CC BY
60
Новые и перспективные разработки
УДК 537.876.4(075.8)
Материальные и волновые параметры композитных сред в режиме переходного поля
В.Н. Митрохин, Д.С. Рыженко
Рассмотрены электродинамические свойства материальных и волновых параметров композитных сред в режиме волнового поля.
Ключевые слова: диэлектрическая проницаемость, композитный материал, магнитная проницаемость, плазменная частота.
Electrodynamic properties of the composite media material and wave parameters in the wavefield mode have been considered.
Keywords: permittivity, composite material, permeability, plasma frequency.
/Одно из самых перспективных направлений использования мета-
^^материалов с отрицательным коэффициентом преломления связано с разработкой суперлинз, с помощью которых в будущем станет возможно получать изображения, не ограниченные так называемым дифракционным пределом разрешения, что актуально для детального изучения наноматериалов и композитных сред. Метаматериалы позволят также миниатюризировать существующие СВЧ- и КВЧ-устройства, представляет несомненный интерес их применение в медицинской технике и машиностроении. Кроме того, композитные среды, в частности, используются в виде покрытий различных объектов в технологии «СТЕЛС». Данная статья, в отличие от аналогичных работ, посвященных рассмотрению требований к этим покрытиям с точки зрения прочностных и защитных свойств структуры, посвящена только исследованиям электродинамических свойств материалов.
Митрохин Владимир Николаевич
доктор технических наук, профессор кафедры «Радиоэлектронные системы и устройства»,
главный научный сотрудник (НИИ РЭТ МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Рыженко Дмитрий Сергеевич
аспирант кафедры «Радиоэлектронные системы и устройства» (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй
Разработчиков СВЧ-устройств и антенн в последнее время привлекают уникальные электродинамические свойства метаматериалов — композитных сред в виде металлических включений малых электрических размеров в диэлектрическую среду [4, 7, 8]. При этом композитная среда характеризуется эффективными значениями диэлектрической е а, магнитной проницаемостью ц а, удельной проводимостью а.
Статья посвящена анализу свойств такой среды в режиме, когда еа, ц а очень малы или стремятся к нулю в определенном частотном переходном режиме электромагнитного поля.
В соответствии с классической электронной теорией Х.А. Лоренца [11, 13] твердое вещество является системой, состоящей из узлов кристаллической решетки, внутри которой находится электронный газ. В свободном атоме или ионе центр тяжести электронного облака, усредненного во времени, совпадает с ядром. Электрический момент атома отсутствует. Внешнее электрическое поле напряженностью Е вызывает смещение электронного облака относительно ядра и индуцирует в атоме электрический момент рэ. При снятии внешнего поля электрические силы будут возвращать заряды в положение равновесия. Однако из-за наличия массы у частиц (электронов, ионов) и связанной с нею инерции движение частиц после снятия поля будет иметь осциллирующий характер. Пусть собственная частота колебаний для электронов, ответственных за переменную электрическую поляризацию, равна ю0. Тогда движение каждого из таких электронов в электрическом поле Е можно описать уравнением осциллятора:
12 г 2 1г
т—^ + тю0 г + ту э — = еЕ,
(1)
где е = 1,6х10-19Кл — заряд электрона; т = 9,1х10-31кг — его масса; г — вектор смещения электрона относительно положения равновесия. Слагаемые в левой части уравнения (1) представляют собой соответственно силу инерции, квазиупругую силу, стремящуюся возвратить электрон в положение равновесия г = 0, и диссипативную силу, которая пропорциональна скорости движения электрона
и обусловливает затухание колебаний; уэ —
константа затухания, имеющая размерность частоты. В правой части рассматриваемого уравнения записана сила электрического поля, действующего на электрон.
Со смещением заряда е на расстояние г связан дипольный электрический момент рэ = ег, поэтому уравнение (1) можно переписать в виде
1 Р3 . . 2 , ,.. 1Р
Л2
- + «0 р э
э е2 = — Е. ш т
(2)
Если напряженность электрического поля изменяется во времени по закону ехр(/ю?), то р э~ехр(/ю?) и уравнение (2) принимает вид
(—ю2 + «0 + /юу э)р э = — Е.
