CC BY
7
УДК 621.879.064
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-10-103-109
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА КОПАНИЯ ПЛАСТИЧНЫХ ГРУНТОВ
СФЕРИЧЕСКИМ КОВШОМ
Г.Г. Бурый
В статье приведена актуальность применения одноковшовых гидравлических экскаваторов. Затраты на эксплуатацию данных машин во многом зависят от их производительности. В статье приведена конструкция рабочего оборудования экскаватора, позволяющая увеличить его производительность. Для оценки эффективности новой конструкции рабочего оборудования экскаватора рассматривается процесс его внедрения в грунт в виде реологической модели Кельвина-Фойгта. Приведенная реологическая модель включает в себя параметры грунта и ковша. Рассматриваемая реологическая модель описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка. Задачей математического описания является выявление закономерности изменения скорости процесса копания от параметров экскаватора и грунта. Подбираются минимальные параметры экскаватора для осуществления процесса копания, т.е. при положительных значениях скорости процесса.
Ключевые слова: экскаватор, копание, математическая модель, ковш, конструкция.
Строительная техника является важнейшим инструментом развития инфраструктуры. Одной из самых распространенных строительных машин является одноковшовый гидравлический экскаватор. Эта машина применяется во многих сферах, таких как строительство зданий, дорог и метрополитенов.
Применение экскаватор находит при разработке полезных ископаемых и в коммунальном хозяйстве. Несмотря на активное использование данной машины и важность увеличения ее производительности конструкция рабочего оборудования за последние десятилетия практически не менялась. Стоит отметить что в настоящее время проблема производительности экскаватора решается преимущественно за счет использования «холостых» движений оборудования. Это достигается путем размещения электроники и датчиков. Однако это дает незначительный прирост производительности, ведь во многом производительность экскаватора зависит от объема грунта, который он может изъять за один цикл. Этот параметр ограничивается возможностями рабочего оборудования. Соответственно чем больше требуется изъять грунта или другого строительного материала, тем более высокие параметры должно иметь оборудование, что непременно ведет к удорожанию машины. В статье рассматривается конструкция ковша экскаватора названная «сферической» позволяющая без изменения характеристик гидропривода копать больший объем грунта за один цикл. Также в статье рассматривается математическое описание процесса копания пластичных грунтов сферическим ковшом. [1,2,3,4,5]
Рассмотрим конструкцию сферического ковша представленную на рис. 1.
Рис. 1. Конструкция сферического ковша
Эффект от сферической конструкции ковша достигается за счет изменения траектории движения рабочего органа и его формы. Давайте рассмотрим упрощенную схему нагружения стандартного ковша рис. 2.
На рис. 2 приведены обозначения: Р - сила от гидроцилиндра поворота ковша, Н; Р1 - нормальная сила сопротивления копанию на режущей кромке, Н; Р2 - нормальная сила сопротивления копанию на внутренней стенке ковша, Н; Р3 - сила от трения грунта по стенкам ковша, Н. Как видно из схемы на рис. 1 при контакте стандартного ковша с грунтом сопротивление копанию оказывает сила Р2. Данная сила оказывает наибольшее сопротивление копанию в отличии от других так как действует на наибольшую площадь ковша. Конструкция сферического ковша позволяет избежать воздействие данной силы на ковш в процессе копания. Рассмотрим упрощенную схему движения сферического ковша приведенную на рис. 3.
Ось поворота
Как видно из схемы представленной на рис. 3 за счет сферической формы ковша и траектории движения вокруг его оси нормальная сила на внутреннюю стенку ковша устраняется, присутствуют лишь силы трения и нормальная сила на режущей кромке. [6,7,8,9,10,11,12]
Чтобы подтвердить эффективность данной конструкции рассмотрим процесс копания грунта сферическим ковшом в математической форме. Так как большинство разрабатываемых грунтов представляют собой пластичный материал, рассмотрим математическое описание процесса копания именно таких материалов.
Опишем процесс взаимодействия сферического ковша и грунта двухмассовой реологической моделью Кельвина-Фойгта которая представленна на рис. 4.
5
ГЛз
Хг
С
Г/9
ШШг
N
Ь
ш
Рис. 4. Модель Кельвина-Фойгта описывающая процесс копания грунта сферическим ковшом
На рис. 4 представлены следующие обозначения: т1 - масса сферического ковша, кг; т2 - масса ядра грунта под кромкой ковша, кг; т3 - масса грунта оказывающая сопротивление в результате сил трения, кг; Fl - сила от гидроцилиндра поворота ковша, Н; F2 - сила сопротивления от ядра грунта, Н; F3 - сила сопротивления от трения грунта по металлу, Н; х1 - перемещение массы ковша и ядра, м; х2 - перемещение масс грунта вовлекаемых в процессе трения, м; с - коэффициент жесткости грунта, Н/м; Ь -коэффициент вязкого трения грунта, Нс/м.
