CC BY
102
атематика и Книга Природы
Проблема применимости математики к реальности
ХАНС ПОЗЕР (Германия)
Человек
как существо вычисляющее
Сегодня человек стал существом вычисляющим. Мы живем в водовороте чисел — индексов инфляции, налоговых ставок, скоростей и расписаний, количеств безработных и погибших, битов и байтов. Люди думают в формальных структурах и стратегиях, и они окружены техническим миром, который был бы невозможен без применения математики. В этом как раз полная противоположность происхождению математики как доказательной науки, которой она стала, отделившись от идеи применимости; собственно таким образом она и завоевала огромное влияние — а именно, как демонстрация способности человеческого ума давать неопровержимые доказательства геометрических и арифметических свойств независимо от эксперимента. Математика проложила путь от мифологического к научному мышлению, и с этого момента она становится гарантией того, что хорошо обоснованное знание возможно, более того, математика
Гт
стала идеалом научного мышления вообще. Но ничто не позволяет распространить преимущества математических предложений на ее приложения, как и не проясняет вопроса, почему математика может вообще применяться к пространственно-временной реальности, включая социальные и экономические факты.
Эта проблема, которая принадлежит к теории познания, является гораздо более глубокой, чем простой методологический вопрос, как «математизировать» что-либо. ,.1
Начало современной науки характеризуется программой Галилея измерить все, что измеряемо, и сделать измеряемым все, что неизмеряемо. Но почему эта программа может быть успешна? Сказать, что книга природы написана числами — это метафора, но не ответ. Именно этот вопрос мы намереваемся обсуждать далее. Его значимость выросла с того момента, как мы узнали, что абсолютное обоснование математики невозможно, а также после того, как X. Патнэм привел доводы в пользу квази-эмпирических методов в математике. Согласно его мнению, хорошая математика зависит от «успеха наших идей в практике»2.
X. Филд, с другой стороны, выступил за «науку без чисел»3. Он отвергает как доводы Патнэма, так и метафору Галилея. Поэтому одна из задач философии математики сегодня — это разработать перспективу, которая не следует ни за Патнэмом, ни за Филдом. Эта задача будет решена в четыре этапа: я начну с аристотелевского подхода, в котором, следуя платонистской концепции идей, стоящих за математическими объектами, математика видится как абстракция. Затем будет обсуждена конструктивистская программа, согласно которой математические объекты есть результат конструирования, и это, в конце концов, будет обобщено в подходе Витгенштейна к правилам.
1 О методологических проблемах см.: Horz Н. Mathematisierung der Wissenschaften. Beiträge zu ihrer weltanschaulichen, erkenntnistheoretischen und methodologischen Problematik. B, 1989; Rosenberg U. Mathematik und Wirklichkeit. В.. 1991. Проблема, с которой мы имеем дело в настоящей работе, обсуждается в работе: Frey G. Die Mathematisierung unserer Welt. Stuttgart; 1967. О проблемах измерения см.: Savage W. Philosophical and Foundational Issue in Measurement Theory. Hillesdale, 1992. He так много попыток проанализировать онтологические или эпистемологические проблемы математики, см., например: Azzouni J.: Metaphisical Myths. Mathematical Practice // The Ontology and Epistemology of the Exact Science. Cambridge, 1994.
Philosophical Papers I. Cambridge, 1975. P. 61.
1 Field H. Science Without Numbers. Princeton. 1980: Продолжение дискуссии см.: Realism, Mathematics and Modality. Oxford, 1989-
Ulli
: Putnam H. What is mathematical truth?// Mathematics, Matter and Method.
CO
Математика как абстракция
Мы все учились считать при помощи наших пальцев. И вне всякого сомнения, счет есть один из наиболее элементарных способов внесения порядка в окружающий мир, способ, вероятно, глубинно связанный с эволюцией понятия частной собственности. Понятие числа, конечно же, произошло из счета как человеческой деятельности. Подобным образом это можно также сказать и по отношению к геометрии, т. к. задолго до доказательства теоремы, данного Пифагором, египетские и вавилонские геометры уже знали ее как эмпирическое правило. Через всю историю математики проходит мысль о том, что связь между миром опыта и математикой иг-){, рала доминирующую роль, т.к. во многих случаях проблемы эмпиричес-
! кой практики приводили к появлению математических теорий: игры со слу-^ М-
чайным исходом привели к теории вероятностей, поиски кривои движения тел нашли свой ответ в исчислении бесконечно малых величин, про-1' блемы компьютерного программирования привели к теории рекурсивных функций и т. д. Мы могли бы продолжить этот перечень, но ответ на наш ключевой вопрос совершенно очевиден, он высказан уже Аристотелем: при-' менимость математики основана на том, что ее абстракции происходят из пространственно-временной реальности! Поэтому неудивительно, что можно накладывать эти абстракции на вещи и их свойства. Что касается геометрии, то Аристотель предполагал, что каждому физическому телу присущи как качества, так и геометрическая форма. Физик, писал он, имеет дело и с тем, и с другим, в то время как математик — только с формой, «но только поскольку она есть ограничение (т.е. поверхность) физического тела (и не зависит от его вида)», которое «в мышлении» может быть отделено от движения тела4. Он заключает: «Математический обьект есть тот, который неразложим более, но который рассматривается не как свойство того или иного тела, а только как абстракция (арЬакез^)»5. По его мнению, это справедливо не только для геометрических форм, но и для ^ форм в самом широком смысле, включая все математические объекты и
их свойства.
