Математическое обоснование получения упорядоченных структур на основе частиц сферической формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 621.319.443

В. И. Ульянов, А. М. Лавров, О. Н. Клочков, В. В. Чистяков

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПОЛУЧЕНИЯ УПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУР НА ОСНОВЕ ЧАСТИЦ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Рассмотрены теоретические предпосылки получения тонких пленок при однослойной упаковке шаров одинакового радиуса с наполнителями цилиндрической формы, и найдены условия получения максимальной плотности.

В настоящее время пленки толщиной сотни и десятки ангстрем практически из любого материала получают на специальном вакуумном оборудовании. Керамические пленки толщиной от 5 мкм и выше серийно выпускаются без специальной технологической среды на основе пленочной технологии. Монолитная структура пленки при этом обеспечивается спеканием материала диэлектрика в предварительно собранных пакетах.

Практический интерес представляет толщина пленок от 0,1 до 5 мкм, получаемых при нормальных условиях из частиц материала с определенным гранулометрическим составом, причем размер зерна, как правило, не должен превышать толщины пленки. Качество пленки можно обеспечить путем получения упорядоченных структур из составляющих ее частиц (микрокластеров), что требует учитывать не только размер частиц, но и их форму.

В настоящей статье приводятся результаты теоретических исследований по возможности получения однослойной упаковки в структуре пленки из частиц сферической формы (сферических кластеров).

Рассмотрим однослойную упаковку шаров одинакового радиуса г, лежащих на плоскости (т.е. расположенных в один слой между двумя параллельными плоскостями).

Обозначим через а угол, образованный двумя непараллельными линиями центров касающихся друг друга шаров (рис. 1). При этом

п п

а < - ^ 60° < а < 90°.

Задача состоит в следующем. Необходимо 1) вычислить плотность первоначальной упаковки в зависимости от а; 2) определить максимальный радиус прямого кругового цилиндра с основаниями на верхней и нижней плоскостях, касающегося шаров данного семейства

внешним образом; 3) вычислить плотность новой упаковки с учетом появления цилиндров согласно п. 2; 4) определить максимальный радиус прямого кругового цилиндра с основаниями на верхней и нижней плоскостях, касающегося элементов новой упаковки внешним образом; 5) вычислить плотность новой упаковки с учетом появления цилиндров согласно п. 4 и так далее до тех пор, пока доба-

Рис. 1. Схема 60° < а < 90°

упаковки

при

вление новых цилиндров не будет оказывать существенного влияния на плотность упаковки; 6) выяснить, при каких значениях а плотность соответствующей упаковки будет наибольшей, т.е. найти оптимальную упаковку.

Существует несколько принципиально разных подходов к решению подобных оптимизационных задач. Так, в работах [1, 2] рассмотрены математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования, основанные на введенной авторами так называемой функции плотного размещения. В настоящей статье использован подход, близкий к классическому, изложенный, например, в работах [3, 4].

Рассмотрим систему }, содержащую счетное множество одно-связных фигур (элементов упаковки), расположенных в п-мерном пространстве произвольным образом; пусть V — объем элемента ^.

Обычно (см., например, [1], [2]), плотность упаковки определяется так: выбирается большая шарообразная область, скажем, радиуса Я; вычисляется отношение объема элементов упаковки, целиком попавших в эту область, к ее объему, и используется предельный переход Я ^ го:

¿24

ö = lim

R

я^ж Vn (R)'

(1)

где Уп (Я) — объем п-мерного шара радиуса Я, а ^ — знак суммирова-

я

ния, распространенного на те элементы упаковки ^, которые целиком попали внутрь шара радиуса Я с центром в начале координат.

Для расчета плотности упаковки введем понятие фундаментальной ячейки.

Пусть элементы первоначальной упаковки {^} представляют собой конгруэнтные множества, ограниченные гладкими выпуклыми поверхностями. Рассмотрим многогранники, образованные общими ка-

Рис. 2. Схема упаковки при а = 90° Рис. 3. Схема упаковки при а = 60°

сательными плоскостями, проведенными через точки касания двух соседних элементов упаковки.

В частности, в случае однослойной упаковки шаров эти плоскости вертикальны, а каждый многогранник представляет собой прямую призму и является описанным по отношению к соответствующему шару.

