Математическое описание процессов тепло- и влагопереноса в профилированной почве Текст научной статьи по специальности «Физика»

Технологии и технические средства механизированного производства продукции растениеводства и животноводства_

4. Стерлин М.Д. Управление теплофизическими процессами: новые модели и алгоритмы. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского государственного технического университета, 1997. 118 с.

5. Иглин С.П.Математические расчеты не базе MATLAB. СПб.: БХВ-Петербург, 2005 640 с.

УДК 631.371

В.Н. БРОВЦИН, доктор техн. наук; А.А. ПОПОВ, доктор техн. наук

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И ВЛАГОПЕРЕНОСА В ПРОФИЛИРОВАННОЙ ПОЧВЕ

В статье приведено математическое описание процессов тепло- и влагопереноса в профилированной почве. Учтены сложные почасовые изменения климатических условий и затенение боковых поверхностей гряд (гребней) в течении суток. Математическое описание использовано для выбора профиля (гряды или гребня) по критерию максимума суммы положительных температур за вегетационный период.

Ключевые слова, профилированная почва, процессы тепло- и влагопереноса

V.N. BROVTSYN, DSc (Eng); A.A. POPOV, DSc (Eng)

MATHEMATICAL DESCRIPTIONOF HEAT ANDMOISTURE TRANSFER IN SOILS WITH DIFFERENT SURFACE SHAPES

The article gives a mathematical description of heat and moisture ransfer in the soil with different surface shapes. Complex hourly variations of climatic conditions and shading of the side surfaces of beds (ridges) during the day are takes into account. The mathematical description is used to select a soil surface shape (bed or ridge) by the criterion of the maximum amount of positive temperatures during the growing season.

Key words: soil with different surface shape, heat and moisture transfer

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов. _ИАЭП. 2015. Вып. 87._

Одной из наиболее сложных и трудоемких отраслей сельскохозяйственного производства является растениеводство. В разных зонах страны овощные культуры выращивают на различных по форме поверхностях в зависимости от типа почв, уровня грунтовых вод, количества осадков и других факторов. В частности, в зонах избыточного увлажнения и высокого уровня грунтовых вод овощи выращивают на гребнях и грядах [1]. К таким зонам относится и Ленинградская область.

Естественно возникает вопрос выбора профиля - гребня или гряды.

Критерием выбора является сумма положительных температур за вегетационный период.

На рис. 1 представлено поперечное сечение профилированной почвы трапецеидальной формы [2].

Рис. 1. Схема для исследования профилированной поверхности почвы

трапецеидальной формы (гребня и гряды): а - межосевое расстояние между профилированными поверхностями (трапециями); а1 - нижнее основание трапеции (у дна борозды); Ь - верхнее основание трапеции; е - ширина борозды у дна; а - угол откоса дна борозды; И - высота трапеции; Н - глубина вспашки; Н1 - высота (толщина) пахотного горизонта; Н2 - глубина залегания грунтовых вод

Математическое описание процессов тепло- и влагопереноса в корнеобитаемом слое почвы

Тепло-влажностные процессы, протекающие в почве могут быть описаны системой уравнений [3,4,5]:

дг х~г2 % ди

— = а V г+—---.

дт сту дт

ди 2 С1-Т2 -= а V и + а (V г,

дт и и ^ , (1)

где t - температура, °С; и - влагосодержание, г/кг; т - время, с; -

Л

коэф. температуропроводности, м /с; аи - коэф. потенциалопроводности, м2/с; % - удельная теплота испарения, Дж/(кгК); у - плотность почвы, кг/м ; ст - массовая теплоемкость почвы, Дж/(кгК); £ - критерий испарения; 5 - термоградиентный коэффициент, кг/(кгК).

Коэффициенты приведенных уравнений являются тепломассообменными характеристиками почвы и, в общем случае, зависят от температуры и влажности.

