Математико-статистическая модель инновационной деятельности промышленных предприятий Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 005.342

МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИННОВАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ*

П.Б. БОЛДЫРЕВСКИЙ,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой экономико-математических методов и моделей в предпринимательской деятельности, E-mail: [email protected]

Л.А. КИСТАНОВА,

аспирантка кафедры экономико-математических методов и моделей в предпринимательской деятельности E-mail: [email protected] Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского -Национальный исследовательский университет

С помощью эконометрических методов построена регрессионная модель на главных компонентах, позволяющая определить влияние факторов на динамику инновационной активности металлургического производства и производства готовых металлических изделий. Предложенная математико-статис-тическая модель является адекватной и может быть использована предприятиями при разработке стратегической инновационной концепции.

Ключевые слова: концепция инновационного развития, обрабатывающие производства, предприятия, инновационная деятельность, факторный анализ, главные компоненты, регрессионная модель

В настоящее время все более очевидно, что повышение конкурентоспособности российской промышленности возможно только через развитие инновационной деятельности. Не осуществляя ее,

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского - Национальном исследовательском университете.

практически невозможно создать конкурентоспособную продукцию, имеющую высокую степень наукоемкости и новизны. Целенаправленная инновационная деятельность приводит к снижению себестоимости продукции, повышению производительности труда, к притоку инвестиций, к повышению имиджа производителя новых продуктов, к открытию и расширению новых рынков, в том числе и внешних, что в итоге должно привести к повышению качества уровня жизни людей.

Каждое предприятие стремится к тому, чтобы экономический рост был интенсивным, т.е. был следствием применения более совершенных факторов производства и технологий. Предпосылкой интенсивного роста является использование в практической деятельности предприятий стратегической концепции инновационного развития. Можно сказать, что концепция определяет, что нужно сохранять и что нужно изменять в деятельности предприятия или существующих отношениях, т.е. это система достижения целей. При этом стратегия определяет, как это нужно делать.

Стратегическая концепция инновационного развития может быть представлена следующими основными положениями, которые необходимо учитывать при осуществлении инновационного процесса на предприятии:

- текущее экономическое положение;

- ключевые проблемы, в том числе в инновационной сфере;

- преимущества, в том числе в инновационной сфере;

- возможности для роста и существующие ограничения;

- стратегии инновационного развития;

- стратегические цели инновационного развития;

- стратегические задачи инновационного развития;

- стратегия формирования инновационных ресурсов;

- средства реализации процесса стратегического инновационного развития;

- способы обеспечения стратегической устойчивости.

Но сложность и неоднозначность проблемы инновационного развития обусловила появление ряда концепций, каждая из которых акцентирует внимание на изучении определенного аспекта, что позволило многим исследователям разработать свою авторскую концепцию инновационного развития промышленных предприятий. Большинство авторов придерживаются концепции, заключающейся в формировании особого механизма взаимодействия участников инновационного процесса, который реализуется в условиях эффективного функционирования институциональной среды, создающей основу для концентрации инновационной деятельности вокруг промышленных предприятий, способных сформировать спрос на инновации и обеспечить процесс перманентного их создания, внедрения, реализации и распространения в результате превращения инновационного потенциала в инновационный капитал. Такая концепция определяет стратегию действий, направленную на активизацию инновационного процесса.

Инновационный процесс включает элементы, соединение которых в единую последовательную цепочку образует структуру самого инновационного процесса. К этим элементам относятся инициация инновации, маркетинг инновации, выпуск (производство) инновации, реализация инновации, продвижение инновации, оценка экономической

эффективности инновации, диффузия (распространение) инновации.

Контроль за переходом от одной операции инновационного процесса к другой является действенным инструментом управления процессом внедрения инновации. Успешность внедрения инновации в значительной мере определяется степенью беспрепятственности прохождения по логической цепочке операций, особенно на их стыках, а это зависит в первую очередь от согласованности смежных подразделений при переходе от одной операции к другой и, конечно, от заинтересованности организаций, выполняющих соответствующие операции.

