Математическое моделирование влияния сырьевых компонентов на прочность высококачественного мелкозернистого бетона при сжатии Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

строительное материаловедение

УдК 666.97 DOI: 10.22227/1997-0935.2017.9.999-1009

математическое моделирование влияния сырьевых компонентов на прочность высококачественного мелкозернистого бетона при сжатии

Танг Ван лам, Б.И. Булгаков, О.В. Александрова

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУМГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26

АННОТАцИЯ. Предмет исследования: создание и анализ математической модели, адекватно описывающей влияние входящих переменных факторов — соотношений сырьевых компонентов бетонной смеси на прочность при сжатии высококачественного мелкозернистого бетона в возрасте 28 сут нормального твердения, рассматриваемых в качестве выходящих целевых функций.

цели: определить оптимальные соотношения ингредиентов мелкозернистой бетонной смеси, позволяющие достичь максимальной прочности бетона на сжатие.

Материалы: для получения мелкозернистой бетонной смеси было использовано тонкодисперсное вяжущее, состоящее из портландцемента типа ЦЕМ II 42,5Н производства завода «Хоанг Тхач», золы-уноса ТЭС «Фалай», золы рисовой шелухи (все — Вьетнам) с добавлением суперпластификатора Ace 388 BASF (Германия) и полипропиленовых тонкодисперсных волокон Mega Mesh (Малайзия). В качестве мелкого заполнителя был использован кварцевый песок реки Ло (Вьетнам).

Методы: прочность высококачественного мелкозернистого бетона на сжатие определяли по ГОСТ 10180-2012 «Бетоны. Методы определения прочности по контрольным образцам»; первоначальный состав бетонной смеси рассчитывали по методу абсолютных объемов.

Результаты: получены регрессионные уравнения первого и второго порядка зависимости целевой функции — прочности мелкозернистого бетона на сжатие от входных факторов — соотношений сырьевых компонентов х2 (——) и х3 (-ц),

а также изображения поверхности выражения и горизонтали целевой функции для этих регрессионных уравнений. Выводы: максимальное значение прочности высококачественного мелкозернистого бетона на сжатие в возрасте 28 суток, определенное с помощью компьютерной программы Maple 13 в регрессионном уравнении второго порядка,

составляет Я?8М£ = 75,855МПа при = 0,854 и B = 0,324.

ВКМЗБ Вяж Ц

КЛЮчЕВыЕ СЛОВА: математическое моделирование, сырьевые компоненты, прочность на сжатие, высококачественный мелкозернистый бетон, регрессионное уравнение, входные факторы, ортогональное центральное планирование, поверхность выражения, горизонталь целевой функции, максимальное значение

ДЛЯ цИТИРОВАНИЯ: Танг Ван Лам, Булгаков Б.И, Александрова О.В. Математическое моделирование влияния сырьевых компонентов на прочность высококачественного мелкозернистого бетона при сжатии // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. Вып. 9 (108). С. 999-1009.

В

MATHEMATICAL MODELING OF THE IMPACT OF RAW i

MATERIAL COMPOSITION ON COMPRESSIVE STRENGTH OF к

HIGH PERFORMANCE FINE-GRAINED CONCRETE Щ

о

У

Tang Van Lam, B.I. Bulgakov, O.V. Aleksandrova т

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU),

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

- -b

IS3

ABSTRACT. Subject of Study: the creation and analysis of mathematical models adequately describing the effect of the до input variable factors — the proportions of raw components of the concrete mix - on the compressive strength of high perfor- ы mance fine-grained concrete at the age of 28 days of normal hardening, which are considered as output objective functions. □ Objectives: to determine the optimum ratios of ingredients of fine-grained concrete mixture, which allow us to achieve the "< maximum strength of concrete in compression.

Materials: for obtaining fine-grained concrete mix, a finely distributed binder was used consisting of Portland cement of the type CEM II 42,5 N produced by the "Hoang Thach" factory, fly ash, rice husk ash (all — Vietnam) with addition of super-plasticizer Ace 388 BASF (Germany) and polypropylene fine fibers Mega Mesh (Malaysia). As for the fine filler, quartz sand from the Lo river (Vietnam) was used.

О *

9

© Танг Ван Лам, Б.И. Булгаков, О.В. Александрова

999

Methods: the compressive strength of high performance fine-grained concrete was determined in accordance with the requirements of GOST 10180-2012 "Concretes. Methods of strength determination by control samples"; the initial composition of the concrete mix was calculated using the absolute volume method.

Results: the paper presents results of mathematical modeling of the effect of raw materials on the compressive strength of high performance fine-grained concrete at 28 days of normal hardening. First and second order regression equations for the

sand , . , water

y ~r,—:—) and x3 (-,

adhesive 3 cement

dependence of the compressive strength on the ratio of raw materials x2 —:—) and x3 (—and also the image of

the surface expression and the contour of the objective function for these regression equations were obtained. Conclusions: The maximum value of compressive strength of high performance fine-grained concrete at 28 days of age, evaluated by using the computer program Maple 13 in the regression equation of the second order, is RHpfgC = 75.85 MPa sand water

at ——— = 0.854 and-= 0.324.

adhesive cement

KEY WORDS: mathematical modeling, raw materials components, compressive strength, high performance fine-grained concrete, regression equation, input factors, orthogonal central planning, surface expression, contour of the objective function, maximum value

FOR CITATION: Tang Van Lam, Bulgakov B.I., Alexandrova O.V. Matematicheskoe modelirovanie vliyaniya syr'evykh komponentov na prochnost' vysokokachestvennogo melkozernistogo betona pri szhatii [Mathematical Modeling of the Impact of Raw Material Composition on Compressive Strength of High Performance Fine-Grained Concrete]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2017, vol. 12, issue 9 (108), pp. 999-1009.

