Математическое описание динамики пассажирских транспортных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРАНСПОРТ

УДК 656.13

И.Е. Агуреев, д-р техн. наук, проф., декан,

(4872) 35-89-35, agureev-igor@yandex.ru,

М. В. Денисов, асп., (4872)35-05-01, aiax@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ ПАССАЖИРСКИХ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

Приводится описание динамической модели пассажирской остановки. Рассмотрены вопросы определения коэффициентов модели, основанного на методике обработки временных рядов. Обсуждаются результаты вычислительного эксперимента и сравнение расчетных и экспериментальных данных.

Ключевые слова: транспортная система, маршрутное транспортное средство, остановочный пункт, математическое моделирование, динамическая модель

Введение

Во многих крупных городах ограничены или отсутствуют возможности экстенсивного развития транспортных сетей. Поэтому особую важность приобретают оптимальное планирование развития сетей, улучшение организации движения, оптимизация системы маршрутов общественного транспорта. Решение таких задач невозможно без математического моделирования транспортных сетей и функционирования транспорта. Среди всего разнообразия математических моделей, применяемых для анализа транспортных сетей, можно выделить три основные группы моделей, в со-

ответствии с представлениями, изложенными в работе [1]: прогнозные модели, имитационные модели, оптимизационные модели.

Прогнозные модели предназначены для моделирования транспортных потоков в сетях с известной геометрией и характеристиками и при известном размещении потокообразующих объектов города. Модели этого типа применяются для поддержки решений в области планирования развития города, для анализа последствий тех или иных мер по организации движения, выборе альтернативных проектов развития транспортной сети и др.

В отличие от этого имитационное моделирование ставит своей целью воспроизведение всех деталей движения, включая развитие процесса во времени. При этом усредненные значения потоков и распределение по путям считаются известными и служат исходными данными для этих моделей. Таким образом, прогноз потоков и имитационное моделирование являются дополняющими друг друга направлениями. Имитационные модели позволяют оценить скорости движения, задержки на перекрестках, длины и динамику образования «очередей», или «заторов», и другие характеристики движения. Основная область применения таких моделей -улучшение организации движения, оптимизация светофорных циклов и др.

Модели прогноза потоков и имитационные модели ставят своей целью адекватное воспроизведение транспортных потоков. Существует, однако, большое количество моделей, предназначенных для оптимизации функционирования транспортных сетей. В этом классе моделей решаются задачи оптимизации маршрутов пассажирских и грузовых перевозок, выработки оптимальной конфигурации сети и др.

Городской пассажирский транспорт является сложной социальноэкономической системой, так как включает большое число взаимосвязанных и взаимодействующих между собой компонентов, имеющих определенную структуру, формирующихся как единое целое и направленных на решение сложных задач. Для исследования данной системы объективно необходимо использование экономико-математических методов, что в конечном итоге позволит повысить обоснованность принимаемых управленческих решений.

Значительный вклад в разработку проблем становления и развития системы городского пассажирского транспорта внесли отечественные ученые Б.Г. Хорович, Ю.М. Коссой, В.А. Гудков, Н.Б. Островский,

A.И. Седов, С. А. Дугин, И.В. Спирин, И.С. Ефремов, В.М. Кобозев,

B. А. Юдин, С. А. Ваксман, В.М. Курганов, В.Н. Парахина и другие. В их работах изложены общие принципы организации и обеспечения эффективной работы автотранспортных формирований, выполняющих перевозки пассажиров. Отдельные вопросы экономико-математического моделирования городского пассажирского транспорта рассмотрены в работах

Л.Б. Миротина, А.С. Михайлова, М.В. Хрущева, Е.В. Бережной,

О.В. Буреш, В.Б. Зотова, Н.Н. Тельновой и других.