Представленную на рис. 4 реологическую модель опишем системой дифференциальных уравнений второго порядка.
' • О (1)
Х1 - х2 + с-(х1 - х2 ) = Р1 - ¥Ъ
( + Ш2 )• Х1 + Ъ-
тз •Х2 + Ъ
( .
Х2
Л
Х1
+ с
(х2 -Х1 )=-¥3-
(2)
У
Уравнение (1) системы описывает движение ковша и массы ядра, а уравнение (2) описывает движение массы грунта оказывающей сопротивление копанию в результате сил трения. Расчет перемещений х и их производных позволит подобрать остальные параметры системы таким образом, чтобы процесс копания был возможен. Для этого необходимо чтобы скорость была больше 0. [13,14,15,16,17,18,19,20]
Суммируем левые и правые части уравнений (1) и (2) и найдем х^
х1 =
- тз • Х2 + F[ - - Fз
( + т2 )
Интегрируем выражение (3) по времени t и получим выражения (4) и (5)
(3)
х1 =
- т3 • Х2 + Fl • t - ^2 • t - ^3 • t + С\
( + т2 )
х1 =
? ? - т3 • х2 + 0,5 • F1 • t2 - 0,5 • F2 • t
0,5 • F3 • t2 - С • t - С2
(4)
(5)
( + т2) ( + т2)
Путем подстановки в формулы (4) и (5) начальных условий при 1=0, х\ (0) = 0, Х2 (0) = 0,
х1 (0) = 0, Х2 (0) = 0 определим что С;=0, С2=0.
Путем подстановки формул (3), (4) и (5) в выражение (1) получим
(
- т3 • Х2 - Fз + Ь •
Л
т3 • х2
( + т2 )
х2
Ь •
f F1 • t - F2 • t - F3 • t + С! ^
( + т2 )
+
+ с-
- с •
- т3 • х2 . ( + т2 )
х2
+ +с •
^ 0,5 • F1 • t2 - 0,5 • F2 • t2 ^
( + т2 )
6)
2
0,5 • F3 • t2 - С! • t - С2
= 0.
( + т2 )
Полное решение уравнения (7) состоит из общего решения х20 описывающего свободные колебания системы и частного решения х2* описывающего вынужденные колебания системы.
- т3 • х2 - Ь • х2 •
• ^т3 + т\ + т2 ^
( + т2 )
с • х 2 •
^ т3 + т\ + т2 ^ ( + т2 )
= -Ь
Г F1 • t - F2 • t - F3 • t + С! ^
( + т2 )
- с •
( 0,5 • F1 • t2 - 0,5 • F2 • t2 ^ ( + т2 )
+
+с
^ 0,5 • F3 • t2 - С1 • t - С2 ^
( + т2 )
Определим общее решение для однородного уравнения
+ Fз.
- т3 • Х2 - Ь • Х2 •
• ^ т3 + т^ + т2 ^
( + т2 )
с • Х2
^ т3 + т\ + т2 ^ ( + т2 )
= 0.
Приведем уравнение (8) к характеристическому виду где z корень уравнения
А • 22 + В • 2 + С = 0-
В = -Ь •
А = -т3;
^ т3 + т1 + т2 ^
(т1 + т2 )
т3 + т1 + т2 (т1 + т2 )
Определим следующие корни уравнения (9)
С = -с •
21 =■
- В +
^ВВГ-
4 АС
2 А
- В
В -л/ В2 + 4 АС
2 А
(7)
(8)
(9) (10)
(11) (12)
(13)
(14)
(
Запишем общее решение уравнения (7)
Х20 = и1 • е21 * + и2 • е22 *. Для поиска постоянных и и и продифференцируем уравнение (15)
(15)
Х20 = 21 • и1 • е21 'г + 22 • и2 • е
2 2 •г
(16)
Путем подстановки в выражения (15) и (16) начальных условий х2 (0)= 0 ; х2 (0) = 0, получим что и1=0, и2=0. Следовательно, общее решение уравнения (7) равно 0.
Определим и запишем частное решение уравнения (7) в виде выражения (17) с коэффициентами М, N и Ь
* 2 Х2 = Мг + N + Ь.
Найдем производные выражения (17)
(17)
х2 = 2Мг + N; Х2 = 2М .