е т
Следовательно,
1
,2 „2
т ю0 — ю + /юу.
-Е = е 0 X эЕ,
(3)
где е0 = ——10 9Ф/М — электрическая посто-36п
(4) — по-
янная; х0 =--2-ГТ^-
е0т ю0 — ю + /юуэ
ляризуемость одного осциллятора. Если в единице объема содержится N таких осцилляторов, то соответствующая диэлектрическая восприимчивость равна
ю2
Xэ = ^ э = ю2 2 + .
ю0 — ю + /юу э
где
ю„э =д/ш2 /(е0т)
плазменная электриче-
ская частота.
Обычно атомам (молекулам), из которых состоит вещество, можно поставить в соответствие несколько сортов осцилляторов, каждый из которых имеет собственную частоту ю0/ и относительное их число ¥1 = N/ / N .В этом случае полная диэлектрическая восприимчивость равна
Xэ = ю„2э 2 /(ю0/ — ю2 + /юуэ ^ (5)
где суммирование ведется по всем осцилляторам, которые вносят вклад в величины хэ и ¥1.
2
2
1
е
Как правило, ш01 >> уэ/ и в этом случае частотная дисперсия восприимчивости хэ особенно сильно проявляется вблизи собственных частот, т. е. при ш ~ ш0/. В окрестностях этих частот она носит резонансный характер. Вблизи какой-то конкретной частоты (ш0, = ш0) другими (нерезонансными) членами в сумме (5) можно пренебречь, и поэтому при ш ~ ш0 можно написать следующее приближенное выражение для диэлектрической проницаемости вещества:
шт Е
£=1+Хэ=1+-2 2х.
ш0 — ш + 1шу э
(6)
где Е — сила осциллятора с резонансной частотой ш0 и затуханием у э.
Диэлектрическая проницаемость в = в" —/в" и вблизи частоты ш ~ ш0 с учетом (6) принимает вид [1, 2, 6, 7]:
в" = 1 +
ЕшПэ(ш 2 — ш2)
/2 2 \2 . 2 2' (ш0 — ш ) + ш у э
Ешш„2э У э
/2 2 \ 2 | 2 2 (ш0 — ш ) + ш у э
(7)
Известны несколько частных случаев модели Х.А. Лоренца. Так, например, если инерционный член в уравнениях (1), (2) мал по сравнению с другими членами, то получаем модель П. Дебая:
У э
(Г (И
е т
+ 2 „ э ~ ¥7 э
ш0 р = ~Е, X = 2
ш
ш0 + /шу э
(8)
Если же упругая сила в (1), (2) незначительна, то получается модель П. Друде:
(2 рэ + (рэ е2 _ э
—¡г+=—Е х =
ш
а2
(И
т
—ш + /у э ш
(9)
Как видим из сравнения выражений (7)—(9), только модели Х.А. Лоренца и П. Друде могут описывать отрицательные значения диэлектрических проницаемостей. Поскольку модель Х.А. Лоренца является резонансной, действительная часть электрической восприимчивости оказывается отрицательной в узком частотном диапазоне вне резонансной частоты. С другой стороны, модель П. Друде может описать отри-
цательную действительную часть диэлектрической проницаемости в виде
в" = 1 —
ш
У э
ш
2 , 2 ' ш + У э
ш ш2 + у э
(10)
в довольно широком диапазоне частот, определяемом неравенством
ш< л ш
2
■У э
Аналогичные модели могут быть построены для определения магнитных параметров вещества. В этом случае магнитные диполи физически
м
возникают из магнитных моментов р элементарных рамок с токами, математически описываемых с помощью фиктивного магнитного заряда и тока, аналогичных электрическому случаю. Соответствующие уравнения движения для вектора магнитного момента р м и выражений для магнитной восприимчивости с помощью принципа перестановочной двойственности Е ^ ^ р э/в 0 ^р м. После этого магнитная проницаемость определяется выражениями ц = 1+ хм, Ц а = Ц 0 (1+ Xм), где ц0 = 4пх10—7Гн/м— магнитная постоянная. В частности, для модели Х.А. Лоренца получаем
~ 1 . Еш1
ц = 1 + ^-2—:-,
ш 0 — ш + /шу м где ш — магнитная плазменная частота; тогда
ц" = 1 +
Ц
Еш»2м(ш0 — ш2) /2 2\2 , 2 2, (ш0 — ш ) + ш ум