Если эти многогранники не имеют общих внутренних точек, то каждый из них по определению представляет собой фундаментальную ячейку, порожденную соответствующим элементом упаковки (рис. 2; 3).

Если же какой-то многогранник М, описанный около некоторого элемента упаковки, пересекается с соседними Мх,... Мк, как например на рис. 1, то фундаментальной ячейкой, порожденной этим элементом, назовем выпуклую оболочку множества

М\ (Мх и ... и Мк) = М П М П ... П М : ЕС = СОПУ [М\ (Мх и ... и Мк)] = СОПУ (М П М П ... П Мк) , (2)

а так как при АП В = 0 А\В = А, то в определении фундаментальной ячейки можно брать все многогранники Ма, а не только те, у которых пересечение с многогранником М непусто:

FC = Conv

M \ (и ыЛ = Conv M П (л M а)

(3)

В частности, в случае, изображенном на рис. 1, фундаментальной ячейкой является прямая призма с основанием в виде шестиугольника ABCDEF и высотой 2г.

Прежде чем приступать к изучению случая произвольного

г п п 1

а Е —; — , рассмотрим два частных варианта крайних значений - 3 2 -

а, которые представляют также и самостоятельный интерес.

Вариант 1. а = 90° (см. рис. 2, рис. 4). Вначале вычислим плотность этой упаковки. При а = 90° фундаментальной ячейкой является прямоугольный параллелепипед высотой 2г, основанием которого служит квадрат со стороной 2г (описанный около окружности радиуса г) площадью $кв = 4г2, т.е. куб объемом (2г)3.

Тем самым плотность первоначальной упаковки

¿0 = 6 0 - =

п

шара

фунд.яч.

Рис. 4. Схема упаковки а = 90°

4 3

-пг3 п = 3—3 = - и 0,52360. 3 6

(2r)3

Обозначим через х радиус прямого кругового цилиндра (цилиндрического наполнителя) с основаниями на нижней и верхней плоскостях, касающегося шаров с центрами в точках Ох, О2, О3, О4 внешним образом (см. рис. 4). Вычисления дают х = г (у/2 — 1).

Следовательно, объем цилиндра высотой 2г, радиус основания которого х = г (у/2 — 1),

^цил.х пх

2r = пг32 ^3 - 2^2)

В каждую фундаментальную ячейку попадают четыре четвертинки таких цилиндров суммарным объемом

К =4 • 1 УцИл.х = Кил.х = 2пг3 (з — 2^2) . Тем самым объем тел, попавших в фундаментальную ячейку,

VI = + = 3пг3 + 2пг3 (з — 2^2) = 2пг3 11 ~,

а плотность упаковки стала равной

¿1 = 6, - =

п

V п (11 - 6^2)

2' ^фунд.яч.

Добавка к плотности составила

12

0,65835.

Vx п (3 - 2^2) А,6 = тг x = -—L и 0,13475.

V

фунд.яч.

Это увеличение составило

^ • 100% = 150 (3 - 2^ % и 25,74%. Го \ /

Плотность первоначальной упаковки возросла в

г

к = -1 = 5,5 - 3^2 и 1,2574раза. Го

Обозначим через у радиус прямого кругового цилиндра с основаниями на верхней и нижней плоскостях, касающегося внешним образом шаров с центрами в точках О1 и О4 и цилиндра с центром в точке

К (см. рис. 4). Вычисления дают у = г---. Следовательно, объем

цилиндра радиусом у и высотой 2г

„ 2 „ „ 3 43 - 30^2

Кил.у = пу2 • 2г = 2пг3-49-.

В каждую фундаментальную ячейку попадают (см. рис. 4) восемь половинок таких цилиндров суммарным объемом

1 3 43 -30^2 V = 8 • 2^цил.у = 4Кил.у = 8пг3-49-.

Тем самым объем тел, попавших в фундаментальную ячейку,

311 - 6^2 3 43 - 30^2 2пг3 ( г\

V = = 2пг3-+8пг3-= —— (1055 - 654^) .

3 49 147 V '

Плотность упаковки стала равной

Г2 = Г2 (2 \ = ^ = и 0,69513.

По сравнению с предыдущей плотность увеличилась на

Л с- К пг3 (43 - 30^2)

А2Г = У =-У 49 з ' и 0,03678.

