Математичні моделі функційної безпечності та безвідмовності відновлюваних технічних засобів у разі використання мажоритарного резервування «2» із «3» Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

АВТОМАТИКА, ТЕЛЕМЕХАН1КА, ЗВ'ЯЗОК

УДК 656.256: 681.32

В. Ф. Кустов, професор (УкрДАЗТ)

МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 ФУНКЦ1ЙНО1 БЕЗПЕЧНОСТ1 ТА БЕЗВ1ДМОВНОСТ1 В1ДНОВЛЮВАНИХ ТЕХН1ЧНИХ ЗАСОБ1В У РАЗ1 ВИКОРИСТАННЯ МАЖОРИТАРНОГО РЕЗЕРВУВАННЯ

«2» 13 «3»

У системах керування вщповщальними технологiчними процесами у багатьох випадках використовують мажоритарне резервування «2» i3 «3» [1, 2].

Математичнi модел^ що наведенi у роботах [3,6], не враховують стутнь впливу тривалост вiдновлення небезпечних вiдмов у кожному каналi резервування на кiлькiснi показники безпечност та безвiдмовностi мажоритарних систем «2» i3 «3» (МС), не дозволяють визначити допустиму максимальну тривалють усунення небезпечних вiдмов та мтмальний перiод дiагностування кожного каналу резервування.

Для визначення математичних моделей функцшно1 безпечност у разi експоненцiального закону розподшу небезпечних вiдмов у кожному каналi резервування (Лн= const) необхщно скласти розрахунково-логiчну схему i граф безпечност ( рисунок 1, а,б) з урахуванням спiдвiдношення Ne6=^/AH.

Небезпечна вщмова системи настае тодi, коли вщбудеться небезпечна вiдмова будь-яких двох каналiв резервування та мажоритарний елемент МЕ сформуе небезпечний сигнал. Iмовiрнiсть небезпечно!' вiдмови дорiвнюе ймовiрностi перебування МС у сташ S2:

Qh (t)= P2 (t).

Iмовiрнiсть безпечно!' роботи дорiвнюе сумi ймовiрностей перебування МС у станах S0 i Si,

Рб (t)=Po(t)+ Pi(t).

Рисунок 1 - Розрахунково-лопчна схема i граф безпечност вiдновноi системи у разi використання мажоритарного резервування «2» iз «3»

Для визначення ймовiрностей Р0(г), Р1(г) I Р2(г) складають систему диференцшних рiвнянь Колмогорова, яка з урахуванням стдвщношення Ывб=^/Ан мае вигляд:

dP.it)

йг йР1 (г)

йг йР2(г) йг

= -3ЛнР0(г) + ЫвбЯнР1(г);

= зхнР0(г) - 2кнРх($) - КвбКР,{г); = 2ЛнРх(г).

(1)

Пiсля прямого перетворення Лапласа, з урахуванням нульових початкових умов: Р0 (г=0)=1, Р1(г=0) = Р2(г=0)=0, одержують:

5 • Ро (5)-1 = -3ЛнРо (з)+ М^ЛнР (з);

^ • р (з) = ЗЛнРо (з)- 2ЛНРХ (з)- ЫвбЛнР1 (г);

(2)

5 • Рг (5)= 2ХнРх (з)

<

Cпочaткy виконують перетворення першого рiвняння системи (2):

Po(s)[s+3Àn/= NeбА Pi(s)+l, Ne6ÄH • Pi (s)+1

Po(s)

s + ЗА

(З)

Пiдстaвляючи отримaний вирaз у друге рiвняння системи (2), одержують

s • Pi (s) = ЗАн

NебЛн • Pi (s)+ i

s + ЗА

-(2Ан + NбАн )• Pi (s ).

Звiдси

(s + 2Ан + NвбАн )• Pi (s) = ЗАн

NебАн • Pi (s)+ i

s + ЗА

[(s + 2Ан + Ne6ÄH>(s + ЗАн)-ЗА^вбК]• Pi(s) = ЗАн ;

Pi (s ) =

ЗА

[(s + 2Ан + NА ) • (s + ЗАн ) - ЗА^вбАн ] '

(4)

Пiсля зaмiни в третьому рiвняннi системи (2) зобрaження Pl(s) нa вирaз (4) воно мaтиме вигляд:

2А„ ЗА,, 6А 2

P2 (s ) =

s ' s2 + ^ебАн + 5Ан )• s + 6Ан2 s •[s2 +(^бАн + 5Ан )• s + 6АН 2 ] '

(5)

Дaлi познaчaють через Sl, S2 кореш квaдрaтного рiвняння знaменникa P2(s), як визнaчaють у тaкий спосiб:

Si 2 =- ^ + А ±

1,2 2

!ебАн )2 +10 Ан2 Ne6H +Ан2

4

aбо

Si =-

( Ne6 + 5) + 4 Ne6 2 +10 Ne6 +1

А.

