CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 69
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 533
Математическое моделирование возмущенной зоны вблизи плоского электрода, обтекаемого потоком разреженной плазмы
A A A AAA
Котельников В. М. , Котельников М. В. , Нгуен Суан Тхау
Московский авиационный институт (национальный исследовательский
университет),
МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993, Россия
*e-mail: kaf807@mail.ru **e-mail: mvk_home@mail.ru * * *e-mail: nguoikinhbac.rus. @gmail.com
Аннотация
В статье рассмотрены физическая, математическая и вычислительная модель задачи обтекания плоского электрода потоком разреженной плазмы. Получены функции распределения компонент плазмы вблизи пластины, поля концентраций и скоростей ионов и электронов, а также распределение потенциал самосогласованного электрического поля. Исследованы нелинейные эффекты, возникающие при обтекании пластины потоком разреженной плазмы. Рассмотрено влияние указанных эффектов на структуру возмущенной зоны, в частности на распределение плотности тока по пластине.
Ключевые слова: пристеночная плазма, плоский электрод, функция распределения, спутник, разреженная плазма, уравнение Пуассона, уравнение Власова
Введение
Плоский электрод в потоке разреженной плазмы можно рассматривать как плоскую часть поверхности спутника, движущегося в ионосферной плазме. Плоский
электрод может находиться в лобовой части спутника, и тогда поток плазмы направлен по нормали к его поверхности. Если электрод находится на боковой поверхности спутника, то поток плазмы скользит вдоль поверхности электрода. Если нормаль к пластине направлена под углом к вектору скорости потока плазмы, то этот случай сводится к комбинации двух предыдущих случаев. Не рассматривается случай, когда пластина находится в теневой части спутника, поскольку в этом случае увеличивается размерность задачи, что ведет к усложнению вычислительного алгоритма.
Исследования поведения электродов в разреженной плазме ведут свое начало с классических работ Ленгмюра [1], теоретические исследования структуры возмущённой зоны вблизи тел сферической формы имеются в работах Альперта, Гуревича, Питаевского [2]. Однако ввиду сложности математической модели вопросы обтекания тел потоками разреженной плазмы в настоящее время исследуются численно. В работе [3] рассмотрена возмущённая зона вблизи тела цилиндрической формы в потоке разреженной плазмы. Тело плоской геометрии в покоящейся плазме изучалось в работе[4].
Математическая и вычислительная модель задачи
Расчет возмущенной зоны вблизи плоского электрода в потоке разреженной плазмы проводится в шестимерном фазовом пространстве. Чтобы сократить размерность задачи, представим плоский электрод в виде удлиненного прямоугольника. Если удлиненная сторона много больше короткой стороны прямоугольника, то такой электрод представляется в виде ленты. В дальнейшем
изложении будем называть его электродом ленточного типа. На рисунке 1а,б изображен такой ленточный электрод с двумя ориентациями вектора скорости потока разреженной плазмы: вдоль плоскости (рис. 1а) и перпендикулярно плоскости (рис. 1б). Ширина ленты равна 2гр, а скорость направленного движения разреженной плазмы относительно нее ию. Если электрод изолирован, то он приобретает отрицательный «плавающий» потенциал относительно пространства. При проведении физических экспериментов электрод может заряжаться от внешнего источника питания и иметь произвольный потенциал фр.
Рис.1. Расположение плоского электрода
а) на боковой поверхности спутника
б) в лобовой части спутника
1- плоский электрод
2- диэлектрическая поверхность
3- вектор направленной скорости плазмы
относительно электрода
Математическая модель задачи включает кинетические уравнения Власова для функций распределения ионов (ФРИ) и функций распределения электронов (ФРЭ), а также уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля. В декартовой системе координат (см. рис. 1а,б) с учетом сдвиговой симметрии по оси Z и постоянстве составляющей скорости vz ФРИ и ФРЭ оказываются зависящами только от четырех фазовых переменных (х,у;ух^у). Система уравнений записывается в виде [5,6]
а^ а^ а^ ^
а ах у ау т1
' „ а^ Л
Е —- + Е —!-
V х ^х У ^у у
=0 (1)
^ аге а^
— + vx —- + vy —- + —
а ах у ау те
'е ^ + Е ^
V Х аvx У ^у у
=0 (2)
а2ф а2Ф е / ч
аф+аф;Е=-*ф> (3)
где ^ - функции распределения ионов и электронов, mi,e, qi,e, п^ - масса, заряд и
концентрация ионов и электронов, E,ф - напряженность и потенциал
12
самосогласованного электрического поля, в0=8,85-10- Ф/м - электрическая постоянная.
