CC BY
6
УДК 621.396.968
БОТ: 10.15587/2312-8372.2019.170080
МАТЕМАТИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ БАГАТОМ1РНОГО
ЗГЛАДЖУВАННЯ НАВ1ГАЦ1ЙНИХ ПАРАМЕТР1В ПОВ1ТРЯНОГО СУДНА З ВИКОРИСТАННЯМ МЕТОДУ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТ1В
Писарчук О. О., Гршенко О. О., Васильева М. Д., Лопатш К. В.
1. Вступ
Розвиток шформацшних технологш у визначальнш м1р1 формуе тренд розвитку ав1ацшно! галуз1. Сучасш процеси управлшня повпряним рухом реал1зуються на единш шформацшнш платформ1 - глобально-локальних шформацшних кластер1в, що об'еднаш в едине шформацшне середовище. До елеменпв та учасникв такого процесу (суб'екпв та об'ектв управлшня) вщносятъся:
- наземш системи та комплекси контролю повпряно! обстановки;
- наземш комплекси управлшня повпряним рухом - наземний кластер;
- повпряний кластер, до якого включеш лгтаки р1зного типу та призначення.
Повпряний кластер слщ розглядати на локальному р1вш окремого
повпряного судна (ПС). Тод1 локальне шформацшне середовище лпака слщ вважати таким, що утворено системами та комплексами авюшки.
Сучасш системи авюшки будуються за принципом штегрованих систем, що е локальним елементом розподтено! шформацшно! системи, яка функцюнуе на загальному шформацшному середовишд системи управлшня повпряним рухом. Головною шформацшною складовою для тако! системи е нав1гацшна шформацш про мюцеположення кожного повпряного судна, яка мютить динам1чно оновлюванш даш про його поточш координати та параметри руху. Традицшно у склад1 авюшки кожного лпака присутш три класи нав1гацшних систем: автономш нав1гацшш системи; автономш радюнав1гацшш системи; неавтономш радюнав1гацшш системи [1]. Кожен 1з трьох зазначених клашв потенцшно може бути представленим до чотирьох тишв дискретних радюнав1гацшних пристро!в. Така наявнють нав1гацшних систем 1 пристро!в обумовлена жорсткими вимогами до безпеки польот1в повпряних суден, що досягаеться елементарним резервуванням 1 дубляжем джерел траекторно! шформацп. В той же час отримувану надм1ршсть даних можливо застосувати для шдвищення точносп визначення нав1гацшних параметр1в лпака при !х сумюнш обробш.
Реал1зац1я тако! ще! потребуе створення единого шформацшного середовища та розробки математичних метод1в комплексно! спшьно! (багатовим1рно!) обробки нав1гацшно! шформацп в1д набору незалежних шформацшних джерел - нав1гацшних систем р1зного класу та типу, розташованих на борту лпака конкретного типу.
З практично! точки зору, такий шдхщ вимагае застосування процес1в еволюцп програмного забезпечення бортового обчислювального комплексу лпака 1з впровадженням мережевих технологш збору, збер1гання та обробки нав1гацшно! шформацп [2].
Актуальшсть дооидження полягае в розробцi математичного забезпечення багатомiрного згладжування навiгацiйних параметрiв повiтряного судна для реалiзацii процешв еволюцii програмного забезпечення бортового обчислювального комплексу ПС.
2. Об'ект досл1дження та його технолог1чний аудит
Об 'ектом дослщжень е статистичний аналз експериментальних вибiрок навпащйних параметрш ПС. Ц параметри характеризують траекторк» руху ПС з урахуванням параметричноi й часовоi надмiрностей для щдвищення точност визначення навпащйних параметрв лiтака з використанням методу найменших квадратв.
Предметом дослщжень е процес обробки накопичених вибiрок навiгацiйних параметр1в ПС. Для цього необхщно визначити iхнiй функцюнальний взаемозв'язок, як величин, що характеризуе единий об'ект конкретного ПС.
Одним з найбшьш проблемних мiсць е реаизащя процесу одержання функцiональних взаемозв'язюв координат ПС зi збереженням параметрiв i властивостей траекторii руху динамiчного об'екта незалежно вiд перетворення координатного простору.
