Математическое описание и визуализация теплообменных поверхностей в форме пружинно витых каналов и труб типа «Конфузор-диффузор» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532. 5 (21 ()\

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ТЕПЛООБМЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ФОРМЕ ПРУЖИННО-ВИТЫХ КАНАЛОВ И ТРУБ ТИПА «КОНФУЗОР-ДИФФУЗОР»

А.Г. БАГОУТДИНОВА, Я.Д. ЗОЛОТОНОСОВ

Казанский государственный архитектурно-строительный университет,

В работе предложены математические модели поверхностей пружинно-витых каналов, записанные в векторно-параметрической форме на базе фундаментальных положений аналитической и дифференциальной геометрии, которые могут быть использованы при разработке и проектировании программ для компьютерного управления технологией намотки.

Ключевые слова: теплообменные аппараты, пружинно-витой канал, теплообменная поверхность.

Практически любое производство связано с процессами выделения или поглощения тепловой энергии. Поэтому от вида и конструкции теплообменников зависят производительность и работоспособность оборудования в самых различных отраслях промышленности: металлургической, химической, пищевой и других. В настоящее время в качестве теплообменного оборудования в основном используются теплообменные аппараты с гладкотрубными теплообменными элементами, отличающиеся значительными габаритами, низкими значениями коэффициентов теплопередачи, высокими показателями гидравлических потерь и удельной металлоемкости, а также существенным уровнем морального и физического износа вследствие длительных сроков их эксплуатации.

Высокая стоимость энергетических ресурсов привела к необходимости создания энергосберегающих технологий, позволяющих не только рационально и с максимальной эффективностью использовать существующие ресурсы, но и сохранять окружающую среду. Замена устаревшего теплотехнического оборудования, в частности кожухотрубных подогревателей, является на сегодняшний день назревшей проблемой. Эффективность, надежность, экономичность и простота обслуживания -основные критерии, которым должны отвечать современные теплообменники.

Одним из наиболее простых и эффективных путей интенсификации теплообмена является изменение формы и режима движения теплоносителей. В этом плане представляет интерес широкий класс пружинно-витых каналов [1-3], на основе которых появляется возможность создания нового класса энергосберегающего высокоэффективного малогабаритного теплообменного оборудования большой единичной мощности, а также модернизация и реконструкция существующего парка теплообменной аппаратуры без существенных капитальных затрат.

Поверхность предложенных теплообменных элементов выполнена из проволоки в виде тугой пружины, витки которой жестко скреплены.

Моделирование теплообменной поверхности пружинно-витого канала (рис.1). Рассмотрим общий метод построения поверхностей, образованных движением непрерывной замкнутой кривой р вдоль некоторой криволинейной направляющей у .

© А.Г. Багоутдинова, Я.Д. Золотоносов Проблемы энергетики, 2012, № 7-8

Пусть у : r = r (t) - направляющая кривая, t - некоторый параметр кривой. Представим радиус-вектор точки поверхности в виде суммы r (t,ф) = r (t) + р(t,ф) , где ф - полярный угол в нормальной плоскости кривой у, отсчитываемый от главной нормали по направлению к бинормали; р( t, ф) - соответствующий "полярный радиус" (рис. 1). Тогда

р (t, ф) = р (t, ф) cos ф • V (t) + р (t, ф) sin ф • в (t), а

r (t,ф) = r (t) + р(t,ф)cosф- V(t) + р(t,ф)sinф-р(t), (1)

где V(t) и в(t) - единичные векторы главной нормали и бинормали в точке, соответствующей значению параметра t; р(t, ф) - переменный, в общем случае по

двум параметрам, радиус поверхности. r

Единичные векторы касательной т,

нормали V и бинормали р образуют подвижный ортогональный базис, перемещающийся вдоль кривой, и вычисляются по формулам [4]: т = dr/dt V = d т/dt

\dr/dt\ d т/dt\

в-

■ т • V .

