74MATEMATIKA FANINI O'QITISHDA INNOVATSION TEXNOLOGIYALARDAN VA NOAN'ANAVIY USULLARDAN
FOYDALANISH
Inomjon Nemadullayevich Maxmudov Yusuf Pardayevich Aliqulov Asqar Ne'matovich Raxmonov
Samarqand davlat universiteti akademik litseyi, Matematika fani o'qituvchilari
Ushbu maqolada talabalarni o'qitishning dolzarb masalalariga bag'ishlangan, o'quv jarayoniga innovatsiya tamoyilini tatbiq etishda ijodiy tasavvurni rivojlantirish usullari ochib berilgan. Maqolada bir nechta trigonometrik funktsiyalarni oddiy trigonometrik funktsiyalarga aylantirish uchun noan'anaviy usullardan foydalanish ko'rib chiqiladi.
Kalit so'zlar: Ko„p argumentli trigonometrik funksiyalar, oddiy trigonometrik funksiyalar, ikki burchak yig'indisining sinusi, ikki burchak yig'indisining kosinusu, algebraik tenglama, zamonaviy fan va texnika, noan'anaviy usullar, ko'phadli koeffitsientlar, Paskal uchburchagi, sxemalar bilan ishlash.
Kelajak uchun har tomonlama etuk mutaxassis kadrlar tayyorlashning mohiyati, zamonaviy fan va texnikaning rivojlanish talablariga mos barkamol avlodni tarbiyalash masalalari izchillik bilan tashkil etilib, bu boradagi dolzarb masalalar va ularni amalga oshirish chora tadbiri milliy dasturda belgilab berilgan.
Shu ma'noda "trigonametrik funksiya" larni o'rganishni klassik bo'lmagan (noan'anaviy) usulini misol tariqasida keltirishni lozim topdik.
Algebraik tenglama va funksiyalarni yaxshi o'rgangan o'quvchilar ham trigonametrik funksiyalarni o'rganishda ba'zi bir qiyinchiliklarga duch kelishi mumkin. Muammoning asosiy sabablaridan biri, mualliflarning fikricha adabiyotlarning yo'qligida yoki bo'lsa ham juda kamligidadir.
Karrali trigonametrik funksiyalarni oddiy trigonametrik funksiyalarga
ANNOTATSIYA
March, 2022
aylantirishda ikki burchak yig'indisining sinusi va kosinuslaridan foydalanadi. Bu an'anaviy usul o'quvchilardan ko'proq vaqt talab qiladi.
Hozirgi fan va texnika taraqqiyoti o'quvchilardan muammolarni tez va o'ta to'g'ri bajarishni talabqiladi. Masalan, cos3x karrali funksiyani oddiy trigonametrik funksiya ko'rinishida keltiraylik.
cos3x=cos(x+2x)=cosxcos2x-sinxsin2x va ba'zi almashtirishlardan so'ng -cs^a- 2-:osx ifodaga tengligi kelib chiqadi. Bu klassik usul bilan ayniyatni isbotlashda o'quvchilar vaqtni yutqazish bilan b irga soddalashtirish jarayonida xatolikka yo'l qo'yishi ham mumkin.
Biz taklif qilgan noan'anaviy usul vaqtni tejash bilan birgalikda algebraik ayniyat bilan trigonametrik funksiyaning uzviy bog'liqligini asoslaydi.
Ko'phadlarni koeffitsentlarini aniqlashda Paskal uchburchagidan foydalanamiz.