Ешш„2м У м
(ш0 — ш2)2 + ш2у м '
(11)
Удельная проводимость вещества определяется формулами П. Друде [10, 12]:
аг
1+ /шу э
аг
Ые' т э
(12)
При расчете волновых параметров веществ необходимо правильно выбрать результат извлечения квадратного корня из диэлектрической и магнитной проницаемостей при их отрицательных значениях. Следуя [14] при ва < 0, ца < 0, имеем:
в" =
ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй
= >/в'а - К =Vвв0 - К «
ТЙ+/в: / (^/И)],
л/^7=л/ ц'«- /ц: =V цц о - ц
« —[/|цц О!+/ (2V |цц О! )]•
(13)
Для волнового числа к и волнового сопротивления Zэто ведет к следующим выражениям:
k = шл/ё7л/ц7 ~ -ko vMvN х
х^ + /1 к /(|в|вo) + К /(|ц|цо)]
Z =
Zn
х
(14)
х^1+/ 1 к / (Цх о)-в: / (|в|в О)]
где к0 = ю/е0ц 0 — волновое число свободного пространства; Z0 = ^/ц 0 / е 0 — волновое сопротивление свободного пространства.
Показатель преломления при этом вычисляется с помощью следующей формулы:
кс
ш ^
7
в: ц- ^
в 0 ц
+ /
он*О /
+
ц:|в
во
ц
0 /
1/2
->Ш|ц|х
х^1+/ 2 [в: / (|в|в o)+ц: / (|ц|ц o)]^,
(15)
где с = 0 ц 0 — скорость света в свободном пространстве.
Из выражений (14) и (15) видно, что при одновременно отрицательных значениях действительных частей диэлектрической и магнитной проницаемостей волновое число в веществе меняет свое значение на противоположное. Показатель преломления среды в этом случае становится отрицательным.
Возможность материальных сред принимать отрицательные значения параметров как естественного, так и искусственного происхождения позволяет провести следующую классификацию сред [7]:
1. Среда с в > 0, ц > 0 называется дважды положительной (ДП), в зарубежной литературе обозначается DPS. Примером служат обычные диэлектрики, в которых распространяются прямые волны.
2. Среда с в<0, ц >0 называется эпсилон-отрицательной (ЭО), в зарубежной литературе обозначается ENG. Примером является плазма и благородные металлы, в которых электромагнитное поле носит затухающий характер, волновой процесс отсутствует.
3. Среда с в < 0, ц < 0 называется дважды отрицательной (ДО), в зарубежной литературе обозначается DNG. Примером являются метамате-риалы, киральные среды, фотонные кристаллы, в которых распространяются обратные волны.
4. Среда с в > 0, ц < 0 называется мю-отри-цательной (МО), в зарубежной литературе обозначается MNG. Примером являются гиро-тропные магнитные материалы в диамагнитном режиме, в которых электромагнитное поле носит затухающий характер, волновой процесс отсутствует.
Для анализа материальных и волновых параметров в режиме переходного поля воспользуемся макроскопическими уравнениями Максвелла для средних значений напряженностей полей, зарядов и токов [1, 2, 6, 11]:
rotE = -/шц а H, rotH = —/шв а E + j,div(e а E) = р,
divfo а H) = 0. (16)
Когда Re[eа (ш)] ~ 0 и Яе[ц а (ш)] ~ 0, уравнения (16) упрощаются:
rotE = 0, rotH = j, div(e аE) = 0, div^ аH) = 0. (17)
Уравнения с дивергенциями в среде с нулевым показателем преломления удовлетворяются автоматически, если поля конечны. Векторы Е и H изменяются по гармоническому закону с частотой ш, а в пространстве удовлетворяют уравнениям Лапласа и Пуассона, т. е. волнового процесса нет, но поле остается динамиче-
n
ским во времени. Таким образом, в среде с нулевым показателем преломления электромагнитное поле является квазистатическим и удовлетворяет уравнениям (17).
