CC BY
14
СВЕЖИЙ ВЗГЛЯД A FRESH VIEW
Вестник Челябинского государственного университета.
2019. № 11 (433). Экономические науки. Вып. 67. С. 178—182.
УДК 339.13 Б0110.24411/1994-2796-2019-11121
ББК 65.291.3
МАТЕМАТИКО-КОМБИНАТОРНАЯ МОДЕЛЬ ПО ПОИСКУ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ПРОИЗВОДСТВА ДЛЯ ВЫХОДА НА НОВЫЙ РЫНОК
Д. В. Злобина, М. А. Лебедев, В. А. Пилюгина
Дальневосточный федеральный университет, Владивосток, Россия
Представлена модель, которая в точности подходит к экономической ситуации, когда предприятию еще предстоит выйти на рынок, оно осуществляет попытки по определению пест производства из списка и пытается произвести и отправить как можно больше товара, чтобы занять свою нишу на рынке, осуществлять доставку до места потребления. Задача, которую мы решаем, впервые появилась на предприятии лесоперерабатывающей направленности. Подобные модели рассматривались и ранее, однако они не учитывали время прохождения по графу и вместимость складов, что крайне важно при планировании производства на следующий период.
Ключевые слова: математическое моделирование, линейное программирование, максимальный поток, размещение центров.
Каждое предприятие в ходе хозяйственной деятельности ставит главной задачей максимизацию прибыли при ограничениях на ресурсы. При всем многообразии методов оптимизации процессов управления ресурсами предприятий в научной литературе недостаточно представлены единые алгоритмы и модели для нахождения оптимального решения комплексных проблем хозяйственной деятельности предприятия. На любом предприятии существуют следующие основные задачи: задача производства (оптимального выпуска продукции), транспортная задача (определение пути и объема перевозок по двудольным графам), задача максимального потока (нахождение максимального по объему перевозок пути на графе), задача минимизации времени, задача размещения центров с бы 1а (обслуживания), задача распределения людских ресурсов при производстве. В нашей статье мы рассмотрим только четыре из них: задачу производства (оптимального выпуска продукции), задачу размещения центров, задачу учета времени, транс -портную задачу, как единую комплексную задачу.
При имеющихся запасах ресурсов и заданных рынком ценах необходимо найти оптимальный объем при дополнительном условии наличия норм затрат ресурсов на производство единицы продукции. Такая задача получила распространение в ли-
тературе как производственная задача1. Помимо этой, существует и другая задача, не менее сложная с точки зрения трудозатрат на ее решение: Задача размещения центров [1], в которой ставятся вопросы об определении мест производства из заранее определенных к рассмотрению районов. Ограничения описаны в [3]. Рассмотрим две задачи: транспортная задача и задача минимизации времени. Оптимизация проходит по объему производства. Рассмотрим ряд методов и моделей, которые решают данные задачи (табл. 1).
Таблица 1
Методы и модели решения поставленной задачи
Методы II модели / факторы Описание стратегии
Supply Chain Management (SCM) [7] Управленческая концепция и организационная стратегия
Генетический алгоритм [8] Стратегия заключается в случайном подборе, комбинировании н вариациях изначальных параметров с использованием механизмов, аналогичных естественному отбору в природе
1 https://pas tebiu.com/tzp04jNn
Для решения каждой из вышеперечисленных задач существуют отдельные модели [1—3]. но мы предлагаем комплексное решение четырех вышеописанных отдельных задач. Под комплексным решением будем понимать единую линейную модель смешано-целочислеиного программирования для четырех вышеуказанных проблем лесоперерабатывающего комплекса.
Сформулируем обобщенную постановку задачи: каков объем производства продукции при заданных объемах ресурсов на складе, каков оптимальный объем перевозки при заданных временных затратах на перевозку в каких местах из рассмотренного списка стоит открывать производство. Цель: максимизировать доход от продажи, объем перевозок и минимизировать издержки в процессе открытия производства (*).
Такая модель может бьпь полезна для компаний в период входа на рынок. Организация должна зарекомендовать себя на рынке как хорошего продавца. Данная работа посвящена построению модели, выбору метода и алгоритма для поиска решения этой задачи. Все вышеперечисленные задачи сводятся к линейным моделям, что значительно упрощает нахождение оптимального решения; отдельно модели известны в литературе [1—3]. Для решения вышеперечисленных задач используются алгоритмы поиска оптимального решения — метод отсечения (Гомори)1.