2

У

^ 2 =-

(Мвб + 5) -У Мвб 2 +10 Мвб +1 2

Л

З урахуванням уведених позначень, вираз (5) буде мати вид:

Рг (з) =

61

П1сля використання оберненого перетворення Лапласа для рiвняння Р2(з) одержують формулу для визначення ймовiрностi небезпечноi вiдмови МС:

0 1 М + 5) + УМвб2 +10Мвб +1

(Квб +5)--/

Мб +10Мвб +1

-кг

(6)

(Мвб + 5) -V Мвб2 +10 Мвб +1

(Мвб +3)+/

Мб +10М б +1 .

2д/ Мвб2 +10 Мвб +1

У

2

2

е

2

е

Звщси одержують iмовiрнiсть безпечноi роботи МС Пiсля перетворення першого показника ступеня (при Л) шляхом домноження та дiлення на однаковий сполучений доданок отримаемо:

р (г) = Т - Q (г) = (Мвб + 5) + УМвб2 +10Мвб +1 "+5)^^ +10Мвб б н 2^ Мвб2 +10 Мб +1

(Мвб + 5) -4 Мвб2 +10 Мвб +1

2 . .1 (Мвв + 5)Мвб 2 + 10Мв„ +1

X 1 (Мвб +5)^ Мвб +10Мвб +1 вб М + "вб + 10 Мвб + 1--2-Я»г

-1 ~-е 2

2^ Мвб 2 +10 Мб +1

Р г )=( +5) +У +10 +1 е _ ( ъ+10Мйй+1лг ( м*+5) -ум:77шм~7т -( м-+5)^ м^2 +10м-+1 л г

(7)

Для бшьшосл практичних випадюв (при Мвб > 100), коли

(Мвб + 5) Мвб 2 +10Мвб +1 iмовiрнiсть безпечно!' роботи дорiвнюe

6К 4 —^

Мб +5

Рб (0= ^ +5 , (8)

Для визначення середнього наробггку до небезпечно!' вщмови використовують рiвняння ймовiрностi безпечно!' роботи

Рб (г)=1 - Р2(г). (9)

Пюля прямого перетворення Лапласа рiвняння (6.22), одержують

612

Ре (*) = 1" Р2 (^) = 1--Г;—7--П . (10)

* 5 5 2 +(Мвб\ + 5ЯН )• 5 + 6Дн 2 ] ^ 7

З урахуванням приведення виразу (10) до загального знаменника, зображення функцп безпеки буде мати вигляд:

Р (5ч *2 + (МвбЯи + 5ЛН)• 5 + 6А„2 -6Х 2 _ * + МвбК + 5ЛН (11)

б 5•[*2 +(МвбК + 5ЛН)• 5 + 6ДН2] 52 +(МвбК + 5ЛН)• 5 + 6ЛН2 '

Середнiй наробiток до небезпечно! вiдмови визначають з урахуванням формули

ад

Трн =| Рб №=Рб (5)1=0. (12)

0

Пюля замши в рiвняннi (12) зображення ймовiрностi безпечно!' роботи на вираз (11) одержують

, + 5Л, _Ыай + 5 + 5 ( )

иш = 6Д2 = 61 " 6 киш ^ ()

або, з урахуванням уведення шдексу вщновлення безпечно'' роботи МС

Ывб=у/Лн = ТСр.н/ Твб, одержують

4а, = (^ + ^Ош 1 = (0,17МЙ + 0,834,(14) 6 6

де - Тсрн1 - середнш наробггок до небезпечно'' вiдмови одного каналу резервування.