ВВЕДЕНИЕ

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Целью математического метода планирования эксперимента является создание математических эмпирических моделей, изображающих влияние входящих переменных факторов — соотношений сырьевых компонентов бетонной смеси — на физико-механические свойства высококачественного мелкозернистого бетона (ВКМЗБ), рассматриваемые в качестве выходящих целевых функций.

Разрабатываемый ВКМЗБ, получаемый путем совместного использования в качестве органо-ми-неральных модификаторов его структуры водореду-цирующего суперпластификатора, тонкодисперсных О минеральных уплотняющих наполнителей, содержащих аморфный кремнезем, а также дисперс-® ного армирования полимерной фиброй, должен ¡^ обладать:

^ • эффектом самоуплотнения бетонной смеси;

• прочностью на сжатие в возрасте 28 сут поряд-И0 ка 60 МПа;

N • долговечностью и коррозионной стойкостью в агрессивных средах.

О

I- ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ *

Качество бетона и надежность его работы 2 в конструкциях и сооружениях определяются его £ свойствами, важнейшим из которых является прочность [1-2].

¡^ Под прочностью понимается способность ма-Ф териала сопротивляться разрушению от действия ®® внутренних напряжений, возникающих в резуль-

тате приложения внешней нагрузки или других факторов.

Прочность бетона является интегральной характеристикой, которая зависит от его состава, свойств исходных сырьевых компонентов, а также условий приготовления, твердения, эксплуатации и методов испытаний. В свою очередь с прочностью бетона связан ряд других его свойств [3-7].

Материалы в строительных конструкциях и сооружениях могут испытывать различные внутренние напряжения: сжатия, растяжения, воздействия изгиба, среза или кручения. Бетон относится к каменным материалам, которые хорошо сопротивляются сжатию, значительно хуже — срезу, еще хуже (до 50 раз) — растяжению. По этой причине строительные конструкции обычно проектируют таким образом, чтобы бетон в них воспринимал сжимающие нагрузки, а при необходимости восприятия растягивающих усилий конструкции армируют [8-10].

Поэтому цель математического моделирования влияния входных факторов на прочность бетона представляется в получении зависимости его основного физико-механического свойства — прочности при сжатии (целевой функции) — от состава и содержания сырьевых материалов (входных факторов) [11-16].

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

В качестве сырьевых материалов в данном исследовании использованы:

• портландцемент (Ц) ЦЕМ II 42,5 Н производства завода «Хоанг Тхач» (Вьетнам) с истинной плотностью 3,12 кг/дм3;

• кварцевый песок (П) реки Ло (Вьетнам) с модулем крупности Ык = 3,0, истинной плотностью 2,62 г/м3 и насыпной плотностью 1445 кг/м3;

С.999-1009

Табл. 1. Состав мелкозернистой бетонной смеси для получения ВКМЗБ

Исходные материалы Расход материалов на 1 м3 бетонной смеси

кг л

Портландцемент ЦЕМ II 42,5 Н 598 192

Песок реки Ло 957 365,55

Зола-унос ТЭС «Фалай» 299 146

Зола рисовой шелухи 60 28

Полипропиленовая фибра Mega Mesh 9 10

Суперпластификатор Ace 388 BASF 6 5,45

Вода 203 203

Вовлеченный воздух — 50

Всего 2132 1000

• зола-унос ТЭС «Фалай» и зола рисовой шелухи (Вьетнам) с истинной плотностью 2,22 и 2,15 кг/дм3 и насыпной плотностью 0765 и 0,572 кг/дм3 соответственно;

• дисперсно-волокнистые микроармирующие волокна: полипропиленовая фибра производства фирмы Mega Mesh (Малайзия) с истинной плотностью 0,91 кг/дм3 и оптимальной дозировкой 1,5 % от массы цемента;

• суперпластификатор Асе 388 (С388) (Германия) с истинной плотностью 1,1 кг/дм3 при температуре 20±5 °С и оптимальной дозировкой 1 % от массы цемента для снижения водопотребности равнопод-вижных бетонных смесей на 30 %.

Методы исследования следующие:

• расчет предварительного состава бетонной смеси производился по методу абсолютных объемов;

• прочность бетона на сжатие определяли в соответствии с требованиями ГОСТ 10180-20121.

результаты исследовании

Расчет состава бетонной смеси. Предварительное проектирование состава ВКМЗБ производилось по методу абсолютных объемов [17-19], в соответствии с которым был выполнен расчет предварительного состава мелкозернистой бетонной смеси, предназначенной для получения ВКМЗБ, содержащего органоминеральные модифицирующие добавки (табл. 1).