Пусть существует сетка трудозатрат производства для производства каждого вида товара из исходного вида сырья. Обозначим саму сетку как
где ''о — элемент, соответствующий тому, сколько потребуется ресурса / для производства] товара. Обозначим денежные затраты на перевозку из пункта / г в пункт ]\ , как
с = {Си;Л"'1 = = (2)
Положим матрицу Т как матоицу временных затрат на перевозку из пункта ^ в пункт ) ^:
Т = = 1:п,А = 1:п. (3)
Определим вектор цен реализации товара] как
Р = = 1:Ш1 ■ (4)
Пусть известны затраты на открытие склада. Обозначим их как
/ = {{,}•) = 1:т1. (5)
Определим вместимость складов как
Ь ={1]},] = \-.т1. (6)
Для полноты набора данных остается определить количество запасов сырья, обозначим его как Ь={ад,1 = 1:п1 (7)
Объем заявки в каждой конечной точке обозначим:
я = (8)
Зададим параметр 0 как параметр, отвечающий за максимальное количество открытых складов. Пусть Х1±— количество товара, перевозимое из пункта ¿! в пункт к, —произведенное количество ] товара. —j пункт производства, "1 — разновидность ресурсов, — разновидность товара. П — вершин в графе, п2 — число конечных пунктов, оформивших заказ.
Математическая модель задач: минимизации времени описана в [3]. производственной — в [1], размещения центров — также в [1]. Объединим три вышеописанные математические модели. Производство не может произвести больше, чем у него есть на то ресурсов; обозначим следующим ограничением:
= 1:% (8)
/=1
Количество открытых пунктов не должно превышать О: запишем ограничение в виде
^2/<;<?,г,е{0;1}. (9)
/=1
Вместимость пунктов производства не должно превышать Ь, тогда запишем ограничение ниже:
к] £ Ц,] = 1:тх (10)
Объем вывоза должен быть равен объему производства в каждом пункте, обозначим это как
п
Х/Л = = 1-.тг (11)
Л=1
Необходимо удовлетворить спрос в каждом конечном пункте, обозначим как
п
¡1=1
Свяжем задачу минимизации времени и транспортную задачу как
1 https://pastebm.com/RD8U9iiNf
180
Д. В. Злобина, М. А. Лебедев, В. А. Пилюгина
где оо > М » 0 Запишем (*) в виде целевой функции, как
(13)
п п
X X "XX +Xк>р* ~ Х^ ■
А=1 ¡1=1
А=111=1
тах
(14)
Объединяя (8—14) в единую систему, получаем задачу линейного целочисленного программирования (смешанно-целочисленного). Задача Р0 решена с помощью пакета МайаЬ. Ответ получим в виде одномерных массивов X. Рассмотрим ее подробнее.
Пусть даны матрицы норы затрат
А =
затраты на открытие/ матрицы цен Р. запасов ресурсов Ь, вместимость складов Ь, матрица денежных затрат при транспортировке С, матрица временных затрат при транспортировке Т. Все данные представлены в [3; 14]. Решим задачу двумя способами: последовательно (код представлен в [14]) и комплексно (код представлен в [3]). На рис. 1 и 2 представлены визуализации их решений.
В табл. 2 представлены выходные данные программных реализаций [3; 14].
Таблица 2
Сравнение методов решения поставленной задачи описанными выше методами
По с лед ов а те л ьно Комплексно
Объем произведенной продукции (вектор), шт. (12, 0. 4, 0) (10, 0, 3, 3)
Суммарные затраты на перевозку по времени. у. е. 40 28
Остатки сырья (вектор), шт. (31, 43, 57, 79) (6. 1, 2, 9)
Прибыль, у. е. (15) -77,5 11
-ХХ^+Х^
1=1
(15)
Рассмотрим объемы произведенной продукции при решении обоими методами: (12,0, 4, 0) и (10,0,3, 3). Видно, что суммарный объем равный. Рассмотрим производственный вектор — (12.0.4.0). Из него явствует. что первый завод произвел 12 единиц, второй 0 единиц, гретий 4 единицы, четвертый 0 единиц товаров. Суммарные временные издержки на транспор-
те *6 "в *? *8 *17
Рис. 1. Визуализация способа транспортировки Рис 2 ВизуаЛизация способа транспортировки
при решении задачи комплексно щт решетш задти последовательно
гаровку при решении рассматриваемыми методами разнятся в пользу комплексного метода. Значения вектора запаса ресурсов (6,1,2,9} говорят о том, что первого ресурса осталось б единиц, второго — 1, третьего — 2, четвертого — 9. Сравним оба вектора: (31, 43, 57, 79), (6, 1, 2, 9). Они разнятся в пользу последовательного. Рассмотрим прибыль при решении обоими методами: она больше при решении комплексной модели ввиду того, что комплексная модель дает при решении менее затратный путь.
