CC BY
105
УДК 621.313
UDC 621.313
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АСИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА С РАЗВЕТВЛЕННОЙ СТАТОРНОЙ ОБМОТКОЙ
Стрижков Игорь Г ригорьевич д.т.н., профессор кафедры ЭМиЭП
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
Ванурин Владимир Николаевич д.т.н., профессор
ВНИПТИМЭСХ, г.Зерноград, Россия
Ильченко Яков Андреевич инженер
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
В статье приводится математическое описание асинхронного генератора с короткозамкнутым ротором, конденсаторным возбуждением и разветвленной трехфазной обмоткой статора. Описанию подлежат электромагнитные и электромеханические процессы генератора в режиме автономной электроустановки. Описание построено на основании уравнений равновесия напряжения в электрических контурах генератора, уравнениях токов и уравнении движения ротора
Ключевые слова: АСИНХРОННЫЙ ГЕНЕРАТОР, РАЗВЕТВЛЕННАЯ ОБМОТКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
MATHEMATICAL FORMULATION OF ASYNCHRONOUS GENERATOR WITH RAMIFIED STATOR’S WINDING
Strizhkov Igor Grigorievich Dr.Sci.Tech., professor
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
Vanurin Vladimir Nikolaevich Dr.Sci.Tech., professor
Zernograd, Russia
Ilchenko Yakov Andreevich engineer
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
In the article the following items are represented: mathematical formulation of asynchronous generator with cage rotor, condenser’s excitation and ramified 3-phase stator’s winding. Electromagnetic and electromechanical processes of generator in the isolated regime are described. Equations of voltage stability, equations of current, equations of rotor are used for describing of electricity circuits of generator
Keywords: ASYNCHRONOUS GENERATOR, RAMIFIED WINDING, MATHEMATICAL FORMULATION
В сельскохозяйственном производстве все более широкое применение находят мобильные автономные электроустановки с бензогенераторами в качестве источников питания электроприемников. Такие генераторы могут быть асинхронными с разветвленной статорной обмоткой для создания благоприятных условий возбуждения от конденсаторов повышенного напряжения и обеспечения потребителей электроэнергией повышенного качества.
При исследовании таких генераторов большое значение придается математическим методам, имеющим более широкие возможности исследования электромагнитных и электромеханических процессов, чем
экспериментальные, в частности, при исследовании аномальных режимов работы.
В статье приведены результаты математического описания асинхронного генератора (АГ) [1], на статоре которого (рис. 1) размещена обмотка, выполненная из девяти секционных групп разного расположения в пространстве машины (рис.2). Все секции обмотки одинаковые. При этом обмотки 1-6 имеют по две катушечные группы из трех секций, обмотки 7, 8 и 9 имеют по две катушечные группы из двух секций, т.е. имеют число витков, составляющее 2/3 от числа витков обмоток 1-6. Секционные группы имеют симметричное трехфазное расположение в пазах статора, т.е. обмотки 1, 2 и 3 составляют трехфазную обмотку, обмотки 2, 4 и 6, а также 7, 8 и 9 составляют две другие трехфазные обмотки. Ротор традиционный, с короткозамкнутой обмоткой.
1УЧ
Рисунок 1 - Схема соединения обмоток генератора.
Приведенная схема позволяет использовать конденсаторы возбуждения при более высоком напряжении, чем на нагрузке, и уменьшить их габариты и вес. Такие генераторы могут найти применение в качестве источников питания в некоторых электроустановках АПК и других областях.
Теоретические основы для математического описания электрических машин с несколькими трехфазными обмотками, смещенными в пространстве машины, в подробном изложении приведены в [2]. При описании машины сделаны допущения об идентичности конструкции секций статорных обмоток, из чего следует равенство их активных сопротивлений и собственных индуктивностей. Рассматривается только первая (основная) гармоника ЭДС, токов и распределения МДС вдоль воздушного зазора. Воздушный зазор генератора принимается равномерным и гладким.
Рисунок 2 - Схема расположения секций обмотки статора
Уравнения напряжений щ статорных обмоток 1-9 целесообразно представить в виде:
(1)
где г - активное сопротивление7-той обмотки; ^ - ток соответствующей обмотки (мгновенное значение); у - потокосцепление7-ой обмотки; d/dt -знак производной (дифференциал).
При этом, вследствие вышеприведенных особенностей обмоток, Г] =
Г2 =■■■ = Г6, Г7 = Г8 = Гд = 2/3Г].
Отметим, что вторые слагаемые правой части уравнений (1) являются ЭДС этих обмоток и в нормальных режимах работы генератора количественно преобладают над первыми слагаемыми.
В матричной форме эти уравнения записываются в виде обобщенного уравнения
где [к(к = u,i,v)] = colon к( = 1,...,9); р = d/dt - знак дифференциала.
Для двухфазной ортогональной обмотки уравнения напряжений ротора имеют вид:
где гу - активное сопротивление обмотки ротора по осям d и д; уус1, щуд -потокосцепления этих обмоток.
Равенство нулю напряжений этих обмоток является следствием их короткозамкнутой конструкции.