(2)

Рис. 1. Схема описания поверхности

Прямолинейный пружинно-витой канал из проволоки эллиптического сечения. В качестве направляющей кривой выберем винтовую линию, расположенную на поверхности кругового цилиндра:

у :х = acosг, у = asinг, 2 = Ы,

а в качестве образующей - эллипс с полуосями, равными с и й . Тогда

(3)

Вычислим единичные векторы касательной, нормали и бинормали по формулам (2):

'a cost^ 'ccos фЛ

r (t ) = a sin t , р( ф) = d sin ф

V bt J V 0 J

1

i

a2 + b2

'-a sin tЛ 'cost^

a cos t , V = - sin t

V b J V0 J

•Р =

1

I

a2 + b2

b sin t^ b cos t

V a У

(4)

Подставляя выражения (4) в формулу (1), получим параметрические уравнения поверхности, вид которой представлен на рис. 2:

'a costЛ 'costЛ (£d sin ф + 1- ' b sin tЛ

a sin t - с cos ф sin t b cos t

V bt У V0 J Va2 +b2 V a У

г (t, ф) =

(5)

Запишем формулу (2.5) в матричном виде:

С л ■■ ^ , ч db sin ф sin t (а -сcost +--. ■

Va2 + b2

db sin ф cos t

:(t, ф) =

(a - с cos ф)п t

Va2 + b2

bt

ad sin ф

Va2 + b2

Параметрические уравнения

поверхности пружинно-витого канала, образованного путем намотки проволоки круглого сечения (рис. 2) получаются из формул (6) при с = d:

r(t, ф) =

(a - c cos ф)cos t (a - c cos ф)т t-

bc sin ф sin t

Va2 + b2

bc sin ф cos t

Va2 + b2

bt

ac sin ф

Va 2 + b2

Рис. 2. Поверхность с направляющей в виде винтовой линии и образующей в виде эллипса

Прямолинейный пружинно-витой канал из проволоки треугольного (рис. 3) и квадратного (рис. 4) сечений. В качестве направляющей кривой выберем винтовую линию, расположенную на поверхности кругового цилиндра

Y : х = a cos t, y = a sin t, z = bt, а в качестве образующей - правильный n -угольник [5]: , ч c cos (П П) 2kn (2k + 1)/ ---

Р(',ф) = —(-( п / ^ -<ф<- ' к = °,n-1-

cos (ф-(2к + 1)// n)) n n

Здесь c - радиус окружности, описанной около n - угольника (рис. 3, 4).

При n = 3 получаем равносторонний треугольник:

c

(7)

р( ф) =

к =

2cos(ф-(2k + 1)3) ' °, если ° <ф < 2// 3;

1, если 2/3 < ф < 4/ 3;

2, если 4/3 < ф < 2/,

((8)

Рис. 3. Треугольное сечение

при n = 4 - квадрат:

р( ф) =

k =

Рис. 4. Квадратное сечение

V2cos(-(2k + 1)п/ 4)'

0, если 0 <ф<п/ 2;

1, если П 2 <ф<п;

2, если п<ф< 3П 2;

3, если 3П 2 < ф < 2п.

Подставляя координаты единичных векторов касательной, нормали, бинормали и выражение для образующей (7) в формулу (1), получим параметрические уравнения поверхности пружинно-витого канала, образованного Сутем намотки проволоки многоугольного сечения:

Л

'■(t, ф) =

a cos

t Л

a sin t bt

c cos (П n )cos ф

Va2 + b2 cos (ф - (2k +1) n/3)

' b sin t Л cos t

cos

t Л

sin t

V 0 У

c cos (П n )sin ф

или в матричном виде:

(

'■(t, ф) =

a cost -

a sin t -

(a2 + b2 ) cos (ф-(2к + 1)п/3) c cos (П n)

(10)

Va2 + b2 cos (ф- (2k + 1)п/3) c cos (П n )

cos ф cos t -

Va2 + b2 cos (ф - (2k + 1)п/3)

cos ф sin t -

b sin ф sin t

VO2^

b sin ф cos t

Va2 + b2

ЛЛ j

Л

bt +

ac cos (п/ n )sin ф

(a2 + b2 ) cos (ф - (2k + 1)n/3)

(11)

Пружинно-витой канал типа «конфузор-диффузор». Для описания поверхности пружинно-витого канала типа «конфузор - диффузор» в качестве направляющей кривой выберем винтовую линию, расположенную на поверхности кругового конуса: Y: х = (a + bt tg у) cos t, y = (a + bttg y) sin t, z = bt,