При великих значеннях шдексу Ывб (Ывб > 200) збшьшення середнього наробiтку до небезпечно'' вiдмови при введеннi мажоритарного резервуваня 2 iз „3 залежить практично тшьки вiд спiввiдношення iнтенсивностi вщновлення та iнтенсивностi небезпечних вiдмов каналiв резервування (iндексу вiдновлення Ывб)

N О

ОйдА « . (15)

6

Для цього випадку використовують також рiвноцiнну формулу

О 2

О., - . (16)

6Оа

Аналiз формул (14) - (16) показуе, що тривалiсть вiдновлення е дуже важливим чинником пiдвищення функцшно! безпечностi МС, навпъ у разi вiдносно велико'' iмовiрностi небезпечно'' вiдмовi у кожному каналi резервування.Iнтенсивнiсть небезпечних вiдмов МС розраховуеться на базi формули (8):

_ 6 Я,, л

д" ■ _ N. + 5' (17)

аа

С урахуванням того, що тривалють вiдновлення складаеться з тривалост дiагностування та усунення небезпечних вщмов у кожному каналi резервування, тобто Тв = Тд +Ту, для великих, реальних на практищ значень iндексiв вiдновлення (Nвб > 100), iнтенсивнiсть небезпечних вщмов уше! структури МС дорiвнюе:

Я = 6ЯЯи л(Та + Т6)■ (18)

З ще! формули знайдемо максимально допустиме значення перюду дiагностування небезпечних вiдмов у кожному каналi резервування МС, а також максимально допустиму штенсившсть небезпечних вщмов одного каналу резервування для досягнення допустимо! (нормованно!) iнтенсивностi небезпечних вщмов:

Оя»я =

Я - 6 Я i lT.

6 Я i .1

(19)

Я. 1 гас

Я

6(Ой + Од)

(20)

Мтмально допустиме значення наробггку до небезпечно! вiдмови одного з каналiв резервування МС при Ян.1.мах= const та фшсованих максимально допустимих значеннях Тд.мах и Ту.мах) визначаеться наступним чином з виразу (20):

T =

i .1. iin

6(Ой + О,)

Я

(21)

Для визначення коефщента безпеки Кб необхiдно використовувати граф стану МС (рисунок 1), у якому додаеться ребро графа S2-S1. При вщсутност вщновлення, у випадку перебування системи в сташ S2, коефiцiент безпеки Кб = 0. Це обумовлено тим, що коли е навпъ мiнiмальна ймовiрнiсть переходу системи в стан небезпечно! вщмови, час перебування системи в цьому сташ без вщновлення буде дорiвнювати нескшченност^

Коефiцiент готовностi МС до безпечно! роботи визначаеться в сталому режимi його роботи, тому систему диференцшних рiвнянь перетворюють у систему алгебра!чних рiвнянь:

0 = -3ЯНР0 + NM

0 = ЗЯнРо - (2Ян + Ne6bH )P + N^P

(17)

0 = 2ЯнР1 - N вбЯЛ

Розв'язання системи (17) виконують з урахуванням додатково! умови

Ро+Р+Р2=1 . (18)

З першого та третього рiвнянь системи (17) отримаемо:

Ро = = (19)

0 3Л„ 1 3

р = яг*= тт р1, (20)

ебЛн ■'»вб

N Р

Р = ^ . (21)

Пiдставляючи вирази (19)-(21) у рiвняння (18) i розв'язуючи його, одержують:

зт

Р =—-, (22)

Nвб2 + 3Т вб + 6

З урахуванням виразiв (19) i (20)

Т 2

Ро = г 2 ,; (23)

N вб2 + 3Т вб + 6

Р2 = г 2 6АГ ,. (24)

N вб2 + зт вб + 6

Коефщент готовностi до безпечно! роботи МС визначаеться сумою ймовiрностей перебування системи в безпечних станах ^0,, S1)

N 2 + 3N

Кб = Ро + Р = 2 + 3Л вб . (25)

N вб2 + 3N вб + 6

Коефщент готовностi до безпечно! роботи МС iз мажоритарним резервуваням «2» iз «3» залежить тiльки вiд шдексу вiдновлення каналiв резервування i дуже тдвишуеться при його збiльшеннi, особливо при великих його значеннях.

У pa3i використання мажоритарного резервуваня «2» i3 «3» граф безвщмовност по вiдношенню до захисних вщмов мае вигляд подiбний до рис.1, але в ньому замють iнтенсивностi небезпечних вiдмов необхщно використати iнтенсивнiсть захисних вiдмов. Тому формули для розрахунку ycix показниюв безвiдмовностi е подiбними до показниюв функцшно!' безпечностi, тiльки в них замють штенсивност небезпечних вiдмов необхщно використати iнтенсивнiсть захисних вiдмов.