Вопросы моделирования движения пассажирского транспорта вблизи остановочных пунктов решались многими исследователями. Например, в работе [2] говорится о возможности применения имитационного моделирование процесса обслуживания пассажиров в системе городского пассажирского транспорта. В частности, указывается на необходимость изучения математической модели пассажирской остановки. Работа [3] посвящена исследованию пропускной способности пассажирских остановок, анализу причин и факторов, влияющих на этот показатель, а также получению регрессионных зависимостей, устанавливающих закономерности влияния найденных факторов на пропускную способность. В статье [4] отражены результаты комплексного исследования с целью сокращения задержек маршрутных транспортных средств (МТС) на остановочных пунктах (ОП), рассматривались и вопросы типологии поведения пассажиров, как фактора, обеспечивающего формирование спроса на перевозки.

Таким образом, тема оптимизации показателей качества функционирования остановочных пунктов в городах рассматривается в работах многих авторов и направлена на решение различных задач. С нашей точки зрения, этой проблеме следует уделять внимание еще и с позиции фактора взаимодействия маршрутных транспортных средств, которые относятся либо к разным маршрутам, либо к разным перевозчикам. Процедура согласования графиков движения тех или иных МТС могла бы выполняться в крупных населенных пунктах службами управления транспорта и дорожного хозяйства, однако практика свидетельствует и о сложности решения такой задачи, и об отсутствии методологической основы для проведения таких работ.

Существенным также является обстоятельство, которое все больше становится предметом исследования различных транспортных систем. Известно, что многие транспортные системы обладают свойствами, которые в самом кратком изложении можно свести к следующим: 1) существенно коллективный характер; 2) нестационарность: 3) стохастичность; 4) способность к переходам в качественно различные состояния. Все эти свойства - признаки неравновесных систем, способных к самоорганизации. В этом отношении удобно при моделировании использовать аппарат теории активных частиц [5] в рамках теории самоорганизации (синергетики).

В данной статье рассматривается макросистема пассажирской остановки, математическая модель которой имеет вид нелинейной системы дифференциальных уравнений относительно переменных: х - количество

145

автобусов, находящихся на остановке; у - количество пассажиров, ожидающих посадку; г - число свободных мест в автобусах, находящихся на остановке. Целью исследования являются определение характеристик динамики транспортной системы, получение коэффициентов модели, проверка ее адекватности и сравнение с экспериментальными данными. Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

- анализ математической модели пассажирской остановки с точки зрения возможных режимов ее поведения;

- анализ экспериментальных временных рядов, полученных при обследовании пассажиропотоков на остановочных пунктах, с целью получения количественных оценок для коэффициентов математической модели;

- сравнение результатов вычислительных и натурных экспериментов с целью проверки адекватности модели.

Постановка задачи. Описание модели пассажирской остановки

Рассмотрим некоторую абстрактную транспортную систему, обеспечивающую некоторую часть транспортного процесса пассажирских перевозок в населенном пункте. Согласно работе [6] эта система представляет собой объект, состоящий из пассажирской остановки, а также МТС и пассажиров, находящихся в границах ОП. Очевидно, что при таком определении это система с непрерывным временем и дискретными состояниями. Для того чтобы перейти к возможности динамического описания с помощью непрерывных функций, следует сделать некоторые допущения. Первое допущение относится к варианту, если в рамках модели рассматривается только один ОП. Тогда переход к непрерывным функциям будет допускаться на основе предположения об одинаковом характере взаимосвязей между реальными дискретными процессами и соответствующими им непрерывными функциями в модели. Второе допущение относится к случаю, если в рамках одной модели описывается синхронная динамика сразу нескольких или всех ОП (так называемая метаостановка) в населенном пункте. Тогда переход к непрерывным функциям допускается на основе предположения о высоких значениях дискретных переменных.

Модель транспортного процесса перевозок пассажиров в населенном пункте может быть сформулирована в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными правыми частями:

х = а[(Х + ку - тг) - х]г - Ь(У - у ")(2 - г); у = -схг + й (У - у); г = -еуг + /(2 - г)+^г - к(У - у )]х,

(1)

(2)

(3)

