CC BY
27
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)310-599; 7(928)102-11-06.
Руководитель ТТИ ЮФУ; профессор.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)310-599; 7(928)102-11-06.
Chief of TlT sFedU; professor.
Черчаго Антон Александрович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(863)371-606; 7(928)920-48-34.
Кафедра высшей математики; аспирант.
herchago Anton Alexandrovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)371-606; 7(928)920-48-34.
The Department of Higher Mathematics; post-graduate student.
УДК 519.63:532.55
АЛ. Сухинов, М.Д. Чекина
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЫПАДЕНИЯ ОСАДКОВ И ЗАТОПЛЕНИЯ
Целью данной работы является оценка скоплений дождевой воды и прогнозирование затоплений. Проводится исследование динамики затопления некоторой области. Для решения этой задачи построена математическая модель на основе уравнения Сен-Венана. В результате были получены сеточные функции высоты столба жидкости, а также картины динамики затопления области. Полученные результаты являются физичными и согласуются с ожидаемыми.
Динамика затопления; уравнение Сен-Венана; русловые потоки.
A.I. Sukhinov, M.D. Chekina
MATHEMATICAL MODEL AND NUMERICAL METHOD OF WASTEWATER GATHERING AND FLOOD FORECASTING
The main purpose of the work is to create an estimation of wastewater gathering and flood forecasting. Investigation of flood of some region was considered in the work. Mathematical model of the task is based on Saint-Venant equation. The results of the investigation are the mesh functions of the height of liquid column and pictures of flood of the region dynamics. Received results correspond to the expected one.
Flood dynamics; Saint-Venant equation; channel flow.
Введение
Данная работа посвящена оценке скоплений дождевой воды и прогнозирова-.
.
Для решения этой задачи было использовано уравнение Сен-Венана, связывающее высоту столба воды с потоком, и вспомогательное уравнение, задающее коэффициенты впитывания грунта.
Постановка задачи
В данной работе рассматривается распределение осадков в модельной области, показанной на рис. 1.
о-
О 5 10 15
НО
Рис. 1. Распределение осадков в модельной области
Ось Ох направим вертикально вверх, ось Оу - слева направо. На рисунке фиолетовым цветом показана наибольшая глубина, а красным наименьшая.
Для решения этой задачи построим математическую модель на уравнения Сен-Венана [3], которое объединяет глубину Н с потоком Q:
Н = & + &у - 2 + / , (1)
где 2 - функция, задающая степень впитывания в области (сток), а / - источник, . . - .
, :
2/ = — к2 + к2 , (2) к1 > к2 Н Ф Н0
<
к1 = О Н = Н0,
где к1 - коэффициент промокания, к2 - коэффициент, задающий скорость впитывания, Н - высота водяного столба, Н0 - естественный уровень воды.
Выражение для потока:
<2:
аді+к&ф)в-і), (р>%
О, р<р0,
(3)
где tgр■■
рн] 2 ( диЛ
+
1дх 1дУ )
(р - угол наклона, К1, К2 и р - характеристики те-
.
Граничные условия задаем в форме Неймана:
н; =о.
Для отыскания решения данной задачи нам необходимо рассмотреть систему Проведем преобразования, выражая поток Q через высоту Н, получим:
н; = (к (н) н; )Х + (к (н) н у г - г+/,
(1-3).
где
к(н) = Кі((1 + К^рУ-1).
tgр '
(4)
(5)
Итак, в результате нужно рассмотреть систему уравнений (4) и (2).
Дискретизация непрерывной модели
Для получения консервативных разностных схем естественно исходить из уравнений баланса, записанных для ячеек сеточной области. Входящие в эти уравнения баланса интегралы и производные следует заменить приближенными разностными выражениями. В результате получаем однородную разностную схему. Такой метод получения консервативных схем будем называть интегро-интерполяционным методом [1].
Для построения решения разностной схемы будем использовать равномерную сетку: ^ ={хг = тх,у = ]Ъу; г = ^,] =1..Ыу; ЫхЬх = 1Х,ЫуЬу = 1у].