Математическое моделирование влияния входных факторов на прочность бетона при сжатии путем планирования первого порядка. Далее с помощью метода математического планирования эксперимента было проведено моделирование влияния входных факторов на прочность при сжатии бетонных образцов из ВКМЗБ размером 100 х 100 х х 100 мм в возрасте 28 сут нормального твердения

(^2В8КМЗБ, МПа).

В качестве входных переменных факторов, влияющих на прочность ВКМЗБ, были выбраны расходы сырьевых ингредиентов: цемента (Ц), воды (В), песка (П), золы-уноса (ЗУ), золы рисовой шелухи (ЗРШ), суперпластификатора Асе 388 (С388) и полипропиленовых тонкодисперсных волокон (ПТВ). Чтобы уменьшить количество экспериментов, расходы ЗРШ, С388 и ПТВ были выбраны постоянными и равными соответственно 10 %, 1 % и 1,5 % от массы цемента. В виде входных факторов, влияющих на прочность ВКМЗБ при сжатии, были выбраны: ЗУ

X — отношение — в пределах 0,45.. .0,55;

отношение

П Вяж

в пределах 0,8...1,2, где

Вяж = Ц +ЗУ +ЗРШ;

В

х3 — отношение — в пределах 0,32.0,36 (табл. 2). Ц

Число необходимых опытов N в планировании первого порядка определяется по формуле

N = 2к = 23 = 8,

(1)

1 ГОСТ 10180-2012. Бетоны. Методы определения проч-

ности по контрольным образцам

Табл. 2. Уровни факторов и интервалы варьирования

где k — количество входных факторов.

Входные факторы Уровни варьирования Интервал

в натуральном виде в виде переменных -1 0 +1 варьирования 5

ЗУ Ц x1 0,45 0,50 0,55 0,05

П Вяж Х2 0,8 1 1,2 0,2

В Ц Х3 0,32 0,34 0,36 0,02

00

Ф

0 т

1

S

*

о

У

Т

0 2

1

К)

В

г

3 У

о *

9

x

2

Табл. 3. Составы ВКМЗБ, рассчитанные по методу ортогонального центрального планирования первого порядка

В виде переменных В натуральном виде Составы ВКМЗБ, кг/м3

*1 *3 ЗУ Ц П Вяж В Ц ц ЗУ ЗРШ П В С388 ПТВ

+1 + 1 + 1 0,55 1,2 0,36 535 294 54 1060 193 5,35 8,03

-1 + 1 + 1 0,45 1,2 0,36 565 254 57 1051 203 5,65 8,48

+1 -1 + 1 0,55 0,8 0,36 623 343 62 822 224 6,23 9,35

-1 -1 + 1 0,45 0,8 0,36 657 296 66 815 237 6,57 9,86

+1 + 1 -1 0,55 1,2 0,32 547 301 55 1084 175 5,47 8,21

-1 + 1 -1 0,45 1,2 0,32 579 261 58 1078 185 5,79 8,69

+1 -1 -1 0,55 0,8 0,32 640 352 64 845 205 6,40 9,60

-1 -1 -1 0,45 0,8 0,32 676 304 68 838 216 6,76 10,14

Табл. 4. Прочность на сжатие образцов ВКМЗБ, испытанных в возрасте 28 сут

В натуральном виде Прочность на сжатие ,КВ8кмзб, МПа Ошибки дисперсии Б.2

ЗУ Ц П Вяж В Ц У ср = R ср I I У (У1 <* - У1 )2

0,55 1,2 0,36 65,2 65,6 64,4 65,07 65,42 0,123 0,37

0,45 1,2 0,36 64,0 64,8 64,0 64,27 65,42 1,323 0,21

0,55 0,8 0,36 62,4 62,6 62,4 62,48 61,47 1,02 0,02

0,45 0,8 0,36 61,6 61,8 62,4 61,95 61,47 0,23 0,17

0,55 1,2 0,32 70,5 68,8 70,8 70,03 69,57 0,212 1,15

0,45 1,2 0,32 71,4 70,4 70,0 70,60 69,57 1,061 0,52

0,55 0,8 0,32 66,0 65,6 64,4 65,33 65,62 0,084 0,69

0,45 0,8 0,32 64,0 64,4 64,8 64,40 65,62 1,488 0,16

Мах£ = 1,15 - У, )2 = 5,541 Е Б2 = 3,29

00 О

№

О >

с во

N ^

2 о

н *

о

X 5 I н

о ф

ю

Составы ВКМЗБ, рассчитанные с помощью метода ортогонального центрального планирования первого порядка, приведены в табл. 3, а значения их прочности на сжатие в возрасте 28 сут нормального твердения — в табл. 4.

Проверка воспроизводимости опытов. Гипотезу о воспроизводимости опытов (об однородности дисперсий) проверяют с помощью критерия Кохрена Орасс. Расчетное значение критерия Кохрена вычисляют по формуле

тах £2 (-)

(2)

расс

2

Тогда О = 0,5157.

кр '

Учитывая значения прочности на сжатие образцов из ВКМЗБ размером 100 х 100 х 100 мм в возрасте 28 сут:

Б2 = £Б2 =3,29 и тахБ2 = 1,15

^ Часе =

тах £ 1,15

Е

3,29

= 0,34954.

Критическое значение критерия Кохрена Окр = = ОД,/2) находят из табл. 4.36 распределения Кохрена работы [20] по числу:

• степеней свободы числителя / = k - 1= 3 - 1 = 2;

• знаменателя / = N = 8;

• уровня значимости а = 0,05.