я _
ас
^ 4 Аристотель. Физика 11.2, 193Ь.
' Аристотель. О душе Г)е 1.1, 403Ь.
" Александров АД. Общий взгляд на математик}' // Математика, ее содержание, методы и значение, т.1. М., 1956. С. 68.
!й
Подход Аристотеля жив и по сей день. Но в XIX веке Джон Ст. Милль провозгласил гораздо более радикальную теорию абстракции, чем Аристотель. Будучи убежденным эмпириком, он старался свести к опыту не только математику, но даже логику. В аристотелевском духе русский математик А.Д. Александров — известный почти каждому студенту на востоке и западе благодаря своим знаменитым учебникам — писал несколько десятилетий тому назад:
«Предмет математики составляют те формы и отношения действительности, которые объективно обладают такой степенью безразличия к содержанию, что могут быть от него полностью отвлечены и определены в общем виде с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы служить основанием для чисто логического развития теории»6. Эта формулировка даже в деталях восходит к идеям Аристотеля.
Тем не менее, все эти теории бесполезны. Их результатом будет то, что Готтлоб Фреге саркастически назвал, имея в виду индуктивизм Милля, «математикой имбирной коврижки и булыжника», потому что любая абстракция на основе опыта приведет нас не более, чем к истинам факта, к апостериорным предложениям, и мы никогда не сможем покинуть опыт путем такого рода обобщения. Аристотель не признавал этого; он допускал, что эти формы вечны, а структура или форма поверхности вещей не зависит от опыта; именно это предполагает и Александров. Но как мы можем знать это, и каким образом будем отличать простую абстракцию, имеющую опытное происхождение, от принципиально иной, указывающей на внутренние, априорные структуры?
Приведем еще одно соображение о бесполезности чисто абстрактной теории. Именно в математике существуют предложения, не имеющие никакого соответствия пространственно-временной реальности. Это справедливо в отношении несоизмеримости стороны и диагонали квадрата (по-другому это выражается как непредставимость выражения «"2» в виде конечной десятичной дроби), или как невозможность деления нечетных чисел на 2 без остатка: в реальности каждая диагональ может быть измерена и почти все может быть ^ разделено (примерно) на две части. Это показывает, что мы имеем дело с ^
я X
<3
математическими свойствами, которые своим происхождением имеют чисто концептуальный уровень.
На самом деле, современные теории абстракции, специально разработанные в диалектическом материализме и которые Александров имел в виду, являются гораздо более изощренными7. Для наших целей идеологические посылки диалектического материализма безразличны; но теория сама по себе представляет интерес своим обещанием разрешить нашу проблему приложимости. Как известно, эта теория обьявляет возможным обьяснить как необходимость, так и независимость от опыта математических утверждений.
Этот подход начинается с понимания того, что мы — в отличие от того, во что верил Аристотель, — не можем прийти к изолированным математическим понятиям путем процедуры абстрагирования. (Витгенштейн однажды спросил, можно ли говорить, что некто умеет считать, если единственное вычисление, которое он может воспроизвести, это 25 х 25 = 625.) Математические понятия ни для чего не являются именами; поэтому весь процесс абстрагирования ведет к наиболее общим фактам, а в математике — к независимым структурам. Однако в эмпирических науках также существуют структурные свойства; поэтому должно быть проведено различие между абстракциями эмпирическими и математически-структурными. Согласно вышеуказанной теории, это возможно путем введения процесса двойного абстрагирования следующим образом: математика является не просто «зеркальным отражением» пространственно-временной реальности, но «зеркалом зеркала». Первый шаг завершается эмпирическими обобщениями, лежащими в основе эмпирических предложений, т.е. законов природы, которые (и это самый важный момент), как предложения, даны в мышлении. Следующим шагом происходит абстрагирование уже от этих обьектов, данных в мышлении, с тем чтобы получить чистые структуры из свойств чисто концептуальных, являющихся результатом процесса предыдущего абстрагирования. Поступая таким образом, мы исключаем все эмпирическое содержание; и на уровне чистых концептов числовые свойства или проблема не-
^ соизмеримости не причиняют никакого вреда. Ф
И -
2 Эта программа представлена в кн.: Ileitsch W. Mathematik und Weltanschauung.
^ В., 1976.; Molodschi W.N. Studien zu philosophischen Problemen der Mathematik. В.,
^ 1977; Renyi A.; Dialoge über Mathematik. Basel, 1967.
