CC BY
6MATEMATIKANI O'QITISHDA "LEBEG" VA "LEBEG-STILTES" INTEGRALLARINI QO'LLASH. Otamurodov Nurmuhammad Shuhrat o'g'li Buxoro viloyati Olot tumani Ixtisoslashtirilgan maktabining 11-sinf o'quvchisi https://doi.org/10.5281/zenodo.10803871
ARTICLE INFO
Received: 08th March 2024 Accepted: 09th March 2024 Published: 11th March 2024 KEYWORDS
"Lebeg", "Lebeg-Stiltes", to'plam, kamayish, o'sish oraliqlari, funksiya, o'lchovli diskret, cheksiz kamayuvchi geometrik funksiya, qatorlar.
Luzin Teoremasi: [a,b] kesmada aniqlangan f funksiya o'lchovli bo'lishi uchun ixtiyoriy £ >0 son uchun [a,b] da uzluksiz bo'lgan shunday p funksiya mavjud bo'lib, ju{x e [a,b]: f (x) ^ p(x)} < £ tengsizlik bajarilishi zarur vayetarli.
[a, b] kesmada uzluksiz funksiya o'lchovlidir. Misol: [0;^] kesmada aniqlangan
[sinx, x e [0,^]\ Q
f (x) = 1 U ■ \
[cos (sinx), x e Q
funksiya o'lchovli bo'ladimi?
Yechish. Luzin teoremasi natijasiga ko'ra, uzluksiz p(x) = sin x, x e [0,^] funksiya o'lchovli bo'ladi. Luzin teoremasi va
¡u[x : f (x) ^p(x)} = ^([0,^] f| Q) =0 < £
tengsizlikdan f funksiyaning [0;^] kesmada o'lchovli ekanligi kelib chiqadi.
Hamma yerda E o'lchovli to'plamda aniqlangan o'lchovli f funksiyani qaraymiz va ju(E) < deb faraz qilamiz.
ABSTRACT
Ushbu maqolada matematikada muhim o'rin tutgan integral mavzusini keng ma'noda yoritib berilgan va misollar keltirilgan
Ta'rif. Agar f : E ^ R o'lchovli bo'lib, uning qiymatlari to'plami ko'pi bilan sanoqli bo'lsa, u holda f sodda funksiya deyiladi.
Teorema. Ko'pi bilan sanoqlita har xil y,y,...,y,... qiymatlarni qabul qiluvchi f funksiya o'lchovli bo'lishi uchun
An = {x e E :f ( x) = y} to'plamlarning o'lchovli bo'lishi zarur vayetarli.
Teorema (O'lchovlilik mezoni). f : E ^ R funksiya o'lchovli bo'lishi uchun unga tekis yaqinlashuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligining mavjud bo'lishi zarur va yetarli.
Riman integrali odatda uzluksiz funksiyalar yoki uzilish nuqtalari juda ko'p bo'lmagan funksiyalar uchun kiritiladi. Riman integrali avval [a, b] kesmada, keyin esa [a, b] x [c, d] to'g'ri to'rtburchakda va hokazo kiritiladi. Lebeg integrali esa ixtiyoriy tabiatli to'plamlarda bir xilda kiritiladi. Hattoki, aniqlanish sohasining hamma yerida uzilishga ega bo'lgan funksiyalar uchun ham Lebeg integralini aniqlash mumkin.
Lebeg integralining Riman integralidan asosiy farqlaridan biri shundaki, u funksiyaning aniqlanish sohasi bo'lgan [a,b] kesmani bo'laklarga bo'layotganda argument qiymatlarining yaqinligini emas, balki funksiya qiymatlarining yaqinligini hisobga oladi. Keyinchalik biz ko'ramizki, Lebeg integrali Riman integraliga qaraganda katta imkoniyatlarga ega bo'ladi. Avval sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali ta'riflanadi, keyin Lebeg integrali ixtiyoriy o'lchovli funksiyalar sinfi uchun aniqlanadi.
Bizga y, y,..., y qiymatlarni qabul qiluvchi f : A ^ R sodda funksiya berilgan bo'lsin. U holda
Èyk A )
k = 1
yig'indi f sodda funksiyaning A to'plam bo'yicha olingan Lebeg integrali deyiladi va
n
\f ( x)d¡ = X yk ß\ Ak )
k=1
kabi belgilanadi.