[U ] = г [i] + p [y] ,
(2)
0 = ryiyd + pvyd;
0 = ryiyq + p^yq,
(3)
Взаимоиндуктивная связь двух обмоток определяется их расположением в машине, т.е. зависит от угла их пространственного взаимного смещения [1,2]. Взаимоиндукция с роторной обмоткой является периодической функцией углового расположения ротора, поскольку при работе генератора ротор вращается с заданной частотой. Обмотка ротора в виде беличьей клетки при математическом описании традиционно замещается трехфазной [1] или двухфазной [2,3] обмоткой с ортогональным расположением по осям d и q фазных обмоток. В работе принят второй вариант, позволяющий уменьшить число переменных и несколько упростить уравнения генератора.
Потокосцепления обмоток АГ определяются ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции с другими обмотками. Для отдельных обмоток они имеют вид:
¥1 = Liii + Mi2i2 + Mi3i3 +...+ Mi9i9 + Miydiyd + Miyqiyq,
¥2 = M21 il + L2i2 + M23i3 +•••+ M29i9 + M2ydiyd + M2yqiyq,
¥9 = M91 il + M92i2 + M93i3 +... + L9i9 + M9ydiyd + M9yqiyq,
¥yd = Mydlil + Myd2i2 + Myd3i3 +■■■+ Myd9i9 + Lydiyd;
¥yq M-yq1i1 + M-yq2i2 + M-yq3i3 +•••+ lMyq9i9 + Lyqiyq-
где Li - собственные индуктивности обмоток; My индуктивности обмоток i и j.
В матричной форме уравнения (4) принимают вид:
[у ] = [М ]х[/],
где h(h=y,i) = colon (hoi, ho2, ho9, hyd, hyq);
[М] - матрица взаимных индуктивностей, имеющая следующий вид:
(4)
- взаимные
Ь М12 М13 М14 М15 М16 М17 М18 М19 М 1yd М 1у1
М 21 Ь М23 М24 М25 М26 М27 М28 М29 М 2 yd М 2 „
М 31 М32 Ь М34 М35 М36 М37 М38 М39 М 3 yd М з „
М 41 М 42 М43 Ь М45 М46 М47 М48 М49 М 4 yd М 4 у*
М 51 М 52 М53 М54 Ь М56 М57 М58 М59 М 5 yd М 5 у*
М 61 М62 М63 М64 М65 Ь М67 М68 М69 М 6 yd М 6 у*
М 71 М72 М73 М74 М75 М76 Ь М78 М79 М 7 yd М 7 у*
М 81 М 82 М83 М84 М85 М86 М87 Ь М89 М 8 yd М 8 у1
М 91 М92 М93 М94 М95 М96 М97 М98 Ь М 9 yd М 9 „
Му, 1 Му, 2 Му, 3 4 43 ■К М Му, 5 6 43 ■К М Му, 7 8 Чз у М 9 43 у М Ь 0
МУ! Му1 2 МУ3 4 ■К М МУ5 6 ■К М Му1 7 уМ у 00 Му1 9 0 Ь
При принятых допущениях собственные индуктивности обмоток 1-6 (рис. 1) являются равными величинами (Ь] = Ь2 =... = Ь6 = Ь). Поскольку собственные индуктивности обмоток пропорциональны квадрату числа витков, собственные индуктивности обмоток 7-9 Ь7 = Ь8 = Ь9 = 0,44Ь. Собственная индуктивность Ь включает индуктивности от потока рассеяния 1а и основную индуктивность 1т от основного магнитного потока (в воздушном зазоре).
Взаимные индуктивности пропорциональны произведениям чисел витков взаимоиндуцирующих обмоток. Взаимные индуктивности с
симметричными индексами равны между собой (М]2 = М2], М]3 = М3] и т.д.), при этом в общем случае М]2ф М]3.
Индуктивности и активные сопротивления являются параметрами генератора или коэффициентами уравнений его математического описания. Их значение определяется экспериментально (измерениями) или расчетом. В определенном смысле исключение составляют взаимные индуктивности обмоток статора и ротора, величина которых определяется мгновенным расположением взаимоидуцирующих обмоток,
изменяющемся по периодическому закону вследствие вращения ротора
М-jyd М-тахс°8&> (] ]>--->9)>
М]у1 = МтахРтд, (] = ],... ,9), (7)
где Мтах - взаимная индуктивность обмоток ] и yd при совпадении их магнитных осей; 8 - угол, линейно связанный с углом расположения ротора у по отношению к началу координат.
Для вращающегося генератора угол у определяется выражением
Г
у = | юйг + 70, (8)
0
где у0 - значение у при ? = 0; со - угловая частота вращения.
Для равномерно вращающегося генератора у = сс ? + у0.
При определении угла 8 учитывается угол смещения магнитных осей обмоток статора в пространстве машины. Угловое смещение обмоток показывает схема статорной обмотки на рис. 2 и составленная по ней табл. 1.