3. Мета та задач1 дослщження
Метою роботи е розробка математичного забезпечення багатомiрного згладжування нав^ацшних параметрiв повiтряного судна з використанням методу найменших квадралв.
Для досягнення мети дослщжень забезпечуеться розв'язанням взаемопов'язаних часткових наукових задач:
1. Математична постановка задачi багатовимiрного згладжування нав^ацшних параметрiв.
2. Розв'язання сформульовано!' задачi методом найменших квадратiв, використовуючи тдхщ афiнного вiдображення координатного простору.
4. Дослщження кнуючих р1шень проблеми
Багатовимiрне згладжування навiгацiйних параметрiв вiдноситься до класу задач статистично!' обробки експериментальних даних. Це реаизуеться шляхом пошуку параметрiв апрiорно задано1' моделi, узгоджено1' iз стохастичною вибiркою вимiрiв [3, 4]. На тепершнш час ус вiдомi пiдходи до побудови математичних моделей за експериментальними даними базуються на методi максимально1' правдоподоби та його похщних у формi рекурентних алгоршшв, або згладжування накопичено1' вибiрки. Вiдомо розв'язок задач багатовимiрноi фшьтрацп стохастичних процесiв з використанням рекурентних фiльтрiв [3, 5]. Однак, рекурентш процедури оцiнювання, як правило, базуються на спрощених моделях дослiджуваних процешв та характеризуються невисокою точнiстю оцшювання та адекватними прогнозними даними на 3-4 вимiри дослiджуваного процесу. Рекурентним процедурам фшьтрацп також характерне явища «розходження фшьтру», але популярнiсть !х застосування виправдана реальним часом отримання оцшок дослiджуваних динамiчних процесiв.
Зважуючи на недолiки рекурентних пiдходiв в окремих задачах
aпоcтepiоpного оцiнювaння, нaдaють пepeвaгy aлгоpитмaм зглaджyвaння зa нaкопичeною вибipкою. У цьому ceнci нe виpiшeною зaлишaeтьcя пpоблeмaтикa бaгaтовимipного зглaджyвaння нaкопичeноï вибipки з викоpиcтaнням МНК (мeтодa нaймeншиx ^anpa^), що зaбeзпeчye виcокоточнe оцiнювaння шв^циних пapaмeтpiв ПС в iнтeгpовaнiй aвiонiцi.
Свiдчeнням цього e низкa пepiодичниx видaнь.
Тaк, в pоботi [6] зaпpопоновaно pозв'язок зaдaчi бaгaтовимipноï pe^pem^!' фiльтpaцiï нaвiгaцiйниx пapaмeтpiв моpcького cyflra Aвтоpи нaводять pозв'язок зaдaчi cymcroro оцiнювaння нecинxpонниx вимipiв. Пpи цьому тaкий пщхщ до peaлiзaцiï бaгaтовимipноï обpобки бaзyeгьcя нa нaкопичeнiй вибipцi.
В pоботi [5] pозглянyто бaгaтовимipний кaлмaновcький фiльтp для зглaджyвaння шв^циних пapaмeтpiв aepодинaмiчниx цiлeй з викоpиcтaнням нeлiнiйниx модeлeй. Бaгaтовимipнicть доcягaeтьcя зacтоcyвaнням блочно-дiaгонaльниx мaтpиць в мaтpичнiй фоpмi фiльтpa. Цe нe зaбeзпeчye пiдвищeння iнтepвaльноï точноcтi peзyльтyючоï оцшки нaвiгaцiйниx пapaмeтpiв, чepeз нeвpaxyвaння коpeляцiйного зв'язку мiж ними.
В доcлiджeннi [7] зaпpопоновaно peaлiзyвaти нaвiгaцiю бeзпiлотного лiтaльного aпapaтa з викоpиcтaнням iнтeлeктyaльниx тexнологiй побудови iнтeгpовaноï тpaeктоpiï зa дaними вiд дeкiлькоx нaвiгaцiйниx джepeл. 3a оcновy пpоцeдypи оцiнювaння пepвинниx нaвiгaцiйниx пapaмeтpiв обpaно мeтоди pe^pem^!' фiльтpaцiï. Kомплeкcyвaння дaниx peaлiзовaно як виpiшaльний aлгоpитм нeйpонноï мepeжi. ^и цьому cтaтиcтичнi зaлeжноcтi тa acинxpоннicть вимipiв нe вpaxовaно.