При рассмотрении условий произрастания растений тепло-влажностные процессы, протекающие в почве и описываемые системой уравнений (1) можно существенно упростить. Это видно из следующих рассуждений. В первом уравнении (1) критерий испарения можно считать равным нулю, так как перенос тепла паром составляет не более 5 % от полного переноса тепла при температуре не выше 50 °С [4]. Кроме того, интенсивность распространения поля влажности относительно поля температуры в капиллярно-пористых материалах при обычных температурах, характеризуемая критерием Лыкова (ьи = аи/а,) очень мала ^и = 0,01...0,1). Небольшое значение имеет также термоградиентный коэффициент (5< 0,001 [6]).

Протяженность гряд (гребней) профилированной почвы существенно превышает их поперечные размеры, поэтому при разработке расчетной схемы решения системы уравнений (2), описывающих процессы тепло- и влагопереноса, можно упростить и записать в следующем виде:

дt / ч д21 < ч д2 *

— = а у, и)—-+а у, и у

(2)

дт t дх2 * ' дг2' ди / \д2 и / \д 2и

— = аи Ч, и + аи и ) ^Т ■■

дт дх дг

где х и z - текущие координаты по осям X и Z, соответствен но (см. рис.1), м.

Приняв отмеченные выше допущения и предположения, процессы тепло- и массопереноса в почве можно записать следующим образом:

В системе уравнений (2) коэффициенты at и au, в общем случае, зависят от температуры и влагосодержания. Решая систему (2) при соответствующих краевых условиях можно получить представление о пространственном и временном распределении температуры и влаги в профилированных почвенных массивах.

Граничные условия теплопереноса на поверхности почвы

Тепло- и массообмен на границе "почва - приземный воздух" весьма сложен. Теплопередача происходит одновременно несколькими способами: кондукцией, конвекцией, излучением, в результате испарения или конденсации влаги, при выпадении осадков и т.д.

Роль способов теплопередачи в общем теплообмене различна и зависит как от теплофизических характеристик почвы и состояния приземного воздуха, так и от культуры и фазы развития растений [7, 8]. Не менее важное значение на эти процессы оказывает профиль поверхности.

Для формулирования условий на границе почва - приземный слой воздуха введем следующие упрощения:

- граница "почва - приземный слой воздуха" представляет собой поверхность, совпадающую с поверхностью почвы;

- теплофизические характеристики почвы и приземного воздуха, а также метеорологические параметры вдоль поверхности почвы не изменяются.

С учетом вышеизложенного на рис. 2 представлена схема тепловых потоков через поверхность "почва - приземный слой воздуха", в соответствии с которой уравнение теплового баланса на этой поверхности примет вид:

ix = q - q - Як - Яи > (3)

Л

где qx - плотность теплового потока через поверхность почвы, Вт/м , Яи - плотности тепловых потоков, обусловленные интенсивностью солнечной радиации, конвекцией, тепловым излучением и испарением с поверхности почвы, соответственно, Вт/м2.

Рис. 2. Схема баланса тепловых потоков на поверхности почвы

Рассмотрим каждый из тепловых потоков, составляющих баланс на поверхности почвы.

Тепловой поток через поверхность почвы

(д г ^

Яъ=- Ъ Т- ' (4)

1д п) п

где я, - коэффициент теплопроводности почвы, Вт/(мК); п - нормаль к поверхности почвы, м; п - "поверхность".

Тепловой поток, обусловленный солнечной радиацией. На актинометрических станциях измеряется прямая солнечная радиация , поступающая на перпендикулярную к солнечным лучам поверхность. Количество солнечной радиации, приходящейся на горизонтальную поверхность ^, зависит от высоты Солнца над

горизонтом [9]:

др = дрпр • (5)

где а - высота Солнца над горизонтом,

Проходя через атмосферу, солнечная радиация частично рассеивается молекулами газов воздуха, твердыми и жидкими частичками. Часть радиации дд, поступающей на земную поверхность после рассеивания, называется рассеянной (диффузной) радиацией.

