Математическое моделирование в оптимизации параметров посевного агрегата Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование в оптимизации параметров посевного агрегата

Д.Н. Раднаев, к.т.н., Бурятская ГСХА им. В.Р. Филиппова

Технологические процессы, технические системы и их компоненты относятся к числу сложных. Они характеризуются большим числом элементов, сложными пространственновременными связями, зависимостью общих свойств объекта не только от свойств составляющих его элементов, но и от характера связей между ними. Традиционные методы изучения и формализации сложных объектов и процессов, при которых основное внимание уделялось качественному и количественному описанию свойств объектов и составляющих их частей, не позволяют строить соответствующие действительности модели, отображающие связи объектов с окружающей средой, их функцию и многоуровневую структуру.

В связи с этим всё большее значение приобретает системный подход при рассмотрении сложных технических систем и технологических процессов. В отличие от традиционных методов изучения системный подход исходит из того, что специфика сложных объектов и процессов не исчерпывается свойствами составляющих их элементов, а обусловлена характером связей и отношений между ними [1, 2, 3].

Цель нашей работы — разработка основ методики построения математической модели объекта оптимизации.

Большое разнообразие сельскохозяйственных машин и агрегатов для обработки почвы и посева, форм и размеров их рабочих органов, различный состав машинно-тракторного парка в хозяйствах приводят к тому, что выбор технологических процессов представляет собой сложную многовариантную, трудноформали-зуемую задачу. Исходными материалом для её решения служит функция технологического процесса, которая заключается в преобразовании конкретной площади необработанного поля из исходного состояния К0 в конечное засеянное Кк, определяемое агротехническими требованиями. Исходное состояние К0 задаётся набором параметров, характеризующих рельеф и размеры поля, тип почвы и её физико-механические свойства. Конечное состояние Кк определяет информацию о фактическом времени окончания посева, наборе использованной техники и отклонениях от агротехнических требований. В описании функции известна информационная модель засеянного поля, определяющая её системные характеристики:

Кк = <Г, S, 2>, (1)

где F — набор выполняемых системой функций; S — структура системы;

Z — совокупность заданных параметров системы.

Технологический процесс со стороны целостности характеризуется как относительно обособленная часть производственного процесса, связанная с другими его частями; со стороны функции — как процесс качественного и количественного преобразования объектов производства из одного состояния в другое; со стороны структуры — как совокупность взаимосвязанных операций; со стороны совокупности заданных параметров — как техническая характеристика сложного объекта и его рабочих органов при выполнении конкретной операции.

Выбор критерия оптимальности — один из наиболее важных этапов моделирования и обусловлен разработкой оптимизационной модели, в которой задавалось достижение максимального или минимального значения какого-то экономического результата. Анализ экономических и технических критериев оценки эффективности машин и агрегатов показывает, что приведённые удельные затраты наиболее полно отвечают требованиям народно-хозяйственного подхода к выбору оптимального варианта [4].

Критерий оптимальности определяет смысловое содержание целевой функции. Целевая функция — это аналитическая форма выражения критерия оптимальности и в нашем случае будет иметь вид:

Зпр.уд Суд. + Ekyd. ^ тІП, (2)

где Суд. — себестоимость единицы продукции; Е — нормативный коэффициент эффективности капиталовложений; куд. — удельные капитальные затраты.

При этом сформулируем задачу выбора, которая состоит в том, чтобы при заданных технических ограничениях определить системные характеристики технологического процесса и его элементов, обеспечивающие агротехнические требования с наименьшими приведёнными затратами. Система ограничений определяет область протекания процесса, пределы изменения параметров и характеристик объекта. Техническими ограничениями выступают используемые в хозяйстве ресурсосберегающие приёмы обработки почвы и посева, состав машинно-тракторного парка и его техническая характеристика, набор типовых и специальных рабочих органов, множество основных и вспомогательных материалов.

Далее необходимо определить уравнения связи, которые являются математической формализацией системы ограничений. На основании предыдущих наших исследований можно предположить, что эффективность почвообрабатывающих посевных агрегатов зависит от следующих параметров [5]:

Э = /(В, Ж, т, N Q), (3)

где В — ширина захвата;

Ж — производительность; т — масса агрегата;

N — мощность трактора;

О — вместимость бункера.

В соответствии с возникающими проблемами по выявлению характера связей и отношений между параметрами нами предпринята попытка решить следующие задачи:

1) найти закономерности между основными параметрами посевных агрегатов;

2) установить зависимость между вместимостью бункера и шириной захвата;

3) определить параметры для посевных агрегатов с вместимостью бункера от 2,5 до 7 м3.