В [8] peaлiзовaно бaгaтовимipнy peкypeнтнy фiльтpaцiю тpьоx нaвiгaцiйниx пapaмeтpiв. Вимipи пpиймaютьcя cинxpонними, бeз вpaxyвaння коpeляцiйного зв'язку мiж ними, що вiдобpaжeно у фоpмyвaннi дiaгонaльноï коpeляцiйноï мaтpицi похибок. Пш^ння acинxpонного aпоcтepiоpного зглaджyвaння коpeльовaниx шв^циних пapaмeтpiв зa нeвизнaчeним cклaдом пepвинниx джepeл зaлишилоcь нe виpiшeним.
В pоботi [9] зaпpопоновaно викоpиcтaння тpиpiвнeвого cкaляpного фiльтpa Kaлмaнa для оцiнювaння пapaмeтpiв pyxy aepодинaмiчниx об'eктiв. Тpиpiвнeвa cтpyктypa фiльтpa нe пepeдбaчae бaгaтовимipнe зглaджyвaння, тим бiльшe тaкe piшeння нe пpидaтнe для aпоcтepiоpного зглaджyвaння.
В pоботi [10] обговоpюeтьcя кош£пщя вбyдовaного cтaтиcтичного опepaтивного aнaлiзy тpaeктоpiй ПС. Стaтиcтичнa обpобкa бyдyeтьcя та peкypeнтниx pозшиpeниx aлгоpитмax. Тaкiй тдхщ ^ виpiшye зaдaчy бaгaтовимipного aпоcтepiоpного оцiнювaння нaвiгaцiйниx пapaмeгpiв ПС.
В pоботi [11] виpiшeно зaдaчy бaгaтовимipного оцiнювaння cтaтиcтичноï похибки обpобки eкcпepимeнтaльниx дaниx. Haвeдeнi peзyльтaти дозволяють оцiнювaти точнicть бaгaтовимipниx пiдxодiв комплeкcyвaння нaвiгaцiйниx пapaмeтpiв. Однaк, викоpиcтaнi пpи цьому лшшш модeлi нe дозволяють зacтоcyвaти отpимaнi peзyльтaти для нaкопичeниx вибipок, дe icтотно впливaють нeлiнiйноcтi pyxy ПС.
В [12] зaпpопоновaно мeтодикy бaгaтовимipноï iнтepполяцiï нa бaзi MHK. 3a cвоeю cyгтю шдхщ вiдобpaжae блочно-дiaгонaльнe pозшиpeння MHK мaтpиць з
подальшою скаляр1защею алгоритму розрахунку оцшок. Недолками шдходу е:
- втрата швар1антност1 алгоритму до типу модел1 дослщжуваного процесу;
- неврахування кореляцшно! залежност вим1рюваних параметр1в;
- лшеаризащя моделей змши дослщжуваних процешв.
Нарешт в робот [13] розглянута можливють реал1зацп багатовим1рного статистичного анал1зу. Базовим методом оцшювання виступае МНК. Сдшсть модел1 дослщжуваного процесу для формування базових матриць реал1зуеться через мехашзми просторових перетворень. Однак, в робот не конкретизовано порядок формування МНК матриць, не враховано специфшу об'еднання несинхронних нав1гацшних параметр1в ПС та нелшшних характеристик моделей його руху.
Отже, в1дом1 тдходи до багатовим1рного згладжування нав1гацшних параметр1в ПС в штегрованш авюшщ не забезпечують:
- накопичене багатовим1рне згладжування асинхронних вим1р1в;
- врахування кореляцшного зв'язку нав1гацшних параметр1в для тдвищення штервально! точност оцшки мюцеположення ПС;
- використання нелшшних за параметрами моделей, що адекватно описують рух ПС.