Общий приход солнечной радиации на горизонтальную поверхность

д = др + дд. (6)

Геометрические соотношение, описывающие положение плоскости, определенным образом ориентированной относительно Земли в какой-либо момент времени, и прямого солнечного излучения, то есть положение Солнца относительно этой плоскости,

167

могут быть записаны с помощью ряда углов. Для плоскости, ориентированной произвольным образом, это выражение будет иметь вид [9]:

Cos(e) = Sin(s)-Sin(<p)-Cos{S)- Sin(s)-Cos(<p)-Sin(S )■ Cos(y)+

+ Cos(sy Cos< Cos(S )■ Cos<)+ (7)

+ Cos(ó)■ Sin<)■ Cos(y)■ Cos{<x>)+ '

+ Cos($y Sin(S)■ Sin(y\ Sin<), где в - угол падения прямого солнечного излучения, измеряемый между направлением излучения и нормалью к поверхности,0; $ -склонение, то есть угловое положение Солнца в солнечный полдень относительно плоскости экватора (положительное для северного полушария)/; ф - широта местности (положительная для северного полушария), О; s - угол между рассматриваемой плоскостью и горизонтальной поверхностью (то есть наклон)/; у -азимутальный угол плоскости, то есть отклонение нормали к плоскости от местного меридиана (за начало отсчета принимается южное направление, направление к Востоку считается положительным, к Западу - отрицательным), О; © - часовой угол, равный нулю в солнечный полдень; каждый час соответствует 15 долготы, причем значения часового угла до полудня считаются положительными, а после полудня - отрицательными (например, © =150 в 11.00 и © =37,50 в 14.30), о.

Очевидно, что < = 180 - (180 /12) ■т.

Склонение можно определить по формуле [11]: 284 + n'

S = 23,45 • Sin

360 •-

365

(9)

где п - порядковый номер дня года.

Поверхность профилированной почвы (гребни и гряды) состоит из чередования трех ограниченных основных плоскостей -горизонтальной и двух наклонных к Востоку и Западу, соответственно (см. рис. 3).

Рис. 3. Схема, поясняющая влияние затененности боковой поверхности

Для горизонтальных поверхностей, когда S = 0°, в соотношении (7) остаются только первый и третий члены, и косинус угла падения лучей становится равным:

Cos(e) = Sin(S)- Sin(p) + Cos(S)-Cos((p)-Cosfa). (10)

Для восточной плоскости гряды (гребня), ориентированной с Севера на Юг у = 90° и выражение (6) примет вид:

Cos(e) = stn(s)-Sin{cp)- Cos(S)+ Cos(s)-Cos(p)Cos(S )• Cos(a)+

+ Cos(S)• Sin(S )• Sin((o). ( )

Для западной плоскости у = 270°, и тогда Cos(e) = Sm(s) • Sin(p) • Cos(S) + Cos(s) • Cospp) • Cos(S) • Cos(w) -

- Cos(S)• Sin(S )• Sin(a)). (12)

Выражения (10) - (12) используем для расчета угла падения солнечных лучей на соответствующую плоскость гряды (гребня). Интенсивность солнечной радиации на поверхности гряды вычисляем по формуле:

Яр = Япр • cos{9{r)) + qa. (13)

В те часы, когда боковая поверхность затенена противоположной грядой, поток прямой солнечной радиации q^ =0 (см. рис. 3).

Из рис. 3 следует, что, например, для точки a, это произойдет в то время, когда величина hel отрезка el станет меньше высоты гряды hfl при азимуте Солнца (0° < А < 180°) - для восточного склона и (-180° < А < 0°) - для западного:

hel = Wcos(A>tg(a) + hab, (14)

169

где lac - расстояние от точки падения солнечного луча на боковую поверхность гряды до вертикальной плоскости, проходящей через ребро противоположной гряды, lac = lbd, м; A - азимут Солнца, ...°; а - высота Солнцестояния, т.е. угол между направлением на Солнце и горизонтальной поверхностью, ... а = 90° - Э±,

01 - зенитный угол, т.е. угол между направлением на Солнце и вертикалью, ...°; hab - высота точки на боковой поверхности, м.

Формулы для вычисления неизвестных углов A и 0^ приведены в [10] и имеют вид:

tgA =_Cosjô) ■ Cosjm)_

Sin(ç) ■ Cos(S) ■ Cos(a) - Cos(ç) ■ Sin(S) Cos(0 ) = Sin(S) ■ Sin(^) + Cos(S) ■ Cos(p) ■ Cos(w). Как известно, часть радиации, падающей на какую - либо поверхность, отражается от нее. Величина, характеризующая отражательную способность поверхности, оценивается с помощью теплофизической характеристики, называемой альбедо, и определяется соотношением:

r = СЯ, (15)

q отр

где qp - отраженная часть солнечной радиации, падающей на поверхность, Вт/м .

