Математическое представление процесса измерения параметров массопереноса в жидкой бинарной среде с границей раздела Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МАССОПЕРЕНОСА В ЖИДКОЙ БИНАРНОЙ СРЕДЕ С ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА

З.Г.Симоненко

Работа посвящена вопросам описания и математического представления процесса измерения параметров массопереноса в жидкой бинарной среде с границей раздела для разработки алгоритмов математического обеспечения проектируемых вариантов моделей ИИС измерения параметров массопереноса сплошных сред.

Введение

Разработка математических моделей сложных систем связана с проведением очень трудоемких и разнообразных исследований. Обычно эти исследования начинают на этапе проектирования и заканчивают либо в процессе эксплуатации, либо после экспериментальных работ, организованных на средствах системы. Описания могут принимать различную языковую форму, поэтому математическое моделирование становится неотъемлемым этапом современного проектирования

На этапе проектирования в первую очередь решают вопросы выбора методов и способов реализации математических моделей при помощи вычислительных машин.

При решении этих вопросов определяющим фактором является ожидаемая сложность модели. На практике предполагается, что процессы в элементах исследуемой системы могут быть описаны с помощью решений дифференциальных, разностных или функциональных уравнений. Для определения параметров, входящих в такие уравнения, в процессе разработки системы проводят экспериментальные исследования на элементах и на средствах всей системы в условиях ее нормального функционирования.

Для объединения полученной информации разбивают сложную систему на такую совокупность подсистем, которая бы наилучшим образом отображала работу и функциональное взаимодействие всех ее элементов, участвующих при постановке того или иного вида физического эксперимента.

Разработка алгоритма математической модели системы на этих принципах позволяет создать программу на ЭВМ, состоящую из подпрограмм, которые можно при необходимости заменить или скорректировать по результатам физических экспериментов другими, более точными аналогами. Для сложных систем разрабатываемые модели обычно получаются чрезвычайно громоздкими. В значительной степени сложность создаваемых моделей зависит и определяется математическим обеспечением моделей, разрабатываемым для обработки результатов моделирования.

Основу алгоритмов математического обеспечения моделей составляют расчетные формулы методов, используемых при постановке экспериментов на модели и обработке всех полученных результатов. Поэтому на этапе создания моделей сложных систем стремятся выбрать метод математического моделирования, удовлетворяющий следующим требованиям:

1. расчет оценок выходных показателей должен осуществляться с использованием достаточно простых алгоритмов обработки;

2. определение необходимого объема моделирования из условий достижения заданной точности оценок выходных показателей должно происходить на основании простых и, в то же время, достаточно точных соотношений;

3.методика организации эксперимента на модели должна быть по возможности простой и реализуемой на средствах используемой вычислительной техники.

Целью данной работы является математическое представление процесса измерения параметров массопереноса в жидкой бинарной среде с границей раздела, полученных в результате экспериментальных исследований с помощью модели информационно-измерительной системы (ИИС), для разработки алгоритмов математического обеспечения проектируемых вариантов моделей ИИС измерения параметров мас-сопереноса сплошных сред.[1].

Основная часть

В настоящее время основной тенденцией развития экспериментальной науки является повышение информативности исследований, достигаемое разработкой и применением высокоточных быстродействующих комплексных методов, обеспечивающих получение сведений о совокупности свойств в одном эксперименте, что достигается за счет повышения скорости измерительного процесса и скорости измерения, сокращения времени на подготовку измерения, а также сокращения времени самих измерений и обработки результатов. Сюда же относятся и методы, позволяющие имитировать рассматриваемые процессы с помощью программного обеспечения и последующей обработки информации.

Оптико-физические методы и средства являются неконтактными, неразрушаю-щими и обеспечивают локальность и экспрессность, наряду с высокой точностью и надежностью измерений. Разработка этих методов при изучении процессов нетрансляционного переноса массы компонентов (или диффузии) в жидких средах с границей раздела позволяет измерить ряд параметров массопереноса: разность показателей преломления, концентрацию диффундирующего раствора, а также коэффициент массоперено-са (диффузии) - рабочего параметра для контроля за скоростью массопереноса исследуемых растворов.

В настоящее время разработаны и созданы новые лазерные методы и аппаратура для исследования явления массопереноса в жидких бинарных средах с границей раздела путем измерения параметров массопереноса в реальном масштабе времени, обеспечивающие объективный контроль за измеряемыми величинами в непрерывном и дискретном аппаратурных режимах с учетом специфики протекающего динамического процесса переноса [2].