Следующий пример поможет прояснить все это. Существуют языки со словами для чисел, которые зависят от вида считаемых предметов (вспомним, что английские меры для жидкостей различны для воды, нефти и пива). Эти специфические числовые слова должны быть поняты как свойства эмпирических вещей в смысле первого шага абстрагирования; и только второй шаг приводит к числам как математическим понятиям, отделенным от свойств вещи.
Будучи чисто концептуальными и данными только в мышлении, эти предложения второго уровня абстракции могут рассматриваться как необходимо истинные, и если бы не возникало в дальнейшем определенных трудностей, то второй шаг можно было бы назвать вообще не процессом абстрагирования, а процессом идеализации. Только таким путем могут быть получены такие понятия, как «континуум» или «бесконечность». Это показывает, что достаточно сложные теории абстракции допускают не только способность нашего мышления к абстрагированию, но и к творческому созданию такого, чего мы никогда не сможем получить из опыта. Мы должны иметь способность идеализировать, чтобы называть колесо кругом, а «и так далее» — потенциальной бесконечностью: край стола — бесконечно продолженной линией; два края — параллельными, которые никогда не пересекаются, а не говорить о так называемых идеальных элементах (т.е. бесконечно удаленной линии, состоящей из идеальных бесконечно удаленных пересечений всего пучка параллельных линий евклидовой геометрии). Все это очень далеко от опыта каждого из нас и зависит от условий, принадлежащих самому предмету знания!
Более того, обширные области математических теорий вообще не имеют своим происхождением опыт! Неевклидовы геометрии возникли из чисто внутрима-тематической проблемы, а именно — может ли аксиома о параллельных, пятая аксиома Евклида, быть дедуктивно выведена из первых четырех. И как было обнаружено — и это через 2000 лет интенсивнейших исследований, — все дело в том, что можно построить геометрии, которые используют совсем другой постулат. Это же справедливо и в отношении проблемы континуума, как мы знаем об этом последние 40 лет, для нестандартного анализа, для нестандартной теории множеств и для других областей современной математики. ^
Но можно быть превратно понятым, если утверждать, что все эти теории ^ ни к чему не приложимы; если взять неевклидову геометрию, то потребова- 5 лось около века, чтобы найти сферу ее приложимости. А несколько почти
непостижимых систем математических аксиом нашли свои приложения буквально через несколько лет после их создания. Когда Гильберт построил свою теорию бесконечномерных пространств (так называемые пространства Гильберта), то он даже не мог и мечтать об их использовании в квантовых теориях. Все эти соображения разрушают идею о том, что математика есть результат абстрагирования от пространственно-временной реальности.
Математические объекты
как платонистские сущности
Ещё до Аристотеля Платон предложил фундаментально иное решение нашей проблемы с тем, чтобы обеспечить как неопровержимость математических предложений, так и их приложимость. Платон подчеркнуто возражает против того, что такие центральные понятия, как тождество и единство, могут являться результатом абстрагирования — они должны произрастать из самого мышления. Это приводит его к мысли о том, что истинная реальность состоит из вечных и неизменных идей, из которых выводится все остальное — включая математические объекты. Если трое мужчин стоят передо мной, я, тем не менее, еще не могу принять их как совершенное представление числа 3, поскольку они не неизменны — в противоположность числу 3, и они весьма далеки от того, чтобы быть идентичными, в то время как 3 есть единство абсолютно одинаковых единиц8. Для того чтобы видеть три различных объекта идентичными и пересчитываемыми, мы должны иметь предварительно идею тождественности, как и идею внутренней изменчивости. Это является основанием процедуры счета и в то же время идеи числа. Таким образом, в общем виде, все математические объекты являются такими же неизменными, вечными сущностями; и математические утверждения о свойствах и отношениях между этими объектами поэтому являются также вечным и универсальными истинами. Этим они радикально отличаются от всех апостериорных утверж-
* Аристотель указывал на существование скрытой проблемы (называемой «проблема третьего человека»). Так, согласно Платону, мы должны проводить разли-¡5 чие между конкретным человеком, идеей человека и тем, что является общим для всех конкретных людей, как третьим понятием. Но современные версии платонизма в математике не предполагают платоновских эйдосов, поэтому мы не обязаны рассматривать эту проблему здесь.
дений, т. к. их доказательство может быть дано только в мысли и без всякого эмпирического опыта, и именно это устанавливает их необходимость.
На протяжении 2000 лет платонистская точка зрения была близка математикам. Математические структуры не воспроизводятся только из самих себя и, вместе с тем, не вырастают из пространственно-временной реальности, но они существуют как элемент того, что Лейбниц называл «областью вечных истин». Математик — открыватель, а не изобретатель. Не от математика, а от квадрата зависит, что его стороны несоизмеримы с диагональю. Если бы это было не так, то Большая Теорема Ферма (хп + у" = Т не имеет решения для натуральных чисел х, у, г, п, если п > 2) не обсуждалась бы на протяжении трех веков, до открытия доказательства в 1933 году.