Альбедо почвы г = 0,09 [7].

Тепловой поток, обусловленный радиацией, достигающей поверхности почвы, определяется выражением:

% = [(1 - r) - кр(г)][дПр ■ Cos(0) + q], (16)

где кр (т) = Ккпогкф (1 - ri) ;

kT - коэффициент, учитывающий увеличение растительной массы за вегетационный период (изменяется линейно от 0 (в мае) до 1 (в октябре); кпог и кф - коэффициенты, учитывающие солнечную радиацию, поглощаемую зеленой массой растений и идущей на фотосинтез; г1 - альбедо поверхности растительной массы. Тепловой поток, вызванный конвекцией

Большую роль в теплообмене на границе поверхность почвы -прилегающий слой воздуха имеет конвекция.

Закон конвективного теплообмена достаточно сложен, но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона [7,4]:

Як = а • (К - ) (17)

2

где ак - коэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(м2-К); ^ -температура приземного слоя воздуха, °С; ^ - температура поверхности почвы, °С;

При инженерных расчетах не требуется высокой точности, а сведения, которые могут быть использованы в качестве исходных данных, бывают весьма ограничены. Исходя из сказанного, определенный практический интерес представляют упрощенные формулы определения ак.

Рассмотрим, например, формулы:

- Юргенса [7]:

ак = 6,17 + 4,19-Ув, (18)

- Римана:

ак = 6,17 + 3,61 Ув, (19)

где vв - скорость воздуха, м/с.

Таким образом, расчет величины ак прост и требует в качестве исходных данных только сведений о скорости движения воздуха. Тепловой поток, обусловленный лучистым теплообменом Величину теплового потока, вызванного лучистым теплообменом между поверхностью почвы и прилегающим слоем воздуха можно рассчитать по формуле [4, 7]:

Ял -в-(Т4 -(20)

о

где а0 - универсальная постоянная Стефана - Больцмана; =5,7-10- ,

2 А

Вт/(м -К );в - степень черноты поверхности почвы. Согласно [7] принимаем в = 0,9.

То обстоятельство, что в системе почва - прилегающий слой воздуха температура варьирует в сравнительно узком диапазоне, позволяет значительно упростить выражение (20), например, с помощью Чебышевского метода наилучших приближений. В результате таких преобразований формула (20) запишется в виде:

Чл =^0 В- К • (Тп - Тв ) или Ял = &0 В- К • ^п - К ) (21)

О о

Для диапазона температур 268-308 К величина К=0,9610 (К) , а максимальная погрешность не превышает 7 %.

Величинаал = а0 - в - к может быть названа коэффициентом

теплоотдачи излучением; ал = 4,92 Вт/(м -К), тогда

Ял =ал - ('п - К ).

Иногда имеет смысл вводить величину а = ак +ал, которую можно назвать коэффициентом теплоотдачи. Это удобно при экспериментальном определении коэффициента теплоотдачи с поверхности, когда теплообмен, обусловленный конвекцией и излучением, разделить невозможно.

Тепловой поток, обусловленный испарением

Тепловой поток, вызванный испарением с поверхности почвы, можно определить, используя формулу [7]:

=х-£и, (22)

где х~ удельная теплота испарения, кДж/кг; - интенсивность испарения, кг/(м с).

На практике широко используют среднюю величину удельной (скрытой) теплоты испарения: ^=2500 кДж/кг [3].

Для расчета в [12] в диапазоне температур 273 - 303 °С предложено выражение:

£и =Ли • Ф^в + Ь2 ) • (ахК - а2 - р\ (23)

где Пи, ах, а2, Ъх, Ь2 - коэффициенты: пи = 0,4; а1=98,64 Па/К; а2=550,66 Па; Ъх=3,7540-8 кг/(м3Па); Ь2=4,7910-8 кг/(м2КПа); р -давление пара в воздушной среде, Па.

