CC BY
41
Литература
1. Елисеев В. В., Игнатущенко В. В. О проблеме надежного выполнения сложных наборов задач в управляющих параллельных вычислительных системах // Проблемы управления. 2006. № 6. С. 6-18.
2. Игнатущенко В. В. Организация надежного выполнения комплексов резервированных программных модулей в параллельных вычислительных системах // Труды ХХХУ Междунар. Конф. «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации, бизнесе» (1Т+8Б’2008). -Украина. Ялта-Гурзуф, Май. 2008. С. 61-63.
3. Игнатущенко В. В., Исаева Н. А. Резервирование взаимосвязанных программных модулей для
управляющих параллельных вычислительных систем: организация, оценка отказоустойчивости,
формализованное описание // Автоматика и телемеханика, 2008. №10. С. 142-161.
4. Милков М. Л., Сидоров А. В. Математические модели многоверсионного резервирования комплексов взаимосвязанных программных модулей // Труды XXXV Междунар. конф. «Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе» (1Т+8Б’08). - Украина. Ялта-Гурзуф, 2008. С. 80-83
5. Головкин Б. А. Параллельные вычислительные системы. - М.: Наука, 1980. - 519 с.
6. Игнатущенко В. В., Милков М. Л., Сидоров А. В. Многоверсионное резервирование взаимозависимых параллельных задач для управляющих параллельных вычислительных систем: формализованное описание, оценка отказоустойчивости // Надежность. 2009. №4. С. 44-61.
УДК 004.272.26
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАДЕЖНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ НАБОРОВ ЗАДАЧ С СИММЕТРИЧНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ1
Н. Н. Иванов, д. т. н., главный научный сотрудник Тел: (495) 334 7639, e-mail: niknivan@ipu.ru Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,
http://www.ipu.ru
The technique of calculating the distribution functions of the runtime systems of interrelated jobs in multiprocessor systems with arbitrary symmetrical distributions of time solving individual problems is considered.
Рассматривается методика вычисления функций распределения времени выполнения комплексов взаимосвязанных работ в многопроцессорных вычислительных системах при произвольных симметричных распределениях времени решения отдельных задач
Ключевые слова: функция распределения времени выполнения комплекса взаимосвязанных работ, многопроцессорные вычислительные системы, симметричные распределения времени решения задач
Keywords: the distribution functions of the runtime systems of interrelated works, the multiprocessor systems, the arbitrary symmetrical distributions of the solution time
Надежное выполнение наборов задач в вычислительных системах (ВС), решающих задачи управления в режиме реального времени, связано со способностью решить заданный набор задач за определенное пользователем время. Это понятие возникло в связи с тем, что отдельные задачи, входящие в набор, могут выполняться за случайное время. В [1] для ВС было введено понятие надежного выполнения с требуемой вероятностью p заданного набора задач за время Т, не превышающее директивное время Tmax. Исследование возможностей успешного завершения заданного набора задач на ВС за предписанное директивное время Tmax получило название математического прогнозирования времени выполнения задач.
Стремление повысить точность прогнозирования привело к идее анализа на основе представления случайного процесса выполнения КВР в ВС, содержащей k процессоров, в виде конечного числа совокупностей k взаимосвязанных полумарковских процессов (ПМП). Случай k = 2 рассмотрен в [2-4]. При этом возникла возможность рассматривать произвольные законы распределения случайного времени выполнения отдельных работ КВР, что особенно важно при
симметричных распределениях (нормальном, бета-распределении и т.п.). На основе такого представления в [4] описан подход к точному вычислению функции распределения (ФР) времени выполнения произвольного КВР для k = 2 .
В настоящей работе данный подход расширен на случай произвольного k < ктах, где ктах -
коэффициент параллелизма КВР, равный на содержательном уровне наибольшему числу работ КВР, могущих выполняться одновременно. В основе данного подхода лежит возможность с помощью машинной процедуры, разработанной в этих целях, производить для произвольного k построение совокупности взаимосвязанных полумарковских процессов, описывающих все возможные траектории случайного процесса выполнения КВР. По этим совокупностям в соответствии с разработанной методикой при заданных распределениях времени выполнения отдельных работ строится функция распределения времени выполнения КВР, служащая критерием его выполнимости за время, не превышающее директивное время, с заданной вероятностью.
Ниже методика анализа случайных процессов иллюстрируется с помощью КВР (рис. 1) с заданным интервалами, на которых определяются плотности распределения времени выполнения работ (см. ниже).
