Математическое описание профилировщика Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

РАЗДЕЛ III

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

УДК 69:621-027.21

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОФИЛИРОВЩИКА

М. А. Гольчанский, М. Ю. Архипенко, В. В. Хохлов

Аннотация. Математическая модель профилировщика с параллелограммной подвеской рабочего органа представлена системой шестнадцати дифференциальных уравнений второго порядка с переменными координатами, которые являются функциями конструктивных параметров и больших значений обобщенных координат.

Ключевые слова: математическая модель, подвеска рабочего органа, однородные координаты, профилировщик.

Введение

Для исследования статических и динамических характеристик машины, осуществляющей планировку грунта, и механизма подвеса рабочего органа, необходимо разработать математическую модель.

Математическое описание включает составление расчетной схемы (рис. 1.), выбор

системы координат, вывод уравнении геометрической связи. Профилировщик машина представлена шарнирно-сочлененным много-звенником, на звенья которого наложены упруго-вязкие связи. Связи представлены в виде тел Фохта и позволяют учесть упруго-вязкие свойства элементов ходового оборудования, грунта и гидропривода.

Рис. 1. Пространственная расчетная схема параллелограммной подвески рабочего органа профилировщика

Математическое описание

Пространственная расчетная схема состоит из шести звеньев - базовая машина, два нижних толкающих бруса, две верхних тяги и рабочий орган.

Рассматривались малые, обусловленные упругими деформациями, перемещения элементов машины от положения равновесия. Для описания перемещений элементов машины в пространстве были приняты правые ортогональные системы координат.

Особенностью однородных координат по сравнению с декартовыми является то, что преобразования поворота и перемещения совмещены в одной матрице А1. А1 - блочная матрица размера 4*4 [1].

Гт L

где т - матрица поворота осей размера 3x3,

L - матрица, определяющая сдвиг начала координат размера 3x1,

0 - нулевая матрица размера 1x3,

1 - единичная матрица размера 1 х1.

На элементы рабочего оборудования действуют силы со стороны разрабатываемого грунта и опорной поверхности

F = \F • F • F 1] , (2)

г ]. гх гу г .1 ’ ' '

К режущей кромке отвала приложена равнодействующая сил сопротивления копанию F5

Fs =Ь, • ^ у • F!. .1^, (3)

В центрах масс приложены силы Fim

Ът =\0• • 0-1]г , (4)

= т • §, (5)

где д - ускорение свободного падения.

Матрица А1 может быть получена как произведение двух матриц А1ху1 и А1уи^, задающих преобразования параллельного переноса и поворота осей координат [1] и имеет вид:

cos /' • cos и sin и - sin /' • cos и' X

sin /' • sin у[ - COS и • COS УІ cos /' • sin у[ + У

- COS /' • COS у[ • sin и + sin /' • COS у[ • sin и

sin /’ • cos у’ + - cos и' • sin у[ cos /’ • cos у’ z

+ COS /’ • sin у’ • sin и sin /’ • sin у’ • sin и'

0 0 0

Особенностью расчетной схемы является то, что в ней учтены угловые перемещения в осевых шарнирах нижних толкающих брусьев и верхних тяг. Параметры переноса координатных осей сведены в таблицу 1.

При исследовании сложных динамических систем с нелинейными характеристиками используют их линейное математическое описание. Линеаризация осуществляется при помощи метода Тейлора и линеаризованные уравнения представлены в виде [4]

дд1

(7)

где q - обобщенная координата.

Для описания уравнения движения профилировщика воспользуемся методом уравнений Лагранжа второго рода [2].

йі

дд

(8)

V 1 у

дq] дqj д(1]

где К и П - соответственно кинетическая и потенциальная энергия,

Ф - диссипативная функция,

Qj - обобщенные возмущающие силы.

Для разработанной расчетной схемы машины и согласно таблице 1 принято 16 обобщенных координат.

Кинетическая энергия шарнирно-сочлененного многозвенника рассматривается как сумма кинетической энергии его звеньев [3]

6

К = 1 К, (9)

і=’

Потенциальная энергия звеньев машины определяется как сумма энергий упругих элементов [3]

6

П =Т т§СтУ • Рш, (10)

т ^ о у г г ’ ' /

2=1

где 0Ту = \0100].