Давление пара в воздушной среде р = фрн, где рн - давление насыщенного водяного пара при данной температуре, Па.

В интервале температур воздуха от 0 до 100 °С рн можно рассчитывать по эмпирической формуле Г.К. Филоненко [13]:

2302,36 • t

Рн = ЕхР

190,94 +

238 +1

Теперь известны формулы для вычисления всех тепловых потоков, входящих в уравнение (3) теплового баланса на поверхности почвы: потока, обусловленного солнечной радиацией (формула (16)), конвекцией (формула (17)), лучистым теплообменом (формула (21)) и испарением с поверхности (формула 22). После подстановки этих выражений в формулу (3) будем иметь окончательное выражение, позволяющее определить тепловой поток на границе почва -прилегающий слой воздуха: (гt ^

-Я — = (2пр • ^ (0)+ча) • (1-г)-аТ - tв)-

-ал (tп - t в )-(ЬЛ + Ь2) • (аА - а3 - р).

V^n j п

Технологии и технические средства механизированного производства продукции растениеводства и животноводства_

Полученное выражение запишем в более простой форме, учитывая, что а = ак + ал и введя обозначение ^ = гв+ ^в,

А. _ (Япр • Со*{6) + Яд ) • (1 - г)- ап - tъ )- ХПи (Ув + Ь2) • (^п - а3 - Р) 1де ДГ - ,

а

тогда будем иметь:

(сЛ ^

К -Г + а(К - О - 0.

^п (25)

В уравнении (25) источник тепла, обусловленный солнечной радиацией, а также поглощение тепла при испарении влаги с поверхности почвы учтены введением приведенной температуры

воздуха .

Граничные условия влагопереноса на поверхности почвы На рис. 4 представлена схема баланса потоков влаги на поверхности почвы.

Г- И у "Ц/1 ■ ■ ч ; . . , У < <У Ц. о Г, » 5

" . ''.¿»Ж - '{г

\{- у:•с '', '•"»*• ''Д. * -* Й V* * ' *, «* у

/ ё2

( ■■

Рис. 4. Схема баланса потоков влаги на поверхности почвы

В соответствии со схемой на рис. 4 и упрощающих предпосылок формирования граничных условий для поверхности почвы, изложенных выше, уравнение баланса потоков влаги на границе почва - прилегающий слой воздуха следует записать в виде:

ёЕ - ёи + ёос, (26)

где ёЕ - поток влаги через поверхность почвы, кг/(см ); ёи - поток

2 2 влаги, обусловленный испарением, кг/(см ); ёос- осадки, кг/(см ).

Поток влаги через поверхность почвы определим по формуле:

ёЕ --Уо • аи •

\дп у п

где Уо - плотность скелета почвы, кг/м3.

173

д

ё

и

ос

Поток влаги, вызванный испарением, определяется по формуле

(23).

Таким образом, граничные условия влагопереноса на поверхности почвы будут иметь вид:

'дыЛ

Уо аи

кдп у п

= ^и ■ ( Vb + b2 ) ■ (aitu - a3 - р) + Ясс-

(28)

Граничные условия на нижней границе псчвеннсгс массива Известно, что суточные колебания температуры, происходящие в приземном слое воздуха, проникают на глубину не более 10-15 см [14]. Уровень грунтовых вод для супесчаных почв Тосненского района Ленинградской области находится на глубине 0,5-1 м от поверхности.

Исходя из сказанного, устанавливаем нижнюю границу исследуемого массива почвы на глубине 0,7 м, где действуют граничные условия I-го рода:

tM = const, ин = const = ипв, (29)

где ипв - полевая влагоемкость почвы.

Полевая влагоемкость почвы определяется в соответствии с

о

выражением [15]: ипв = П/ Ро, где П - общая пористость, %/м , Ро -

о

плотность скелета почвы, кг/м . Согласно [16] для песчаных и супесчаных почв средней плотности (нормальное состояние) р0 = 1,41,5 кг/м3; П = 47-43. Таким образом, имеем ипв = 31%.