Система уравнений (1) - (3) решается при следующих начальных и граничных условиях.
Начальные условия для пластины, ориентированной вдоль потока (рис.1а):
fi,e(0,x,y,vx,vy)=(nж/л)(mi,e/(2kтi,e))3/2exp[-mi,e{(vx+vю)2+vy2}/(2kтi,e)]. (4)
Начальные условия для пластины, ориентированной поперек потока (рис.1б):
-5/Л Л
^(О^у^х^у^п^Хт^/^кТ^)) exp[-mi К+К-^)2}/(2кТ,е)]. (5) Граничные условия:
ф = фp - на поверхности пластины, ф = 0 - на внешней границе расчетной области. ФРИ и ФРЭ на внешней границе расчетной области принимались равными (4) и (5). На диэлектрической поверхности, прилегающей к пластине, ставились условия зеркального (или диффузного) отражения для падающих на нее заряженных частиц.
Решение системы (1) - (3) с соответствующими начальными и граничными условиями осуществлялось методом последовательных итераций по времени [5-8], причем кинетические уравнения решались методом характеристик или методом крупных частиц Давыдова, а уравнение Пуассона - методом разделения переменных Фурье.
Результаты вычислительных экспериментов
В результате решения поставленной задачи находятся функции распределения ионов и электронов в различных точках пространства вблизи заряженной пластины и распределение самосогласованного электрического поля. Решаемая задача оказывается не только многомерной и нестационарной, но и многопараметрической. Среди параметров, влияющих на решение задачи, отметим следующие: г0=гр/^ - безразмерная ширина пластины (^ - радиус Дебая), ф0=ефр/(кТ^ - безразмерный потенциал пластины,
ио=и«/(2кТ/т01/2 - безразмерная скорость потока плазмы,
е=Т/Те - отношение температур ионов и электронов в потоке плазмы.
На рисунке 2а,б представлены ФРИ при г0=10, ф0=-10, в=1 и двух значениях
скорости, направленной параллельно пластине, и0=0 (рис.2а) и ио=5 (рис.2б). ФРИ
приведены в трех характерных точках: 1 - вблизи переднего края пластины, 2 -
вблизи центра пластины, 3 - вблизи теневого края пластины.
В случае и0 =0 (рис. 2а) полученные ФРИ полностью совпадают с результатами предшествующих работ [5-8]. Они имеют характерный подковообразный вырез (в проекции на плоскость ух, уу), обращенный своей вогнутой частью в сторону оси уу.
Рис. 2. ФРИ (г0=10,фо=-10, в=1), вектор скорости потока направлен вдоль пластины
а) ио=0; ио=5
Это связано с идеальной каталитичностью поверхности пластины и как следствие этого - отсутствием потока ионов со стороны пластины. Еще одна особенность ФРИ состоит в том, что высота и наполнение купола ФРИ в точках 1 и 3 одинакова, но меньше, чем в точке 2. Это обусловлено тем обстоятельством, что на краях пластины больше напряженность электрического поля, следовательно, больше поглощение ионов на стенке. Это ведет к снижению концентрации ионов в области краев пластины и соответственному снижению наполнения куполов ФРИ. Описанная особенность наполнения куполов ФРИ - проявление так называемого
краевого эффекта. По мере удаления от пластины по оси У подковообразный вырез у ФРИ уменьшается и она приближается к максвелловской ФРИ, заданной на внешней границе расчетной области (формула 4).
