CC BY
27
УДК 519.8 А. Е. Моисеев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ТЕРМОСТАТЕ БИОЛОГИЧЕСКОМ
В статье отражены основные закономерности тепловых процессов, протекающих в составных частях термостата и его отдельных составляющих, при достижении температуры стабилизации в рабочей области термостата и последующем погружении в него ампул с размораживаемым материалом. Приводится модель термостата.
В последние годы в целях улучшения качества поголовья крупного рогатого скота (КРС) используют искусственное оплодотворение коров биологическим материалом (спермой) элитных быков-производителей. Поскольку биологический материал требует длительного хранения, для этого применяется метод криоконсервирования, т.е. замораживание по определенной технологии в жидком азоте до необходимой температуры. Чтобы сперму можно было использовать для оплодотворения, её следует расконсервировать, т.е. нагреть до определенной температуры. Для этого применяют специально разработанные для этих целей приборы-термостаты, которые обеспечивают процессы оттаивания и нагревания биологического материала, а также поддержание необходимой температуры, иначе, в случае нарушения технологии и отклонения температуры от требуемой величины, в дальнейшем будет невозможно использование биологического материала для оплодотворения КРС.
Математическое описание термостата можно представить в виде, отражающем основные закономерности протекания тепловых процессов в составных частях как самого термостата в целом, так и отдельных составляющих элементов.
Термостат состоит из следующих основных составных частей: корпуса, стакана, крышки и датчика температуры, устанавливаемого с внешней стороны рабочей зоны стакана. Между корпусом и стаканом имеется воздушный промежуток для уменьшения потерь тепловой энергии на излучение в окружающую среду. По своей конструкции стакан представляет собой в нижней части диск толщиной 15 мм, к которому примыкает стенка толщиной 4 мм. На боковой стороне диска расположен плоскостной нагревательный элемент. Для повышения запаса тепловой энергии и стабилизации температуры в рабочей зоне термостата в стакан наливается вода. Между верхней границей воды и крышкой имеется воздушная прослойка.
Рассмотрим тепловые процессы, протекающие в термостате.
Тепловые процессы нагрева стакана можно разделить на две составляющие:
- нагрев диска при подаче тепловой энергии со стороны нагревательного элемента;
- нагрев стенки стакана, примыкающей к диску.
Тепловые процессы нагрева воды в стакане также можно разделить на две части:
- нагрев воды от поверхности диска;
- нагрев воды от внутренней поверхности стенки стакана.
Результирующая температура воды будет представлять суперпозицию от двух процессов.
Тепловой процесс распределения температуры в зоне установки датчика температуры является основным, т. к. обеспечивает поддержание температуры в рабочей зоне термостата с использованием обратной связи по температуре. Важной
задачей является определение времени реакции датчика температуры в процессе подачи тепловой энергии к стакану со стороны нагревательного элемента.
Для определения температурных полей примем следующую расчетную систему: вода - стенка цилиндра - изолятор - датчик температуры - воздух, которую можно представить в виде трехслойной цилиндрической стенки, снаружи охлаждаемой воздухом, а изнутри контактирующей с водой. Тепловое состояние всей схемы будем считать стационарным. Коэффициенты теплопроводности слоев принимаются независящими от температуры, а тепловой контакт между слоями идеальным. Расчетная система приведена на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная система для определения распределения температур в разнородных стенках, соприкасающихся с водой и воздухом
Принимаем, что - температура воды в стакане; То - температура окружающей
среды, К; Т} и Т2 - температура стенок внутренних слоев соответственно; Т3 и Т4 -
температура стенок на границе вода - стакан и датчик - окружающая среда
соответственно; Я1,Л2,Я3 - коэффициенты теплопроводности слоев; d}, d2, d3, d4 -
диаметры первого, второго, третьего и четвертого слоев соответственно; r}, r2, r3, r4 -радиусы первого, второго, третьего и четвертого слоев соответственно; а} и а2 -коэффициенты теплоотдачи воды и окружающей среды соответственно; l - высота рабочей зоны термостата.
Тогда по закону Фурье для кольцевого слоя тепловой поток будет равен:
01=-2\шЩ^, (1)
где Q} - тепловой поток в стенке стакана; - коэффициент теплопроводности
стакана; r - радиус; l - высота рабочей зоны термостата.