Необходимость инновационного развития производства предъявляет новые требования к содержанию, организации, формам и методам управленческой деятельности. Она диктует появление особого типа менеджмента, направленного на управление процессами обновления всех элементов производственных систем. В связи с этим управление инновационным развитием предприятия рассматривается как системное управление инновационной деятельностью, направленной на формирование и обеспечение достижения экономического роста путем рационального использования, наращивания и распределения инновационного потенциала, включающего материальные, трудовые, финансовые, информационные ресурсы, в целях превращения его в инновационный капитал, способный обеспечить инновационное развитие предприятия.

Управление инновационным развитием предприятия в отличие от традиционного управления характеризуется высокой нестабильностью и изменчивостью всех элементов системы управления, что сопровождается высоким уровнем риска и неопределенности инновационной деятельности предприятия [1].

Сущность системы оценки инновационной деятельности заключается в создании информационно-аналитической базы, а также методических рекомендаций по принятию инновационно-стратегических управленческих решений. Показатели инновационной деятельности организации можно разбить на следующие группы: затратные; показатели по времени; показатели обновляемости и структурные. Наиболее часто используются показатели, отражающие затраты предприятия на технологические инновации.

Авторами проведено исследование инновационной деятельности промышленных предприятий

с использованием методов многомерного экономет-рического и факторного анализа.

В известной литературе отсутствуют данные о результатах исследований, учитывающих достаточно полный набор факторов, определяющих инновационную активность в основных отраслях промышленного производства.

Для составления математико-статистической модели инновационной активности организаций промышленного производства исследуем инновационную деятельность обрабатывающих производств Российской Федерации. Их эффективная структура является объектом активной государственной промышленной политики и фактором международной конкурентоспособности на глобальных рынках. Обрабатывающая промышленность играет важнейшую роль в экономике страны, стимулируя инновации в различных отраслях, усиливая эффект мультипликации и выступая мощным драйвером исследований и разработок.

Динамика объема отгруженной инновационной продукции организациями промышленного производства с 2004 по 2011 г. представлена на рис. 1.

В динамике наблюдается ежегодный рост объема отгруженной инновационной продукции на 116 230 млн руб., что подтверждает построенная линия тренда (рис. 1). Это говорит о том, что, несмотря на спад производства и последствия миро-

1 400 000

1 200 000 ■

1 000 000 -

800 000 ■

600 000 -

400 000 -

200 000 -

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 -Объем отгруженной инновационной продукции---Линейная

Источник: по данным Росстата и [3].

Рис. 1. Динамика объема отгруженной инновационной продукции организациями промышленного производства Российской Федерации (обрабатывающие производства) в 2004-2011 гг., млн руб.

вого кризиса 2008 г., промышленные предприятия наращивают применение инноваций в своей производственной деятельности.

Рассмотрим динамику объема отгруженной инновационной продукции организаций проиыш-ленного производства Российской Федерации по видам экономической деятельности (рис. 2).

Можно заметить, что явными лидерами в объеме отгруженной инновационной продукции являются металлургическое и производство готовых металлических изделий, а также производство транспортных средств и оборудования. При этом имеют хорошие темпы роста химическое производство и производство электрооборудования, электронного и оптического оборудования. Высокие темпы в динамике и сильную колеблемость по объему инновационной продукции с 2004 по 2011 г. имеет производство кокса и нефтепродуктов, что, видимо, объясняется зависимостью этого вида производства от внешних рынков. В 2009 г. наблюдался спад объема инновационной продукции почти всех производств, кроме производства пищевых продуктов, включая напитки, и табака.

В результате проведенного анализа для дальнейших исследований выбираем металлургическое производство и производство готовых металлических изделий, а также производство транспортных средств и оборудования, которые относятся к обрабатывающим производствам. Предприятия именно этих производств проявляют наибольшую инновационную активность. Выполним сравнение динамики показателей инновационной активности предприятий выбранных производств. Применим следующие обозначения: Производство

I - металлургическое производство и производство готовых металлических изделий; Производство

II - производство транспортных средств и оборудования. При этом кроме объема отгруженной инновационной продукции рассмотрим затраты на технологические инновации. Их разработка и внедрение -это решающий фактор социального и экономического развития, залог экономической безопасности (табл. 1).

4 000 000

3 500 000

3 000 000

2500000 .