5. Методи дослщження
Розробка математичного апарату для забезпечення багатовим1рного згладжування нав1гацшних параметр1в пов1тряного судна здшснюеться за допомогою використання методу найменших квадрат1в. Для реал1зацп запропонованого шдходу використано метод афшного вщображення координатного простору. Це забезпечуе отримання незалежних функцюнальних залежностей координатного поля л1така для !х сумюно! обробки методом найменших квадрат1в.
6. Результати досл1дження
Нехай нав1гацшш параметри ПС, отримаш в1д гшотетично! нав1гацшно! системи на певнш дтянщ польоту являють собою виб1рки в топоцентричнш полярнш (пунктовш, радюлокацшнш) систем! координат (РЛСК):
г = {г],г2,г,,...,г1,...,гп},
£ = £2, £3,...,£п...,£п},
ра,...л), (1)
г = {г1,г2,г3,...,г,,...,гп},
де г, £, Р - вибгрки вишр!в г(, б1 , Д - рад1ально! дальности, азимута й куга мюця ПС в простор! з !хньою змшою в дискретш моменти часу г = 1 ...п; г, г - виб!рки вим1р1в г, г - швидкосп й прискорення по ращальнш дальносп, вщповщно.
BnôipKH BHMipiB (1) являють собою параметричну (по типу видпрюваних координат i швидкостей ïx змши), а також часову (по часовому параметру i ) надмiрностi вихiдних даних.
Необхщно реалiзувати спiльне (6araTOMipHe) згладжування B^ipoK навiгацiйних napaMeTpiB ПС (1), що характеризують траекторш його руху з урахуванням параметрично!' й часово!' нaдмipнoстей з використанням МНК.
Змiнa координат ПС в пpoстopi в РЛСК можливо спрощено представити пoлiнoмiaльними моделями виду:
r(t) = г0 + + r2t2 + ..., s(t) = s0 + s{t + s2t2 +..., /?(i) = /?0+ ££ + /?/ + ...,
r(t) = ^- = rl + 2r2t + ..., (2)
s(t) = ^fi^l = £ + 2 sr>t + v 7 dt
де r{], s{), j30, , s], Д, r2, s.}, Д, ... - координата, швидкють змши й прискорення по вiдпoвiдним параметрам траекторп руху ПС.
Для pеaлiзaцiï процесу спшьного згладжування вимipювaних пapaметpiв руху ПС з використанням МНК необхщно визначити ï^rn функцioнaльний взаемозв'язок, як величин, що характеризують единий об'ект конкретного ПС. Реаизувати процес одержання функщональних взaемoзв'язкiв координат ПС пропонуеться з використанням властивостей афшних вщображень у частини, що стосуеться збереження пapaметpiв i властивостей тpaектopiï руху динaмiчнoгo об'екта незалежно вiд перетворення координатного простору [14, 15]. Так взаемозв'язок пapaметpiв (1) i моделей (2) можна знайти шляхом ïхньoгo перетворення iз РЛСК в геоцентричну абсолютну систему координат (ГАСК) зпдно з послщовнютю, зазначеною у виглядi схеми (рис. 1).
FïïGi. > МСК > ГВСК > ГАСК
Рис. 1. Схема перетворення РЛСК у ГАСК: РЛСК - радюлокацшна система координат; МСК - мюцева (топоцентрична декартова) система координат; ГВСК - геоцентрична вщносна система координат; ГАСК - геоцентрична
абсолютна система координат
Операци рис. 1 забезпечуються формуванням i використанням матриць перетворення, що в аналогичному видi характеризуются виразом [16]:
В =F
ГАСК 1ГАСК
F7
гвск
F A
1 МСК^РЛСК
(3)
де АРЛСК - вектор обм1рюваних миттевих координат ПС й швидкостей !х змши (базова пнстка параметр!в) у РЛСК; ВГАСК - вектор координат ПС й швидкостей IX змши в ГАСК; РГАСК,РГВСК, Рмгк - матриц! перетворення вщповщних координат, форма яких вiдома й широко застосовуеться [14].