^фунд.яч. 49г

Это увеличение составило

¥ • 100 % = ^113 -^ • 100 % и 5,586 %. Г1 49 49

По сравнению с первоначальной плотностью это увеличение составило

А2Г ^ п (43 - 30^2) • 6 ^ ^

-2- • 100% = -* '--100 % и 7,02 %,

Г0 49п

а это в 3,7 раз меньше, чем увеличение плотности упаковки на первом этапе.

Вариант 2. а = 60о. Вначале вычислим плотность этой упаковки. При а = 60о фундаментальной ячейкой является правильная шестиугольная призма высотой 2г, основанием которой служит правильный шестиугольник, описанный около окружности радиусом г со стороной (см. рис. 5)

2г Рис. 5. Схема упаковки а = 60°

а = 2г 30о = —=. Тем самым ^ 2

площадь основания $осн = 6—-— = 2г л/3, объем фундаментальной

ячейки Уфунд.яч ковки

4

. = £осн. • 2г = 4г3л/3, а плотность первоначальной упа-

п

4

*=Ч 3)

V

шара

3

■пг

V

фунд.яч.

п

9

0,60460

4г3У3

(П \ п

(напомним, что ¿0 ( — ) = — ~ 0,52360). 26

Обозначим х — радиус прямого кругового цилиндра с основаниями на нижней и верхней плоскостях, касающегося шаров с центрами в

точках Ох, О2, О4 внешним образом (см. рис.5). Вычисления дают

г

х = ^^ (2 — у/3). Следовательно, объем цилиндра высотой 2г, радиус 3

г

основания которого х = ^^ (2 — л/3), равен

3

Кщл.х = пх 2r =

2пг 3

_3~

(7 - 4^3) .

В каждую фундаментальную ячейку попадает (см. рис. 5) 6 х 1

3

таких цилиндров суммарным объемом

1 _ 4пг3

Vx 6 • 3 ^цил.х 3

74

V3)

Тем самым объем тел, попавших в фундаментальную ячейку, равен

4 4пг3 Vi = Vn + Vx = 4 пг3 + —

а плотность упаковки

п

¿1 = S-

©

Vi

(7 - 4^3) = 16пг3 (2 - V3) ; 4п (2^3 - 3)

V

0,64801

фунд.яч.

9

г (п \ п (11 - 6^) (напомним, что Г1 ^ = —-——-- и 0,65835).

Добавка к плотности составила

Л с- Ух п (7^3 - 12)

А1Г = х = У -и 0,04341,

Уфунд.яч. 9

а увеличение плотности

• 100%= (7 - • 100% и 7,18%. Го V '

Плотность первоначальной упаковки возросла в

Г1 4п (2^3 - 3) 9 (

к = -1 =-^-- = 42 - у/3) и 1,0718 раз.

Го 9п^ V /

Обозначим у — радиус прямого кругового цилиндра с основаниями на верхней и нижней плоскостях, касающегося внешним образом

шаров с центрами в точках О1 и О3 и цилиндра с центром в точке

г

К (см. рис. 5). Вычисления дают у = — (9 - 4^). Следовательно,

33

объем цилиндра радиусом у и высотой 2г

пг2 / \ 2 2пг3 / \

Уцил.у = пу2 • 2г = — (9 - 4^) • 2г = — (129 - 72^) .

В каждую фундаментальную ячейку попадают (см. рис. 5) двенадцать половинок таких цилиндров суммарным объемом

1 4пг3 (129 - 72^3)

т/ _ 19 _т/ _ ст/ _ _V_ /

Уу = 12 • 2 Уцил.у = 6Уцил.у = 363 .

Тогда объем тел, попавших в фундаментальную ячейку,

У2 = V + Уу = 16пг3 (2 - ^3) +

4пг3 (129 - 72^3) _ 4 3 1097 - 556^3 + 363 = 3пг 121 ,

а плотность упаковки равна

п\ У2

ia = Ч ^ = V

v 3 7 V фунд.яч.

4пг3 Г1097 - 556^/3) п Г 1097^/3 - 1668)

и 0,66946

3 • 121 • 4г3 • v/3 1089

(напомним, что Г2 (^ = 0,69513).

По сравнению с предыдущей плотность среды увеличилась на

д г Уу п (129^3 - 216)

А2Г = у = -'- и 0,021448

^фунд.яч. 1089

и это увеличение составило

М • ioo% = ^42 - 15^3) % и 3,31 %.