Имеем О = 0,34954 < О = 0,5157, следова-

расс ^ кр ^ ^

тельно, гипотеза об однородности дисперсий принимается.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии рассчитаны по формулам

Е —

Ъ = ^-у/ = °...3'

]

8

Табл. 5. Значения критерия Стьюдента коэффициентов уравнения регрессии первого порядка

Пара- Итерация J

метры 0 1 2 3 4 5 6 7

b. b0 = 65,52 b1 = 0,212 b2 = 1,975 b3 = -2,075 b12 = -0,155 b23 = -0,748 b31 = 0,122 bm = 0,23

65,52 0,212 1,975 2,075 0,155 0,748 0,122 0,23

bj 102,215 0,331 3,081 3,237 0,242 1,167 0,190 0,359

Ё x<x»y j

b. =

JU

8

■ Vj, u = 1, n ; j ф u.

(3)

Значения их получаются следующими:

Коэффициент b0 b1 b2 b3 b12 b23 b31 b123

R28 ВКМЗБ' МПа 65,52 0,212 1,975 -2,075 -0,155 -0,748 0,122 0,23

s - S2 =

3,29

8

- 0,641.

(7)

z(y, cp - Y)

S2 = ад N - m

S2

F = ^

расс г, 2 >

S77

(9) (10)

По результатам расчетов получили следующее уравнение регрессии:

У, = Я2* = 65,52 + 0,212х, + 1,975х_ - 2,075х3 -

I ВКМЗЬ у у 1 у 2 у 3

- 0,155х,х2 - 0,748х2х3 + 0,122х3х, + 0,23х1х2х3. (4)

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии проводится по критерию Стьюдента (/а(/2)). Коэффициент Ь. считается значимым, если выполняется условие

Ь > ^ /X (5)

где /а (/2) — критическое значение распределения Стьюдента.

При значимом уровне а = 0,025 и степени свободы /2 = N • ^ - 1) = 8 • (3 - 1) =16 из табл. 3.2 из книги [20] следует, что

'0,025 (16) = 2,П".

Значения критерия Стьюдента для коэффициентов Ь. уравнения регрессии определяют по формуле

1*1

t * = ^. (6)

Оценка дисперсии коэффициентов уравнения регрессии S определяется по формуле

где — рассчитанное по уравнению регрессии значение отклика; N — число всех возможных испытаний, N = 8; т — число оцениваемых коэффициентов регрессии, т = 3.

Рассчитанное значение ^та6 / /2) сравнивается со значением табл. 3.5 [20], определяемым числами степеней свободыN = 8 и/2 = N - т = 8 - 3 = 5. Таким образом, критическое значение: ^табл (8, 5) = = 3,6875.

т 5,541 Тогда Sag =-= 1,1

>-3

и S2 = 3,29 ^

S 111

^ FMCC = -Ц- = ^ = 0,337, а F = 0,337 < F6 =

S1 3 29 расс ^ таб

= 3,6875, следовательно, уравнение (4) удовлетворяет результатам практического эксперимента.

С помощью компьютерной программы Maple 13 получено изображение поверхности выражения целевой функции Y = ^Вкшб (рис. 1).

Значения критерия Стьюдента коэффициентов уравнения регрессии (4) приведены в табл. 5.

После проверки значимости коэффициентов незначимые коэффициенты были отброшены, в результате чего получено уравнение

= ЯВКМЗЬ = 65,52 +1,975Х2 - 2,075Х3. (8)

Проверка гипотезы об адекватности модели основана на расчетах дисперсии адекватности SаД и критерия Фишера F :

А А А оасс

i=1

Табл. 6. Результаты испытаний в почти стационарной области

П В Составы ВКМЗБ, кг/м3 Прочности

Вяж Ц ц ЗУ ЗРШ П В С388 ПТВ на сжатие R2В8КМЗБ, МПа

1 0,36 591 296 59 946 213 5,91 8,87 65,6

0,8 0,32 657 329 66 842 210 6,57 9,86 71,4

0,6 0,28 741 371 74 712 207 7,41 11,12 68,6

Табл. 7. Уровни факторов и интервалы варьирования планирования второго порядка

Входные факторы Уровни варьирования Интервалы

В натуральном виде В виде переменных -а -1 0 +1 +а варьирования 5

П Вяж Х2 0,52 0,6 0,8 1,0 1,08 0,2 и 0,08

П Вяж Х3 0,292 0,30 0,32 0,34 0,348 0,02 и 0,008

Табл. 8. Характеристики ортогонального центрального композиционного планирования

Число факторов п Число опытов в ядре плана 2" Значение «звездного плеча» а Число опытов в «звездных точках» 2п Число опытов в центре плана N