Из выражения (3) получить зависимость аналитически очень сложно, однако применение теории подобия, в частности, метода размерностей, приводит к положительным результатам [6].

В качестве основных независимых единиц выберем В, т и N. Тогда в критериальной форме выражение (3) примет вид:

или

fl

W ■ m Q

B ■ N W ■ m

B3

0

П - Q

2 B3

(4)

(5)

В ■ N

Полученные комплексы являются критериями подобия. Для лучшего выявления их физического смысла поделим П1 на П2 и получим:

П

(6)

Это выражение для подобных почвообрабатывающих посевных агрегатов имеет одно и то же значение (idem), а индикатор подобия, связывающий между собой коэффициенты подобия, имеет вид:

B2 ■Wc ■ mc

(7)

где Вс, Wc, mc,

Ос■ Nc

Qс, Nс — коэффициенты подобия, которые вычисляются на основании справочного материала [5].

При Nс

mc и Wc

Вс имеем:

A -1 =

B Q

Qc ’ Qc

b3

(8)

что указывает на кубическую зависимость ёмкости бункера Q от ширины захвата В.

Подставив численные значения из справочного материала в выражение (5) и поделив их, получим среднее значение подобия:

Ж ■ т О

П =------:Ц- = 120:0,0012 = 10000. (9)

В ■ N В3

1. Основные параметры почвообрабатывающих посевных агрегатов

N = 80 кВт; т = 10000 кг N = 140 кВт; т = 15000 кг N = 200 кВт; т = 20000 кг

О В W О В W О В W

1,75 5,1 4,6 4,0 7 6,3 6,25 9,0 8,1

2,5 3,6 3,2 4,75 5,9 5,3 7,0 8 7,2

3,25 2,8 2,5 5,5 5,1 4,6 7,15 7,2 6,5

Тогда для производительности можно составить следующую формулу:

N ■ О

W = П^-Ц . (10)

m ■ B2

Для упрощения данного выражения подставим эмпирические коэффициенты N/m = 0,0085; W/В = 0,9 из справочного материала в ранее известное соотношение Q = B3 и получим:

0 9 3 3

О = —■ B = 0,01 B . (11)

85

Так, при ширине посевного агрегата В = 4 м вместимость бункера будет равна Q = 0,64 м3, а если В = 8 м, то Q = 5,12 м3.

Для любой промежуточной модели почвообрабатывающего посевного агрегата можно получить основные характеристики из связи между

W ■ m Q безразмерными параметрами — и -=3 .

Решением математической модели является такой набор (совокупность) значений переменных, который удовлетворяет её уравнениям связи. Вместимость бункера (Q) для семян и минеральных удобрений при посеве зерновых культур — один из основных конструктивных параметров, определяющих эксплуатационноэкономические показатели посевного комплекса.

Смоделированные основные параметры почвообрабатывающих посевных агрегатов с вме-

стимостью бункера 2,5; 4,7; 7,0 м3 на основании выражения (6) представлены в таблице 1.

Из таблицы следует, что характер закономерностей (5 и 6) позволяет моделировать выбор параметров, что даёт возможность определять основные параметры почвообрабатывающих посевных агрегатов с оптимальными значениями в зависимости от условий их применения.

Таким образом, процесс построения математической модели можно условно разбить на следующие основные этапы: выбор критерия оптимизации; определение целевой функции; формулировка математической задачи; выбор и определение ограничений; определение уравнений, логических соотношений, характеризующих состояния объекта моделирования;

определение набора значений переменных, который удовлетворяет ее уравнениям и логическим соотношениям.

Литература

1. Веников В.А. Теория подобия и моделирования: учебное пособие для вузов. Изд. 2-е, доп. и перераб. М.: Высшая школа, 1976. 479 с.

2. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978. 400 с.

3. Волков С.Н. Экономико-математические методы в землеустройстве. М.: Колос, 2007. 696 с.

4. Саклаков В.Д., Сергеев М.П. Технико-экономическое обоснование выбора средств механизации. М.: Колос, 1973. 200 с.

5. Раднаев Д.Н. Определение основных параметров посевных агрегатов // Сибирский вестник сельскохозяйственной науки. 2010. № 10. С. 82-87.

6. АлабужевП.М., Геронимус В.Б., Минкевич Л.М. и др. Теория подобия и размерностей. М.: Высшая школа, 1968. 208 с.