Разделяя переменные, получаем:
dt = -(0/2ПД1) • (dr/r) . (2)
Интегрируя уравнение (2) в пределах от ТВ до Т} и от r} до r2 при \ = const:
тв - Т = (0/2жу)1п
Г1
откуда
0. = (2пУ • (Г, -71))/(1п(^)) (3)
а1
Из (3) видно, что распределение температур в слое представляет собой логарифмическую кривую. Общая температурная кривая представляет собой множество логарифмических кривых. При стационарном режиме через все слои проходит один и тот же тепловой поток, который для каждого слоя равен соответственно:
е,= (2пУ • (Тв - 7, ))/(1п(-Ч);
а,
0, = (2л>У • (7,- 72))/(1п( ^));
а 2
03 = (2*у• (72 -Т0))/(1п(^)),
а 3
где 01, 02, 0з - тепловые потоки в стакане, изоляторе и датчике температуры соответственно; Л1,Л2,Л3 - коэффициенты теплопроводности в стакане, изоляторе и датчике температуры соответственно.
Решая полученные уравнения относительно разности температур, получаем:
Тв - Т0 =0 • (—1п ^ +—1п ^ +—1п ^),
2П л1 а, Л2 а2 Л3 а3
откуда
0 =__2П (Тв - То )______________ (4)
1, а2 1, а3 1, а.'
—1п — +—1п— +—1п—
^^1 1 ^2 2 ^^3 3
Необходимо также учесть передачу тепла от греющейся воды внутри рабочей зоны стакана термостата в окружающую среду через слои. Тогда тепловой поток можно представить следующим образом:
-----------------------------^---------------------------------------. (5)
1(а ■ ах) + (1(2Л))1п(/^^1) + (1(2\))1п(Фъ1 + (1(2Л3))1п(І^^ + 1(а2 ■ ^4)
После того, как температура воды в стакане достигнет установившегося значения, что приблизительно соответствует 38,5-39,5 оС, в него помещают бутылочку либо ампулу с физиологическим раствором (Цитрат натрия), в который помещен шарик с биологическим материалом, замороженным в жидком азоте. Физиологический раствор должен быть подогрет до температуры стабилизации Тв2 (38,5-39,5 оС) за некоторое время Ї. В термостате будут происходить следующие процессы:
- физиологический раствор с помещенным в него биологическим материалом должен быть подогрет от температуры заморозки ТЗ1 до температуры оттаивания,
что соответствует 0 оС и далее до температуры стабилизации Тв за время і;
- температура воды в стакане охлаждается от температуры Тв до температуры Тві;
- конечная температура воды в стакане в периодическом процессе будет все время увеличиваться по мере повышения температуры физиологического раствора внутри бутылочки и в конце процесса, через время і, температура Тві станет равной Тв.
Тогда уравнение теплопередачи примет вид:
где К - коэффициент теплопередачи; Г - поверхность теплопередачи; &СРН -средняя разность температур при периодическом нагревании.
Средняя разность температур для процесса нагревания физиологического раствора в бутылочке определяется по формуле
Описывая математическую модель термостата, используем приведенные выше требования и выражения.
Для того, чтобы математическое описание модели было приближено с достаточной точностью к процессам, протекающим в исследуемом объекте, оговорим условия и сделаем необходимые допущения.
Примем во внимание, что тепловое распределение полей изменить невозможно, поскольку конструкция основных элементов не подлежит изменению.
Модель должна учитывать процессы, протекающие в различных частях термостата, а также возможные изменения условий эксплуатации и влияние окружающей его среды:
- исследования проводятся как при изменении температуры технологического раствора (воды) внутри стакана термостата до необходимой температуры, так и в установившемся тепловом режиме системы;
- описание процессов в блоке управления с учетом изменения питающего напряжения;
- процессы, протекающие при нагреве диска стакана термостата;
- процессы нагрева воды в рабочей зоне термостата, при передаче тепловой энергии от стакана термостата;
- процесс распределения температуры по высоте столба воды рабочей зоны термостата;
- процесс нагрева стенок термостата для снятия сигнала обратной связи по температуре с датчика температуры;
- процесс рассеивания некоторого количества тепла в окружающую среду с поверхности верхнего слоя технологического раствора, налитого в стакан термостата;
- процесс изменения температуры стакана вдоль его длины, по существующим продольным потокам тепла, направленным от нагретого конца стакана к концу, имеющему более низкую температуру;
- принимаем, что сечение стакана, по которому циркулирует технологический раствор, сохраняет постоянную величину и представляет собой окружность диаметром а;
0 = К ■ р ■Аіср.н ■ і,
(6)
где А =---------; ±з — температура физиологического раствора в любой момент.