где а характеризует интенсивность прибытия автобусов на остановку, 1/(местмин); Х среднее (нормативное) число автобусов, работающих на маршруте; к описывает интенсивность выхода на линию автобусов сверх нормативного значения при увеличении числа пассажиров на остановках, авт/пасс; т характеризует интенсивность «схода» автобусов с маршрутов вследствие роста числа свободных мест, авт./мест; Ь характеризует интенсивность отправления автобусов от остановки, авт./(пасс-мест-мин); У - среднее количество пассажиров на остановке (условная «вместимость» остановки); 2 - среднее число мест для пассажиров (вместимость автобуса); с учитывает интенсивность посадки пассажиров в автобусы, пасс/(авт.-мест-мин); С отражает интенсивность прибытия пассажиров на остановку, 1/мин; е учитывает скорость уменьшения числа свободных мест вследствие посадки пассажиров, 1/(пасс.-мин); / характеризует интенсивность увеличения числа свободных мест за счет высадки пассажиров, 1/мин; g характеризует скорость роста числа свободных мест, «прибывающих» вместе с автобусами, 1/(авт.-мин); И отражает интенсивность «убывания» свободных мест, не занятых пассажирами до отправления автобуса,

1 / (пасс. • авт. • мин).

Слагаемые в правых частях уравнений имеют следующий смысл. В уравнении (1) слагаемое со знаком «+» отражает поступление автобусов на остановку, зависящее от разности общего количества автобусов, находящихся на маршрутах, и числа автобусов на остановке. В этом слагаемом учитываются также выпуск автобусов на маршрут при росте числа пассажиров на остановке (например, в часы «пик»), а также «сход» с маршрута при увеличении числа свободных мест в автобусе. Это слагаемое пропорционально количеству свободных мест в автобусах на остановке (чем больше свободных мест, тем интенсивнее будут автобусы поступать на посадку с целью загрузки - или сходят с маршрута, о чем уже сказано). Слагаемое со знаком «-» отражает процесс отправления автобуса от остановки. Оно осуществляется быстрее, если, с одной стороны, на остановке мало пассажиров (становится короче по времени процесс посадки) или, с другой стороны, если мало свободных мест в самом автобусе (пассажиры отказываются от посадки). Таким образом, имеем произведение Ь(У - у)(2 - г) и

т.д.

В целом, в уравнениях (1), (2), (3) отражены основные причинноследственные связи, реально действующие в системе и учитывающие коллективный характер динамики пассажиров, транспортных средств и свободных мест. Последний фактор становится в данном случае своего рода управляющим параметром, влияющим на процесс принятия решений пассажирами и водителями автобусов. Следует ожидать, что построенная модель относится к целой совокупности остановок (метаостановке) и содер-

жит решения, имеющие практический смысл. Отрицательные значения переменных х, у, I будут означать потребность в соответствующем виде компонента, т.е., специально не ограничиваются значения функций х(£), у(?),

2^) множеством ^+ .

Не останавливаясь на деталях численных экспериментов, выполненных с применением сформулированной модели, укажем лишь, что ее динамика имеет в своем составе все основные типы поведения: устойчивые стационарные состояния, предельные циклы и нерегулярные аттракторы. Некоторые результаты этих экспериментов приведены в работах [6, 7].

Описание эксперимента и методики обработки экспериментальных данных

Основной задачей экспериментального исследования является получение таких данных, которые давали бы возможность вычислить коэффициенты в модели (1), (2), (3), т.е. выполнить идентификацию модели. С этой целью на первом этапе производилась видеозапись изменения количества пассажиров и транспортных средств на нескольких пассажирских остановках в г. Туле.

Полученные временные ряды содержат информацию об изменении количества транспортных средств и пассажиров за время видеосъёмки. Значения были сведены в таблицы с «шагом» 10 секунд. Далее строились графики, наглядно показывающие распределение во времени случайных величин (количества пассажиров и транспортных средств на остановке) (рис. 1). Также были получены математическое ожидание и дисперсия (рис. 2).

Рис. 1. Примерный временной ряд (остановочный пункт «ул. Станиславского») с линиями тренда

]___________________________________________________

37,197 |

42,263 |

И) 20 30 40

Значения

Рис. 2. Значения дисперсий и средней случайной величины у (количество пассажиров, ожидающих посадку)

С помощью компьютерной программы MS Excel были выделены тренды временных рядов, полученных при обследовании остановочных пунктов. Затем определялись характеристики линий тренда временных рядов случайных величин.

