Математичне моделювання електромагнітних процесів ідеального трансформатора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.3.01, 621.315

П. Я. ПРИДУБКОВ, канд. техн. наук, доцент

Українська державна академія залізничного транспорту, м. Харків

І. В. ХОМЕНКО, канд. техн. наук, доцент

Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут» , м. Харків

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПРОЦЕСІВ ІДЕАЛЬНОГО ТРАНСФОРМАТОРА

Рассмотрены режимы холостого хода и короткого замыкания линейного трансформатора без потерь, разработан алгоритм процесса приведения напряжений и токов (параметров) вторичной обмотки трансформатора к первичной обмотке, выведены уравнения, описывающие схему замещения идеального трансформатора, установлена схема ■замещения.

Розглянутірежими холостого ходу і короткого замикання лінійного трансформатора без втрат, розроблений алгоритм процесу приведення напруг і струмів (параметрів) вторинної обмотки трансформатора до первинної обмотки, виведені рівняння, що описують схему заміщення ідеального трансформатора, встановлена схема заміщення.

Вступ

Трансформатор є унікальним і одним з найпоширеніших електротехнічних пристроїв. Перед усім він використовується як пристрій, що здійснює перетворення змінної напруги у багатьох системах транспорту та звязку [1]. У електроенергетичних системах та мережах силові трансформатори з’єднують різні класи напруги та використовуються для передавання електроенергії на великі відстані. Все це обумовлює високі вимоги по надійності, що висуваються до трансформаторного обладнання.

В загальному випадку трансформатор представляє собою систему двох або декількох індуктивно зв'язаних котушок, тобто обмоток, розташованих на загальному сердечнику. Як правило, сердечник виконується з феромагнітного матеріалу з високою магнітною проникністю ц. Якщо сердечники трансформаторів знаходяться в лінійному режимі [2], тоді ^ = const. Знаходять застосування також трансформатори з сердечником з неферомагнітного матеріалу (^ = і). Такі трансформатори застосовуються при високих частотах, а у ряді спеціальних вимірювальних пристроях і при низьких частотах змінного струму.

Вищезгадані трансформатори мають лінійні характеристики й процеси в них можуть бути описані лінійними рівняннями. Таким чином, основні риси робочого режиму даних трансформаторів виявляються при розрахунках, що припускають лінійність [Н].

Схеми заміщення лінійних трансформаторів, складені для приведених струмів і напруг відповідно до еквівалентного кола з усунутими індуктивними зв'язками, мають найбільше практичне значення. Втім електрична схема без індуктивних зв'язків, тобто схема заміщення лінійного трансформатора, описувана у підручниках ТОЕ [1-4], не рівнозначна процесам, що відбуваються в трансформаторі. Ця схема є простою електричною схемою, тому напрямку струмів у її вітках визначається напрямком діючої на вході трансформатора напруги. Якщо виконується ця відповідність [4], то рівняння, складене по другому закону Кірхгофа для вторинної обмотки трансформатора, неідентичне такому ж рівнянню, що описує електромагнітні процеси вихідного контуру схеми заміщення. В іншому випадку [1,Н], напрямок струму, який протікає через вітку, що містить навантаження, протилежний напрямку дії вхідної напруги.

Тому дослідження схеми заміщення лінійного трансформатора без індуктивних зв'язків з метою усунення її протиріччя електромагнітним явищам, що відбуваються в

трансформаторі, є досить актуальною проблемою, рішення якої дозволить підвищити ефективність розробок пристроїв багатьох електротехнічних систем.

Основна частина

Аналіз електромагнітних процесів, що відбуваються в ідеальному двохобмотувальному трансформаторі (рис.1), тобто в трансформаторі без втрат, спрощує дослідження, не роблячи істотного впливу на точність опису даних явищ.

М

----► *2X ()

* 2

і1х (І) ►

•-

и х( І )

1

1'

і

12

■(ІІ

'м„

2'

Рис. 1. Аналіз електромагнітних процесів в ідеальному двохобмотувальному трансформаторі

У режимі холостого ходу, напруга их(і), прикладена до первинної обмотки

= -і

di1

самоіндукції, індукованої

трансформатора, урівноважується е. р. с. еи (і) = -

1 dt dt

в даній обмотці відповідно до закону електромагнітної індукції. Потокозчеплення, обумовлене струмом первинної обмотки, наводить у вторинній обмотці е. р. с.

= -м

взаємоіндукції, причому і2х (і) = 0. Рівняння по другому

dt dt

закону Кірхгофа для первинної обмотки в миттєвих значеннях має наступний вигляд

и.^) + ) = 0. (1)

Оскільки:

)- ^ ■- ^ ■

то:

або:

и1(і) -11

di

1х

и1(І) = 11

dt

di

= 0,

1х

dt

В символічній формі, для комплексних величин ті ж рівняння виглядають таким чином:

и 1 + Е і -

або:

и 1 = jml111х. (2)

Отже напруга й1, прикладена до первинної обмотки трансформатора, та е. р. с. Е^ , що її урівноважує, у режимі холостого ходу рівні по величині, але протилежні по напрямку.