2 000 000

1 500 000

1 000 000 -

500 000

1

2

2004

2005

2006

2007

2008

2009

Рис. 2. Динамика объема отгруженной инновационной продукции организаций промышленного производства РФ по видам экономической деятельности,

млн руб.:

1 - производство транспортных средств и оборудования; 2 - металлургическое и производство готовых металлических изделий; 3 - химическое производство; 4 - производство пищевых продуктов, включая напитки, и табака;

5 - производство кокса и нефтепродуктов; 6 - производство электрооборудования, электронного и оптического оборудования; 7 - производство машин и оборудования; 8 - производство прочих неметаллических минеральных продуктов

Темп роста объема отгруженной инновационной продукции по металлургическому производству и производству готовых металлических изделий за исследуемый период выше темпа роста производства транспортных средств и оборудования почти в 1,5 раза, а темп роста затрат на технологические инновации Производства I опережает Производство

II всего в 1,3 раза. В результате можно сделать вывод, что в Российской Федерации с 2004 по 2011 г. самым инновационным, менее затратным и значимым было металлургическое производство и производство готовых металлических изделий.

Важно заметить, что интенсивность затрат на технологические инновации в промышленном производстве России растет. Так, в 2009 г. удельный вес затрат на технологические инновации в общем объеме продукции составил 1,93%, в 2010 г. - 1,55%, в 2011 г. - 2,2% [4]. Структура затрат по видам инновационной деятельности отличается серьезными диспропорциями: более половины средств, направляемых на технологические инновации (51,2%), расходуется на покупку машин и оборудования. Заметно отстают от них расходы на исследования и разработки.

Динамика и структура затрат на технологические инновации металлургического производства и производства готовых металлических изделий по Российской Федерации в 2003-2011 гг. представлены в табл. 2.

В структуре затрат на технологические инновации значительная часть от всех затрат (почти 80%) принадлежит затратам на приобретение машин и оборудования. Не снижаются в динамике и структуре затрат на технологические инновации прочие затраты, связанные с удорожанием тарифов на электроснабжение, воду и другие услуги.

Взаимосвязи показателей приведены в корреляционной матрице, представленной на рис. 3. В качестве зависимой переменной у взят объем отгруженной инновационной продукции, а в качестве независимых переменных были взяты затраты на

3

8

2010

2011

0

Таблица 1

Динамика показателей инновационной активности предприятий обрабатывающих производств по Российской Федерации

Объем отгруженной Затраты Темп роста объема Темп роста затрат

инновационнои на технологические отгруженной иннова- на технологические

Год продукции, млн руб. инновации, млн руб. ционной продукции, % инновациио, %

Производс- Производс- Производс- Производс- Производс- Производс- Производс- Производс-

тво I тво II тво I тво II тво I тво II тво I тво II

2004 45 308,8 120 981,7 26 246,9 16 797,5 100,0 100,0 100,0 100,0

2005 67 491,3 152 684,9 29 396,4 17 923,3 149,0 126,2 112,0 106,7

2006 89 420,0 201 335,0 27 518,5 24 408,6 197,4 166,4 104,8 145,3

2007 130 453,2 216 311,5 35 898,0 27 110,0 287,9 178,8 136,8 161,4

2008 137 627,9 239 616,7 79 378,7 27 965,3 303,8 198,1 302,4 166,5

2009 116 051,9 159 928,7 82 704,3 30 901,5 256,1 132,2 315,1 184,0

2010 146 468,7 256 918,0 78 004,5 32 473,4 323,3 212,4 297,2 193,3

2011 232 940,9 398 495,0 92 942,6 41 293,3 514,1 329,4 354,1 245,8

Таблица 2

Динамика и структура затрат на технологические инновации металлургического производства и производства готовых металлических изделий по Российской Федерации в 2003-2011 гг., млн руб.