С помощью упомянутой процедуры для рассматриваемого КВР построены совокупности работ, выполняемых в ВС с четырьмя процессорами (рис. 2). Ограничения на времена окончания и начала выполнения работ показаны на рис. 2 косыми отрезками (например, на верхней совокупности работа 4 заканчивается раньше, чем будет закончено выполнение цепочки работ 2 и 3). Жирными линиями выделены цепочки работ, выполняемых без простоев. По этим цепочкам определяются распределения общего времени выполнения каждой из приведенных совокупностей.
Рассмотрим эту процедуру на примере верхней совокупности рис. 2. Пусть случайная величина д есть суммарное время выполнения выделенной цепочки работ:
д = ^д. = д + д2 +д3 +д5 +д6 +д9 +$и). С одной стороны, ФР этого времени является сверткой
функций распределения времени выполнения работ, входящих в эту цепочку; с другой стороны, она зависит от распределения времени выполнения работы 4.
Следовательно, если ^4 представляет собой случайную величину времени выполнения работы 4, то, фиксируя значение и полагая его равным х4, следует считать p1 = р1(х4) и, следовательно,
РА(у 1#4 = *4) = ЛСхО Ff (У 1#4 = Х4) .
В силу независимости величин д. ФР Fд (у) может быть вычислена в соответствии с равенством
Рд(у) =Щ Р^У. ) (!)
А j
по области А = {у: ^у. < у, у. > 0}, где ¥д (у.) - ФР времени выполнения работы с номером ..
В данном примере ^(у) = _[¥(г(йу2)Р^у3)Г^у5)F(6(dy6)Г^у9)F(lг(dyn), а область
А
А = {у: у + у2 + уз + у5 + у6 + у9 + у12 < У ук > 0} с К , у = (у^ у2, Уз, у5, У6, у9, у12).
Теперь р1( х4) Fg(y |^4 = х4) может быть определено в соответствии с равенством
Р1(Х4)Рд(у |#4 = Х4) = Щ¥д, (ёу.) , (2)
В .
где область В есть область А, на которую наложены дополнительные ограничения, определяемые неравенством д2 + д3 > ^4. В рассматриваемом случае имеем в качестве области В следующее множество:
В = АIС1, где С1 = {у: у2 + уз > *4}.
Используя теперь формулу полной вероятности, приходим к равенству
Р1 ^(у) = |Р1(Х4)Fg(y |^4 = Х4)F#4 (йх4) = 11 П¥д, (Лу.)F|4 (йХ,). (3)
К+ К+ В .
ФР F(у) времени выполнения КВР будет складываться из функций распределения Fi(у), - = 1, 2, умноженных на соответствующие вероятности: F(у) = р^(у) + р2F2(у).
Непосредственное вычисление выражения р^- (у) в соответствии с равенством (3) чрезвычайно затруднительно. Однако существует путь решения этих проблем, основанный на привле-
чении к вычислению получающихся кратных интегралов метода Монте-Карло [4]. Применение метода предполагает использование генератора случайных чисел, принадлежащих отрезку [0, i]. Подвергая эти числа линейному преобразованию, можно получать случайные числа, принадлежащие произвольному интервалу [а, в].
Для каждой совокупности взаимосвязанных ПМП образуем «параллелепипед» (П) со сторонами, представляющими собой отрезки [am, bm ], на которых заданы плотности fm (x) выполнения m-й работы, и отрезки [0, vm ], vm = max fm (x), m - номера работ КВР, для которых опреде-
[am , bm ]
лено множество В (см. выше). Этот «параллелепипед» будет иметь «объем», равный ПІ = nv m (bm - am). Создавая с помощью генератора случайных чисел последовательность пар
(Мт ,@т), Мт 6 [ат, Ьт ] и вт 6 [0, ут ], можно обеспечить равномерное распределение случайных точек по всему П. Теперь для каждого выбранного значения у > 0 можно, генерируя достаточно большое количество последовательностей {(мт ,0т)}, отобрать те из них, которые удовлетворяют всем неравенствам, по которым строится множество В и К+ (на К+ определены плотности распределений величин ^1, к, ^, задающих ограничения на область А; для верхней совокупности рис. 2 - это ^4 6 К), а также неравенствам вт < /т(мт).
Отобранные для каждой /-й совокупности количества точек обозначим через п1 (п1 = п1 (у)). Если число последовательностей {(мт, вт)} равно Ы, то |п| Иш(п/. /N) = р^1 (у).
I IN
Таким F(у) = П^т (Ьт - ат ) ' Е П / Ы .
Для равномерных распределений времени выполнения работ, входящих в КВР, вычисления становятся особенно простыми. В этом случае достаточно ограничиться генерацией только последовательности {мт} [4], что существенно повышает эффективность метода Монте-Карло, упрощает вычисления, сокращает их время и повышает точность, что особенно важно при экспресс-анализе.