Вираз (3) справедливий також i для перетворення моделей (2). Тодi в результат застосування перетворення (3) до моделей (2) отримаемо однозначний взаемозв'язок вимiрюваних параметрiв у ГАСК виду:
— fx (ro' 'Ai' rv sv А»---)» y{t] = fy{r(),s(),p(),rvsvpv..),
z{t) = fXro,en,PQ,rvevpv..), x{t} = /• (r0, s{), P0, rv sv Д,...),
Отриманi в такий спошб залежностi (4) мають складний нелшшний характер з бiльшою кiлькiстю вкладених трансцендентних операцiй. Для спрощення !х наступного аналiзу й використання застосуемо до них диференцiйно-тейлорiвськi перетворення (ДТП), що забезпечить одержання полiномiальноi форми без втрати основного, для властивост задач^ що розглядаеться, - функцiональноi залежностi вимiрюваних координат.
Диференцiальнi перетворення [17] - це операцшний метод, заснований на переводi оригiналiв в область зображень iз використанням операцп диференцiювання. Диференцiальнi перетворення в загальному випадку - це функцiональнi перетворення виду:
Z(K) = P{z(t)l = z(t) = f(t,c),
нк ~dKz(tУ
к\ dtK t"
(5)
(6)
де t" - значения аргументу, при якому проводиться перетворення; Z(K} -дискретна функщя цшочисельного аргументу К = 0,1,2,...; Н - вщлзок аргументу, на якому розглядаеться функшя z{t); /'(i,c), що вщновлюе, або апроксимуюча функщя; с - сукупшсть вшьних коефпцеппв сг
Вираз (5) визначае пряме перетворення, що дозволяе по оригшалу z{t) знайти зображення Zi^K). Зворотне перетворення, що вщновлюе оригшал z{t) у вигляд1 апроксимуючо1 функцп, визначаеться виразом (6). Диференщальне зображення Zi^K) називаеться диференщальним спектром (ДС), а значения
функцп Z(K) при вщповщних значениях аргументу К - дискретами диференщального спектра.
У найпростппому випадку функщя, що f(t,c) вщновлюе, мае вигляд
багаточлена й завдання вщновлення оригшалу зводиться до пщсумовування дискрет ДС у виглядi B^pi3^ ряду Тейлора. Диференщальш перетворення в цьому випадку називаються диференцiйно-тейлорiвськими [17].
Застосовуючи ДТП (5), (6) до трансцендентних залежностей (4), отримаемо полiномiальнi форми виду:
x(t)=Knr + Kut+K2/+..., y(t) = K{h/+KUlt + K2/+..., z(t) = K,z + Kizt + K2zt2 + ..., x(t) = K()x + Kui + K2if+..., y(t) = Koi/+KU/t + K2.t2+..., z(t) = K0i + K„t + K2it2 + ....
У виразах (7) коефiцiенти полiномiв (дискрети ДС моделей (4)) характеризують миттеве значення координати, швидкостей !х змiни й прискорення вiдповiдно по кожнiй координатi, що характеризуе положення ПС в ГАСК. Разом з тим отримаш коефщенти полiнома мають однозначну функцiональну залежнiсть iз вимiрюваними координатами ПС в РЛСК, а саме:
К()Х = fox (/()> Д) )'
к1х = f\x (r0, s(),p(), rvsv Д),
К-2.Х = fx (?0> ^0» Д» Г\> S\ 1 Д > S2i Д2 )' /оч
( о )
= fx ( Г0 ' ^0' Д )' Г\' ' Д1)' = fa- (ro' ^,P0, rvsv Д), = fx {?()> ^0» Д)» Г\ > 8\ 1 Д > S2i Pi)-
Аналопчну форму залежност1 вим1ряних координат у РЛСК мають коефщенти полшом1в (7) для координат ПС в ГАСК i ix похщних по г/(/ ), z(/),
y{t), Питания формування залежносл координат ПС в ГАСК вщ
вимiряних координат, ^м властивостей вiдображення (3), визначаеться формою представлення вихщних даних (миттевi значення координат (1) або аналоговi моделi (2)) i обумовлюе порядок полiномiальних форм (7), а також залежностей (8). Надалi цю обставину слiд ураховувати при формуванш матриць МНК для реалiзацii спшьного згладжування вимiряних експериментальних вибiрок.