Третья особенность ФРИ, изображенных на рисунке 2а, заключается в том, что центр тяжести ФРИ в точке 1 смещен относительно ее центра тяжести в точке 3. Физическая причина этого смещения заключается в следующем: электрическое поле на краях пластины имеет составляющую не только по оси У, но и по оси X. При этом в точке 1 ионы ускоряются в положительном направлении оси X, а в точке 3 -в обратном. Появление этих противоположно направленных движений и приводит к смещению центров тяжести ФРИ относительно друг друга на противоположных краях пластины.
На рисунке 2б изображены ФРИ для и0=5 при сохранении прежних значений остальных параметров задачи г0,ф0 и в и параллельном пластине потоке плазмы. Сравнение рисунков 2а и 2б показывает, что описанные выше особенности ФРИ при и0=0 сохраняются и данном случае. Вместе с тем проявляются и новые особенности. Отметим среди них следующие:
- наполнение купола ФРИ во всех трех контрольных точках оказалось выше, чем в случае и0=0;
- наполнение купола ФРИ в точке 1 существенно выше, чем в точке 3, что связано с влиянием направленной скорости потока плазмы. На поступающие в возмущенную зону вблизи пластины ионы действует притягивающее их электрическое поле. На начальном участке пластины (точка 1) велика роль конвекции по сравнению с притягивающим действием поля, и поэтому ионы попадают на пластину на
некотором удалении от края пластины. Следовательно, вблизи точки 1 мало поглощение и соответственно велика концентрация ионов, что и ведет к наполнению купола ФРИ. С ростом и0 увеличивается длина участка вдоль оси X, на котором наполнение купола ФРИ относительно велико. Наоборот, с ростом потенциала пластины ф0 этот участок сокращается. Если параметр г0 относительно небольшой, то этот начальный участок может распространится на всю ширину пластины. В случае относительно больших значений г0 участок с высоким наполнением купола ФРИ составляет незначительную долю пластины и его относительное влияние невелико. Описанное влияние направленной скорости на наполнение купола ФРИ в литературе получило название концевого эффекта; - центры тяжести ФРИ в проекции на плоскость (Ух,Уу) при наличии направленной скорости смещены по оси Ух на величину этой скорости.
Основные закономерности в структуре функций распределения электронов при положительном потенциале пластины напоминают структуру ФРИ при отрицательном потенциале. Отличие состоит лишь в том, что тепловая скорость электронов намного больше направленной скорости потока плазмы. Поэтому влияние направленной скорости на структуру ФРЭ существенно меньше, чем на структуру ФРИ.
На рисунке 3а,б представлены ФРИ при г0=10, ф0=-10, 8=1 и двух значениях направленной скорости и0=0 (рис. 3а) и и0=5 (рис. 3б), но в данном случае вектор направленной скорости и0 направлен перпендикулярно плоскости пластины. Как и на рисунке 2а,б, ФРИ приведены для тех же характерных точек расчетной области.
При условии и0=0 полученные ФРИ полностью совпадают с ФРИ на рисунке 2а и все комментарии относительно ФРИ также совпадают.
На рисунке 3б даны ФРИ при и0=5, но вектор скорости потока направлен перпендикулярно плоскости пластины.
Рис. 3. ФРИ (г0=10,фо=-10, 8=1), вектор скорости потока направлен по нормали к
пластине
а) и0=0; б)и0=5
Отметим следующие особенности структуры ФРИ в этом случае:
- все представленные на рисунке 3б ФРИ сдвинуты по оси Уу на величину направленной скорости;
- концевой эффект в данном случае отсутствует, поэтому профили ФРИ в точках 1 и 3 одинаковы;
- краевой эффект имеет место, однако влияние его на структуру ФРИ меньше, чем в случае и0=0. С ростом и0 поток ионов на пластину растет пропорционально росту и0, а составляющая потока, связанная с большой напряженностью электрического поля
на краях пластины, изменяется мало. Роль краевого эффекта снижается также с увеличением параметра г0 и уменьшением модуля ф0. Параметр в может играть заметную роль, если тепловая и направленная скорость ионов близки по величине. И даже в этом случае, как показано в работах [1-4], в интервале 0,5<в<1 его влиянием на ионный поток можно пренебречь. Более существенное влияние параметр в оказывает на ФРЭ.