д\ 121 V /

По сравнению с первоначальной плотностью увеличение составило

^ • 100% = 129 " 72V3 • 100% и 3, 547%, д0 121

что в 2 раза меньше, чем увеличение плотности упаковки на первом этапе.

Вариант 3. 60o < а < 90o. Вначале вычислим плотность этой упаковки. При 60o < а < 90o фундаментальной ячейкой является прямая шестиугольная призма высотой 2r, основанием которой служит шестиугольник ABCDEF (см. рис. 6), площадь которого

4r2 2 cos2 а 4r2 , 2 ч о .

£осн = Sbteu-2SAafu = ---4r —-= --(1 - cos а) = 4r sin а

sin а sin а sin а 4 7

а объем фундаментальной ячейки

Кфунд.яч. = S^. • 2r = 4r2 sin а • 2r = 8r3 sin а. Тем самым плотность первоначальной упаковки

¿0 = ¿0 (а) =

4 з

V -ПТ3 П

^шара _ 3 _ п

"^^фунд.яч. 8т3 sin а 6 sin а

График функции 50 (а) изображен на рис. 7.

п п

При возрастании а от — до — плотность упаковки строго моно-

3 2

тонно убывает от величины ^_^ ~ 0,6046 до 50 ^п) ~ 0,5236.

Рис. 6. Схема упаковки при

60° < а < 90° Рис. 7. График функции 60 (а)

Рис. 8. Схема размещения цилиндров

ет место тогда и только тогда, когда

Обозначим через x радиус прямого кругового цилиндра с основаниями на нижней и верхней плоскостях, касающегося шаров с центрами в точках Oi, О2, О4 внешним образом (см. рис. 6). Вычисления

дают x = г ^ 1 — cos I ^cos ^

Рассмотрим случай, когда в область между шарами с центрами О1, О2, О3, О4 поместятся два таких цилиндра (см. рис. 8). Это име-

а

а 1 - cos2 OiO3 > 2r + 4x ^ 2 • 2r cos — > 2r + 2 • 2r-^ ^

2 cos —

2а 1 — cos —

а

^ 2 cos — > 1 + 2 2

2

а

cos — 2

а

Обозначив сое — = г, получаем неравенство

1 - г 2

2г > 1 + 2-^ 2г2 + г — 2 > 0.

г

Корни квадратного трехчлена в левой части уравнения (4)

*1,2 =

-1±

(4)

тогда решения неравенства (4) будут следующие:

t ^

t >

-1 - 717

-1 + V17

4 '

(5)

(6)

тт а -1 - л/17 ^

Но t = cos — > -1, а --- < -1. Следовательно, неравенство

(5) невозможно, а неравенство (6) дает

а -1 + 717 п^а^ {Vn - 1

cos — ^ -=> 0 ^ — ^ arccos - =>

2 4 2 \ 4

^ 0 ^ а ^ акр = 2 arccos

717 - 1

4

п

C учетом того, что а ^ —, получаем, что, в случае 60° ^ а ^ акр =

3

= 2 arccos ^-^ ~ 77,337°, в область между шарами с центрами

в точках О1, О2, О3, О4 поместятся два цилиндра радиусом x.

Замечание. Можно записать явное выражение для акр по

(«кр \ v/17 — 1 2 (акр \ другому: а так как cos ^"^J =-^-, то cos aкр=2cos2 J —

5 — ^17 /5 — _ w

— 1 = ---, откуда акр = arccos I --- I ~ 77,337°, т.е. то

же самое численное значение.

Далее рассмотрим следующие два случая.

Случай 60° < а ^ акр (рис. 9). В этом случае в каждую фундаментальную ячейку попадают две части цилиндров, соответствующих

центральному углу (п — а) и четыре части цилиндров, соответствую-

п — а п + а

щих центральному углу а +--=-суммарным объемом

22

п — а п + а 2

Vx = 2 ^ ^цил.х + 4 — — ^ил.х = 2Vцил.х, где ^цил.х = пХ X

2п 2•2п

X 2г = 2пг3 (1 — cos Oj I cos2 ^.