Подставим выражения (17), (18) и (19) в уравнение (7) и получим
- т3 • 2М - Ъ • 2Мг •
- с • Мг
- с • Ь •
(
2
Ш3 + т1 + т2
((1 + т2 )
^ т.3 + т1 + т2 Л
( + т.2 ) у
Л (
- с • N1 •
- Ъ • N •
Ш3 + т1 + Ш2 ((1 + Ш2 )
Ш3 + Ш1 + Ш2 (ш1 + Ш2 )
Л
Л
^ Ш3 + Ш1 + Ш2 Л ( + Ш2 )
- с-
= -Ъ •
2Л
^ • г - F2 • г - ^3 • г + С1Л
0,5 • F1 • Г - 0,5 • F2 • г
( + Ш2 ) Преобразуем уравнение (20)
+ с-
(Ш1 + Ш2 )
2
0,5 • F3 • г2 - С1 • г - С2
(Ш1 + Ш2 )
+ F3.
- с • М •
Ш3 + Ш1 + Ш2
Л
- Ш3 • 2М - с • Ь •
( + Ш2 )
/Ш3 + Ш1 + Ш2 (Ш1 + Ш2 )
г2 -(2Ъ• М + с• N)
^ Ш3 + Ш1 + Ш2 Л ( + Ш2 )
г-
- Ъ • N •
^ Ш3 + Ш1 + Ш2 Л ( + Ш2 )
0,5• с•(( -F2 -Fз) ^ г2 (Ъ •(( -F2 + Fз)+ с• С) ^^ -
Ш1 + Ш2
(Ъ • С1 + с • С2)
Ш1 + Ш2
+ Fз.
Ш1 + Ш2
Искомые коэффициенты М, N и Ь удовлетворяют системе уравнений
- с • М •
^ Ш3 + Ш1 + Ш2 Л 0,5 • с • (Fl - F2 - Fз )
( + Ш2 )
Ш1 + Ш2
- (2Ъ • М + с • N)
- Ш3 • 2М - с • Ь (Ъ • С1 + с • С2)
'Ш3 + Ш1 + Ш2 Л (Ъ • (([ - F2 + Fз ) + с • С )
( + Ш2 ) Ш3 + Ш1 + Ш2
(Ш1 + Ш2 )
- Ъ • N •
Ш1 + Ш2 ^Ш3 + Ш1 + Ш2 Л (Ш1 + Ш2 )
+ Fз.
Из уравнения
Ш1 + Ш2
(22) определим М
М =
0,5 - F2 - F3 )
Ш1 + Ш2 + Ш3 106
(18) (19)
(20)
(21)
(22) (23)
Подставим выражение (25) в уравнение (23) и определим N
N =_C_. (26)
mj + m2 + тз
Подставим выражения (25) и (26) в уравнение (24) и определим L
C2 F3 -(mj + т2 )
L =
mj + m2 + тз c - (mj + m2 + тз) (27)
m3 -(( " f2 - F3 )-( + m2 )
c - (mj + m2 + тз) Следовательно, частное решение уравнения (7) запишем в виде
* 0,5 - (F1 - F2 - F3) 2 C1
x2 = ———-2-— t2 +-1-1 +
mj + m2 + тз mj + m2 + тз
+ 2
C2 - Fз-( + m2) - (28)
mj + m2 + тз c - (mj + m2 + тз) тз -(( -f2 -FMm + m2)
c - (mj + m2 + тз )2 Запишем полное решение уравнения (7)
= 0,5-F2 -Fз)12 - Fз-(mj + т2)
mj + т2 + тз c - (mj + т2 + тз) (29)
тз - (( - F2 - F?) • (mj + т2 ) c - (mj + т2 + тз )2
Чтобы найти скорость массы грунта тз продифференцируем выражение (29) по времени
Х2 = F - F2 - F -1. (зо)
mj + m2 + тз
Подставляя выражение (з0) в выражение (4) получим скорость масс mj+m2
X = -тз )-(f - F2 - F)-1 (зЦ
(mj + m2) - (mj + m2 + тз) Таким образом, путем подбора параметров процесса копания можно добиться положительных значений скорости. Реализовать процесс подбора можно в программах для ЭВМ.
Список литературы
L Лукашук О.А. Закономерности формирования режимных параметров главных механизмов карьерного экскаватора в процессе экскавации горных пород // Горное оборудование и электромеханика. 20!9. №з (Ш). С. Ы-Г7.
2. Исследование управляемых ножевых систем землеройно-транспортных машин / В.И. Балов-нев, Р.Г. Данилов, О.Ю. Улитич // Строительные и дорожные машины. 20П. №2. С. !2-!5.
3. Influence of crushed rock properties on the productivity of a hydraulic excavator/ T. Kujundzic, M. Klanfar, T. Korman, Z. Brisevac // Applied Sciences (Switzerland). 202L V. Щ5). P. Ы5.