Подход Платона объясняет необходимость математики, но как быть с проблемой приложимости её к реальности? Как быть с нашей привычкой думать о трех различных людях как о единицах счета? Платон решает это мифологически: мир был создан демиургом, божественным творцом, который использует идеи (эйдосы вещей) как кальки (Ыие-рпг^э), таким образом, что они инкорпорируются в реальные вещи, но не совершенным образом. (Поэтому, например, в математическом круге отсутствует идея колеса.) Христианская традиция в целом могла принять такой взгляд, веря, что наш мир есть результат божественного, рационального планирования, которое инкорпорирует божественные идеи вещей, включая математические, в природу. Несовершенство самих вещей не вызывало затруднений, т. к., если бы Бог захотел создать что-либо абсолютно совершенное, то он воссоздал бы себя еще раз и только; поэтому мир должен обходиться без идеально круглых колес.
На протяжении всего того времени, пока философия не имела проблем в допущении теологических постулатов о том, что мир (природа) создан Богом, приложимость математики была гарантирована. Бог положил математику в саму основу природы изначально с тем, чтобы лишить нас возможности получить идею счета из опыта подсчета на пальцах. Но с тех пор как философия освободила себя, с тех пор как она исключила доказательства существования (или не существования) Бога из своих базисных основ, это решение стало бес-смысленным. Даже внутри самой математики платонистская онтология при- ¡3 водит к затруднениям, например, как возможна область чистых идей или веч- 5 ных истин, которая населена в то же самое время и геометрическими объек-
тами, которые логически исключают друг друга? Даже если допустить, что Платон прав, утверждая, что понятия тождества, бесконечности или единства происходят из мышления, это все равно не позволяет утверждать, что они имеют статус вечных истин, существующих самих по себе!
Математика как конструкция
Суммируем результаты наших предыдущих исследований следующим образом: Платон был прав, обосновывая существование понятий, ведущих свое происхождение только из мышления и поэтому априорных всякому опыту; Аристотель также был прав, подчеркивая, что мы учимся считать на пальцах. Как же объединить эти интуиции? Это не только вопрос, касающийся отношения между математикой и природой, но гораздо более универсальная проблема: идея приложимости должна быть рассмотрена в контексте проблемы концептуального знания вообще. Две реальности — мыслительная и эмпирическая должны иметь свое собственное право на существование и должны быть связаны независимо от обязательной идеи Бога, как это сделал Декарт. Все виды взаимосвязей между ними поэтому устанавливаются человеческим сознанием: таким путем пошел Кант. В результате воздействия материи субъект производит формы знания. Эти формы делают возможным возникновение понятий. Материальность при этом гарантирует конкретность интуиции и дает понятиям содержание. Понятие тождественности, например, является категорией мышления, и оно же является одной из основных предпосылок познания субъекта, т. е. частью предпосылок, делающих возможным эмпирическое познание вообще. Применяя эту категорию к материи, мы можем сказать, что каждый объект опыта тождествен самому себе. То же самое справедливо и для понятия общности, и мы, таким образом, почти достигли математики: по Канту, математические понятия и структуры генерируются путем конструирования чистым мышлением и чистой интуицией, т. е. в мышлении и в интуиции, рассматриваемыми чисто формально9. Поэтому идеи очз не образуют отдельно особую область, даже если математические доказатель-^ ства даны только в мышлении, и на этом основании они независимы от време-
§ ни и опыта. Математические утверждения также являются необходимыми и
а _
ас
^ 4 Kant I. Kritik der reinen Vernunft, A712 = B740 (рус. пер.: Кант И. Соч. в 6 т. Т.З,
^ М„ 1964.)
Ши
общезначимыми истинами, как и все истины чистого мышления. При таком подходе математические конструкции могут быть приложимы к пространственно-временной реальности без всяких ограничений; аналогичным образом платоновский демиург в основу созданного им мира клал эйдосы, и субъект познания, по Платону, брал структуру объекта познания в основном как форму мышления и интуиции. Так как эти формы, взятые в чистом виде, являются основой математики, то эта сконструированная математика может быть прило-жима к структурированной феноменальной реальности. Начать рассмотрение с субъекта — это еще не значит утратить объективность только потому, что появляется субъективный фактор. Мы тем самым всего лишь указываем на изначальные предпосылки познания, которые имеют место для всех мыслящих индивидов, и вместе с этим гарантируем интерсубъективность. При этом | вопрос о существовании вещей самих по себе исключается, т. к. ответ на него лежит вне пределов человеческого мышления.
Подход Канта был подвергнут критике со многих сторон и прежде всего за то, что своим происхождением формы мышления и изначальной интуиции у него обязаны логике Аристотеля, которая в свою очередь является простейшей логической теорией. Сегодня мы располагаем более тонкими и разнообразными логическими системами. А его формы пространственной интуиции ведут не более, как к трехмерной евклидовой геометрии. Далее остается нерешенным, почему мы не видим колесо как идеальный круг, но при этом осознаем отклонение от идеального круга, даже если мы поместим чистую форму в материальный объект восприятия так, чтобы мы не могли видеть колесо не иначе как круг!