Добавочный объем составляет

a ^ 2 1 — cos —

К = 4пг3 i -

cos 2

объем тел, попавших в фундаментальную ячейку,

a ^ 2

4 /1 — cos —

Vi = K, + Vx = 4пг3 + 4пг3 i 2

а

cos — 2

а плотность упаковки в этом случае равна Vi

¿1 = ¿1 (а) =

фунд.яч.

4 3 „ 3 Л а \2 / 2 а

nr3 + 4пг31 1 - cos — 1 cos2 —

3 \ 2 / / 2

8r3 sin а

п | 1

2 sin а I 3

а

1 — cos —

_V2.

/а co\ 2

2

Рис. 9. Схема упаковки 60° < а < акр

В частности, ' п \ п

,3/ = 2 sin 60е

+

1 - cos 30е cos 30е

4п 3^3

23

« 0,64801;

¿1 (акр) =

п

2>Л-

cos2 а

+

кр

акр

1 — cos ( —^ 2

^ 2 ■

cos

п

а

кр

47 — 9^17 12 л/10^17 — 26

0,66357.

График функции ¿1 (а) при а G

п

3 ; акр

приведен на рис. 10.

п

L3

Исследования показывают, что функция ¿1 (а) имеет на отрезке

;а

кр

единственный минимум а*

п

1,169, т.е. при — < а < а*

п ^

функция (а) строго монотонно убывает от величины

) ~ 0,648

до ¿1 (а*) « 0,637, а при а* < а < акр — возрастает от ¿1 (а*) « 0,637 до ¿1 (акр) « 0,665.

Вернемся к задаче о вычислении плотности упаковки. Добавка к плотности составила

Ai5 (а) =

Vx

4пг3

аа

1 — cos 2 Vcos 2

Уф

фунд.яч.

8r3 sin а

а2

„,. , 1 — cos — п ' 2

2sinа l cos -

2

1

3

1

3

2

2

п

Покажем, что при — ^ а ^ акр эта величина строго монотонно возра-

3

стает. Рассмотрим функцию

1

g (а) = —

81п а

а ^ 2 1 — cos —

_2

а

cos — 2

а2 1 — cos — 2/

а

sin а cos2 — 2

и вычислим ее производную

д (а) =

а2 1 — cos — -2

sin2 а cos2 — 2

а

а

а .3 + 2 cos--2 cos — .

а V 2 2

а

Знак производной д' (а) определяется знаком величины 3 + 2 cos--

2

2 а „ _ а

—2cos2 —. Обозначим со^ — = £ и рассмотрим квадратный трехчлен 22 К (£) = 3 + 2£ — 2£2. Его корни (рис. 11)

1 ±УГТб 1 ±77

ti,2 =

а так как t = а cos — и 2 п - < 3

VT7 -1 ^ t ^ 4 п cos — = 6 V3 2 ' '

^17- 1

1кр

, то

п

ложителен. Следовательно, при — ^ а ^ акр д' (а) > 0 и функция

3

д (а), а с ней и величина Д^ (а) строго монотонно возрастают. При этом

Д^) = 3^3 V

7-4V3

0,04341;

Ai^ (акр) =

п

2 sin (аКр)

ак

1 - cos( ^J/cos^^

ак

п 13 - 3^17 4 л/10^17 - 26

0,12692.

Область изменения I Рис. 11. График функции Н(Ь)

2

4

2

Рис. 12. График функции Д^а) Рис. 13. График функции к(а)

График функции А1Г (а) изображен на рис. 12. Плотность первоначальной упаковки возросла в

k (а) =

¿1 (а) ¿о (а)

= 1 + 3

а

1 — cos —

_2_

а

cos — 2

раз.

п

При — ^ а ^ акр эта функция строго монотонно возрастает как супер-

3

,'1 - г4 2

позиция строго монотонно убывающих функций к (г) = 1+3 '

ап

(0 < t < 1) и t = cos — (— < а < акр). При этом

23

t

k

k (акр) = 1 + 3

,Ю=4(2 — ^

1 — cos (

cos

а

кр

й 1,0718,

47 — 9^17

8

1,23650.