Таким чином, при одержанш аналiтичних залежностей виду (7) необхщно враховувати сукупнють вихщних (вимiряних) даних (1) для формування моделей (2) i проведення перетворень (3)-(8) з метою спшьного згладжування координат.
По сутi завдання спiльного згладжування вимiряних параметрiв звелося до МНК апроксимацп iз кратними й (або) трикратними вузлами [18]. Продемонструвати це можливо при формуванш матриць методу найменших квадратiв на прикладi трикратних вузлiв у такий спосiб. У загальному випадку алгоритм МНК iз трикратними вузлами можна представити в матричнiй формi [4]:
В = &/2Ф, к = В1 ЯВ,
- л _ - - (9)
К = К"'ВТ (&/2пк), X = ж.
Матриц! алгоритму МНК у форм1 (9) мають нижченаведеш назви й розм1рност1 для експериментальних виб1рок з п вим1р1в { полшом1в т-й степеш з урахуванням перетворень вихщних параметр!в (1) або у форм1 (2) до виду (7):
А
7С[/тг х 1] - вектор коефпценпв полшома, що згладжуе, виду (7);
^[гахт] - матриця значень базисних функцш для координати;
А.
Х\пх 1] - вектор згладжених (ощнок) параметр!в траекторп ДО в ГАСК;
К[3пх 1] - вектор вим1р1в координати \ и похщних у ГАСК;
Ф [3п х т] матриця значень базисних функцш для координати \ и похщних;
^[Згах Зя] - вагова матриця для координати \и похщних;
К^т х т\ - кореляцшна матриця похибок (КМП) визначення координат ДО в ГАСК, пов'язаних з вим1рюваними параметрами в РЛСК у вигляд1 (8);
й[тхт\- кореляцшна матриця похибок оцшювання координат ПС в ГАСК;
Г2[3нх Зя] - коригувальна матриця;
в\3и х т] - матриця зважених значень базисних функцш координати i й похщних.
Зазначенi матриц в загальному видi з урахуванням перетворень вихщних даних (1), (2) до виду (7) формуються в такий спошб:
к
^O.V, Л', А', К0Х2 К2 ...KfiY Kl Y K:)Y ... K^Y KIY К y
T
v {)X¡ JV1X,: JV2X,. — JV0XB 2Xn y
/ A A A a W J2. / A A A \i
^ _2
=
а
P
P
P а
P
V KmK0 KmK 1
P P
Л
P P а
4 P
P а P
а
(10)
i7
M
=
M
лг и
'Г(х1
2 (^l)
^(xj 2 (-^1 )
... ^„(xj -
•• ФЛХ О
C(^i)
Фт{Х l)
«M
(11)
гд, о о о о о о д';
а=
о =
ООО ООО ООО
10 0 о о1 о
ООО?
ООО ООО ООО
о о ол
ООО ООО
ч
о о
О д'п О
о о ^ о о о л
ООО ООО
1 о о
ООО
ООО
(12)
п /
В (10) позначення д.
а
я,
а
А'„
а
характеризують
А'„
величини, обернено пропорцшш дисперсiям вимiру вiдповiдних координат i И похщних, а параметр О. дор1внюе часовому штервалу о держания вим1р1в швидкост1 й прискорення по координат! Т0. Параметр х; являе собою оцифрування елеменлв експериментально! вибiрки рiвнодискретноi послiдовностi - сiткою вимiрiв для масштабування й часовоi прив'язки по аргументу апроксимуючих полшом1в виду (7). При необхщност1 одержання кр1м оцшок координати и похщних слщ зам 1 нити матрицю базисних функцш Т7 II розширеним аналогом Ф.
Визначення базисних функцш для координати фт (лг() { и' похщних ф'т (х(), Фт (х) реаизуеться з умови iх взаемноi (у межах однойменного параметра) ортогональност у полiномiальнiй формi на базi степеневого ряду.