ТВ1 - ТЗ
(7)
- течение технологического раствора по стакану термостата при тепловой конвекции не терпит разрывов и подчиняется закону сохранения массы. Плотность воды в холодных и нагретых слоях стакана термостата неодинакова, поэтому и скорости циркуляции жидкости в различных слоях должны отличаться друг от друга. Но учитывая, что в исследуемом диапазоне практически имеющихся температур от 10 до 40 оС удельный вес воды изменяется незначительно, то принимаем, что скорости циркуляции жидкости в различных слоях приблизительно равны;
- в рассматриваемой системе происходит процесс конвекции технологического раствора внутри стакана термостата в поле гравитационных сил. Существенное значение имеет расположение участков контура циркуляции по отношению направления сил тяготения. Принимаем, что канал нагрева технологического раствора в цилиндре термостата расположен вертикально, а диска стакана термостата -горизонтально.
Также необходимо учесть, что температура в слое, соприкасающемся с воздухом, не является постоянной величиной, а зависит от соотношения толщин слоев стенки, условий теплообмена и температуры охлаждающего воздуха.
Упрощенная модель термостата разработана в системе инженерных и научных расчетов МаІІаЬ 6.5 с использованием стандартных блоков пакета визуального моделирования БГМиЬШК.
Модель термостата приведена на рис. 2.
Рис. 2. Модель термостата в МаНаЪ
Модель термостата исследуется при следующих воздействиях:
- при температуре окружающей среды 8 оС при изменении питающего напряжения в диапазоне 220 В ± 10 % (198 В, 220 В, 242 В);
- при температуре окружающей среды 16 оС при изменении питающего напряжения в диапазоне 220 В ± 10 %;
- при температуре окружающей среды 24 оС при изменении питающего напряжения в диапазоне 220 В ± 10 %.
Изменения температуры в трубке и рабочей зоне при различных температурах и при различных напряжениях, а также время достижения температуры рабочего режима в трубке и рабочей зоне термостата приведены на рис. 3 и в табл. 1.
Т
і
х 10
Рис. 3. Графики изменения температуры в трубке и в рабочей зоне при и = 220 В, ТО = 8 оС Табл. 1. Результаты исследований модели термостата
Параметр То = 8 оС То = 16 оС То = 24 оС
И = 198, В И = 220, В И = 242, В И = 198, В И = 220, В И = 242, В И = 198, В И = 220, В И = 242, В
Температура в трубке Ттр, оС 40 38,7 37,5 39,5 38,2 36,9 39 37,7 36,5
Температура в рабочей зоне Т оС Араб? 39,4 38,2 37 38,9 37,7 36,5 38,5 37,2 36
Время достижения температуры рабочего режима 1реж (тр/раб), мин 19/20 17/18 16/17 18/19 17/18 15/17 18/19 16/17 14/15
Анализ полученных выражений показывает, что температура в слое, соприкасающемся с воздухом, не является постоянной величиной, а зависит от соотношения толщин слоев стенки, условий теплообмена и температуры охлаждающего воздуха.
Охлаждающий воздух представляет собой воздушную прослойку между стаканом и корпусом, и его температура зависит от температуры окружающей среды (за пределами корпуса), температуры стакана и количества тепла, выделяемого системой управления, которая подключается к источнику напряжения, среднее значение которого изменяется в пределах ± 10 % от номинального значения.
Учитывая, что первый слой (стакан термостата) контактирует в верхней зоне непосредственно с окружающей средой, а расстояние от датчика до верхней границы незначительно, изменение температуры окружающей среды оказывает существенное влияние на температуру в зоне установки датчика. Для поддержания стабильной температуры стабилизации процесс настройки термостата выполняется при напряжении и = 220 В ± 2 %. Но температура окружающей среды может изменяться в пределах от 10 до 30 оС. Поэтому необходимо выполнить моделирование
термостата при фиксированном напряжении и = 220 В ± 2 % и различных значениях температуры внешней среды.
Результаты моделирования приведены на рис 4.
Т„
Т
раб,
Рис. 4. Зависимость температуры в трубке Ттр и рабочей зоне Траб при различных значениях температуры внешней среды Тср
Сравнительный анализ данных, полученных в ходе экспериментальных исследований термостата на разработанном для этих целей лабораторном стенде, и результатов исследования модели термостата доказывает адекватность математического описания объекта и разработанной на основании этого описания модели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нащокин, В. В. Техническая термодинамика и термопередача : учеб. пособие для неэнергетических специальностей вузов / В. В. Нащокин. - М. : Высш. шк., 1975. - 496 с. : ил.
2. Справочник химика. - Л. : Химия, 1968. - Т. V. - 976 с.
Белорусско-Российский университет Материал поступил 16.02.2006
A. E. Moiseev
The mathematical description of the thermostat biological Belarusian-Russian University
The main regularities of thermal processes passing in constituent parts of a thermostat, as well as in separate components of whole elements are reflected in the article. The mathematical model of a thermostat is given.