TO
Agar Xy¡(A) qator absolyut yaqinlashuvchi bo'lia, u holda f sodda funksiya A
k=1
to'plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchi deyiladi. (11.3) qatorning yig'indisi f funksiyaning A to'plam bo'yicha olingan Lebeg integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi
TO
\f ( x)d¡u = X yn¡ An )•
n=1
Agar F funksiya [a;b] kesmada aniqlangan kamaymaydigan absolyut uzluksiz bo'lsa, u holda
b
J f ( x)dF ( x)
a
Lebeg-Stiltes integrali f (x)F'(x) funksiyaning odatdagi
b
J f (x)F'(x) dx
a
Lebeg integraliga teng bo'ladi, ya'ni
b b J f (x)dF(x) = J f (x)F' (x)dx.
a a
œ
J 2— xdF ( x)
1-Misol: 0
Lebeg-Stiltes integralini hisoblang. Bu yerda A = [0; œ) yarim o'q, F(x) = [x] funksiya esa x ning butun qismiga teng.
Yechish. Ma'lumki, F(x) = [x] funksiya yordamida hosil qilingan fAF o'lchov diskret o'lchov bo'ladi. I) ga ko'ra,
œ œ
J 2"xdF(x) = X 2"n (F(n) — F(n — 0))
0 n=0
tenglik o'rinli. Agar F(n) — F(n — 0) =1 tenglikni e'tiborga olsak, so'nggi qator yig'indisini
, , 1
hisoblash mumkin. Bu qator b =1 va maxraji q--bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik
2
progressiyaning yig'indisini ifodalaydi. Demak,
^ œ
J 2" xdF ( x) = ^ 2"n = 2.
n=0
2-Misol:Quyidagi Lebeg-Stiltes integralini hisoblang.
J ( x + 1)dF ( x),
Bu yerda A = [0;3] kesma, F (x) = x2 + 3.
0
0
Yechish. Ma'lumki, F(x) = x2 ± 3 funksiya yordamida hosil qilingan ¡F o'lchov absolyut uzluksiz o'lchov bo'ladi.
3 3
J (x ± 1)dF(x) = J (x ± 1) • 2xdx
оо
tenglik o'rinli. So'nggi integral jadval integrali bo'lib uning qiymati 20 ga teng. Demak,
3
J (x ± 1)dF(x) = 20.
о
3-Misol: A = (0;1] oraliqda f funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
f (x) = n, agar x e An
11
2n ' 2n-1
n e N.
f sodda funksiya A = (0; 1] to'plamda Lebeg ma'nosida integrallanuv-chimi? Agar integrallanuvchi bo'lsa, uning integralini hisoblang.
Yechish. Ma'lumki,
U An =(0;1]
n=1
va A to'plamlar o'zaro keshishmaydi. Sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali ta'rifiga ko'ra,
œ 1
En--
n
n=1 2
qator yaqinlashuvchi bo'lsa, f sodda funksiya A = (0;1] da integrallanuvchi bo'ladi. Bu holda musbat hadli qatorlarni taqqoslash haqidagi Dalamber alomatidan foydalanish qulay.
a
Hm— = Hm^—f • — = 4" <1.
n^œ a n^œ 2 n 2
n
Demak, qator yaqinlashuvchi. Bu yerdan f sodda funksiyaning Lebeg ma'nosida integrallanuvchiligi kelib chiqadi. Endi qator yig'indisini hisoblaymiz. Uning qismiy yig'indisi S uchun
2 З 4 n 1 2 З n
S = 2S - S =1 ± - ± - ± - ± — ± —г - (- ± - ± - ± — ± — ) = n n n 2 4 S 2 2 4 S 2n
,2 14 ^3 2 s n n -1 n ,111 1 n
1 ± (---) ± (---) ± — ± (-Г---)--= 1 ± - ± - ± - ± — ±-Г--.
2 2 4 4 2 2 2n 2 4 S 2n-1 2n
n ±1 2n 1
Bu tenglikda n ^ œ da limitga o'tib,
J f (x)d¡u = limSn = 2
n
n^œ
С0;1]
ekanligini olamiz.
Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Sh.A.Ayupov, M.A.Berdiqulov, R.M.Turg'unboyev. Funksional analiz. Toshkent. 2008, 106 b.
2. www.edu.uz - O'zbekiston Respublikasi oliy va o'rta maxsus ta'lim vazirligi sayti.