2

График функции к (а) изображен на рис. 13

Случай акр < а < 90°. При а ~ 90° в оставшуюся область входят два одинаковых цилиндра радиусом у1 и еще два одинаковых цилиндра радиусом у2; при а ^ 90° уь у2 ^ у При а ~ акр в оставшуюся область входит один цилиндр с максимальным радиусом г; при а ^ акр г ^ х. В этом случае в каждую фундаментальную ячейку попадает часть цилиндра с осью, проходящей через точку 01, две одинаковых части цилиндров с осями, проходящими через точки 0'2 и 04 и, возможно, часть цилиндра с осью, проходящей через точки 0'3 (рис. 14). При этом с уменьшением значения а от 90° до акр доля этой части будет уменьшаться, пока не обратится в ноль, но будет возрастать неучтенная часть цилиндров, изображенных на рис. 14 пунктиром.

Выводы. 1. Математически обоснован выбор расчетной модели — фундаментальной ячейки и проведен расчет плотности ее упаковки при различных значениях определяющего параметра (угла а взаимного расположения фундаментальных ячеек).

2. На основе расчетов установлено, что плотность упаковки фундаментальной ячейки ¿0

п

при возрастании угла а с —

п 3

до — монотонно убывает от ве-

п

0,6046 до

Рис. 14. Схема акр < а < 90°

упаковки

при

личины ¿0 п 2

3

0,5236 без цилиндрических наполнителей и увеличивается

п

0,64801 до ¿1 ( — ) « 0,65835 с цилиндрическим напол-

от М П

нителем.

пп

3. В области изменения угла а от — до — найден критический угол акр ~ 77,337°, при котором не нарушаются условия существования фундаментальной ячейки и одновременного размещения в области между шарами двух цилиндрических наполнителей. Для этого слу-

п

чая функция ¿1 (а) при — < а < а* строго монотонно убывает от

3

^ (П) ~ 0,648 до (а*) « 0,637, а в области а* < а < акр возрастает от (а*) « 0,637 до (акр) « 0,665.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. - Киев: Наук. думка, 1986. -268 с.

2. Стоян Ю. Г., Г и л ь Н. И. Свойства и способы реализации функции плотного размещения. - Киев: АН УССР, 1972. - 48 с.

3. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. В 2-х томах. Т. 1. - М.: Мир, 1990. - 415 с. Т. 2. - 376 с.

4. Т о т Л. Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. - М.: ГИФМЛ, 1958.- 364 с.

Статья поступила в редакцию 13.06.2006

Владимир Иванович Ульянов родился в 1947 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1974 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Управление качеством и сертификация" Рязанского государственного радиотехнического университета. Автор 70 научных работ в области автоматизации производственных процессов и технологии получения тонких диэлектрических пленок.

V.I. Uliyanov (b. 1947) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1974. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Quality Control and Certification" department of the Ryazan State Radio-technical University. Author of 70 publications in the field of automation of production processes and technology of thin dielectric films.

Александр Михайлович Лавров родился в 1955г., окончил МГУ им.М.В.Ломоносова в 1977г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Вычислительная математика" Рязанского государственного радиотехнического университета. Автор 90 научных работ в области теоретической и математической физики, теории случайных процессов и обобщенных функций.

A.M. Lavrov (b. 1955) graduated from the Lomonosov State University in 1977. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Quality Control and Certification department of the Ryazan State Radio-technical University. Author of 90 publications in the field of theoretical and mathematical physics, theory of stochastic processes and generalized functions.

Олег Николаевич Клочков родился в 1980 г., окончил Рязанскую государственную радиотехническую академию в 2002 г. Аспирант кафедры "Управление качеством и сертификация" Рязанского государственного радиотехнического университета. Автор 10 научных работ в области автоматизации производственных процессов и технологии тонких диэлектрических пленок.

O.N. Klochkov (b. 1980) graduated from the Ryazan State Radiotechnical Academy in 2002. Post-graduate of "Quality Control and Certification" department of the Ryazan State Radio-technical University. Author of 10 publications in the field of automation of production processes and technology of thin dielectric films.

Владислав Владимирович Чистяков родился в 1980 г., окончил Рязанскую государственную радиотехническую академию в 2002 г. Инженер ЗАО "Нефтегазкомплектсервис", г. Луховицы, Московская область. Автор 10 научных работ в области автоматизации производственных процессов и технологии тонких диэлектрических пленок.

V.V. Chistyakov (b. 1980) graduated from the Ryazan State Radio-technical Academy in 2002. Engineer of the limited stock company "Neftegaskomplektservis", town Lukhovitsy, Moscow region. Author of 10 publications in the field of automation of production processes and technology of thin dielectric films.