Розрахунки КМП визначення координат ПС в ГАСК реагизуеться по вихщнш КМП вим1ру координат ПС в РЛСК - ЯР/1СК. Вихщна матриця формуеться дiагонального виду за вiдомою шформащею про потенцшну точнiсть вимiрника координат ПС. Дай використовуються властивостi афшного вщображення координат ПС п РЛСК у ГАСК (перерахування схеми рис. 1) для одержання В, в ГАСК зпдно виразу [16]:
К JГАСК [.Лжж |~МСК^-РЛС^мск ] Угвстс ] J,
ГАСК'
(13)
Де /
гдВ Л '
МС-К
'мск
Я/4
V и^РЛСК у
I
гвск
дВ^^ \ т Г дВ,.
'гвск дВ
V д^МСК У
I
глск
ГАСК
V д^/жж у
- матриц Якоб^
складенi з якобiанiв перетворення вихiдного вектора i3 РЛСК у ГАСК i3 промiжними перетвореннями згiдно схеми рис. 1 у вектори координат ДО в
МСК - Вмск i ГВСК - Вгвск;
ЯРЛСК = diag(cr2, а2 ст2р сг2 cr2j - д1агональна матриця дисперсш похибок
вимiру вiдповiдних координат i швидкостей !х змiни.
Формування вектора вимiрiв координати i 11 похщних у ГАСК K реалiзуеться шляхом перерахування отриманих експериментальних вибiрок координат ДО (1) у ГВСК зпдно схеми рис. 1.
Сформован з використанням (11)-(13) матрицi (10) алгоритму МНК (9) дозволяють отримати полiномiальнi моделi виду (7), оцiнку координати ПС й швидкостей !х змши в ГАСК i3 урахуванням вимiрiв координат i швидкостей об'екта спостереження в РЛСК. 1ншими словами, врахувати одночасно параметричну й тимчасову надмiрнiсть вихщних даних в оцiнцi окремо! координати i 11 похiдних. Мехашзм облiку часово! i параметрично! надмiрностей полягае в сутi сформованих виразiв (8) для моделей (7), де у формi функцiй з роздшеними змiнними отриманi однозначнi функцiональнi залежност оцiнюваних координат вiд вимiрюваних параметрiв.
7. SWOT-аналiз результатiв дослiджень
Strengths. Багатовимiрне згладжування забезпечуе пiдвищення точково! точностi оцiнювання положення лiтака у просторi за рахунок спшьно! статистично! обробки параметрично! й часово! надмiрностi вимiрюваних навiгацiйних параметрiв ПС. А також забезпечуе пiдвищення просторово! точност оцiнювання положення повiтряного судна за рахунок шдвищення штервально! точностi ощнювання навiгацiйних параметрiв.
Weaknesses. Використаний у робот МНК реалiзуе спiльне (багатомiрне) згладжування вибiрок навiгацiйних параметрiв ПС, функщональш залежностi яких мають складний нелiнiйний характер з великою кшьюстю вкладених трансцендентних операцiй.
Opportunities. Запропонований пщхщ до багатомiрного згладжування може бути розповсюджений на широке коло прикладних галузей, пов'язаних з вимiрюванням, оцшюванням i прогнозуванням змшних у чаш взаемозалежних процесiв.
Threats. Процес багатовимiрного згладжування вибiрок навiгацiйних параметрiв ПС запропонованим методом е незалежним вiд iнших процесiв обробки нав^ацшно! шформаци, тому загроза негативно! дп на об'ект дослiдження зовнiшнiх чинниюв вiдсутня.
Впровадження запропонованого щдходу не потребуе додаткових витрат для компани.
8. Висновки
1. Сформульована математична постановка задачi багатовимiрного згладжування нав^ацшних параметрiв ПС. Цi параметри характеризують
траекторш руху ПС з урахуванням параметрично! й часово! надмiрностей для тдвищення точностi визначення навiгацiйних параметрiв ллака з використанням методу найменших квадралв.
2. Метод найменших квадратiв, що застосовувався для реаизацп процесу спшьного згладжування вимiрюваних параметрiв руху ПС, отримав подальший розвиток. Для цього був визначений функщональний взаемозв'язок цих параметрiв, як величин, що характеризують единий об'ект конкретного ПС. Реаизувати процес одержання функцiональних взаемозв'язкiв координат ПС запропоновано за допомогою використання властивостей афшних вiдображень у частиш, що стосуеться збереження параметрiв i властивостей траекторп руху динамiчного об'екта незалежно вiд перетворення координатного простору. Для спрощення !х наступного анашзу й використання були застосованi диференцiйно-тейлорiвськi перетворення.