Как известно, теплофизическими характеристиками вещества

являются коэффициент теплопроводности [Вт/мК], объемная

теплоемкость Cv =Cm [Дж/(м3 К)], где °m [Дж/(кг К)]- массовая

теплоемкость, и коэффициент температуропроводности a<[м /с]. Эти

характеристики связаны между собой соотношением: = at ■ cv.

Параметрами переноса влаги являются коэффициент

потенциалопроводности au и влагопроводности л« =г0a, где г° -удельная плотность скелета почвы.

Многочисленные исследования показали, что в почвах главным фактором, влияющим на коэффициенты переноса, является влажность. Существенно меньше параметры переноса зависят от температуры почвы.

Ниже приведены зависимости параметров переноса от влагосодержания супесчаной почвы Тосненского района Ленинградской области [12]:

Л (и) =---

1,953 + 0,773 • и .

5

10-7 • и

а (-) =-.

- 0,163 + 0,171 • и

где au = 6,3210"7 - 8,9910-8u + 3,1610"9u2 .

Зависимости получены методом цилиндрического зонда постоянной мощности [12].

Итак, система уравнений (2) тепло- и влагопереноса в почве, совместно с граничными условиями (24), (28), (29) и начальными условиями представляют полную систему уравнений

(математическое описание), решая которую можно проанализировать изменения температуры и влажности при различных профилях.

Приведенное математическое описание тепловлажностных процессов в профилированной почве было использовано для выбора профиля по критерию суммы положительных температур за вегетационный период.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лурье А.Б. Статистическая динамика сельскохозяйственных агрегатов. Л.: Колос, 1970. 376 с.

2. Попов А.А. Определение основных параметров профилированных поверхностей почвы для возделывания корнеплодов // Технологии и технические средства механизированного производства продукции растениеводства и животноводства в Нечерноземной Зоне России: Сб. науч. тр. Л. НИПТИМЭСХ НЗ, 1993. Вып. 63. С. 31 - 35.

3. Лыков А.В. Теоретические основы строительной теплофизики. Минск: изд-во Академии наук БССР, 1969. 520 с.

4. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). 2-у изд., перераб. и доп. - М.: Энергия, 1978. 480 с.

5. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М. Л.: Госэнергоиздат, 1963. 536 с.

6. Никитина Л.М. Термодинамические параметры и коэффициенты массопереноса во влажных материалах. М.: Энергия, 1974. 501 с.

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов. _ИАЭП. 2015. Вып. 87._

7. Куртенер Д.А., Чудновский А.Ф. Расчет и регулирование теплового режима в открытом и защищенном грунте. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. 230 с.

8. Нерпин К.С., Чудновский А.Ф. Тепло- и влагообмен в системе -атмосфера, почва, растение. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. 358 с.

9. Даффи Дж. А, Бекман У.А. Тепловые процессы с использованием солнечной энергии. М.: Мир, 1977.

10. Боднер В.А. Авиационные приборы. М.: Машиностроение, 1969. 468 с.

11. Зоколей С. Солнечная энергия и строительство / М.: Стройиздат, 1979. 339 с.

12. Бровцин В.Н. Исследование и оптимизация динамических объектов сельскохозяйственного назначения средствами вычислительного эксперимента. СПБ.: СЗНИИМЭСХ, 2004. 364 с.

13. Гинсбург А.С. Основы теории и техники сушки пищевых продуктов. М.: Пищевая промышленность, 1973.

14. Жуковский Е.Е, Киселева Т.Л, Мандельштам С.М. Статистический анализ случайных процессов в приложении к агрофизике и агрометеорологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1976. 408 с.

15. Методические указания к лабораторно - практическим занятиям по агрофизике. Кафедра общего земледелия. Составители А. В. Королев и др. - Л.: ЛСХИ, 1983. 41 с.

16 Черепанов Г.Г., Чудиновских В.М. Уплотнение пахотных почв и пути его устранения / Обзор МС Агроинформ. ГОСАГРОПРОМ СССР ВАСХНИЛ. Всесоюзный научно-исследовательский институт информации и технико-экономических исследований агропромышленного комплекса (ВНИИТЭИагропром). М., 1987. 60 с.