Крім того, струм 11х відстає від напруги й1 на 90° .

При замиканні накоротко вторинної обмотки (рис. 2) у ній наводиться е. р. с. ем2 взаємоіндукції, яка обумовлена струмом і1кз (і) , що протікає в первинній обмотці. Дана е. р.

с. є сторонньою для вторинної обмотки трансформатора, на підставі закону Фарадея вона визначається виразом:

аУм1г =_м ж1кз

л л

м

іікз (t)

1'

и

-4*(1)

т

2'

Рис 2. Замикання накоротко вторинної обмотки

Її дія врівноважується е. р. с. самоіндукції вторинної обмотки:

/ ч Лі2

Ч, (' )=-—- = - Е2 2"

dt * dt

Рівняння другого закону Кірхгофа в миттєвих значеннях для вторинної обмотки описується наступним виразом :

ем„ ^) + еи (t ) = ^

або:

тобто:

- м

л

Лк

Лі

= и

л

Л2 Кз

Лі

(3)

У комплексній формі:

Ем12 + Еь2 — 0;

] (ОІМ 11кз I 2кз — 0

] (ОІМ 11кз — I 2кз .

(4)

Струм і2{ї) вторинної обмотки індукує у первинній обмотці е. р. с.

ЛщМ di2

ЄМц =-= ~М ^ взаєм°ІнДУкЦІЇ, ЩО є сторонньою для первинної обмотки. Тому

рівнянню по другому закону Кірхгофа для первинної обмотки в миттєвих значеннях

відповідає виразам:

и^(і) + еМ = Ьх Хкз , тобто и 1(t) - М '2кз = Ь 1кз

Лі

Лі

1 Лі

або в комплексній формі:

и і - уюМ/, „ = I ікз. (5)

Таким чином, система рівнянь ідеального трансформатора в режимі короткого замикання в миттєвих значеннях має такий вигляд:

1

и l(t) + ем 21 = L1

eM12 (t)= L2 dllK3

di

1КЗ

dt

dt

або:

u1(t) - Md^ = L dil

dt

_ m^ = l2 di2 “

dt

dt

dt

(б)

(7)

У комплексній формі:

1^1 + Ем 21 = 4, (8)

К12 _ ]@ї^2^2кз (9)

З рівняння (3) у миттєвих значеннях другого закону Кірхгофа для вторинної обмотки слід записати:

di

2кз

M dilK

dt L2 dt

Підставляючи отримане значення похідної струму і2кз (ї) в рівняння (6) другого закону

Кірхгофа для первинної обмотки одержимо вираження, що описує процес приведення параметрів вторинної обмотки трансформатора до його первинної:

м,)+М- ^ = ^, аб0 „_(,) = і_ ^ _ МІ ^

1 L2 dt 1 dt 1 1 dt

L2 dt

Тому що M = kyjL1 L2 , то:

и 1(t) = L1 ^ - k2 L1 dilK3

dt 1 dt

Отже, рівняння в миттєвих значеннях для наведеної схеми заміщення трансформатора має вигляд:

u 1(t) = Lil - k2)^ .

1 lV ' dt

У комплексній формі воно може бути представлено наступним виразом:

І і = >4(l - k2 )ІЬ

' 1кз

(10)

З огляду на те, що 0 < к < 1 можна констатувати, що вхідний опір трансформатора в режимі короткого замикання носить індуктивний характер, тому струм І1кз відстає від напруги й1, прикладеної до затисків первинної обмотки, на 900.

Тому що:

ем 12 (< )=- М% = L, ^ dt dt

або в комплексній формі:

EM12 = ~j®MI1K3 = j®L2 1

2КЗ ’

то струм І2кз протилежно спрямований щодо струму І1кз, а е. р. с. Ем12 відстає від струму на 9°°.

Відповідно до закону електромагнітної індукції:

dt

= -М<^'2кз

dt

або в комплексній формі:

ЕМ21 = ~7®М12кз ,

і, таким чином, струм І2кз випереджає на 900 е. р. с. ЕМ21 , що збігається по напрямку з напругою й1, але має протилежний напрямок відносний е. р. с. ЕМ12.

Векторна діаграма напруг і струмів ідеального трансформатора в режимі короткого замикання вторинної обмотки зображена на рис. 3.

Рис. 3. Векторна діаграма напруг і струмів ідеального трансформатора в режимі короткого замикання вторинної обмотки

Для перетворення схеми трансформатора в еквівалентну схему, що не містить індуктивних зв'язків, необхідно привести струми й напруги вторинної обмотки до первинного, зробивши наступні перетворення. По-перше, з лівої й правої частин рівняння (8) треба відняти відповідно ліву й праву частини рівняння (9), тобто:

и1 + ЕМ21 _ 1

1кз

ЕМ12 .7®-^ 2

и1 + ЕМ 21 ЕМ12 ^1кз 7®ї^2 ^2кз

(11)

Отримане рівняння (11) описує процес приведення параметрів вторинної обмотки трансформатора до первинного, тобто до схеми, що виключає магнітні зв'язки, тому в ньому е. р. с. Ем 12 і Ем21 слід замінити падіннями напруги, що врівноважують ці е. р. с., з огляду на те, що І2КЗ = -]юМІ1кз, тоді

и 1 = 11КЗ + 7®МІ1КЗ - ,ІШІ1КЗ + 7®Ш2кз .