4. Effect of blast induced rock fragmentation and muckpile angle on excavator performance in surface mines/ B.S. Choudhary //Mining of Mineral Deposits. 20!9. V. Щз). P. П9-Ш.
5. High-gain observer-based sliding mode control for hydraulic excavators/ G. Xu, Z. Yu, N. Lu, G. Lyu // Harbin Gongcheng Daxue Xuebao. 202L V. 42(6). P. 885-892.
6. Стенд для исследования процессов взаимодействия со средой рабочих органов дорожно-строительных машин/ В.И. Баловнев, Р.Г. Данилов, О.Ю. Улитич // Строительные и дорожные машины. 2020. №8. С. з^5.
7. Влияние трения грунта по поверхности ножа на сопротивление резанию / Е.И. Берестов // Строительные и дорожные машины. 20Ш. №П. С. з4-з8.
8. О влиянии скорости рабочего органа на силу сопротивления резанию грунта / Д.С. Сёмкин // Вестник СибАДИ. 20П. №L С. з7-4з.
9. Анализ взаимодействия кромки лезвия консольного ножа с грунтом / В.А. Николаев // Вестник СибАДИ. 2020. №2. С. П2-Ш.
Ш. Тарасов М.А. Моделирование параметров функционирования выемочной машины с вибрационным воздействием на горные породы // Устойчивое развитие горных территорий. 20!9. Т. П. №Цз9). С. 85-97.
11. Экспериментальные исследования процесса промышленного рыхления грунта / И.П. Трояновская, А.В. Разношинская, В.А. Козьминых, Е.А. Лещенко // Горный журнал. 2021. №5. С. 87-90.
12. Теоретические исследования процесса взаимодействия резца фрезерного рабочего оборудования экскаватора с грунтом / И.С. Кузнецов // Вестник СибАДИ. 2021. Т. 18. №1 (77). С. 42-50.
13. Методика расчёта сопротивления и момента сопротивления резанию почвы прямым пластинчатым ножом фрезы / Ю.В. Константинов // Тракторы и сельхозмашины. 2019. №5. С. 31-39.
14. Определение скорости цепей и размеров пласта грунта, отрезаемого ковшом агрегата для удаления верхнего слоя грунта с подстилающего слоя автодороги/ В.А. Николаев // Вестник СибАДИ. 2020. №1. С. 32-43.
15. Затраты энергии на резание грунта ковшами агрегата непрерывного действия для формирования подстилающего слоя автодороги/ В.А. Николаев // Вестник СибАДИ. 2020. №6. С. 676-688.
16. Математическое описание колебательной системы «вибрационный рабочий орган-грунт»/ Г.И. Шабанова, С.В. Савельев, Г.Г. Бурый // Вестник СибАДИ. 2013. №3(31). С. 102-107.
17. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем/ В.П. Тарасик. Мн.: Ди-заин ПРО, 2004. - 640с.
18. Физические основы процесса демпфирования колебаний в системе подвески автомобиля/ В.П. Тарасик // Вестник Белорусско-Российского университета. 2019. №1(62). С. 62-77.
19. Определение кинематических параметров ковша экскаватора/ С.А. Зеньков, Д.А. Минеев// Транспортное, горное и строительное машиностроение: наука и производство. 2019. №3. С. 30-33.
20. Dynamic simulation of a hydraulic excavator to determine the joint reaction forces of boom, stick, bucket, and driving forges of hydraulic cylinders/ N.D. Tan// Inzynieria Mineralna. 2020. V. 1(1). P. 131-137.
Бурый Григорий Геннадьевич, канд. техн. наук, доцент, buryy1989@bk.ru, Россия, Омск, Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет
MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE PROCESS OF DIGGING PLASTIC SOILS WITH A SPHERICAL
BUCKET
G.G. Buriy
The article shows the relevance of the use of single-bucket hydraulic ekskava—torov. The cost of operating these machines largely depends on their performance. The article shows the design of the working equipment of the excator, which allows to increase its performance. To assess the effectiveness of the new design of the excavator's working equipment, the process of its introduction into the ground in the form of a KelvinVoigt rheological model is considered. The given reolo-geological model includes parameters of soil and ladle. The reolo-geological model under consideration is described by a system of differential equations of the second series. The task of the mathematical description is to identify the regularity of the change in the speed of the digging process from the parameters of the excavator and soil. Minimum parameters of excavator are selected for implementation of digging process, i.e. at positive values ofprocess speed.
Key words: excavator, digging, mathematical model, ladle, constriction.
Buriy Grigoriy Gennadjevich, candidate of technical sciences, docent, buryy1989@bk.ru, Russia, Omsk, Siberian State Automobile and Road University