2 22 1,414 4 5

3 23 1,682 6 6

4 23 2,000 8 7

Табл. 9. Составы ВКМЗБ, рассчитанные по методу планирования второго порядка

В виде переменных В натуральном виде Составы ВКМЗБ, кг/м3

Х2 Х3 П Вяж В Ц ц ЗУ ЗРШ П В С388 ПТВ

+1 +1 1,0 0,34 599 300 60 959 204 5,99 8,99

-1 +1 0,6 0,34 707 354 71 679 240 7,07 10,61

+1 -1 1,0 0,3 614 307 61 982 184 6,14 9,21

-1 -1 0,6 0,3 729 365 73 700 219 7,29 10,94

+1,414 0 1,08 0,32 588 294 59 1016 188 5,88 8,82

-1,414 0 0,52 0,32 746 373 75 621 239 7,46 11,19

0 +1,414 0,8 0,348 645 323 65 826 224 6,45 9,68

0 -1,414 0,8 0,292 670 335 67 858 196 6,70 10,05

0 0 0,8 0,32 657 329 66 842 210 6,57 9,86

0 0 0,8 0,32 657 329 66 842 210 6,57 9,86

0 0 0,8 0,32 657 329 66 842 210 6,57 9,86

0 0 0,8 0,32 657 329 66 842 210 6,57 9,86

0 0 0,8 0,32 657 329 66 842 210 6,57 9,86

00 О

№

О >

с а

N ^

2 о

н *

о

X 5 I н

о ф

ю

Табл. 10. Прочность на сжатие образцов ВКМЗЬ, испытанных в возрасте 28 сут

П В В виде переменных ЯКо. МПа

Вяж Ц Х2 х3 х22 х2х3 х3 У

1,0 0,34 1 1 1 1 1 64,30 70,17

0,6 0,34 -1 1 1 -1 1 62,87 65,49

1,0 0,3 1 -1 1 -1 1 68,50 66,47

0,6 0,3 -1 -1 1 1 1 62,60 61,78

1,08 0,32 1,41 0 2 0 0 72,30 69,93

0,52 0,32 -1,41 0 2 0 0 64,20 63,32

0,8 0,348 0 1,41 0 0 2 73,60 67,94

0,8 0,22 0 -1,41 0 0 2 60,30 62,72

0,8 0,32 0 0 0 0 0 73,50 75,37

0,8 0,32 0 0 0 0 0 76,75 75,37

0,8 0,32 0 0 0 0 0 73,85 75,37

0,8 0,32 0 0 0 0 0 77,25 75,37

0,8 0,32 0 0 0 0 0 75,50 75,37

Рис. 1. Изображение поверхности уравнения первого порядка (8)

Из полученных результатов планирования эксперимента первого порядка можно сделать следующие выводы:

1. ВКМЗЬ, содержащие органоминеральные модификаторы, включающие золу рисовой шелухи, золу-уноса, суперпластификатор Асе 388 и полипропиленовые тонкодисперсные волокна, имеют целевую функцию планирования эксперимента первого порядка прочность на сжатие в возрасте 28 сут нормального твердения ЯВ8КМЗЬ, МПа, зависящую от П В

переменных х2 (-) и х3 (—) по уравнению (8).

Вяж

Ц

Поэтому эти соотношения были использованы в качестве центра для планирования второго порядка.

Математическое моделирование влияния входных факторов на прочность бетона при сжатии путем ортогонального центрального планирования второго порядка Бокса—Уильсона.

Расходы ЗУ, ЗРШ, С388 и ПТВ были выбраны постоянными и равными соответственно 50 %, 10 %, 1 % и 1,5 % от массы цемента. В виде входных факторов, влияющих на прочность на сжатие мелкозернистых бетонных образцов, рассматриваются (табл. 7):

- в пределах от 0,52 до 1,08;

П

х — отношение -2 Вяж

2. Из уравнения регрессии (8) следует, что при П

увеличении соотношения-и уменьшении соотВ Вяж ношения — прочность на сжатие экспериментальных бетонных образцов возрастает. Влияние соот-ЗУ . .

ношения — (х1) незначительно и поэтому им можно

пренебречь.

Почти стационарная область в экспериментальном планировании. Данную почти стационарную область, в которой изменение параметра У мало, не удается полностью описать линейным полиномом. Однако достаточно адекватным для нее является полином второй степени, анализ которого позволяет определить экстремум внутри этой области (табл. 6).

Из приведенных в табл. 6 результатов испы-

ПВ

таний следует, что при-= 0,8 и — = 0,32 до-

Вяж Ц

стигается наибольшая прочность бетона на сжатие.

В

х3 — отношение — в пределах от 0,292 до 0,348.

Характеристики ортогонального центрального композиционного планирования приведены в табл. 89 [8].

Число опытов ортогонального композиционного планирования второго порядка определяется по формуле (11):

N = 2к +2 • k + N.

(11)

где к — число факторов, к = 2; N0 — число повторяющихся экспериментов в центре, N = 5. Следовательно, N = 22 + 2 • 2 + 5 = 13.

Составы ВКМЗЬ, рассчитанные с помощью метода ортогонального центрального планирования второго порядка, приведены в табл. 9, значения их прочности на сжатие в возрасте 28 сут нормального твердения — в табл. 10.