Вид затрат 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2012

Исследования и разработки 6 765,8 815,4 1 101,6 3 743,8 1 744,7 3 882,5 1 602,6 1 769,3 2 423,8

Приобретение машин 7 886,8 20 998,5 22 004,3 16 259,1 29 330,9 67 739,0 75 780,7 69 410,9 83 045,8

и оборудования

Приобретение новых тех- 98,1 92,5 518,0 112,8 115,7 230,8 423,0 359,1 168,8

нологий

Приобретение програм- 522,7 133,2 210,0 214,1 818,3 354,0 207,4 246,0 234,8

мных средств

Производственное проек- 44,5 1 161,5 1 520,1 2 789,2 2 528,5 2 809,7 3 578,3 3 386,0 3 900,1

тирование и другие виды

подготовки производства

Обучение и подготовка 28,5 58,8 108,7 128,4 155,6 2 781,1 48,3 35,0 61,0

персонала

Маркетинговые исследо- 642,8 86,3 32,3 16,9 7,7 46,4 8,9 8,2 6,0

вания

Прочие затраты 1 011,9 2 900,7 3 901,4 4 254,2 1 196,6 1 535,2 1 055,1 2 790,0 3 102,3

Всего затрат на технологи- 17 001,1 26 246,9 29 396,4 27 518,5 35 898,0 79 378,7 82 704,3 78 004,5 92 942,6

ческие инновации

Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 У

Х1 1

Х2 0,180 1

Х3 -0,331 0,252 1

Х4 0,068 -0,117 -0,299 1

Х5 0,427 0,817 0,059 0,051 1

Х6 0,629 0,251 -0,068 0,126 0,028 1

Х7 -0,215 -0,416 -0,245 -0,337 -0,776 0,279 1

Х8 0,052 -0,460 -0,003 -0,539 -0,287 -0,348 0,119 1

У 0,338 0,783 -0,105 0,203 0,837 0,109 -0,624 -0,219 1

Рис. 3. Корреляционная матрица данных

Таблица 3

Собственные значения и дисперсия главных компонент

Номер главной Собственные Процент Накопленные Накопленный процент

компоненты значения дисперсии собственные значения дисперсии

1 2,767 34,589 2,767 34,589

2 1,818 22,729 4,585 57,318

3 1,414 17,680 6,000 74,998

4 1,213 15,165 7,213 90,163

5 0,664 8,299 7,877 98,462

6 0,122 1,531 7,999 99,992

7 0,001 0,008 8,000 100,000

технологические инновации: х1 - на исследования и разработки, х2 - на приобретение машин и оборудования, х3 - на приобретение новых технологий, х4 - на приобретение программных средств, х5 - на производственное проектирование и другие виды подготовки производства, х6 - на обучение и подготовку персонала, -7 - на маркетинговые исследования, -8 - на прочие затраты.

Проанализировав значения коэффициентов корреляции независимой переменной у с факторными признаками, можно сделать вывод о наличии сильной связи с переменными х2, х5, х7 (коэффициент корреляции соответственно 0,783; 0,837; 0,624). При этом показатели х2 и х5, х5 и х7 сильно коррелируют между собой, о чем свидетельствует коэффициенты парных корреляций г = 0,817 и г = 0,776 .

г г г Х2Х5 Х2Х7

Значит, при составлении уравнения множественной линейной регрессии можно столкнуться с эффектом мультиколлинеарности, следовательно, модель лучше построить не на самих факторах, а на главных компонентах. Метод главных компонент позволяет учитывать эффект существенной многомерности данных, дает возможность объяснения многомерных структур. Главные компоненты не коррелированны между собой и упорядочены по величине их дисперсий, причем первая главная компонента имеет наибольшую дисперсию, а последняя - наименьшую. Метод главных компонент основан на составлении линейной комбинации собственных векторов, которые определяются из характеристики уравнения ковариационной или корреляционной матрицы [6].

Факторный анализ по методу главных компонент был выполнен на основании корреляционной матрицы. Математико-статистическая задача решалась при помощи пакета прикладных программ Statistica [2]. В результате проведенного анализа была определена матрица собственных значений и осуществлен переход от восьми исходных переменных к четырем главным компонентам (табл. 3).

Дисперсия первых трех компонент почти на 75% воспроизводила матрицу корреляций, дисперсия с включением четвертой компоненты воспроизводила матрицу корреляций на 90,2% - это достаточно высокий уровень информативности. Дисперсия главных четырех компонент равна собственным числам Л,1 =2,767; Х2 =1,818; А,3 =1,414; А,4 = 1,213 (их собственные числа больше 1). На основании этого в дальнейшем анализе учитывались четыре главные компоненты - F1, F2, F3, F4.