(4) -
, - -тода. В итоге получим следующую разностную схему:
н;+1(- + К”і (Н ^ + К"і (Н )-^ + К"і(Я ^ + К" і(Н )-!•) - Щ“К\ (Н ^ -
■ ' ‘+~2] К <-гі к к2 й2 1 <+-21 к (6)
т
і
і
К
і
- К" і (нн— - К" і (н)—н;+\ - К" і (н)—н;+і =-н; - г; + „ ,,+_ ь "— и
і
т
Определенную сложность представляет аппроксимация коэффициентов (5). Проведем ее следующим образом:
2
где
К (Н) = К 1п(1 + К^ф) =±- К X
(-1)”
И=1 п
<К^ф)п =
1
К К^ф-1 к2^ф+1 К2%Зф +» 1 =
1
3.3
2
3
= ККг - - К,К2%ф + 3 К,К2^ 2ф + 0^ Зф),
tgФ = ,
ттп ттп
Нг+у Н1-у
2Н„
ттп ттп
Н у +1 Н у-1
2И„
+ 0(И2х + Г).
у /
(7)
(8)
Аппроксимируем уравнение (2):
где
п+1 п
г.. - г.. у____________ч_
т
1
п+—
-кЩ2у 2 + к2,у
(9)
(10)
В граничных узлах получаем следующие выражения:
♦ верхняя граница (X, у) е Гх-:
(К(Н)НX )Х = Кп 1 (Н)-^(Н" -Н");
,+- j 2
К
1
tgф^
-2 / \ 2 п т_гп ттп \
Н гУ+1 - Н у-1
+
2К
♦ нижняя граница (X, у) е Гх+ :
1
(К (Н) Н X )Х = - К" х (Н ) — (Щ/ - Н% ) ;
,—у 2
tgф
2
+
Яп ттп
у+1 Н г/-1
2
2к,
♦ левая граница (х, у) е Г :
(К(Н)Ну )у = Кп 1 (Н^(Н" -Н,“);
:/+;
к
tgф\
\2 / \ 2 ^^^п ______________________________^^п | | Щп ______________________________Щп
,+1 у
2к
+
■ у+1
К
♦ правая граница (х, у) є Г :
у+ '
(К(н)ну )У = - к" і(н )-іг(н," ■ - н;-);
у— к
7 2 х
tgр =
Ґ ип ип ^
н>+\ 1 н 1-І у
2к
2 / \ 2 I ттп ттп \
+
н; -н;- і к
V х у V у у
Погрешность аппроксимации разностной схемы
Найдем порядок погрешности аппроксимации для
( к ( н Щ )Х = К", (Н )±(Н$ - щ;') - К", (н^щ* - н" ). (11)
г-^ 1 к ,—1 к
Г X г X
Разложим в ряд Тейлора Н^,., Н,-1 и К", у (Н), К,- у (Н) в точках (г;,п+1) и (г,;,п) соответственно:
н;±-г = н;+ ± ихн;п+і + ^ н""1 ± ^ н1"+ + ои 4);
у У х У г\ у ґ у \ х у 7
к к 2 к 3
К,± у (Н) = к; (Н) ± к2^кг'п (Н)+-^К; (Н) ± -48 1 (Н)+о—4).
Подставим полученные выражения в (11) и после приведения подобных получим
К\ (Н^(НЙ -н;*')-К". (Н)-!(Щ*' -Щ.+') =
г+—; к г—1 к
2 X Г
=к;+1 (Н) н; п+1 + г; 1 (н ) щп+1 + о—2+т) = (к ( н ) щ х + о—2+т)
Аналогично для
( к ( н ) ну )'у = К"+, ( н ) -1 (Н“1 - н; ") - к" (Н) (н; *’ - н;- ):
1 + 2 к 1 2 «X
К", (Н ^(Н,"1 - щт1) - К", (Н ^(н,;*1 - н,;:1)=
к г;— к
2 X 2 X
=к;+1 (н)н^ + кг;+1 (н)н+ 0(ку2 + т) = (к(н)ну )у + 0(ку2+т).
Учитывая порядок погрешности аппроксимации коэффициентов К(Н) формулы (7-8), получим, что порядок аппроксимации схемы (6) будет равен
о—2 + -у 2 +т).
Разложим в ряд Тейлора г”+1 и г” в точке (,,;■"+ %):
1 12 1
„+1 "+2 т ,”+2 т ,,”+2 гл, 3 \
г = г 2 + — г 2 + — г 2 + 0(т );
2 8
1 12 1
п+— т "+— т "+—
г" = г 2 --г 2 + — г" 2 + 0(т )
2 8
п+1 п
г.. - г..
