technical Science (Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. Tekhnicheskiye nauki), 2011, vol. 120, no. 7, pp. 30-36.
16. Lagunova A.D. "Gray Wolf Pack Algorithm (GWO) for optimization problems", Original Research (Original'nyye issle-dovaniya), 2019, vol. 9, no. 4, pp. 52-62.
17. Vasil'ev E.M., Krutskikh I.V. "Genetic Algorithm for solving the quadratic assignment problem", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2011, vol. 7, no. 3, pp. 29-33.
18. Podval'nyy S.L., Vasil'ev E.M. "Multiple alternatives: evolutionary strategy of biological systems", Large-Scale Systems Control (Upravlenie bol'shimi sistemami), 2019, issue 77, pp. 125-170.
19. Podval'nyy S.L., Vasil'ev E.M. "Evolutionary principles of building intelligent systems of multi-alternative control", Control Systems and Information Technology (Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii), 2014, vol. 57, no. 3, pp. 4-8.
20. Podval'nyy S.L., Vasil'ev E.M. "Models of multi-alternative control and decision-making in complex systems", Control Systems and Information Technology (Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii), 2014, vol. 56, no. 2.1, pp. 169-173.
21. Podval'nyy S.L., Vasil'ev E.M. "Intelligent systems of multi-alternative control: principles of construction and ways of implementation", Proc. of XII All-Russian Meeting on Control Problems of VSPU-2014. Institute for Control Problems. V.A. Trapez-nikova RAS (XII Vserossiyskoye soveshchaniye po problemam upravleniya VSPU-2014. Institut problem upravleniya im. V.A. Trapeznikova RAN: trudy), Moscow, ICP RAS, 2014, pp. 996-1007.
22. Vasil'ev E.M., Krutskikh I.V. "Evolutionary algorithms with matrix replication", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2011, vol. 7, no. 2, pp. 21-23.
23. Taillard E.D. "Comparison of iterative searches for the quadratic assignment problem", Location Science, 1995, no. 3, pp. 87-105.
24. Vavilov N.I. "The law of homologous series in hereditary variability" ("Zakon gomologicheskikh ryadov v nasledstvennoy izmenchivosti"), Leningrad, Nauka, 1987, 256 p.
25. Eygen M. "Self-organization of matter and evolution of biological macromolecules" ("Samoorganizatsiya materii i evoly-utsiya biologicheskikh makromolekul"), Moscow, Mir, 1973, 224 p.
Submitted 15.06.2022; revised 17.08.2022 Information about the authors
Semyen L. Podval'ny, Dr. Sc. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya, Voronezh 394006, Russia), e-mail: spodvalny@yandex.ru, tel.: +7(473) 243-77-20
Evgeniy M. Vasil'ev, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya, Voronezh 394006, Russia), e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, tel.: +7(473) 243-77-20