Рассмотрим факторные нагрузки, интерпретируемые как корреляции между факторами и переменными (табл. 4).

Чтобы улучшить результаты факторных нагрузок и получить интерпретируемое решение, произведем вращение факторов. Выполним вращение по методу варимакс. Этот метод предназначен для максимизации дисперсий квадратов исходных факторных нагрузок по переменным для каждого фактора. После вращения факторов модель становится более информативной. Возросла нагрузка на четвертую главную компоненту. Результаты вращения представлены в табл. 5.

Таблица 4

Факторные нагрузки главных компонент (без вращения)

Переменная ^2 ^3 ^4

Х1 -0,483 -0,555 -0,503 0,384

Х2 -0,824 0,223 -0,223 -0,321

Х3 -0,094 0,653 -0,133 -0,510

Х4 -0,301 -0,416 0,795 0,149

Х5 -0,918 0,243 -0,136 0,218

^6 -0,317 -0,733 -0,364 -0,401

Х7 0,713 -0,433 -0,220 -0,428

Х8 0,552 0,275 -0,512 0,537

Общая дисперсия 2,767 1,818 1,414 1,213

Доля общей 0,346 0,227 0,177 0,152

дисперсии

Примечание. Жирным шрифтом выделены наиболее значимые факторы.

Таблица 5

Факторные нагрузки главных компонент (вращение варимакс)

Переменная ^3 ^4

Х1 0,401 0,716 0,199 -0,478

Х2 0,669 0,381 -0,183 0,504

Х3 0,117 -0,162 0,070 0,818

Х4 0,119 -0,125 -0,803 -0,493

Х5 0,959 0,184 -0,067 0,091

Х6 -0,115 0,934 -0,215 -0,020

Х7 -0,909 0,287 0,130 0,050

Х8 -0,134 -0,248 0,900 -0,203

Общая дисперсия 2,415 1,749 1,601 1,448

Доля общей дисперсии 0,302 0,219 0,200 0,181

Примечание. Жирным шрифтом выделены наиболее значимые факторы.

Таблица 6

Результаты регрессионного анализа

Переменная Коэффициент регрессии /-статистика Стьюдента

Свободный член 120 720,3 8,59

F1 46 105,4 4,52

F2 11 373,9 3,68

^ -8 193,4 3,02

F4 -1 030,3 2,87

Проанализируем результаты исследования. На первую главную компоненту F1 в большей степени оказывают влияние факторы, характеризующие инновационное развитие производства промышленных предприятий, - это затраты на приобретение машин и оборудования, на производственное проектирование и другие виды подготовки производства, на маркетинговые исследования. Со второй главной компонентой F2 тесно коррелируют показатели, характеризующие состояние научного и кадрового потенциалов предприятий. Это затраты на исследования и разработки, на обучение и подготовку персонала. Обеспечение современного уровня производства характеризует третья главная компонента F3 - это затраты на приобретение программных средств и прочие (косвенные). Четвертая главная компонента F4 связана с приобретением предприятиями новых технологий.

Таким образом, перейдя от восьми исходных тесно связанных между собой показателей к четырем, независимым друг от друга главным компонентам, построим уравнение регрессии, характеризующее взаимосвязь между объемом отгруженной инновационной продукции и главными компонентами металлургического производства и производства готовых металлических изделий по Российской Федерации.

Уравнение регрессии на главных компонентах строится по алгоритму пошагового регрессионного анализа, где в качестве аргументов используются главные компоненты [5]. Получим таблицу результатов, в которой отражены стандартизованные коэффициенты четырех главных компонент (табл. 6).

Связь между компонентами и результирующим показателем является довольно сильной: множественный коэффициент корреляции равен 0,84, а коэффициент детерминации - 0,702. Табличное значение /-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 равно 2,77.

Все расчетные значения /-статистика Стьюдента по модулю больше табличного /-критерия Стьюдента, что говорит о значимости параметров уравнения. Тогда уравнение регрессии на стандартизированных данных примет следующий вид:

У = 120 720,3 + 46 105,4 F1 + 11 373,9 F2 -8 193,4 F3 - 1 030,3 F4.