где для диффузора y=Yd, a = ad ; для конфузора y = Yk, a = ak (рис. 5), а в качестве образующей - эллипс с полуосями, равными c и d. Тогда

4t ) =

(a + bt tg у) cos t (a + bt tg y)sin t bt

р(t, ф) =

'ccosфЛ d sin ф 0

(12)

Обозначим М = (а + Ы tg у) и вычислим единичные векторы касательной, нормали и бинормали по формулам (2):

+

т =

V =

e=

<Jb2 + b2 tg2 у +M2

(b tg у cos t - M sin t ^ b tg у sin t + M cos t

-1

a¡M2 + 4b2 tg2 у

(M cos t + 2b tg у sin t ^ M sin t - 2b tg у cos t 0

-1

■s]m2 + 4b2 tg2 у Vb2 + b2 tg2 у+M2

2

2b tg у cos t - Mb sin t 2b tgуsint +Mbcost -2b2 tg2 у-M2

((13)

((14)

((15)

Рис. 5. Фрагмент системы «конфузор- диффузор»

Подставляя выражения (13)-(15) в формулу (1), получим модель поверхности пружинно-витого канала типа «конфузор - диффузор»:

/M cos tЛ (M cos t + 2b tg у sin t^

r ( ф) =

M sin t

bt

у

d sin ф

с •cosф

<Jm2 + 4b2 tg2 у

M sin t - 2b tg у cos t 0

<Jm2 + 4b2 tg2 уд/b2 + b2 tg2 у+M2

2

2b tg у cos t - Mb sin t 2b tg у sin t + Ль cos t -2b2 tg2 у-M2

(16)

Следует отметить, что разработанная математическая модель теплообменной поверхности типа «конфузор - диффузор» является универсальной. Если угол конусности у элементов «конфузор - диффузор» принять равным нулю, то данная модель может быть использована для построения прямых пружинно-витых каналов.

С целью проверки соответствия уравнений (11), (16) геометрии рассматриваемых пружинно-витых каналов построены поверхности (рис. 6,7,8) в системе МаАаЬ.

Предложенные математические модели, описывающие поверхности пружинно -витых каналов, могут быть использованы при разработке теплообменных элементов современной теплообменной аппаратуры.

Рис. 6. Поверхность, образованная при винтовом Рис. 7. Поверхность, образованная при винтовом движении плоской фигуры, заданной движении плоской фигуры, заданной квадратом

треугольником

Рис. 8. Поверхность пружинно-витого канала типа «конфузор - диффузор»

Summary

This paper describes a mathematical model of surface spring-twisted channels, written in vector-parametric form on the basis of fundamental principles of analysis and differential geometry, which can be used when developing and designing software for computer control winding technology.

Keywords: Heat exchange equipment, spring-curly channel, heat-exchange surface.

Литература

1. Патент РФ на полезную модель №64750. Теплообменный элемент/ А.Я. Золотоносов, Я.Д. Золотоносов № 2007107173 заявл. 26.02.07; опубл. 10.07.07. Бюл. № 19.

2. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Геометрическое моделирование сложных поверхностей пружинно-витых каналов теплообменных устройств // Известия КГАСУ. Казань, 2011. № 4(18). С. 185-192.

3. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Моделирование турбулентного течения в прямых пружинно-витых каналах // Известия КГАСУ. Казань, 2012. № 1(19). С. 81-88.

© Проблемы энергетики, 2012, № 7-8

4. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: ГИТТЛ, 1956. 261 с.

5. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д. Математическая модель течения вязкой жидкости в радиально вращающемся канале сложной конфигурации // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2003. № 11-12. С. 181-186.

Поступила в редакцию 13 апреля 2012 г.

Багоутдинова Альфия Гиззетдиновна - канд. техн. наук, доцент Нижнекамского химико-технологического института. E-mail: bagoutdinova@rambler.ru.

Золотоносов Яков Давидович - д-р техн. наук, профессор Казанского государственного архитектурно-строительного университета (КГАСУ). E-mail: zolotonosov@mail.ru.