Для вычисления коэффициентов регрессионного уравнения второго порядка и соответствующих оценок дисперсий первоначально находят следующие константы [12]:

00

Ф

0 т

1

*

О У

Т

0

г

1

К)

В

г

3

у

о *

9

A =

B =

2 B [( n + 2 ) B - n ]'

nN

(n + 2) (N - N0) ' N

C = -

(12)

I X

j=i

Далее на основании результатов эксперимента вычисляют следующие суммы:

N N _

S0 = I У. , Si = I ХцУ] , i = 1..'n>

j=1

j=1

S^^x^iïk, S,, =Ij . (13)

i=1

j=1

Формулы для расчета коэффициентов математической модели будут иметь следующий вид:

b =

2AB

N

S0 B(n + 2) - CI Su

C 2 S

b„„ = (i ф k),

b=

CSl

N

BN

(14)

ЛС

bu=-\SuC[B(n + 2)-n] +

+ C(l-B)^Su-2BSIJ

(15)

00 о

№

о >

с

во

<n

Коэффициенты b0 Ь2 b3 Ь22 Ь33 Ь23

R28 ВКМЗВ' МПа 75,37 2,344 1,853 -4,371 -5,021 -1,118

По результатам расчетов получили следующее уравнение регрессии:

Y = ^ВКМЗВ = 75,37 + 2,344Х + 1,853Х -

- 4,37Ц2 - 5,021x32 - 1,118x2x3. (16)

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии проводится по критерию Стьюдента f)).

При значимом уровне а = 0,025 и степени свободы f = m - 1 = 5 - 1 = 4 полученное из табл. 3.2 [20] t0025(4) = 2,7764. Значения критерия Стьюдента tbjдля коэффициентов b. определяются по формуле

tbJ S„,

(17)

Оценки дисперсии коэффициентов уравнения регрессии Sbj определяются по формуле

=

(18)

14

где &и — оценка дисперсии ошибок наблюдения, определяемая по формуле

I (j Y )2

S/2 =■

m -1

(19)

где п — число факторов, п =2; N — общее число опытов ротатабельного планирования, N = 13; N — число опытов в центре плана, N = 5.

С использованием формул (12)-(15) для расчета коэффициентов ортогонального центрального планирования второго порядка были получены следующие значения коэффициентов регрессионного уравнения:

где т — число повторяющихся экспериментов в центре, т = N = 5; У0. — полученное значение /-го эксперимента в центре; У0 — среднее значение т экспериментов в центре,

1 m 1 5

т5Х= 75,37

m n=1 5 1 = 1

(20)

Также здесь Ex2, — общее количество площади столбцов x. эмпирической матрицы с двухуровневой планировкой оптимального уровня; Ex2 = N, где N— число всех возможных испытаний, N = 13.

Тогда S2U = 2,816.

Значения критерия Стьюдента коэффициентов уравнения регрессии (16) приведены в табл. 11.

S о

H >

о

X

s

I h

О ф

tû

Табл. 11. Значения критерия Стьюдента коэффициентов уравнения регрессии второго порядка

Параметр Итерация j

0 2 3 4 5 6

b. b0 = 75,37 b2 = 2,344 b3 = 1,853 b22 = -4,371 b33 = -5,021 b23 = -1,118

bj 75,37 2,344 1,853 4,371 5,021 1,118

Sj, 0,750 0,593 0,593 0,637 0,637 0,839

tbj 100,435 3,951 3,123 6,864 7,885 1,332

1

а б

Рис. 2. Изображение поверхности: а — и горизонтали; б — регрессионного уравнения второго порядка (21)

После проверки значимости незначимые коэффициенты были отброшены, в результате чего получено уравнение

Y = R28 = 75 37 + 2 344* +

12 ЛВКМЗБ /J'J/

+ 1,853*3 - 4,371 х22 - 5,021 х32.

(21)

Тогда Sd = 12,707; S2 = 2,816

^ F = — =

расс г<2

S 77

S2 12,707

2,816

= 4,52

Проверка адекватности уравнения регрессии экспериментальным данным проводится по критерию Фишера, расчетное значение которого представляет собой следующее отношение:

Так как F = 4,52 < F (8, 4) = 6,0410, то экс-

расс ' 0,05 4 ' ' ' '

периментальная модель, описываемая уравнением (21), является адекватной.

С помощью компьютерной программы Maple 13 было получено изображение поверхности выражения целевой функции Y = ^ВкМЗБ (рис. 2).

V 2

F = ^

расс ^»2 '

(22)

где Б2 — оценка дисперсии воспроизводимости эксперимента; — оценка дисперсии неадекватности, которая определяется по формуле

Е (У - У )2

S2 =-

N - B

(23)

где В — число коэффициентов в регрессионном уравнении второго порядка, обладающих значимостью, В = 5; У. — наблюдаемое значение 1-го эксперимента; У — полученное значение экспериментальной функции в соответствии с 1-м экспериментом; Fа / /2) — значение критерия Фишера, полученное из табл. 3.5 [20], при значимом уровне а = 0,05; / — число степеней свободы для остаточной дисперсии, / = N - В =13 - 5 = 8; / — число степеней

свободы для оценки дисперсии наблюдений, /2 = П

= т - 1= 5 - 1 = 4. Следовательно, F005 (8, 4) = 6,0410. = 75,855 МПа при ^ж = 0,854 и Ц = 0,324.

ВЫВОДЫ

На основе полученных результатов планирования эксперимента первого и второго порядка можно сделать следующие выводы:

1. Полученные регрессионные уравнения (8) и (21), соответственно первого и второго порядка адекватно описывают зависимость прочности на сжатие ВКМЗБ в возрасте 28 сут нормального твердения от соотношений сырьевых компонентов

П В X. (-) и X, (—).