Для оптических методов при условии линейной зависимости показателя преломления раствора от градиента концентрации диффундирующей среды для растворов малой концентрации уравнение диффузии при соблюдении граничных условий приведено к виду

Оп . к, -кх2 ...

— = Ап -к к , (1)

ах V п

где Ап - градиент показателя преломления в слое, отстоящем на расстоянии Х от границы раздела, (п1 - п2) - первоначально заданная разность показателей преломления двух жидкостей,

К= 1/ (4Б т) ,

Б - коэффициент диффузии, т- время от момента образования границы раздела.

Разность фаз, приобретаемая двумя лучами на пути к в диффундирующем слое, при введении переменной у =4кх приводит соотношение (1) к виду:

5 = АПкЬ, (2)

2Л

где

Ь = ег/

( + а/2)

:(Х0 - а/2)

(3)

Модель информационно-измерительной системы [3], представленной на рис. 1, содержит следующие элементы: 1- источник излучения, 2 и 3 - светоделительные элементы (полупрозрачные зеркала), 4 - поляризатор (полуволновая пластина Х/2), 5 и 9 -двулучепреломляющие пластины из исландского шпата, 6 и 8 - четвертьволновая пластина (Х/4), 7 - кювета диффузионная, 10 - третья четвертьволновая пластина (Х/4), 11 - анализатор (полуволновая пластина Х/2)), 12 - компенсатор Сенармона, 13 - фотодиод, 14 - аналого-цифровой преобразователь, 15 - блок управления , 16 - блок оперативной памяти, 17 - таймер, 18 - процессор , 19 - ЦПУ (цифропечатающее устройство), 20 - самописец.

2

2

Рис. 1. Схема модели двухканальной информационно-измерительной системы для измерения параметров массопереноса

В данной схеме линейно-поляризованный пучок разделяют на два - рабочий и опорный, причем опорный пучок проходит значительно ниже границы раздела двух исследуемых жидкостей, т.е. вне рабочей зоны. Это условие выполняется в том случае, когда объем, в котором в течение опыта протекает процесс переноса, значительно меньше общего объема кюветы.

После сведения двух пучков в один полученный пучок эллиптически поляризованного света преобразуют в линейный. Далее производится анализ состояния поляризации светового пучка при пропускании его через ряд элементов, а именно, через систему поляризатор - оптические элементы - анализатор.

Анализ такого пучка производится следующим образом. Анализатор 11 установлен так, чтобы его плоскость поляризации была повернута на угол 90° относительно плоскости поляризации поляризатора 4, при этом изменение составляющей интенсивности в зависимости от меняющейся величины разности фаз происходит по синусоидальному закону. Затем анализатор устанавливают так, чтобы его плоскость поляризации была параллельна плоскости поляризации поляризатора, с этим последующим разворотом плоскости поляризации рабочего пучка происходит изменение составляющей интенсивности в зависимости от меняющейся величины разности фаз по косинусои-дальному закону.

Для реализации измерений выделяются два значения - синусной (11) и косинусной (12) составляющих интенсивности поляризованного излучения для рабочего пучка в жидкой системе.

т = к/081и2 (( +5сшст )/2), (4)

1т2 = к1 о соб2 (( +5сиСт )/2), (5)

где к - коэффициент преобразования, I - интенсивность составляющих синусной (11) и косинусной (!2) интенсивности излучения, 51, 52 - разность фаз, обусловленная наличием градиента концентраций исследуемой среды в момент, соответствующий мгновенному экстремальному значению величины синусной или косинусной составляющих интенсивности поляризованного излучения, прошедшего через диффундирующий слой, 5сист - дополнительная разность фаз, обусловленная наличием систематической погрешности.

Для опорного пучка также выделяются два значения - синусной и косинусной составляющих интенсивности поляризованного излучения

Т = Ыо МП2 ((иистт ))2), (6)

Т = Ыо СОВ2 ((иистт ))2). (7)

Далее производится разворот плоскости поляризации излучения в рабочем и опорном каналах до полного гашения излучения в опорном канале. При этом величина интенсивности 13 становится равной нулю: !3=0.Отсюда и величина Здоп =0. Тогда разность фаз выражается в следующем виде: (

5 = 2arctg

У

Т Л 12;

= Ф. (8)

