Математическое описание диффузии щелочи при варке волокнистых материалов Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

ПЕРЕРАБОТКА ПРОДУКЦИИ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

УДК 667.026.22:621.3.029.6 Н.С. Данышева,

И.В. Бадретдинова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИФФУЗИИ ЩЕЛОЧИ ПРИ ВАРКЕ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

Ключевые слова: диффузия, коэффициент диффузии, коэффициент температуропроводности, волокно, щелочь, концентрация, граничные условия, начальные условия, время, масса, энергия активации, СВЧ-энергия.

Введение

Очищение льняного волокна в процессе щелочной варки от нецеллюлозных примесей происходит за счет диффузии щелочи (едкого натра) в волокно. В промышленности окончание процесса варки оценивается по содержанию щелочи в растворе после варки. Если концентрация щелочи уменьшилась на 45-50% — процесс варки считается завершенным [1].

Требование технологии СВЧ-обработки растительных продуктов предусматривает определенную температуру областей интенсивной обработки, выше которой в материалах (особенно неоднородных) могут происходить необратимые процессы, разрушающие капиллярно-пористый каркас. Для получения качественного ватного полуфабриката необходимо контролировать длительность варки льняного волокна с целью предупреждения деструкции целлюлозы.

Постановка задачи

Для определения содержания щелочи в растворе в процессе варки льняного волокна в поле СВЧ-энергии воспользуемся первым законом Фика, описывающий процесс диффузии:

дС

D

д 2С

(1)

дт дх1

где С — концентрация щелочи в растворе, г/л;

D — коэффициент диффузии щелочи; т — время, с. Задаем граничные условия:

дт

\

гд 2Т

а

У г=г.

1 дТ

■ + ■ дг г дг

У г=г,

+ 0. (2)

СР

С некоторого момента т процесс нагревания выходит на стационарный режим

дТ_ дт

= 0 I с постоянной температурой Т и

постоянным коэффициентом теплоотдачи а. При квазистационарном режиме имеем одномерную задачу. Тогда граничное условие (2) можно записать через полные производные:

d 2Т 1 dT

-Г +--

dr г dr

у г=г,

+ О = 0. (3)

Начальные условия:

дС = 0

-V при х = 0;

дт

С = С0 при т = 0;

С = Ск при т = ж.

Решение

Решение уравнения (1), при соблюдении граничных и начальных условий, получено методом разделения переменных [2] и имеет вид:

Вестник Алтайского государственного аграрного университета № 1 (63), 2010

59

С =—0 V-—-— е ^ 2 ) • cosn-та (4)

п П=12п -1 2Н ' (4)

4С0пу(-Г. ЛГ _п 2^ п п=1 2п

Допустим, что волокно в камере располагается равномерно во всем объеме. Тогда заменим в уравнении (4) для удобства расчетов высоту слоя волокна в растворе х на массу волокна т, воспользовавшись зависимостью (5):

т

х = р ■ (5)

где m — масса обрабатываемого волокна, г;

р — плотность обрабатываемой среды, кг/м3; R — радиус камеры обработки, м.

Подставив (5) в уравнение (4) получим зависимость концентрации раствора от времени обработки при фиксированной массе обрабатываемого волокна:

-о 1)П-1 ^ 2п -1 т

0 >-—— • е К 2Н ; • ^п---2 (6)

п 2п -1 2И рЯ2 " (6)

Коэффициент диффузии определяется из уравнения Аррениуса [3]:

- Еж.

Б = Б0 ехр кТ , (7)

где D0 — коэффициент диффузии при отсутствии действия внешних сил; Еа — энергия активации диффузии; Т — температура кипения, К.

Для определения коэффициента диффузии D0 решим задачу с использованием экспериментальных данных. Определим количество вещества G, продиффундировавшего через горизонтальное сечение раствора сосуда к моменту времени т без нагревания среды. Допустим, что площадь этого сечения равна единице. Тогда количество щелочи, про-

^ дС , „ дС

диффундировавшей через это сечение за время dт, будет — Б0-ат . Найдем - из

дх дх

уравнения (3.4), взяв только первых два члена в ряде.

С = ^ £

Бо =--—1п

П т

АН2 . (.

1 —

8Со Н )

(8)

Для определения энергии активации диффузии воспользуемся законом теплопроводности Фурье [4]:

дТ

дп

дТ

дт

дН

q = -п Я — =-п Я — -0 = -aVgradHV, (9)

дп

V ии ;

где Ну — объемная концентрация энтальпии;

ау — коэффициент тепмературопроводности при постоянном давлении. Коэффициент пропорциональности ау является коэффициентом диффузии внутренней энергии (энтальпии). Таким образом, для того чтобы определить энергию активации диффузии молекул щелочи, необходимо определить энтальпию процесса.

'дНу Л Я

^ - (10)

ч дп

а

Коэффициент температуропроводности определим из граничного условия (3) при

г = г0 = 0 и Т = Тк

На рисунке приведена кривая изменения концентрации щелочи в процессе варки в зависимости от времени обработки при постоянной массе волокна согласно уравнению (6).

В результате сравнения расчетных данных с экспериментальными по критерию Фише-ра-Снедекора теоретическая модель адекватна с надежностью 95%.

/V ^о

25

20

с

£ 15 ^

то о. I-

¡5 10

X

о

5

0 Н-1-1-1-1-1-1

0 15 30 45 60 75 90

время, мин

—♦— теорет —■—экспер

Рис. Кривая изменения концентрации щелочи в процессе варки волокна

Выводы

В результате математического описания процесса варки льняного волокна в электромагнитном поле сверхвысоких частот получено аналитическое решение, позволяющее:

- контролировать продолжительность варки при заданных условиях;

- строить кривые изменения концентрации щелочи в рабочем растворе в процессе варки волокна в электромагнитном поле сверхвысоких частот.

Библиографический список

1. Вайнштейн Г.А. Справочник по ватному производству / Г.А. Вайнштейн. — М.: Легкая индустрия, 1972. — 325 с.

2. Батунер Л.М. Математические методы в химической технике / Л.М. Батунер, М.Е. Позин. — Л.: Госхимиздат, 1963. — 640 с.

3. Бокштейн Б.С. Диффузия атомов и ионов в твердых телах / Б.С. Бокштейн, А.Б. Ярославцев. — М.: МИСИС, 2005. — 362 с.

4. Лыков А.В. Тепломассобмен: справочник / А.В. Лыков. — М.: Энергия, 1971 — 560 с.

+ + +

УДК 631.632.3

В.И. Подоляко, Б.Т. Тарасов

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВОЗДУШНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ПРОБ ЗЕРНА

Ключевыг/е слова: воздушный классификатор, скорость витания зерна, дискретный, непрерывный, метод, теорети-

ческий анализ, сепарирование, полота выделения, коэффициент, ускорение, скорость, дифференциальное уравнение.