2VВяж 3VЦ

2. С помощью компьютерной программы Maple 13 было определено максимальное значение целевой функции прочности ВКМЗБ на сжатие в возрасте 28 сут нормального твердения в регрессионном уравнении второго порядка (21) в зависимости входных факторов — соотношения сырьевых компонентов в мелкозернистой бетонной смеси — ^ВкМЗб =

В

00

Ф

0 т

1

S

*

о

У

Т

о 2

К)

В

г

3 У

о *

9

i=1

ЛИТЕРАТУРА

со о

№

о >

с

10

N ^

S о

H >

о

1. Ферронская А.В. Долговечность конструкций из бетона и железобетона. M. : Изд-во АСВ, 2оо6. 335 c.

2. Рапопорт П.Б., Рапопорт Н.В., Кочетков А.В. и др. Проблемы долговечности цементный бетонов // Строительные материалы. 2о11. № 5. С. 38-41.

3. Баженов Ю.М. Tеxнология бетона. M. : Изд-во АСВ, 2о11. 524 c.

4. Власов В.К. Закономерности оптимизации состава бетона с дисперсными минеральными добавками // Бетон и железобетон. 1993. № 4. C. Ю-12.

5. Баженов Ю.М. Высококачественный тонкозернистый бетон // Строительные материалы. 2ооо. № 2. C. 15-16.

6. Баженов Ю.М., Демьянова В.С., Калашников В.И. Mодифицированные высококачественные бетоны. M. : Изд-во АСВ, 2оо6. 37о с.

7. Shah S.P., AhmadS.H. High performance concrete: Properties and applications. McGraw-Hill, 1994. 4о3 p.

8. Mehta P.K., Monteiro P.J. Concrete — Structure, Properties and Materials. University of California at Berkeley, 2оо6. 684 p.

9. Pham Hüu Hanh. Bê tông cuong do cao - Bê tông chat lugng cao. Truàng Bai hoc Xây dung. Hà Nôi, 2оо9. Tr. 8о [Фам Хыу Хань. Высокопрочные бетоны и высококачественные бетоны. Ханой : Строительный университет, 2оо9. 8о c.].

10. Täng Vän Lâm. Nghiên cúu che tao bê tông hat min chat luong cao dùng cho mat duong sân bay. Luán van Thac sy, 2о1о. Tr. 98 ^анг Ван Лам. Изучение производства высококачественного мелкозернистого бетона, используемого в аэродромный покрыти-яx : дипломн. работа ... магистра теxнологии. Ханой. 2о1о. 98 с.].

11. Nguyên Minh Tuyên. Quy hoach thuc nghiêm. NXB Khoa hoc và Ky thuât, Hà Noi, 2оо7. Tr. 264.

Поступила в редакцию в октябре 2016 г. Принята в доработанном виде в декабре 2016 г. Одобрена для публикации в феврале 2017 г.

Об авторах: Танг Ван Лам — аспирант кафедры технологии вяжущих веществ и бетонов, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];

Булгаков Борис Игоревич — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры технологии вяжущих веществ и бетонов, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

Александрова Ольга Владимировна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры технологии вяжущих веществ и бетонов, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

(Нгуен Минь Туен. Планирование эксперимента. Ханой : Издательство науки и техники, 2007. 264 c.)

12. Абомелик Т.П. Методология планирования эксперимента. Ульяновск, 2006. 37 с.

13. Астахова Л.Г. Лекции по дисциплине «Математическая теория планирования эксперимента». Владикавказ, 2013. 96 с.

14. Конопленко Е.И., Хореева Н.К., Лапусь А.П. Методические указания по курсу «Планирование эксперимента» для студентов заочной формы обучения. М. : Мос. гос. ун-т пищевых производств, 2011. 41 с.

15. Образцов И.В. Оптимизация зерновых составов цементно-минеральных смесей для производства строительных композитов методами компьютерного моделирования : дис. ... канд. техн. наук. Тверь, 2014. 131 с.

16. Штигальский В.Н. Оптимизация составов цементобетона. Кишинев : Штиинца, 1981. 180 с.

17. Pham Hüu Hanh, Lê Trung Thành. Bê tông cho công trinh bien. NXB Xây dung. Hà Nôi. 2012. Tr. 216 [Фам Хыу Хань, Ле Чунг Тхань. Бетон для морских сооружений. Ханой, 2012. 216 с.].

18. Pham Duy Hüu, Nguyên Ngoc Long. Bê tông cuong dô cao và chát luong cao. NXB Xây dung. Hà Nôi. 2008. Tr. 151 [Фам Дуй Хыу, Нгуен Нгок Лонг. Высокопрочные и высококачественные бетоны. Ханой, 2008. 151 c.].

19. Tang Van Lâm, Dào Viêt Doàn. Bê tông công trinh Ngàm và Mo. NXB Xây Dung. Hà Nôi. 2015. Tr. 378. [Танг Ван Лам, Дао Виет Доан. Бетоны, предназначенные для строительства метро и шахт Ханой, 2015. 378 с.].

20. Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. M. : Наука, 1983. 416 с.