Широко известен другой тип метаматериа-лов, имеющих малые положительные или малые отрицательные значения диэлектрической и магнитной проницаемостей, называемые s -близкие к нулю (ЕМ2)-материалы и ц-близкие к нулю (ММ2)-материалы. В таких случаях напряженности полей удовлетворяют уравнениям Гельмгольца.
В частности, для ENZ-материала из (16) получаем
AE + s(ra)£0VE = 0. (18)
При е(га) > 0 решение этого уравнения имеет волновой характер, а при е(га)< 0 волнового процесса нет, поле имеет квазистатический характер. В этом случае при s ^ 0 (или при ш ^ шпэ, если воспользоваться представлением Друде для диэлектрической проницаемости) мы имеем точку поворота (или точку бифуркации) s^) = s^n3) дифференциального уравнения (18). Поле в этом случае от волнового, например, в среде DPS переходит к квазистатическому в ENZ-среде, и его называют переходным. Как известно [2, 3], эффективность излучения антенн малых электрических размеров может быть увеличена путем компенсации реактивной энергии вблизи источника, и тогда ENZ-материал может быть использован для компенсации реактивной энергии источника типа элементарного электрического диполя в DPS-среде.
Для MNZ-материала из (16) получаем
AE + |^)£02sE = 0. (19)
При ц(ш) > 0 решение этого уравнения имеет волновой характер, а при ц(ш) < 0 волнового процесса нет, поле имеет квазистатический характер. При ц ^ 0 (или при ш ^ ш мэ, если воспользоваться представлением Лоренца для магнитной проницаемости) мы имеем точку поворота (или точку бифуркации) ц(ш) = ц(шпм) дифференциального уравнения (19). Поле в этом случае от волнового, например, в DPS-среде переходит к квазистатическому в MNZ-среде, и его также называют
переходным. В этом случае эффективность излучения антенны малых электрических размеров может быть увеличена путем компенсации реактивной энергии вблизи источника типа элементарного магнитного диполя в DPS-среде с помощью MNZ-материала.
Таким образом, внесение в ближнюю зону антенны ENZ- или MNZ-материалов снижает реактивную часть энергии структуры и способствует трансформации мощности генератора в излученную мощность антенны. С помощью ENZ- и MNZ-метаматериалов разработаны плоские и конформные антенны вытекающей волны с малыми, так называемыми субволновыми, поперечными сечениями [9, 10].
Для DNG-материала из (16) получаем
AE + s(raMra)£02E = 0. (20)
Здесь при е(ш) > 0, ц(ш) > 0 одновременно решение этого уравнения имеет волновой характер — распространяются прямые волны. При е(ш)< 0, ц(ш)< 0 одновременно, решение уравнения (20) также имеет волновой характер, но распространяются обратные волны. Если же е(ш) ^ 0, ц(ш) ^ 0 одновременно мы имеем точку поворота (или точку бифуркации) дифференциального уравнения (20) в виде коэффициента преломления среды, обращающегося в нуль, т. е. п(ш) ^ 0. Поле в этом случае от волнового в DPS-среде (прямые волны) переходит в этой точке к волновому в DNG-среде (обратные волны) и его также будем называть переходным. В этом случае при соответствующей реализации DNG-метаматериала на определенной частоте постоянная распространения к (14) как функция частоты будет проходить через нуль (что дает нулевой коэффициент преломления) с ненулевым наклоном к частотной оси (что дает ненулевую групповую скорость) при переходе из области DNG в область DPS. Это явление используется в антенной технике для получения остронаправленного луча [13]. Рассмотрим, например, линейный источник в центре пластины из согласованного DNG-материала с близким к нулю коэффициентом преломления (Z = д/ца (ш)/ sа (ш) = Z0, ц(ш)^0, е(ш)^0,
п(ш) ^ 0). Цилиндрическая волна, созданная линейным источником, будет формировать по-
выкшшех ©аведжшй
ле обратной волны в пластине. Из закона Снелля известно, что волны, выходящие из пластины DNG, будут иметь угол преломления 9 е стремящимся к нулю для любого угла падения 91 при коэффициенте преломления среды падения п ^ 0:
9„ = arcsin
/nl \ — sin9
\Пе
»0.