(12)

М

Здійснивши скорочення в рівнянні (12) і врахувавши, що І2кз =------------І1кз, а так само,

L2

що М = к^ЕуЬ^, одержуємо:

21

НТП И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРОИЗВОДСТВА

и 1 = ■ТІ ■ М 2 і а тТ ті ■ к 2 ТТ і 7^4ІІКЗ ]Ю т І1кз, або т/! = І1кз ]а т І1кз. Т2 Т2

Таким чином: и, = ]фЦ{\ - к2у,

що відповідає рівнянню (10), яке описує наведену схему заміщення трансформатора, тобто

вираження (12) еквівалентно рівнянню (10).

Згрупувавши відповідним чином праву частину рівняння (12) одержуємо:

У = Х і,+ М )/„, - ішМ (/,„ - ). (13)

По-друге, для одержання еквівалентної схеми трансформатора до лівої й правої частин

рівняння (8) додати відповідно ліву й праву частини рівняння (9):

1 ^ м 21 — J 11 кз +

ЕМ12 _ 7®Т2 2 кз

Т1 + ЕМ21 + ЕМ12 _ 7®Т/11 1кз + ■®Т/21 2кз (14)

Замінимо е. р. с. ЕМ12 і ЕМ21 падіннями напруги, що їх врівноважують: и 1 = 7®Т1 Іиз + 7®МІ1КЗ + >Т24» + 7®М2кз . (15)

3 огляду на те, що І2кз =-МІІКЗ й М = к^гL2 , а так само зробивши відповідні

перетворення в рівнянні (15), одержуємо: й1 = jюL1 (і - к2 )/1кз, тобто вираження (15)

відповідає наведеній схемі заміщення трансформатора.

Після елементарних перетворень вираження (15) можна представити:

Т 1 = 7'0(Т1 + М) + ХТ2 + М)/2*, (16)

Враховуючи, що струм, що намагнічує

1^ 1 1кз 1 2кз , (17)

з отриманих рівнянь (10), (11) і (12) складаємо систему рівнянь:

'Т = МД + М)/.„ - >М(/„, - 4,) (18)

Т 1 = X Т1 + М )+ 7®(Т2 + М )/2 » (19)

Ч. ^ Ц ~ 1 1кз 1 2кз (20)

№11 (81) 2010 ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ • ЭНЕРГЕТИКА • ЭНЕРГОАУДИТ

Даній системі рівнянь відповідає наступна схема заміщення трансформатора без індуктивних зв'язків (рис. 4).

Рис 4. Схема заміщення трансформатора без індуктивних зв'язків

Висновки

Якщо порівняти отриману схему з еквівалентною схемою заміщення трансформатора,

що приведена у посібниках по ТОЕ , Електричним машинам та Електроенергетичним

системам та мережам, можна відзначити, що в розглянутій схемі, у відмінності від аналогів,

що рекомендується, індуктивності L1 й L2 збільшуються на величину

M взаємоіндуктивності, а індуктивність вітки, що намагнічує, дорівнює - M . Для отриманої

і і - jaM ; M _

схеми заміщення відповідно до правила розкиду: 12 = 11 -----------т = -1, --------, тобто

ja\L2 + M) L2 + M

орієнтація струмів І1кз й І2кз відповідає рівнянню (4) і енергетичним процесам, що

протікають у трансформаторі. У той же час, у загальновизнаній схемі заміщення трансформатора орієнтація даних струмів суперечить основним законам електротехніки.

Список литератури

1. Зевеке Г. В. и др.. Основы тенории цепей. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

2. Калантаров П. Л., Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники. -Л.- М.: ГОСЭНЕРГОИЗДАТ, 1951. - 464 с.

3. Нейман Л. Р. Демирчан К. С. Теоретические основы электротехники. Том 1.Теория линейных электрических цепей. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 536 с.

4. Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Линейные

электрические цепи с сосредоточенными постоянными. - М.: Энергия, 1972. - 240 с.

ABOUT THE CHARI’S OF SUBSTITUTION OF IDEAL TRANSFORMER

P. Y PRIDUBKOV, Cand. Tech. Sci e.

I. V. KHOMENKO, Cand. Tech. Scie.

The modes of idling; and short circuit of linear transformer 'without the losses are considered, the alfosithm ofprocess of adductidn of tensions and currents (parameters) of the second puttee of transformer to the primary puttet is developed, equalizations are shown out, describing the chart of substitution of ideal transformer, the chart of substitution is set.

Поступила в редакцию 18.10 2010 г.