Кроме функций распределения ионов и электронов решение системы дифференциальных уравнений (1)-(3) с соответствующими начальными и граничными условиями позволяет получить распределение напряженности и потенциала самосогласованного электрического поля в возмущенной зоне вблизи пластины. На рисунке 4а,б,в приведены эквипотенциальные кривые вблизи пластины в трех случаях: и0=0; и0=5 (скорость потока параллельна пластине); и0=5 (скорость потока перпендикулярна пластине).
■ -10- (-8)
■ -8-С-6)
■ -6-И)
□ -4-С-2)
□ -2-0 □ £-0
а) б) в)
Рис. 4. Распределение потенциала вблизи пластины (г0 = 10; ф0 = -10; в = 1) а) и0 = 0; б) и0 = 5 (скорость потока параллельна пластине); в) и0 = 5 (скорость потока
перпендикулярна пластине)
По известным ФРИ и ФРЭ можно рассчитать моменты функций распределения: распределение концентраций ионов и электронов, их направленных скоростей и плотностей токов. В качестве примера на рисунке 5а,б,в,г приведены поля скоростей ионов при следующих значениях параметров задачи: г0=10, фо=-10, 8=1, и0=0;1;5 и при двух ориентациях пластины относительно скорости потока. На рисунке 5 наглядно прослеживается влияние краевого и концевого эффектов на распределение параметров плазмы в возмущенной зоне вблизи пластины, обтекаемой потоком разреженной плазмы.
а) и0 = 0
б)и0 = 1 (скорость параллельна пластине)
в) и0 = 5 (скорость параллельна пластине)
г) и0 = 5 (скорость перпендикулярна пластине)
Рис. 5. Поле скоростей ионов (г0 = 10; ф0 = -10; 8 = 1)
Выводы
1. Сформулированы физическая, математическая и численные модели потока разреженной плазмы с плоскими электродом.
2. Приведены обширные вычислительные эксперименты по расчету возмущенной зоны вблизи плоского электрода в потоке разреженной плазмы. Получены функции распределения заряженных частиц, их момент, профили электрического поля.
3. Исследованы нелинейные эффекты: концевой и краевой и их влияние на возмущенную зону вблизи плоского электрода в потоке разреженной плазмы. Поддержано РФФИ, грант № 08-08-13586 ОФИ-Ц.
Библиографический список
1. Langmuir I. Collected Works of Irwing Langmuir // Phys. review. 1926. vol. 11, pp. 101-119.
2. Альперт Я. А., Гуревич А. В., Питаевский А. П. Искусственные спутники в разреженной плазме - М. : Наука 1975, 352 с.
3. Котельников М. В. Механика и электродинамика пристеночной плазмы. Дисс. Д.ф-м.н., М.: МАИ, 2008, 276 с.
4. Шаньков А.В. «Математическое моделирование процессов переноса вблизи плоских пристеночных зондов». Дисс., к.ф.-м.н. М.: МАИ 1985, 218 с.
5. М.В. Котельников, В.Ю. Гидаспов, В.А. Котельников. Математическое моделирование обтекания тел потоками бесстолкновительной и столкновительной плазмы. Изд-во Физматлит, 2010, 288 с.
6. В.А. Котельников, В.П. Ким, М.В. Котельников. Взаимодействие тел с потоками разреженной плазмы. М.: Изд-во МАИ, 2010, 186 с.
7. М.В. Котельников, В.А. Котельников, С.Б. Ульданов. Процессы переноса в пристеночных слоях плазмы. М.: Наука, 2004, 475 с.
8. Алексеев Б.В., Котельников В.А. Зондовый метод диагностики плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1988, 240с.