Лiтература
1. Автономнi системи нашгаци конкретного типу повiтряного судна та !х технiчне обслуговування: навч. посiб. / Рогожин В. О., Скрипець А. В., Фшяшкш М. К., Мухша М. П. Ки!в: НАУ, 2015. 308 с.
2. Лаврщева К. М. Програмна iнженерiя. Ки!в, 2008. 319 с.
3. Кузьмин С. З. Цифровая радиолокация. Введение в теорию. К.: КВ1Ц, 2000. 428 с.
4. Ковбасюк С. В., Писарчук О. О., Ракушев М. Ю. Метод найменших квадралв та його практичне застосування: монографiя. Житомир: ЖВ1 НАУ, 2008. 228 с.
5. Неуймин А. С., Жук С. Я. Устранение расходимости расширенного калмановского фильтра для сопровождения цели по данным импульсно-доплеровской РЛС // Вюник Нащонального техшчного унiверситету Укра!ни «Кшвський полiтехнiчний шститут» Серiя - Радютехшка. Радiоапаратобудування. 2012. Вип. 48. С. 66-74.
6. Васильев К. К. Применение статистических методов при проектировании корабельных систем связи и автоматического управления движением // Автоматизация процессов управления. 2011. № 1 (23). С. 72-77.
7. Москаленко В. В., Москаленко А. С., Коробов А. Г. Моделi i методи штелектуально! шформацшно! технологи автономно! нашгаци для малогабаритних безпшотних апаралв // Радюелектрошка, шформатика, управлiння. 2018. № 3. С. 68-77.
8. Guo P., Ivashkin V. V. Accuracy estimation for determining the motion parameters of a nonlinear dynamical system by the measurement result in the presence of interfering parameters // Keldysh Institute Preprints. 2018. Vol. 213. P. 1-36. doi: http://doi.org/10.20948/prepr-2018-213
9. Kastella K., Biscuso M. Tracking Algorithms for Air Traffic Control Applications // Air Traffic Control Quarterly. 1995. Vol. 3, Issue 1. P. 19-43. doi: http://doi.org/10.2514/atcq.3.1.19
10. Benson K. C., Pritchett A. R., Goldsman D. Embedded Statistical Analysis and Selection Procedures in Air Traffic Simulations // Air Traffic Control Quarterly. 2011. Vol. 19, Issue 4. P. 269-297. doi: http://doi.org/10.2514/atcq.19.4.269
11. Kukush A., Markovsky I., Van Huffel S. Estimation in a linear multivariate measurement error model with a change point in the data // Computational Statistics & Data Analysis. 2007. Vol. 52, Issue 2. P. 1167-1182. doi: http://doi.org/10.1016/j.csda.2007.06.010
12. Обобщенная многомерная интерполяция методом наименьших квадратов / Мустафина Д. А., Буракова А. Е., Мустафин А. И., Александрова А. С. // Вестник ПНИПУ. Электротехника, информационные технологии, системы управления. 2018. Вып. 27. С. 30-48.
13. Тюрин Ю. Н. Многомерный статистический анализ: геометрическая теория // Теория вероятности и ее применение. 2010. Вып. 1, Т. 55. С. 36-58.
14. Жданюк В. Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. Москва: Советское радио, 1978. 384 с.
15. Корн Г., Корн. Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Москва: Наука, 1977. 831 с.
16. Анучин О. Н., Комарова И. Э., Порфирьев Л. Ф. Бортовые системы навигации и ориентации искусственных спутников Земли. Санкт-Петербург: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004. 326 с.
17. Семеняка Е. Н., Сухаревский И. В. Метод наименьших квадратов с кратными узлами. Харьков: ВИРТА, 1990. 24 с.
18. Пухов Г. Е. Дифференциальные спектры и модели. Киев: Наукова думка, 1990. 184 с.