В этой ситуации можно предложить радикальное решение. Допустим, с одной стороны, что математика и логика как-то заданы, а с другой стороны, что пространственно-временная реальность каким-то образом нам дана. Зная об их различии, взялся бы кто-нибудь утверждать, что существует корреляция между точными математическими структурами и неопределенными структурами реальности? «1 + 1 = 2» тогда коррелировалось бы с «одно яблоко, положенное вместе с другим яблоком, в результате наших действий дает два ^ яблока». При этом, что такое яблоко, каков должен быть его размер, спелость ^ или гнилость зависит от правил корреляции. Это также справедливо и для 2 процесса положения яблок вместе. Должно быть оговорено время (один год ^
может быть слишком долго) и сила, с которой яблоки прижимаются друг к другу, чтобы не получилось в результате пюре10.
Все другие решения от Платона через Аристотеля до Канта зависят от метафизических допущений, в то время как набросанный выше подход, похоже, освобождает нас от этого; Ханс Райхенбах это и имеет в виду. Сегодня эта проблема предстаёт гораздо более сложной, так как ввести простую корреляцию меж-!';; ду не совсем точными наблюдениями и точной теорией недостаточно. Во-пер-, |: вых, не каждый теоретический термин имеет интерпретацию в опыте наблюдения; ; всегда существует теоретическая избыточность. Во вторых, каждое наблюдение ! влечет за собой теоретические и структурные элементы таким образом, что мы получаем целую иерархию наблюдательных и теоретических языков, открытых в обоих направлениях. Теперь эти элементы происходят от объектов, признаваемых объектами наблюдения, поэтому мы не можем полностью избавиться от кантовской точки зрения. И — самое важное — кажущееся простым решение не может объяснить как нашу способность успешно следовать путем им же предполагаемым, так и почему все-таки мы получаем возможность математизировать физический и социальный миры.
Тем не менее, кое-чему мы можем научиться у Райхенбаха. В рамках его подхода становится ясным, как возможно исправить и распространить соответ-. ствие с тем, чтобы провести математизацию наиболее эффективным способом. Это позволяет также объяснить, почему «2 + 2 = 4» не фальсифисируется каким-либо эмпирическим фактом, например, две капли воды вместе дадут одну небольшую лужицу; или операция «сложить» будет бессмысленной в случае, если мы +20 °С внутренней температуры тела сложим с +30 °С градусами внешней среды, так как конечному результату этой операции в физическом мире ничего не соответствует. Наконец, подход Райхенбаха указывает на неустранимое различие между точными математическими понятиями и неопределенными понятиями нашего опыта. Витгенштейн это ясно видел, и Стефан Кёрнер свою «Философию математики» развивает уже на основе этих взглядов. Но наше решение проблемы основывается на синтезе подходов Райхенбаха и Вит-
^ генштейна, а также на центральной идее революционного подхода Канта. Ф
<3 -
® 10 См.: Reichenbach II.: Philosophic der Raum-Zeit-Lehre. В., 1928; Steiner M. The Applicabilities of Mathematics // Philosophia Mathematica. Ser.lll, vol. 3 (1995). P. ^ 129-156.
Правила и действия
Начнем с кантовского воззрения на математические объекты как на конструкции. Его поддерживают все конструктивисты, начиная с Л. Брауэра и А. Рейтинга до П. Лоренцена в наши дни. Однако в ходе развития конструктивизма его главный пункт был изменен. Кант сосредоточил внимание на математических объектах, являющихся результатом построения, подобно тому, как числа конструируются посредством последовательного добавления единицы. В наши дни наибольший интерес вызывают правила самого построения. Естественно, что некоторые элементы платоновских аргументов сохранились, в частности, те, которые предполагают некий род кантианского мышления, например, представление о единице не как о цифре «1», а как о некоем выделенном объекте, представляющем единицу. В таком случае числа оказываются результатом применения правила счета, которое говорит нам, как добавлять «считаемые объекты», например, штрихи, начиная с «I» и переходя к «II», «III»,... «n», «nl»,...".
Начиная с правил, мы получаем важное преимущество, в частности, в отношении нашей ключевой проблемы. Правила относятся к действиям, а пересчет кучи камней есть действие. Правила счета задают структуру действия, и встает задача приспособления правила к некоторому данному случаю: можно ли булыжники или гальку считать так же, как камни в данной куче? Это происходит всегда, когда мы применяем правила в повседневной жизни. Поэтому наша проблема кругов и колес находит решение в интерпретации колес как кругов в нашем действии (или в отрицании этого, если колеса велосипеда слишком сильно погнуты). Таким образом, задача заключается в том, чтобы интерпретировать современную структурную математику в терминах правил.