л г; г; Подставим полученные ряды в выражения для производной
1
п+----
2
'У
ДЛЯ , имеем:
_"+1 п
г.. - г-- 1
т
( 1 2 1 12 1 Л
т ,"+2 т „"+2 т ,"+2 т ”'
--- / .."+--- / ."+--- / .." +- -ч
■г' 2 +-------------г 2 + — г 2-----------------------------г 2 + 0(т )
2 8 2 8
\
т
п+
г ' 2 + 0(т );
1 1 1 1 „-2 1 1 1 „.2 1 1
1 / . \ 1 п+— т и+— т п+— т и+— т „п+— , п+— .
-Чг"*1 + г")= ^(г 2 + -г' 2 +—г" 2 + г 2--г 2 +—г" 2 + 0(т3)) = г 2 + 0(т2).
2 v 1 1' 2 2 8 2 8
Порядок погрешности аппроксимации для схемы (9) 0(т2) .
Устойчивость разностной схемы
Проверим устойчивость разностной схемы к возмущению входных данных. Выделяется две совокупности узлов и остальные узлы, которые называют окрестностью узла (,;)■
Каноническая форма записи сеточного уравнения [1]:
Ьу(Р) = Л{Р)у{Р)- X В(Р,в)у«2) = Р(Р),
<2еш'{р)
где Р = (,,, x21) - центр шаблона,
0 (®) = {( (*1,г+1, X2,у ), ( (*1,г-1, X2,у ), ( С,,,, X2,у+1 )] - -
лона, Q еШ'(Р).
Выпишем коэффициенты А(Р) и Б(Р^) для схемы (6):
А(Р) =1 + Кп 1 (Н)-у + Кп 1 (Н)-1 + Кп 1 (Н)-1 + Кп , (Н)-^:
т г+21 - г-2; - ;+2 К 1-2 К
К
Б( Р, Qx: ) = К" 1 (Н ) —;
Б(Р,Qx_) = К", (Н)-!;
г—1 -
2 X
Б(Р,Qy:) = К" ,(Н)-!;
г, +- -
2 "у
Б(Р,б,-) = К" ,(Н)■!.
г,— -
2у
И
Проверим условия принципа максимума [1]:
А(Р) > 0
В(Р, О) > 0 (12)
А - £ В(Р, О) > 0
Ое0 '(Р)
Нетрудно видеть, что условие (12) выполняется для всех положительных коэффициентов К(Н), а это значит, что схема (6) устойчива.
Консервативность дискретной модели
При написании разностных схем следует добиваться, чтобы эти схемы выражали на сетке соответствующий закон сохранения. Такие схемы называются консервативными [1].
Проверим консервативность для нашей дискретной модели.
Просуммируем (К(Н)НX )Х по I .
1 ^-1 Г 1 1 ^
К" 1 (Н)-г(Н^и - Н^) + £ К" 1 (Н)-г(Н^ - Н»+1) - К" 1 (Н^(Н-1 - Н-1)
">+7 К 1 ¡^Д '+2 К 1 1 ¡- у кх 1 ] /
1 ^2^1 1
- кN 1 (Н)—Н+‘ - Н--и) = £ к" 1 (Н)-Г(Н^ - НП+1) - к" 1 (Н)—(Н+1 - Н-‘)
"2Кх 2 ' ¡“^ К ' ' ¡"^ К ' \
+ КN 1 (Н^(Н^ - Н£ц) - КN 1 (Н^(Н^. - Н"1) =
N—. К N2+-. К
1 г X 2 г X
^2 1 ^2 1
= £ к" 1 (н)—(н% - НП+1) - £ к" 1 (Н)-(щ;1 - н"+1) +
¡=N1 ¡+ 2. Кх ¡=-N1 1 2. Кх
+ К" 1. (Н^(Н^1 - Н-1.) - К" 1. (н)-^(н""++и - н;+1 ) =
N1 — > К N2 +— > К
1 2 х 2 Г х
•N21 N2-1 1
= £К\ (Н)—(щ:1 - Н"+1) - £ К»1 (Н) —(Н"+1 -Н»+1) +
гг! ¡+— I К • Тт-1 ¡+—I К
¡=N1 2 X ¡=N1-1 2 пх
+ К, и(я)—(я% -)-К, 1 .(Н^ттСН^ -) =
=к: +1 ,.(я^7т(я;;+и - я-) - г-1 (я)-ся-1 - )+
+ к- ^(Ю-гН; -я£и)-к” +1 (я^тт(я^;и -я£)=0.