Методика определения коэффициентов в модели пассажирской остановки и результаты расчёта

Определение коэффициентов в модели пассажирской остановки является не простой задачей. Сложность заключается в том, что необходимо, используя экспериментальные данные, оценить «чувствительность» производных фазовых координат отдельно к изменению каждого слагаемого в левой части уравнений. Эта чувствительность и задается соответствующим коэффициентом. Приходится делать допущение о том, что в наблюдаемый отрезок времени изменение фазовой координаты зависит только от единственной причины, которая и выражается данным слагаемым. Поэтому, применяя такое допущение, можем говорить лишь об определении диапазонов изменения коэффициентов. Таким образом, была разработана методика, основанная на переходе от непрерывных функций и их производных к приращениям соответствующих дискретных величин. Это может быть выражено в виде

dx Dx

-----® —. (4)

dt Dt

Здесь Ax - изменение величины x за соответствующий интервал времени At.

Таким образом, в уравнениях (1), (2), (3) каждое слагаемое в правой части уравнения может быть замещено по схеме (4). Для определения диапазонов изменения коэффициентов в модели пассажирской остановки оп-

ределяем значения коэффициентов с интервалом времени, равным 1 минуте.

Чтобы получить выражение для определения коэффициента а, примем равными нулю остальные коэффициенты в правой части первого уравнения:

a = *(+) , (5)

(X - я) • г

где х(+) - количество транспортных средств (троллейбус, автобус или микроавтобус), прибывших на остановку за 1 минуту.

Аналогично получаем выражения для коэффициентов Ь, с, й, е, g, И:

Ь =---х(+)----------------------------, (6)

(7 - у) • (2 -г) У }

с = ^ (V)

х • г

где у(-) - количество пассажиров, покинувших остановку за 1 минуту,

й = У+), (8)

7 - У ' '

где у(+) - количество пассажиров, прибывших на остановку за 1 минуту.

е = (9)

У •г

£ = (10) (2 - г)

g=(11) х • г

И = г(+) , (12)

х • (7 - у) ' '

где г(+) - количество свободных мест, «прибывших» на остановку за 1 минуту.

Аналогично были получены выражения для коэффициентов к и т. С помощью выражений (5) - (12) были вычислены значения коэффициентов а, Ь, с, й, е, £, g, И, к, т с интервалом через каждую минуту.

После обработки поминутных данных сделана оценка диапазонов изменения коэффициентов в модели пассажирской остановки, соответствующих условиям функционирования данного остановочного пункта (табл.1), а также средние значения коэффициентов.

Таблица 1

Интервалы изменения коэффициентов в модели пассажирской остановки

а Ь с а е Г % И к т

тт 0,001 0,0003 0,2 0,05 0,05 0,08 0,3 0,1 0,08 0,1

тах 0,013 0,003 20 0,7 1 0,4 15 0,7 0,8 4

ш1ё 0,007 0,00165 10,1 0,375 0,525 0,24 7,65 0,4 0,44 2,05

Вычислительный эксперимент функционирования динамической модели пассажирской остановки

Вычислительный эксперимент представлял собой численное интегрирование уравнений (1)-(3) с заданными начальными условиями и с коэффициентами, взятыми по табл.1. Несмотря на относительно широкие диапазоны, их оценка дает представление о порядке величин. Один из вариантов расчета представлен в табл.2 и на рис.3. Интегрирование выполнялось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с постоянным шагом интегрирования, с точностью, позволяющей делать выводы о сходимости системы уравнений к полученному решению.

Таблица 2

Параметры и начальные условия модели

а В с й е £ g И

0,004755 0,0009438 0,4679 0,235 0,053556 0,181818 1,5764 0,3428

к М X 7 2 хо Уо го

0,283457 0,37715 130 50 65 1 1 1

Транспорт Пассажиры

0-1-------------

200 210

Рис. 3. Решение модели «временная динамика»

Результаты вычислений показывают, что пассажирскую остановку можно рассматривать как неравновесную динамическую систему, в которой наблюдаются сложные динамические процессы (предельные циклы), а также устойчивые стационарные состояния. Параметры этих процессов по-

220

время, мин.