Потенциальная энергия упругих элементов определяется по уравнению Клайперона [3]

Таблица 1 - Параметры переноса координатных осей

№ звена Звено Параметры переноса

X У z Y и у

1 Базовая машина X У’ г г[ /[

2 Нижний толкающий брус (левый) І1 0 0 Г, 0 /,

3 Нижний толкающий брус (правый) 12 0 0 г' 0 /3

4 Верхняя тяга (левая) І3 0 0 К 0 /4

5 Верхняя тяга (правая) І4 0 0 у\ 0 /\

6 Рабочее оборудование І5 І6 І7 Гв 0 /6

П = 0,5^ С, Х ,

(11)

Диссипативная функция элементов вязкого трения определяется в виде функции Релея [3]

6 дR

Ф = 0,5У Ег-°-, (12)

В=1 дql

Составляющие вектора-столбца QjF обобщенных сил QF, определяющие воздействие на профилировщик внешних сил, находятся из уравнения [2]

6 дР

Ое = 1 F, -0-, (13)

д&1

Подставив в уравнение Лагранжа второго рода выражения, определяющие значения кинетической и потенциальной энергии, диссипативной функции и обобщенных сил получим выражение в матричном виде

А • &+Dq •&+С • & = Ое , (14)

где Ас, Dq, Сс - матрицы размера 16*16,

&, &, & - матрицы размера 16*1, характеризующие малые значения соответственно обобщенных координат, скоростей и ускорений,

QF - матрица обобщенных сил размера 16*1.

Заключение

Математическая модель профилировщика представлена системой шестнадцати дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, которые являются функциями конструктивных параметров и больших значений обобщенных координат.

В случае рассмотрения малых колебаний математическая модель представляется системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами, исследуемых методом «замороженных коэффициентов».

Библиографический список

1. Медведев В.С., Лесков А.Г., Ющенко А.С. Системы управления манипуляционных роботов. - М.: Наука, 1978 - 416 с.

и=’

2. Динамика управления роботами. Под ред. Е.И. Юревича. - М.: Наука, 1984 - 334 с.

3. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука 1980 - 270 с.

4. Лурье А.Б. Динамика регулирования навесных сельскохозяйственных агрегатов. Л.: Машиностроение, 1969 - 288 с.

MATHEMATICAL DESCRIPTION PROFILER

M. A. Golchansky, M. Yu. Archipenko,

V. V. Khokhlov

A mathematical model of the profiler with parallelogram suspension system working body is represented by sixteen differential equations of second order with variable co-ordinates, both being functions of design parameters and large values of the generalized coordinates.

Гольчанский Михаил Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление научных работ - исследование механизмов подвеса рабочих органов землеройно-транспортных машин. Опубликовано более 35 научных работ.

Архипенко Маргарита Юрьевна - канд. техн. наук, доцент кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основные направления научной деятельности: автоматизация проектирования технических объектов и систем. Общее количество опубликованных работ: свыше 30

Хохлов Василий Вадимович - аспирант кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных работ - исследование механизмов подвеса рабочих органов землеройнотранспортных машин. Опубликовано 3 научные работы.

УДК 004.9:621.9.07:621.833

ОТОБРАЖЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕЦИРОВАНИЕМ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ УРАВНЕНИЕМ В НЕЯВНОЙ ФОРМЕ

А. А. Ляшков, В. Я. Волков

Аннотация. В работе приводится исследование отображения ортогональным проецированием поверхности, заданной в неявной форме, на координатную плоскость. Определяется кривизна поверхности в точках ее контурной линии. Устанавливается, что кривые, получаемые в пересечении поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям, содержащим ось, вдоль которой выполняется отображение, имеют экстремальные точки, принадлежащие контурной линии поверхности. Такое свойство используется для расчета точек контура и очерка поверхности численными методами, не требующими использования дифференциальных характеристик поверхности.

Ключевые слова: контурная линия поверхности, очерк поверхности, линия складки, точка сборки.

Введение методы нелинейного программирования. Что

Вопросам исследования отображения орто- является не простой задачей. Анализа контур-

гональным проецированием поверхности на ной линии и ее проекции не приводится.

плоскость посвящено значительное количество Исследованию особенностей отображения

работ [1, 2, 3, 4, 5, 6] и другие. Так в работе [3] алгебраических поверхностей, в том числе и

предлагается определять точки контурной ли- ортогональным проецированием, посвящены

нии по уравнениям поверхности, заданным в работы [1, 5, 6] и другие.

неявной форме, и уравнениям, содержащим В работе [2] приведены некоторые диффе-

дифференциальные характеристики этой по- ренциальные характеристики контурной линии и

верхности. Для расчета предлагается исполь- очерка алгебраической поверхности, заданной

зовать методы вычислительной математики и уравнением в неявном виде.