В данной статье рассмотрена одна из возможных постановок задачи, которая обобщает ранее
известные четыре классические задачи линейного программирования. Показано, что такую задачу возможно сформулировать в рамках задачи линейного программирования. Рассмотрен ряд возможных добавлений ограничений в модель. Такая постановка задачи и модель могут быть использованы на любом предприятии, где необходимо найти оптимальный комбинаторный вариант для производства с целью минимизации издержек как денежных, так и временных в ходе производства и транспортировки, а также для получения максимальной прибыли.
Список литературы
1. Писарук. Н. Н. Исследование операций / Н. Н. Писарук. — Минск : БГУ, — 2015. — 304 с.
2. A Branch-and-Bound Framework for Unsupervised Common Event Discovery / W. S. Cliu. F. de la Torre. J. F. Cohn, D. S. Messinger // International Journal of Computer Vision. — 2017. — 1—20.
3. Daganzo, C. F. Bounds and approximations for the transportation problem of linear programming and other scalable network problems / C. F. Daganzo. K. R. Sniilowitz // Transportation Science. — 2004. — No. 38 (3). — P. 343—356.
4. Обобщенная оптимизационная задача производственно-транспортных процессов на предприятии. Р. С. Рогулин. П. В. Нечаев. Д. Е. Плешанов. Н. С. Евдакимова. Е. Д. Гончаров. В. И. Максименко //Прикладная информатика. — 2018. — Т. 13, № б (78). — С. 133—141.
Сведения об авторах Злобина Дарья Вячеславовна — лаборант Школы биомеднцнны Дальневосточного федерального университета. Владивосток, Россия, zlobina.dv@students.dvfu.ru
Лебедев Михаил Анатольевич — лаборант Школы естественных наук Дальневосточного федерального университета, Владивосток, Россия, zlobiiia.dv@studeuts.dvfii.ru
Пилюгина Вера Александровна — лаборант Школы биомедицины Дальневосточного федерального университета, Владивосток, Россия. pilugina.va@students.dvfu.ru
Bulletin of Chelyabinsk State University.
2019. No. 11 (433). Economic Sciences. Iss. 67. Pp. 178—182.
MATHEMATICAL-COMBINATORIAL MODEL FOR FINDING THE OPTIMAL PRODUCTION STRATEGY FOR ENTERING A NEW MARKET
D.V. Zlobina
Far Eastern Federal University, Vladivostok, Russia, zlobina.dv@students.dvfu.ru
M.A. Lebedev
Far Eastern Federal University, Vladivostok, Russia, zlobina.dv@students.dvfu.ru
V.A. Pifyugina
Far Eastern Federal University, Vladivostok, Russia, va@students.dvfu.ru
The article presents a model that fits exactly with the economic situation when an enterprise has yet to enter the market, and it is trying to determine the production sites from the list and is trying to produce to send as many goods as possible to occupy its niche in the market delivery to the place of consumption. The task we are solving for the first time appeared at a wood processing plant. Similar models were considered earlier; however, they did not take into account the transit time according to the graph and the storage capacity, which is extremely important when planning production for the next period.
182
ff. B. 3no6uHa, M. A. Jleoedee, B. A. IhmwzuHa
Keywords: mathematical modeling, linear programming, maximum flow, center placement.
References
1. PisarukN.N. Issledovanie operacij [Operations Research]. Minsk, BSU, 2015. 304 p. (In Russ.).
1. Chu W.S., de la Torre R, Colin J.R. Messinger D.S. A Branch-and-Bound Framework for Unsupervised Common Event Discovery. International Journal of Computer Vision, 2017, 1-20.
2. Daganzo C.R. Sniilowitz K.R. Bounds and approximations for the transportation problem of linear programming and other scalable network problems. Transportation Science, 2004. no. 38 (3), pp. 343-356.
3. Rogulin R.S.. Nechaev P.V., Pleshanov D.E., Evdakimova N.S.. Goncharov E.D.. Maksimenko V.I. Obob-shchennaya optiniizacionnaya zadacha proizvodstvenno-transportnyh processov na predpriyatii [The generalized optimization problem of production and transport processes at the enterprise]. Prikladnaya informatika [Applied Informatics], 2018, vol. 13. no. 6 (78). pp. 133-141. (In Russ.).