Висновки. По вищенаведеним математичним моделям визначаються показники фyнкцiйноi безпечностi, якi порiвнюються з показниками, що е нормативними або задаються Замовником. Також на 1'х бaзi можуть бути обгрунтоваш основнi вимоги до МС з фyнкцiйноi безпечностi:

- максимально допустиме значення перюду дiaгностyвaння небезпечних вщмов елементiв МС, який повинен виконуватися гарантовано автоматично або експлуатацшним персоналом;

- максимально допустиме значення штенсивност небезпечних вщмов одного з кaнaлiв резервування;

- мiнiмaльно допустиме значення наробггку до небезпечноi вiдмови одного з кaнaлiв резервування.

У рaзi використання мажоритарного резервування «2» iз «3» прискорення вiдновлення (зменшення перюду дiaгностyвaння та тривaлостi усунення вщмов):

- суттево (на кiлькa порядюв) може змiнювaти як показники фyкнкцiйноi безпечностi, так i безвiдмовностi таких об'еклв;

- призводить до суттевого збшьшення готовностi об'ектiв.

У порiвняннi з вaрiaнтом «2» iз «2» функцшна безпечнiсть мажоритарного резервування «2» iз «3» у 3 рази зменшуеться, безвiдмовнiсть та готовнiсть на кшька порядкiв пiдвищyеться. Для досягнення безпечност при мажоритарному резервyвaннi «2» iз «3», що дорiвнюе безпечност при навантажувальному резервyвaннi «2» iз «2», необхiдно у 3 рази зменшити тривaлiсть вiдновлення небезпечних вщмов у кожному кaнaлi мажоритарного резервування.

Список лтератури

1.Кустов В.Ф. Микропроцессорная система электрической централизации стрелок и сигналов без релейной аппаратуры и рельсовых цепей / В. Ф. Кустов // Вестник Металлургтранса и Союзпогрузтранса. - 2009. - № 4. С. 36-47.

2. ООО «НПП САТЭП». Системы и устройства. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http:// www.satep.com.ua/ - 22.02.2010 г.- Загл. с экрана.

3. Методика доказу функцюнально'1 безпеки м1кроелектронних комплекав систем керування та регулювання рухом по'1'зд1в.. Затв. та введ. в д1ю наказом "Укрзал1знищ" № 452-Ц в!д 17.08.2001 р.- К.: Вид. ПП «Алькор», 2002.- 106 с.

4. Кустов, В.Ф. Основи теори надшносп та функцшно'1 безпечносп систем зашзнично'1 автоматики: Навч. поабник для вуз1в / В. Ф. Кустов. - Х.: УкрДАЗТ, 2008. - 218 с.

5.Методы построения безопасных микроэлектронных систем железнодорожной автоматики и телемеханики: монография / Под ред. Вл.В. Сапожникова - М.: Транспорт, 1995. - 272 с.

6.Сертификация и доказательство безопасности систем железнодорожной автоматики: монография / Под ред. Вл.В. Сапожникова. - М.: Транспорт, 1997. - 288 с.

УДК 656.212.5

Козаченко Д.М., к.т.н., доцент (ДНУЖТ)

КРИТЕРИЙ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМОВ ТОРМОЖЕНИЯ ОТЦЕПОВ РАСЧЕТНОЙ ГРУППЫ В УСЛОВИЯХ ДЕЙСТВИЯ

СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ

Введение. Основным средством, обеспечивающим повышение безопасности расформирования поездов, улучшение условий труда и уменьшение эксплуатационных расходов на переработку вагонопотоков на сортировочных станциях является автоматизация расформирования составов на сортировочных горках. При этом, главным направлением повышения качества сортировочного процесса является разработка новых алгоритмов для автоматизации управления роспуском составов. Решение этой задачи дает возможность улучшить качество сортировочного процесса за счет совершенствования программного обеспечения, а не за счет усложнения технических средств, что позволяет сократить стоимость систем управления роспуском.

Постановка задачи. Показатели работы горки существенно зависят от выбора режимов роспуска составов. Оптимальное управление роспуском требует определения таких режимов торможения отцепов, при которых обеспечиваются наилучшие условия их разделения на стрелках, а также выполняются требования прицельного регулирования скорости.