Для оценки значимости уравнения регрессии используем F-критерий Фишера. Наблюдаемое значение равно 7,15, теоретическое - 6,39, следовательно, уравнение регрессии в целом значимо.

Таким образом, коэффициенты и уравнение в целом оказались значимыми, модель множественной регрессии адекватна для моделирования инновационной активности предприятий металлургического производства и производства готовых металлических изделий по Российской Федерации. С помощью проведенных факторного и корреляционно-регрессионного анализа можно наглядно проследить зависимость одного из важнейших показателей - объема отгруженной инновационной продукции - от различных факторов. Путем воздействия на главные компоненты модели можно разработать механизмы для регулирования инновационной активности предприятий.

Список литературы

1. Болдыревский П.Б. Основные элементы системы управления рисками промышленных предприятий // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 3. С. 31-34.

2. Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: для профессионалов. СПб: Питер, 2003. 688 с.

3. Индикаторы инновационной деятельности, 2013: стат. сб. М.: ГУ ВШЭ, 2013. 472 с.

4. Промышленность России. 2012: стат. сб. М.: Росстат, 2012. 445 с.

5. Соменкова Н.С., Тихов М.С. Модели временных рядов в управлении инновационной деятельностью промышленных предприятий // Вестник

Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 2. С. 220-223.

6. СошниковаЛ.А., Тамашевич В.Н., МахначЛ.А. Многомерный статистический анализ. Минск: БГЭУ, 2004. 162 с.

Economic and mathematical modeling

A MATHEMATICAL-STATISTICAL MODEL OF INNOVATION ACTIVITY OF INDUSTRIAL ENTERPRISES

Pavel B. BOLDYREVSKII, Liudmila A. KISTANOVA

Abstract

The increasing competitiveness of Russian industry is possible only through the development of innovation activity; therefore, enterprises should develop and follow the strategic concept of innovation development. The paper discusses the dynamics of the indicators of innovation activity of the processing-industry enterprises, which play an important role in the economy. Using econometric methods, the authors made a regression model on the principal components that allows determining the influence of the factors on the dynamics of innovation activity of metallurgical production and production of finished metal products. The authors concluded that the proposed mathematical-statistical model is adequate and can be used by enterprises in developing a strategic and innovation concept.

Keywords: innovation development concept, processing production, enterprises, innovation activity, factorial analysis, main components, regression model

References

1. Boldyrevskii P.B. Osnovnye elementy sistemy upravleniia riskami promyshlennykh predpriiatii [The main elements of the risk management systems of industrial enterprises]. VestnikNizhegorodskogo univer-siteta im. N.I. Lobachevskogo - Bulletin ofLobachevsky State University of Nizhny Novgorod, 2013, no. 3, pp.31-34.

2. Borovikov V. STATISTICA. Iskusstvo analiza dannykh na komp'iutere: dliaprofessionalov [STATIS-

TICA. The art of the data analysis on computer: for professionals]. St. Petersburg, Piter Publ., 2003, 688 p.

3. Indikatory innovatsionnoi deiatel'nosti, 2013 [Innovation indicators, 2013]. Moscow, State University "Higher School of Economics" Publ., 2013, 472 p.

4. Promyshlennost' Rossii. 2012 [Russian industry. 2012]. Moscow, Rosstat Publ., 2012, 445 p.

5. Somenkova N.S., Tikhov M.S. Modeli vremen-nykh riadov v upravlenii innovatsionnoi deiatel'nost'iu promyshlennykh predpriiatii [The time series models in management of innovation activity of industrial enterprises]. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo - Bulletin of Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, 2013, no. 2, pp.220-223.

6. Soshnikova L.A., Tamashevich V.N., Ma-khnach L.A. Mnogomernyi statisticheskii analiz [Multivariate statistical analysis]. Minsk, BSEU Publ., 2004, 162 p.

Pavel B. BOLDYREVSKII

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod -National Research University, Nizhny Novgorod, Russian Federation [email protected] Liudmila A. KISTANOVA

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod -National Research University, Nizhny Novgorod, Russian Federation [email protected]