Имеется три аргумента из разных областей, поддерживающих задуманную переинтерпретацию:
1. В своей теории эпистемологии Жан Пиаже рассматривает обучение математике как обучение правилам12. От неосознанных правил действия мы шаг за шагом постепенно приходим к осознанию структуры этих правил. Процесс разработки правил он описывает как похожий на образование семантических ^
правил в концепции Гудмена — как процесс взаимного приспособления: мы ££ __га
11 Lorenzen Р. Normative Logic and Ethic. Mannheim, 1969. Р. 41.
12 Piaget J. Introduction al Epistemologie Genetique // La pensee mathematique. Р., 1950. '
изменяем правило, приводящее к заключению, которого мы не хотим принять, и мы отбрасываем заключение, если оно нарушает правило, которого мы не хотим изменить13. Таким образом, Пиаже вводит и подчеркивает совершенно новое отношение между пространственно-временной реальностью и математикой — отношение, которое не является ни абстрактным, ни априорным, а зависит от нашего способа обращения к миру. Метрические, топологические и алгебраические структуры зависят не от природы и не от нашего мышления о природе, а от нашего активного (включающего мышление) взаимодействия с природой. Эта аргументация имеет некоторое сходство с рассуждениями эволюционной эпистемологии, которая рассматривает кантовс-кие формы мышления и интуиции как результат приспособления к реальности в процессе эволюции. Кажется, что здесь получает объяснение аристотелевское предположение об эквивалентности структур (или форм) в природе и в мышлении. Однако недостаток эволюционной эпистемологии заключается в том, что мы не можем объяснить ни счета, ни, тем более, современной математики и ее применимости биологическим приспособлением, ибо и то, и другое еще слишком молоды. Вероятно, неандертальцы вымерли не потому, что не могли решать дифференциальных уравнений...
2. Математика невозможна без логики. Мы не хотим обсуждать здесь вопрос о том, можно ли провести четкую границу между математикой и логикой, во всяком случае, логицизм, пытавшийся свести математику к логике, потерпел неудачу. Лоренцен показал, что как пропозициональную логику, так и интуиционистское исчисление предикатов первого порядка можно построить в виде системы правил такого рода, что они являются мета-правилами для каждой системы правил14. Например, правило транзитивности (из «если А, то В» и «если В, то С» следует «если А, то С») получает следующую интерпретацию: если в некоторой системе правил существует правило, позволяющее от А переходить к В, и существует еще одно правило, позволяющее от В переходить к С, то можно доказать, что в каждой системе такого рода переход от А к С является общезначимым правилом. Куно Лоренц распространил этот резуль-
^ тат на полную логику предикатов первого порядка. (Распространение на ло-«
Ч а
ас
<3
в 15 Goodman N. Fact, Fiction and Forecast. Indianapolis. 1955. III. 2. Рус. пер.: Факт, фантазия и предсказание // Гудмен Н. Способы создания миров. М., 2001. ы См.: Lorenzen Р., Lorenz К. Dialogische Logik. Darmstadt, 1978.
гику второго порядка невозможно, поскольку она неполна, однако любой другой метод также не достигает успеха.)
3. Рассмотрение оснований логики показывает, что систему аксиом можно записать в виде системы правил вывода. (С точки зрения истории, логика Аристотеля никогда не была подлинной логикой, а представляла собой — как «Органон», т.е. «орудие», — систему силлогистических правил.) Эти «правила» говорят нам, какие переходы от одной строчки к следующей разрешены. Такое понятие правила не ограничено лишь непосредственными правилами построения в качестве средств действия, как это было в случае конструктивных аксиом Евклида. (Первая аксиома Евклида гласит: две разные точки всегда можно соединить прямой линией. Вторая: такую прямую линию всегда можно продолжить за ее конечные точки.)
Во всех трех случаях следование правилу играет важную роль. В отличие от абстрактных теорий и платонистских воззрений большое преимущество правил, образующих структуры, заключается в более слабых предпосылках: нам не нужна платонистская онтология и мы не обязаны принимать онтологический номинализм, поскольку в качестве средств деятельности правила не нуждаются в этом. Однако они позволяют рассматривать создаваемые ими структуры (натуральные числа или шахматные ходы) так, как если бы это были некие данные объекты. С точки зрения онтологии, такая позиция представляет собой вариант концептуализма, подобный «третьему миру» Карла Поппера.
Тем не менее, против такого истолкования математики имеются серьезные возражения. Критика первого типа отталкивается от анализа оснований математики. Она указывает на то, что конструктивно-интуиционистское обоснование математики ограничивается понятием правила и позволяет реконструировать лишь отдельные части современной математики, не включающие, например, актуальной бесконечности и принципа (егйит поп (Миг. В свою защиту конструктивисты указывают на то, что до сих пор к реальности применялись лишь те части математики, которые могут быть обоснованы конструктивистскими направлениями. Они полагают, кроме того, что не может существовать применимых методов, выходящих за рамки конструктивизма. Однако такая защита конструктивизма недостаточна, ибо не существует конструктивистского обоснова- ^
ф
ния Гильбертовых пространств и неевклидовых геометрий, которые использу- ¡¡£
И
<3
ются в теоретической физике. Напротив, как показал Георг Крайзель, 5
пограничные линии конструктивизма не имеют оправдания, поскольку не суще-
X ф
ствует точного понятия конструкции. Действительно, понятие конструкции расширяло свою сферу от Брауэра к Гейтингу, к Лоренцену, к С. Клини и границы этой сферы всегда определялись тем, что хотели считать математикой. Таким образом, расширение всегда возможно.