Misol tariqasida (a + b)n darajasini ko'phad ko'rinishga keltiraylik. Bu hadlarni a = cosx, b = sinx bilan almashtirsak va n = 2 bo'lganda Paskal uchburchagi
(a+bf=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
1 (n=0)
1 1 ( n=1)
1 2 1 (n=2) 1 3 3 1 ( n=3) 1 4 6 4 1 ( n=4) 1 5 10 10 5 1 ( n=5)
1 6 15 20 15 6 1 ( n=6)
March, 2022
O'quvchi cosnx va sinnx formulalarni oddiy trigonametrik funksiyaga almashtirishning bu usulini quyidagi sxemada ko'rish mumkin (1-sxema):
sin2x=2cosxsinx
cos4x=1cos4x -
+
sin4x = 4 cos2xsinx
-6cos2xsin2x
1 ■ 4
-1 sin X
+ 4 cosxsin2x
Bu ma'lumotdan kelib chiqib quyidagi formulalarni taklif qilamiz [1];
2
cosnx=aiCosnx-a3Cosnx-a=sin x+
-1 -3-3
srnnx=a2cosn xsinx-a4cosn xsin x+
Bu usul yordamida qiyinroq bo'lgan tgwc funksiyasini ham oddiy funksiya ko'rinishiga keltirishimiz mumkin:
Xususiyholdai»2x = ^-; tg3x = st8x~ts'x; tg4x = *t8X~*ts** va
1 -tgAx
1-3 tg£x
l-6tg*x+tg*x
hakozo.
1- Misol. Ayniyatni isbot qiling.
cos к — 6o^sin3 (n — 2a) — cos(6a — n) sin3 — 2aj = cos34a.
March, 2022
247
Yechish: cos (Jti: — 6aj sin3(7r — 2a) — cos(6a — tt) sin3 — 2aj =
+cos6acos3 2a = sin3(2a)sin32a -+- cos3(2a)cos32a = (3sin2a — —4s in3 2a) sin3 2a + (4cos32a— 3cos2a)cos32a = 3sin42a— 4sin62a-\-
= —3(cos2 2a — sin2 2a){cos22a + sin2 2a) + 4(_cos22a — sin2 2a) X X (cos42a + cos2 2asin2 2a + sin42tt) = — 3(cos2 2a — sin2 2a) + 4(cos22a — sin2 2a)((cos42a + sin42a) + cos2 2asin2 2a) = —3cos4a + 4cos4a((cos2 2a + sin2 2a)2 — 2cos22asin2 2a + cos22asin2 2a.) = —3cos4a -+ 4cos4a(l — cos22asin22a) = —3cos4a + 4cos4a — cos4a X X (4sin2 2a.cos22a) = cos4a — cos4a(4sin2 2acos2 2a) = cos4a — cos4a X sin2 4a = cos4a(l — sin2 4a) = cos4acos24a = cos3 4a. 2- misol. Tenglamani yeching. 2 cos 13x + 3cos3x + 3cos5x — Qcosxcos34x = 0
a+ß
Yechish. cos3a = 4cos a. — 3cosaf cosa + cosß = 2cos^-cos
2cosl3x + 3(cos3x + cos 5x) — Qcosxcos3 4x = 0 <=> 2cosl3x + 3 ■ 2cos4xcosx — Scosxcos34x = 0
a-ß
March, 2022
248
<i=> IcoslZx — 2cosx(Acos24x — ZcosAx) = 0
<i=> 2cosl3x — 2cosxcosl2x = 0 i=> 2cosl3x — (cosl3x+ cosllx) = 0 <i=> <i=> —2sinl2xsinx = 0
Shunday qilib, karrali trigonametrik funksiyalarni oddiy trigonametrik funksuyaga aylantirishning noan'anaviy va an'anaviy usulga qaraganda bir qancha qulayliklarga ega. Shulardan biri vaqtni tejash bilan birga o'quvchilarda sxemalar bilan ishlash mahoratini shakllantiradi. Shuningdek, trigonametrik funksiyalarni algebraik ayniyatlar bilan uzviy bog'liqligini ta'minlaydi. Bir vaqtda karrali trigonametrik funksiyalarni ayni cosnx, sinnxlarni oddiy trigonametrik funksiyalarga o'tkazish mumkin. (1-sxema)
REFERENCES
1. Фукс Д.Б Формулы для sirm.x и cosïix. Квант журнали №3 1997 йил, с 37-
2. Abduhamidov A.U., Nasimov X.A. Algebra va matematik analiz asoslari. II qism. Akademik litseylar uchun darslik. - T., 2008
2) sinx = 0,x2 = mi, ueZ chet ildiz
Javob. x = —, keZ
irfe
12
41.
March, 2022