200

210

220

время, мин.

зволяют делать выводы о состоянии транспортной системы в целом, если будет разработана шкала для оценки этих состояний.

Заключение

В работе выполнен анализ вариантов динамического поведения модели пассажирской остановки, экспериментально найдены временные ряды для конкретных пассажирских остановок в г. Туле, построены линии тренда, вычислены статистические характеристики. Значения этих характеристик позволяют сделать предварительный вывод о примерном постоянстве характеристик для рассмотренной остановки.

Обнаружено, что поведение линий тренда представляет собой периодический процесс, где смещение между максимумами составляет примерно кТ, где к=0,09...0,58 (доля периода). Это свидетельствует о наличии периодической динамики и связи между рассматриваемыми (расчётными) величинами (х, у, і).

На основе разработанной методики в работе выполнена оценка диапазонов изменения коэффициентов используемой динамической модели пассажирской остановки. Получены решения, имеющие вид устойчивых точек (фокусов) или предельных циклов, соответствующие по своим характеристикам (координаты стационарного состояния, средние значения, амплитуды колебания) характеру поведения экспериментальных линий тренда, что свидетельствует об качественном соответствии модели наблюдаемым данным.

Список литературы

1. Швецов В. И. Математическое моделирование транспортных потоков // Автоматика и телемеханика. 2003. № 11. С.3-46.

2. Сорокин А. А. Предпосылки к формированию имитационных моделей системы городского пассажирского транспорта // Вузовская наука -Северо-Кавказскому региону. Ставрополь: СевКавГТУ, 2006. С. 208-209.

3. Грачев В. В., Димова И. П. Определение пропускной способности остановочных пунктов на современном этапе развития пассажирских перевозок // Вестник ИрГТУ. 2008. № 4(36). С.66-70.

4. Исхаков М. М., Рассоха В. И. Комплексное исследование остановочных пунктов городского транспорта г. Оренбурга // Вестник ОГУ. 2007. № 9. С.207-214.

5. Олемской А. И. Синергетика сложных систем: Феноменология и статистическая теория. М.: КРАСАНД, 2009. 384 с.

6. Агуреев И. Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Изв. ТулГУ. Сер. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 9. С.3-13.

7. Агуреев И. Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Сер. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 10. С.3-11.

8. Агуреев И. Е. Применение теории Фейгенбаума - Шарковского -Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / под ред. С. В. Емельянова. М.: Издательство ЛКИ, 2008. Т. 33. Вып. 12. С. 159-175.

I. Agureev, M. Denisov

Mathematical description of the dynamics of passenger transport systems

The description of dynamical model of a passenger stop is given, the questions of determination of the model coefficients based on the using of temporal rows are investigated, the results of computing experiments and comparation between the computing and experimental data are discussed.

Key words: transportation system, passenger vehicles, bus stop, mathematical modeling, dynamical model.

Получено 02.11.10

УДК 629.113: 539.4

К.Э. Сибгатуллин, канд. техн. наук, доц. (8552) 46-96-40, kamilll@mail.ru,

Э.С. Сибгатуллин, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой,

(8552) 71-25-59, cibes@mail.ru,

С.Н. Тимергалиев, д-р физ.-мат. наук, проф., проректор,

(8552)39-66-29, samat tim@mail.ru (Россия, Набережные Челны, ИНЭКА)

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ СТЕРЖНЕЙ, ВХОДЯЩИХ В КОНСТРУКЦИЮ НЕСУЩЕЙ СИСТЕМЫ АВТОМОБИЛЯ КАМАЗ

Приводится вывод параметрических уравнений предельной поверхности в пространстве внутренних сил и моментов, действующих в поперечных сечениях стержней, входящих в конструкцию несущей системы автомобиля КамАЗ. Представлены предельные кривые для различных сечений несущей системы (рамы лестничного типа, усиленной надрамником).

Ключевые слова: изотропные материалы, прочность, автомобиль, несущая система.

Классической работой по проблеме определения предельных комбинаций внутренних сил и моментов, действующих в поперечных сечениях стержней, является [1]. В последующих исследованиях рассматривались