Соотношение (8) позволяет получить зависимость разности фаз от разности углов поворота плоскостей поляризации в рабочем и опорном каналах, выраженной в единицах измеряемых величин синусной и косинусной составляющих величин (Л и !2) интенсивности излучения. При этом за счет произведенного поворота производится исключение дополнительной разности фаз, вносящей погрешность в измерение. Приравнивая обе части уравнений (3) и (8), получим следующее уравнение:

2Л(р

erf

V4D

= (X0 + a/2) - erf (X0 - a/2)

ntmh

(9)

_44Dr

Для успешного решения задачи массопереноса необходимо рассмотреть его физико-математическую модель (9), представляющую собой совокупность уравнений, формул, констант, логических условий, которые определяют взаимосвязь параметров изучаемого процесса, где параметрами являются измеренные в ходе эксперимента величины: т - интервалы времени, D - коэффициент массопереноса, а также заданные граничные условия: X0 - расстояние от границы раздела двух жидких сред до прямой, равноудаленной от двух ортогонально поляризованных пучков, а - расстояние между двумя ортогонально поляризованными пучками.

Численные значения параметров приведены ниже.

а = 4*10-4, X0 = 4.5 * 10"4, D = 1,88*10-9, т1 = 470, т2 = 1000, т3 = 1436.

Использование численных методов для решения задач эллипсометрии [4] и разработанная для рассматриваемой модели программа [5] для проверки корректности полученных экспериментальных данных и выполнения условия в окрестностях значений переменных, реализованная с использованием компилятора Borland C++ Builder под операционной системой Windows, позволяют произвести требуемые расчеты.

Большим удобством программы является наличие в ней подпрограммы для функции erf (при реализации которой использован метод аппроксимации гамма-функции по

6 параметрам [6]. Общая точность аппроксимированной функции составляет 3*10-7 при 100 итерациях с использованием чисел с плавающей запятой двойной точности.

Заключение

В работе рассмотрено математическое представление процесса измерения параметров массопереноса в жидкой бинарной среде с границей раздела, которое необходимо для разработки алгоритмов математического обеспечения проектируемых вариантов моделей ИИС измерения параметров массопереноса сплошных сред.

Разработка алгоритма математической модели рассматриваемого варианта ИИС измерения параметров массопереноса позволяет создать программу, состоящую из подпрограмм, которые можно при необходимости заменить или скорректировать по результатам физического экспериментов другими более точными аналогами

Разработана программа для расчета параметров массопереноса, позволяющая объективно проводить оценку корректности величин, полученных в результате экспериментальных исследований бинарной жидкой среды методами эллипсометрии с помощью лазерных поляризационных интерферометров с элементами нуль-эллипсометрии, при одинаковых заданных начальных и граничных условиях .Это обеспечивается возможностями программы оптимизировать большое количество параметров с заданной степенью точности.

Проведенная работа позволяет решить большой комплекс задач, связанных с информационной и системной интеграцией процесса автоматизированного проектирования для различных задач моделирования ИИС измерения параметров массопереноса сплошных сред.

Литература

1. 1.Симоненко З.Г, Порай-Кошиц А.Б., Шмуйлович Г. А. Исследование молекулярной диффузии в жидкостях / В сб.: VI Менделеевская дискуссия. Результаты экспериментов и их обсуждение на молекулярном уровне. Тезисы докладов, ч. II , Харьков, 1983.

2. Симоненко З.Г. Оптические методы анализа процессов диффузии жидких сред. // Прогрессивные методы анализа объектов окружающей среды Л.: ЛДНТП, Материалы краткосрочного семинара, 1985, с. 75.

3. Симоненко З.Г., Порай-Кошиц А.Б., Москалев В.А. Способ определения коэффициента молекулярной диффузии в жидкостях и устройство для его реализации. / Авторское свидетельство СССР № 1349452. Бюллетень ОИ ПОТЗ, 1987. № 45, с. 218.

4. Симоненко З.Г., Ткалич В.Л. Использование программ численного решения некоторых задач эллипсометрии в учебном процессе. // Сб. трудов конф. «Оптика и образование» (16-17 октября 2002 г. Санкт-Петербург).

5. Симоненко З.Г. Исследование параметров скорости массопереноса в жидких бинарных системах с границей раздела.// Материалы IV Международной научной конференции «Проблемы пространства, времени и движения», СПБГИТМО (ТУ), Санкт-Петербург, 2000. с. 22.

6. 6.Erf calculation using 6 parameter Lanczos approximation http://www.rskey.org/gamma.htm