Аналогично для (К (Я ) Я'у )'у :
1 М -1 Г 1 1
К " 1 (я)—(я",1; - ям+1); £ к ” 1 (я)—(Я";; - я-1) - к ” 1 (я^-гг(я/;+1 - я£)
М1+2 1 ¿=МЧ 1; 2 ^ 7 7 1 -2 1 1
-к: 1(я)—(яМ -яп+1-1) = 0.
Таким образом, баланс на дискретном уровне как для оператора диффузионного переноса, так и для всего уравнения сохраняется, значит схема консервативна.
Метод верхней релаксации
Для решения полученной СЛАУ использовался метод верхней релаксации [2]. Любой двухслойный итерационный метод можно записать в следующей канонической форме:
,П +1
В
У - У т
+ Ауп = /, п = 0,1..., у0 = и0.
Каноническая форма для метода верхней релаксации
■у3)
( У3+1
(В + ЮА-
ю
- + Ау3 = /
У = и
,
В = В + юА , т = ю.
После преобразований получим
( 1 ^ А~ +—В ( 1 \
у;+1 + А+ + 1- В
1 ю ) V V ю )
У3 = /,
где А+ -
верхняя треугольная (наддиогональная) матрица, А - нижняя треугольная (поддиагональная) матрица, В - диагональная матрица.
Отсюда находим итерационную формулу:
уЗ *' = (1 -ю) у;+-
агг V
Г N г-1
/ - Т ауу; -Х
а. у.
гЫ 1
з гк 1
]=г 1=1 у
В данной задаче мы использовали значение веса ю=1,80.
Результаты численных экспериментов
, . 1, :
♦ при интенсивности осадков /=1 и коэффициенте промокания к1=0,1, коэффициенте впитывания к2=0,1 в полосе области, с седьмой по одиннадцатую строку (по оси Оу) и к1=1,5, к2=1 по краям области, 50 итерациях по времени результат показан на рис. 2;
♦ при 200 итерациях, источнике /=1 до 150 итерации, /=0 после и при тех же остальных параметрах результат показан на рис. 3;
♦ при 500 итерациях, источ нике /=1 до 400 итерации, /=0 после и тех же остальных параметрах (рис. 4).
На рис. 2-4 закрашенная область есть уровень воды, а незакрашенная - ис.
,
, . 2, -сти осадков (или их высокой интенсивности) затапливается вся область, таким об, .
н, НО
Рис. 4. 500 итераций
Заключение
Данная работа посвящена оценке скоплений дождевой воды и прогнозированию затоплений. Модель, полученная в ходе работы, в дальнейшем может быть использована для предварительной проверки эффективности дождевых канализаций в городских условиях.
Для решения этой задачи было использовано уравнение Сен-Венана, связывающее высоту столба воды с потоком, и вспомогательное уравнение, задающее коэффициенты впитывания грунта.
Результатом работы программы являются сеточные функции высоты столба , . являются физичными и согласуются с ожидаемыми.
В ходе выполнения работы было сделано:
♦
дождевой воды, учитывающая такие физические характеристики, как:
рельеф местности, количество осадков, степень промокания и впитывания грунта;
♦ выполнена дискретизация непрерывной модели с помощью интегро-
;
♦ выполнены аналитические исследования погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели;
♦
C++;
♦ проведен ряд численных экспериментов;
♦ сделана анал из результатов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сам арский А А. Теория рази остных схем. - М.: Наука, 1977. - 666 с.
2. Сам арский А А. Введение в численные методы. - СПб.: Лань, 2005. - 288 с.
3. Копдоба А.В.,Повещенко Ю.А. Методы математического моделирования окружающей среды. - М.: Наука, 2000. - 254 с.
Сухинов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)310-599; 7(928)102-11-06.
Руководитель ТТИ ЮФУ; профессор.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)310-599; 7(928)102-11-06.
Chief of TIT SFedU; professor.
Чекина Мария Дмитриевна
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(928)154-15-26.
Кафедра высшей математики; студентка.
Chekina Maria Dmitrievna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(928)154-15-26.
The Department of Higher Mathematics; student.