На примере КВР, приведенного на рис. 1, рассмотрим вопрос о приближении ФР времени выполнения КВР с симметричными бета-распределениями времени выполнения работ путем их замены соответствующими равномерными распределениями.
Рассматривая данный пример, примем, что для работ 1, 3, 4, 6, 9, 10, 12 времена выполнения детерминированы с параметрами г1 = т3 = т10 = т12 = 1, т4 =т6 =т9 = 2. Для работ 2, 5, 7, 8, 11 распределения времени выполнения определены соответственно на отрезках: 2 - [0, 3] , 5 - [0, 1], 7 - [0, 2], 8 - [0, 1], 11 - [0, 3]. Вычисления проводились для бета-распределений, задаваемых следующим равенством:
ФР Ф1 (х) времени выполнения КВР при равномерных распределениях (а = Ь = 1) для практически важной области значений приведена на рис. 3 - кривая 1. Для симметричных бета-распределений времени выполнения работ, определенных в тех же промежутках, что и равномерные распределения, по результатам вычислений построены ФР Ф2 (х) для а = Ь = 2 (кривая 2) и Ф3(х) для а = Ь = 3 (кривая 3). На этом же рис. 3 приведены графики (кривая 4, маркированная треугольниками и кривая 5, маркированная квадратами) ФР Ф4(х) и Ф5(х) времени выполнения КВР для равномерных распределений времени выполнения работ, имеющих два первых момента, равных соответствующим моментам использованных здесь бета-распределений с параметрами а = Ь = 2 и а = Ь = 3 соответственно. Пары графиков 2, 4 и 3, 5 достаточно близки, что позволяет считать ФР времени выполнения КВР при равномерных распределениях достаточно точными для практического прогнозирования надежного выполнения КВР с симметричными распределениями времени выполнения отдельных работ.
В данной работе новыми являются следующие положения и результаты:
- известная по более ранним публикациям методика анализа КВР с произвольными распределениями времени выполнения работ, реализуемого в ВС с двумя процессорами (к = 2), распространена на случай ВС с числом процессоров к > 2 ;
m
m
x є [0, i],
- показано, что существенно упрощающей вычисления ФР времени выполнения КВР является аппроксимация произвольных симметричных распределений (нормального, бета-распределений и др.) времени выполнения отдельных работ равномерными распределениями, которые имеют два первых момента, равных соответствующим моментам исходных симметричных распределений;
- все используемые в работе алгоритмы и вычислительные процедуры реализуются программными средствами (Шастун. В.В.), что позволяет их интегрировать в компьютерную технологию обеспечения надежного выполнения КВР, разрабатываемую в ИПУ РАН.
iz.3 . 5 . 6
0,7
0,6
I/2 ^—1
3/ / /l
I /
■i V/
Рис. 2
10
Рис. 3
Рис.1
Литература
1. Игнатущенко В. В., Клушин Ю. С. Прогнозирование выполнения сложных программных комплексов на параллельных компьютерах: прямое стохастическое моделирование // Автоматика и телемеханика, 1994. № 11. С. 142-157.
2. Иванов Н. Н., Игнатущенко В. В., Михайлов А. Ю. Вычисление оценок распределения времени выполнения комплексов взаимосвязанных работ в многопроцессорных вычислительных системах // Труды Института. Т. XXVII. - М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, 2006. С. 124-135.
3. Иванов Н. Н. Статическое прогнозирование времени выполнения комплексов взаимосвязанных работ в многопроцессорных вычислительных системах при неэкспоненциальных распределениях времени выполнения задач // Труды Института. Т. XXVI. - М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезнико-ва, 2005. С. 60-75.
4. Иванов Н. Н. Об одной реализации универсальной методики математического прогнозирования надежного выполнения наборов задач со случайными параметрами // Труды XXXVII Междунар. Конф. «Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе» (ГТ+8&Е’10). - Украина, Ялта-Гурзуф, 2010. С. 62-65.
УДК 004.272.26
УНИФИЦИРОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАДЕЖНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ (ЗАДАЧ) ПРИ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДАХ И СОЧЕТАНИЯХ ИХ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ В УПРАВЛЯЮЩИХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
Н. А. Исаева, к. т. н., ст. научный сотрудник Тел. (495) 334 9061, e-mail: nat_i@ipu.ru Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН
http://www.ipu.ru
Unified mathematical model of queuing system for forecasting reliable execution of complex program task sets with the use of different methods and combinations of reservation on parallel control computing systems is developed.