X S I h О Ф tû

REFERENCES

1. Ferronskaya A.V. Dolgovechnost' konstruktsiy iz betona i zhelezobetona [Durability of Structures Made

of Concrete and Reinforced Concrete]. Moscow, ASV Publ., 2оо6, 335 p. (In Russian)

2. Rapoport P.B., Rapoport N.V., Kochetkov A.V. et al. Problemy dolgovechnosti tsementnykh bet-onov [Problems of Durability of Cement Concretes]. Stroitel'nye materialy [Construction Materials]. 2011, no. 5, pp. 38-41. (In Russian)

3. Bazhenov Yu.M. Tekhnologiya betona [Technology of Concrete]. Moscow, ASV Publ., 2011, 524 p. (In Russian)

4.Vlasov V.K. Zakonomernosti optimizatsii sos-tava betona s dispersnymi mineral'nymi dobavkami [Patterns of Optimization of the Concrete Composition with Dispersed Mineral Additives]. Beton i zhelezobe-ton [Concrete and Reinforced Concrete]. 1993, no. 4, pp. 10-12. (In Russian)

5. Bazhenov Yu.M. Vysokokachestvennyy tonkoz-ernistyy beton [High-quality Fine-Grained Concrete]. Stroitel'nye materialy [Construction Materials]. 2000, no. 2, pp. 15-16. (In Russian)

6. Bazhenov Yu.M., Dem'yanova V.S., Kalash-nikov V.I. Modifitsirovannye vysokokachestvennye betony [Modified High-Quality Concretes]. Moscow, ASV Publ., 2006, 370 p. (In Russian)

7. Shah S.P., Ahmad S.H. High performance concrete: Properties and applications. McGraw-Hill, Inc. 1994, 403 p.

8. Mehta P.K., Monteiro P.J. Concrete — Structure, Properties and Materials. University of California at Berkeley, 2006, 684 p.

9. Pham Hùu Hanh. Bê tông cuong dô cao- Bê tông chât luang cao [High-Strength Concrete And High Performance Concrete]. Hanoi, Construction University, 2009. 80 p. (In Vietnamese)

10. Tang Van Lâm. Nghiên cùu chê tao bê tông hat min chât luang cao dùng cho mât duong sân bay [Research Grained Concrete Manufacturing High Quality For Airport Pavement : Master's thesis]. Hanoi, 2010, 80 p. (In Vietnamese)

11. Nguyên Minh Tuyên. Quy hoach thuc nghiêm [Experimental Planning]. Hanoi, NXB Khoa hoc và Ky thuât, 2007, 264 p. (In Vietnamese)

12. Abomelik T.P. Metodologiya planirovaniya eksperimenta [Methodology of Experiment Planning]. Ul'yanovsk, 2006, 37 p. (In Russian)

13. Astakhova L.G. Lektsiipo distsipline «Matema-ticheskaya teoriya planirovaniya eksperimenta» [Lectures on the Discipline "Mathematical Theory of Experiment Planning"]. Vladikavkaz, 2013, 96 p. (In Russian)

14. Konoplenko E.I., Khoreeva N.K., Lapus' A.P. Metodicheskie ukazaniya po kursu «Planirovanie eksperimenta» dlya studentov zaochnoy formy obu-cheniya [Methodical Instructions for the Course "Planning Experiments" for Students in Correspondence Courses]. Moscow, Moscow State University of Food Production, 2011, 41 p. (In Russian)

15. Obraztsov I.V. Optimizatsiya zernovykh sos-tavov tsementno-mineral'nykh smesey dlyaproizvodstva stroitel'nykh kompozitov metodami komp'yuternogo modelirovaniya [Optimization of Grain Compositions of the Cement-Mineral Mixtures for the Construction Composites Production by the Computer Modeling Methods : Thesis of Candidate of Technical Sciences]. Tver', 2014, 131 p. (In Russian)

16. Shtigal'skiy V.N. Optimizatsiya sostavov tse-mentobetona [Optimization of the Cement-Concrete Compounds]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1981, 180 p. (In Russian)

17. Pham Hùu Hanh, Lê Trung Thành. Bê tông cho công trinh biên [Concrete for the Marine Structures]. Hanoi, NXB Xây dung Publ., 2012, 216 p. (In Vietnamese)

18. Pham Duy Hùu, Nguyên Ngoc Long. Bê tông cuong dô cao và chât luang cao [High-Strength Concrete And High Quality]. Hanoi, NXB Xây dung Publ., 2008, 151 p. (In Vietnamese)

19. Tang Van Lâm, Bào Viêt Boàn. Bê tông công trinh Ngâm và Mo [Concrete Buildings and Underground Mining.]. Hanoi, NXB Xây Dung Publ., 2015, 378 p. (In Vietnamese)

20. Bol'shev L.N., Smirnov N.V. Tablitsy matema-ticheskoy statistiki [Tables of Mathematical Statistics]. Moscow, Nauka Publ., 1983, 416 p. (In Russian)

Received in October 2016.

Adopted in revised form in December 2016.

Approved for publication in February 2017.

About the authors: Tang Van Lam — Postgraduate student, Department of the Technology of Binders and Concretes, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];

Bulgakov Boris Igorevich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of the Technology of Binders and Concretes Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];

Alexandrova Olga Vladimirovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department Technology of Binders and Concretes, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

m

ф

0 т

1

s

*

о

У

Т

0 s

1

К)

В

г

3

у

о *

9