Таблица 1. Угловое расположение обмоток статора
Номер обмотки 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Угловое расположение обмотки, эл. град. 0 90 120 210 240 330 75 195 315
Приняв индуктивность от поля рассеяния равной 10 % от основной индуктивности и выполнив расчеты, получим числовые значения матрицы взаимной индукции:
[М ]=М
1,1 0 - 0,5 - 0,87 - 0,5 0,87 0,17 - 0,64 0,47 т1ул т
0 1,1 0,87 - 0,5 - 0,87 - 0,5 0,64 - 0,17 - 0,47 т2 yd т
- 0,5 0,87 1,1 0 - 0,5 - 0,87 0,47 0,17 - 0,64 т3 yd т
- 0,87 - 0,5 0 1,1 0,87 - 0,5 - 0,47 0,64 - 0,17 т4 yd т
- 0,5 - 0,87 - 0,5 0,87 1,1 0 - 0,64 0,47 0,17 т5 yd т
0,87 - 0,5 - 0,87 - 0,5 0 1,1 - 0,17 - 0,47 0,58 т6 yd т
0,17 0,64 0,47 - 0,47 - 0,64 - 0,17 0,48 - 0,22 - 0,22 т7 yd т
- 0,64 - 0,17 0,17 0,64 0,47 - 0,47 - 0,22 0,48 - 0,22 т8 yd т
0,47 - 0,47 - 0,64 - 0,17 0,17 0,58 - 0,22 - 0,22 0,48 т9 yd т
туЛ 1 туЛ 2 туЛ 3 туЛ 4 туЛ 5 туЛ 6 туЛ 7 туЛ 8 туЛ 9 1 0
туд1 туд 2 туд 3 туд 4 туд 5 туд6 туд7 туд8 туд9 0 1
1у?
2 уд
3
3 уд
4 уд
5 уд
6 уд
7 уд
8 уд
9 уд
,(9)
где М - максимальное значение индуктивности по основному потоку обмоток 1-6.
Взаимные индуктивности обмоток статора и ротора, являющиеся периодическими функциями угла их взаимного расположения, имеют следующие значения:
т^ = тт соху; m2yd = тт^(у+90); mзyd = тт со;(у+]20); m4yd = тт со;(у+2]0); m5yd = тт со;(у+240); mбyd = тт со;(у+330); m7yd = тт со;(у+75); m8yd = тт со;(у+]95); m9yd = тт со;(у+3]5); (10)
т^ = тт яту; m2yd = тт ;т(у+90); mзyd = тт ;т(у+]20); m4yd = тт ;т(у+2]0); m5yd = тт$т(у+240); mбyd = т„;т(у+330); m7yd = т„,?т(у+75); m8yd = т„;т(у+]95); mgyd = т„;т(у+3]5),
где значения углов приведены в электрических градусах; тт -значение взаимной индуктивности при совпадении магнитных осей обмоток (максимальное) по отношению к индукции М, т.е. тт = Мтах/М.
Потокосцепления, токи и напряжения являются изменяемыми (переменными) величинами, определяемыми расчетом при моделировании на основании уравнений равновесия напряжений, уравнений токов и уравнения электромагнитного момента. Уравнения равновесия напряжения электрических контуров статорной обмотки составляются для независимых контуров цепей возбуждения и нагрузки.
Для цепи возбуждения:
— — и — М9 + и + и 6;
&
&
С&ис
&
— и — и7 + и + и3;
(11)
С3 — и9 — и8 + и4 + и5;
для цепи нагрузки:
ин1н2 - иі + и2;
ин2н3 и3 + и4;
(12)
ин3н1 и5 + и6■
Уравнения внешней цепи нагрузки определяются её схемой замещения. Для случая присоединения к генератору симметричной активной нагрузки (нагревательные приборы, осветительные с лампами накаливания и др.), замещаемой резистивными элементами, соединёнными треугольником, эти уравнения имеют вид:
где Ян - сопротивление фазы нагрузки; ін]- - ток в фазе треугольника нагрузки.
Токи в ветвях генератора и нагрузки имеют следующие соотношения:
Электромагнитный момент генератора Мэ определяется всеми возможными комбинациями произведений токов обмоток статора и ротора [3]. Поскольку токи обмоток 7-9 чисто реактивные, они не участвуют в
ин1н2 Яніні;
ин2н3 Янін2;
ин3ні Янін3,
(13)
іні і6 іі; іні2 і2 і3; ін3 і4 і5; іні + ін2 + ін3 0 (14)
создании электромагнитного момента. В его создании участвуют токи обмоток статора 1-6. Уравнение электромагнитного момента может быть представлено в виде:
Мэ — МX *п (іу& — ^ )• (15)
п—1
Уравнение движения рассматриваемой системы имеет традиционный для вращающихся машин вид:
Мв — Мэ — , (16)
аї
где Мдв - момент первичного двигателя.
Объединенные в систему, уравнения (1),(4),(9),(14),(15)
представляют математическое описание рассматриваемого АГ.
Литература
1. Богатырев Н.И., Ванурин В.Н., Джанибеков К.А.-А. Электрические машины переменного тока. - Краснодар, изд. КубГАУ, 2011.
2. Стрижков И.Г. Электрооборудование технологических комплексов орошаемого земледелия. Дисс. ... д-ра техн. наук. - Краснодар, 2001.
3. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. -М.: Высш. шк., 2001.