В этом состоит наиболее важный аргумент против классического конструктивизма и ограничения им математики посредством специальных правил «эффективного конструирования». Он дает нам возможность следующим образом обобщить понятие правила: мы требуем лишь, чтобы правило в качестве средства возможных или необходимых операций допускало возможность передачи, чтобы можно было усвоить его, т.е. чтобы в каждом данном случае можно было проконтролировать, применимо оно или нет. При такой интерпретации не исключается никакая часть математики, ни современной, ни будущей, в той мере, в какой творящий человек может объяснить нам, что он строит (или: в той мере, в которой обеспечена интерсубъективность). Это справедливо для любой формальной системы, если нам известно, как пользоваться аксиомами контролируемым способом.
Мы не можем обсуждать здесь разнообразных понятий о правилах: логических и семантических правилах; правилах формальных операций; конститутивных правил типа правил шахматной игры; правил деятельности; и не можем говорить о регулятивных, в частности, о моральных правилах15. Нам нужно только рассмотреть переход от конструктивных правил к формальным. Это гарантирует адекватное решение проблемы применимости, ибо всякое познание природы зависит от деятельности, которая представляет собой взаимодействие с физическим или социальным миром, направляемое правилами деятельности. Структура же деятельности является частным случаем формальной структуры.
Предложенное широкое понятие правила приводит к дальнейшему осложнению, связанному с нашей проблемой применимости. Классические конструктивисты исключали трансфинитные методы, нестандартный анализ и от-
15 Они рассматриваются, например, в следующих работах: Wittgenstein L Philosophische Untersuchungen. Oxford, 1953 и Philosophische Bemerkungen. Oxford, 1964 (рус. пер.: Витгенштейн Л. Философские работы. 4.1, М., 1994; 4.2, 1994);
^ RawlsJ. Two concepts of rules // Philosophical Review, 64 (1955), P. 3-32; Lorenzen K. ® Rules vs. Theorems // Butts R.E., Brown J.P.(eds.). Constructivism and Science, Dordrecht, 1989: Conte A.G. Semiotics of constitutive rules // Herzfeld M.(ed.). Semiotic Theory ^ and Practice, 1988. P. 145-155.
части неевклидову геометрию, указывая на то, что они неконструктивны и, следовательно, не могут быть применимы. Это восходит к идее Канта относительно того, что должны существовать определенные формы мышления и интуиции, которые мы налагаем на объекты опыта. А поскольку человек не может мыслить евклидову и неевклидову геометрию в одно и то же время, постольку он не может одновременно налагать их на объекты. Это также невозможно, как невозможно мыслить и воображать квадратную окружность. Если же мы откажемся от идеи Канта о том, что именно субъект познания налагает структуры на познаваемые объекты, то мы вообще потеряем возможность решить проблему применимости математики к реальности. Поэтому для того, чтобы найти решение, мы должны модифицировать кантовскую трансцендентальную философию.
Будем помнить основную идею Канта: именно познающий субъект вносит структуру в познаваемый объект. Но если Кант полагал, что существует лишь одна возможная и воображаемая структура (а именно, та, которая позволяет нам строить трехмерную геометрию и арифметику), то сегодня мы сталкиваемся с возможностью человеческого мышления творить даже в формальных областях. Мы разработали гораздо более сложные логические системы, включая неопределенные логики с ослабленным универсальным принципом непротиворечивости, мы расширили сферу геометрии, с одной стороны, до бесконечного числа измерений, а с другой — до конечного числа точек и прямых линий, мы добавили неевклидовы геометрии. Математики создали математические структуры, весьма далекие от традиционной алгебры и анализа.
Как уже было упомянуто, каждому теоретическому термину теоретического языка вовсе не обязательно иметь эмпирическое соответствие для того, чтобы быть полезным. Это позволяет правила формальной (теоретической) системы отличить от правил, имеющих эмпирические аналоги. Последние должны быть частью системы правил деятельности, а их теоретический аналог должен состоять из ненаблюдаемых фактов. Например, бесконечное действие невозможно, но бесконечные последовательности могут сходиться к некоторому пределу, который способен получить эмпирическую интерпретацию в данной структуре. Это ^
вынуждает нас ввести в нашу модель разные уровни. На самом низшем уровне Ёс мы имеем дело с правилами действий, в то время как на более высоких уровнях 2 находятся правила, относящиеся только к формальным свойствам и отчасти не ^
4 3ак. 817 4Э
имеющие какого-либо соответствия с правилами реальных действий. Теперь применимость математики зависит от возможности ввести корреляции между этими уровнями таким образом, чтобы с помощью правил действий можно было наложить формальную структуру на область объектов. Здесь «действие» принадлежит физическому миру, а лежащая в его основе структура правила принадлежит действующему субъекту. Это конкретизация кантовского схематизма, представляющего собой «правило для направления нашей интуиции в соответствии с определенным универсальным понятием»16.