/
Это означает, что поле, излученное из любой пластины с нулевым показателем преломления, ортогонально раскрыву, из которого оно излучается. Другими словами, цилиндрическая волна, создаваемая линейным источником, будет преобразована в волну с плоским волновым фронтом.
Свойства переходного поля DNG — DPS-структур с нулевым коэффициентом преломления реализованы в ряде функциональных устройств СВЧ, в частности в фазовращателях, направленных ответвителях, компактных резонаторах. Кроме того, эти свойства используются в материалах с электронной запрещенной зоной (EBG-материалы) на основе периодических структур, обнаруживающих широкие полосы пропускания и подавления в СВЧ-диапазоне [5]. С помощью переходных полей DPS — DNG- и ENG — MNG-структур созданы коаксиальные цилиндрические или сферические оболочки, обволакивающие диэлектрические или металлические цилиндры или сферы и позволяющие сделать объект прозрачным в определенном диапазоне частот. Это значит, что полный эффективный поперечник рассеяния объекта может быть значительно уменьшен, и такой предмет становится существенно «невидимым» [12].
Таким образом, анализ материальных и волновых параметров композитных сред в режиме
переходного поля еще раз подтверждает возможности создания функциональных устройств СВЧ и антенн, обладающих электродинамическими свойствами, не реализуемыми с помощью обычных материальных сред.
Список литературы
1. Нефедов Е.И. Распространение радиоволн и антен-но-фидерные устройства: Учеб. пособие. М.: Академия, 2010. 320 с.
2. Митрохин В.Н. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие. М.: Рудомино, 2010. 208 с.
3. Панченко Б.А., Гизатуллин М.Г. Наноантенны. М.: Радиотехника, 2010. 96 с.
4. Митрохин В.Н., Рыженко Д.С. Использование мета-материалов в устройствах СВЧ // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. Спец. вып. «Антенны и устройства радио и оптического диапазонов». 2009. С. 118—123.
5. Братчиков А.Н. EBG-материалы (электронные кристаллы) в антенной и СВЧ-технике. М.: Радиотехника, 2009. 72 с.
6. Голубева Н.С., Митрохин В.Н. Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот: Учеб. пособие. 2-е изд., стереотип. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 488 с.
7. Митрохин В.Н. Электродинамические свойства мета-материалов: Учеб. пособие / Под ред. Н.А. Бея. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 48 с.
8. СихволаА., Третьяков С.А, де Баас А. Метаматериалы с экстремальными материальными параметрами // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. № 9. С. 1066—1071.
9. Alu A., Bilotti F., Engheta N., Vegni L. Subwave length Planar Leaky — Wave Components With Metamaterial // IEEE Trans. Ant. and Propag. 2007. V. 55. № 3. Рр. 882—890.
10. Alu A., Bilotti F., Engheta N., Vegni L. Theory and Simulations of Conformai Oni — Directional Subwavelength Metamaterial Leaky — Wave Antenna // IEEE Trans. Ant. and Propag. 2007. V. 55. № 6. Рр. 1698—1708.
11. Митрохин В.Н.Электродинамические свойства материальных сред: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 120 с.
12. Alu A., Engheta N. Achieving transparency with plasmon-ic coating // Phys. Rev. E., 2005. V. 72. № 016623.
13. Физика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Большая Российская. энциклопедия, 2003. 944 с.
14. Enoch S., Tayeb G., Safouroux P., Guevin N., Vincent P. A Metamaterial for Directive Emission // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. № 21. Pp. 213902—1—213902-4.
15. Ziolkowski R.W. and Heymap E. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. № 5. 056625.
Статья поступила в редакцию 14.01.2011 г.