Резюмируем сказанное и подведем итоги
(1) Мы видели, что платонизм с его провозглашением самостоятельно-| го существования математических структур не может быть опровергнут, однако это не помогает нам устранить наши трудности. Сегодня математики показывают, что они сами создают, изменяют и расширяют формальные системы. Верить в то, что эти структуры существуют на каких-то интеллектуальных небесах, столь же бесполезно, как верить в то, что не только все возможные шахматные ходы, но и все возможные аналоги правил шахматной игры, даже если мы ими никогда не воспользуемся, обитают на этих небесах. Нам нужно лишь одно: если дано какое-то множество правил (в качестве структурного основания формальной, т.е. математической, системы), то все, что из них следует, следует с необходимостью. Однако это вытекает уже из самого понятия правила.
(2) Из такой интерпретации математики и логики (или, вообще говоря, всяких формальных структур) следует, что любой серьезный шаг в прогрессе познания зависит от разработки новых структур или «новых схем мышления», по выражению А.Н.Уайтхеда17. Речь идет о схемах, позволяющих налагать новые структуры на некоторую область опыта таким образом, что структурированная область начинает существовать, а части этих структур получают соответствующие правила действия благодаря правилам корреляции. Примерами
^ из истории могут служить геометрия Минковского и пространства Гильберта;
§ более свежий пример дают теория хаоса и нечеткие логики, го X
<3
16 Kant I. Kritik der reinen Vernunft. A 141 = B 180
17 Whitehead A.N. The Function of Reason (1929), Boston, 1958. P. 67-77.
й1
Как мы видели, за всякое решение приходилось чем-то расплачиваться: постулировать существование идей или априорных структур мира и т.п. Какова цена здесь? Во-первых, мы должны допустить, что субъект познания способен следовать правилам и способен изобретать новые правила; во-вторых, в разные моменты времени субъект может налагать разные правила в качестве схем, поэтому не существуют ни вещь в себе, ни отдельные объекты, а только такой объект, который зависит от структурирующих правил. Следовательно, каждая частица знания относительна: это и есть цена.
Наконец, мы сталкиваемся с вопросом о том, можно ли как-то задать границы математизации? Ответ Канта состоял в том, что математика применима там, где мы мыслим количество. Однако в наши дни математика не ограничивается количествами. Поэтому нам нужно искать другой ответ, даже если мы, вместе с Кантом, убеждены в том, что такие феномены, как душа, исторические события, предметы искусства и произведения литературы, короче, область гуманитарных наук, исключают возможность наложения формальных структур. Причины могут заключаться в следующем.
(1) Все упомянутые феномены принадлежат самосознанию, т.е. обладают рефлексивной структурой. Исключая простейшие системы с обратной связью, рефлексию нельзя формализовать целиком, так как для этого потребовалось бы мета-уровень полностью преобразовать в объектный уровень, что невозможно. Следовательно, эти феномены нельзя выразить посредством формальных структур.
(2) Упомянутые феномены зависят от понимания и интерпретации, ибо имеют в виду единичность и уникальность исторического факта или произведения искусства. Это с самого начала исключает математизацию и формальные структуры.
(3) Поскольку мы исключаем простые эвристические методы, постольку сам творческий акт — в искусстве, литературе и в изобретении формальных систем — оказывается за пределами действия формальных правил, следовательно, лежит вне сферы математизации.
Здесь мы обнаруживаем фундаментальную границу применимости матема- ^ тики, которая никогда не может быть преодолена в ходе создания новых фор- ^ мальных правил и структур. Даже если мы станем вычисляющими существами, 2 живущими в вихре чисел, и даже если, воздействуя на мир, мы будем повсюду ^
открывать новые возможности математизации, мы должны понять, что в этом состоит лишь одна сторона человеческой жизни — сторона, которая не может существовать без другой — исторической и креативной.
Тем не менее, проблемы остаются даже там, где математизация возможна. Со всех сторон звучит предостережение Йозефа Вайценбаума относительно того, что компьютер может превзойти мыслительные способности человека. Однако гораздо большую опасность представляет неадекватная или даже псев-до-математизация, которая дает кажущуюся точность и тем самым ослабляет аргументы против нее. Границы математизации зависят не столько от эпистемологических проблем, сколько от вопросов, связанных с практическим рассуждением и ответственностью. Они приобретают значение там, где математика не только использует свои структуры для развития той или иной теории, но где мы действуем в соответствии с ней. Поэтому, если мы передаем решение формальных задач компьютеру, мы обязаны использовать полученное за счет этого время и свободу для нового творчества и расширения сферы нашего этико-практического разума, чтобы в качестве вычисляющих существ не просчитаться в собственной жизни.
Перевод с английского В.А. Колпакова и А.Л. Никифорова.
