CC BY
28
УДК 57-72:537.7
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ С ГОМОГЕННОЙ КОНДЕНСАЦИЕЙ В СВЕРХЗВУКОВЫХ СОПЛАХ
1КОРЕПАНОВ М. А., 2ГРУЗДЬ С. А.
1Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
2
Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7
АННОТАЦИЯ. Рассмотрено течение паров воды в сверхзвуковых соплах. Предложена математическая модель процесса гомогенной конденсации, учитывающая в выражении для скорости образования сверхкритических кластеров влияние турбулентности потока. Учет турбулентности обеспечивается за счет введения в уравнение скорости диффузионного образования сверхкритических кластеров значения коэффициента турбулентной диффузии. Проведено численное моделирование процессов в двухмерной осесимметричной и одномерной постановках. Показано хорошее качественное и количественное совпадение результатов расчетов по представленной математической модели с экспериментальными данными.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: гомогенная конденсация, сверхзвуковое сопло, турбулентная диффузия, сверхкритический кластер.
Исследованиям течений с гомогенной конденсацией в соплах, как экспериментальным, так и численным, посвящено большое количество работ как зарубежных, так и отечественных авторов [1 - 6]. Как правило, в работах, посвященных численному моделированию процесса гомогенной конденсации, в качестве модели образования новой фазы используется модель образования критических кластеров Френкеля-Зельдовича-Беккера-Дёринга [3 - 7]. Основным недостатком которой является необходимость введения дополнительного поправочного коэффициента, величина которого может изменяться на несколько порядков [5, 6, 8]. Кроме того, в уравнении для скорости образования критических кластеров используется коэффициент поверхностного натяжения жидкости, что вызывает серьезные возражения, когда размеры критических кластеров сопоставимы с размерами молекул конденсирующегося газа и составляют единицы ангстрем, даже с учетом различных поправок на кривизну поверхности, используемых во многих работах [5, 7].
В данной работе рассматривается течение вязкого тепловодного газа с гомогенной конденсацией в соплах, при этом в качестве модели образования новой фазы (сверхкритических кластеров) используется модель, основанная на теории быстрой коагуляции Смолуховского [9], и описанная в предыдущих работах авторов [10, 11].
Моделирование течения проводилось в двумерной осесимметричной постановке, с допущениями об односкоростной и однотемпературной среде, что можно обосновать малостью частиц зарождающейся фазы, как правило размер капелек конденсата при конденсации воды в соплах составляет 0,01^0,1 мкм. Система уравнений в цилиндрических координатах будет иметь вид [12 - 15]: - уравнение неразрывности:
уравнения импульса:
Эр 1 Э Э _
-^ + - — гру + — ри = 0; (1)
Эt г Эг Э2
Э Э Э 2 ЭР Эт.
—гри +--г ри\ +--г ри =-г--+ г—-, (2)
Эt Эг Э2 Э2 Э2
Э Э 2 Э ЭР Эгу.
—гр\ +--гр\ +--гри\ = -г--+ г—- , (3)
Эt Эг Э2 Эг Эг
где ц - тензор напряжений, подробное описание компонентов которого можно найти в [12], 1 = /м + е' Р, 1 - коэффициент динамической вязкости газа (молекулярная вязкость);
уравнение сохранения энергии: д ^ д „ д д
д
д , дТ д , дТ дуг- дик
— грЕ +--г руЕ +--гриЕ =--гуР--гиР +--гк--1--гк--+ г-
дt дг дх дг дх дг дг дх дх дг
+ г-- + гтИг, (4)
дх 7
где к - коэффициент теплопроводности газа, Ит- теплота фазового перехода, т - массовая скорость конденсации;
- уравнение для турбулентной вязкости е(модель Секундова) [13, 14]:
дре + друе + дрие
дt
где а =
1 _д_ г дг
де
р(2е+п) г — дг дх г дг _ дг
0,28' (е/ (7у))0,71 при е/ (7у) < 1 0,28 при е/ (7у)> 1'
ди
+ аре ду
12ре( 0'34е+п)+ 0,7еи р
S2 дх
(5)
S2 = г2 + 0,4гК + 0,004К^, К - эквивалентный размер песочной шероховатости, п = /м / р - кинематическая вязкость газа;
- уравнение числа сверхкритических кластеров Ы:
—грЫ + — груЫ + —гриЫ = гр' J, дt дг дх
где J - скорость роста образования ядер в единице объема в единицу времени;
- уравнение массовой доли конденсата О:
—грО + —груО + —гриО = г т, дt дг дх
(6)
(7)
где массовая скорость конденсации
т = 4р ' г2
• N, г = г ' з —
Р - Р.;
<2р—Т V 1
а гсг - радиус кластера (капли).
В уравнении для числа сверхкритических кластеров J = Кпё_1 пё-2 - скорость образования сверхкритических кластеров [9 - 11], пё-1, пё-2 - концентрации докритических кластеров, при коагуляции которых образуется сверхкритический кластер, К - постоянная скорости коагуляции, определяемая выражением:
К=8—>,
(8)
где — = Яё-1+Яё-2 - сумма радиусов докритических кластеров, Б = Бё-1+Бё-2 - коэффициент диффузии, являющийся суммой диффузий двух сталкивающихся кластеров, образующих другой более крупный. Для определения коэффициента диффузии может быть использована известная зависимость для коэффициента бинарной диффузии [16]. Концентрации докритических кластеров пё-1, пё-2 и давление определяются по модели расчета равновесного состава газовой смеси [17], основанной на методе расчета состава реагирующих смесей Алемасова [18] при известных плотности и температуре:
Т=-1
С
(
Е -
V V
2
2Л
Р = 7 (р, т):
Р = I Ря
п
квТ
где кв - константа Больцмана.
Здесь стоит также отметить, что сверхзвуковые течения в соплах характеризуются не только высокими скоростями, но и высокой турбулентностью. Известно также, что турбулентность усиливает перемешивание потока и существенно увеличивает диффузию
ё
ё
[14, 19]. Вследствие чего для многокомпонентных турбулентных потоков вводится понятие турбулентной диффузии:
A =e,
' Sc,
где Sct - турбулентное число Шмидта, принимаемое, как правило, равным 1 [14, 19]. В связи с тем, что турбулентная вязкость, как правило, на 3 - 4 порядка превосходит молекулярную вязкость в потоках с развитой турбулентностью, то и турбулентная диффузия на 3 - 4 порядка превосходит молекулярную. Таким образом, с учетом турбулентной диффузии выражение для коэффициента диффузии, входящего в уравнение (8), будет выглядеть следующим образом: D = Dg-1+Dg-2 + 2Dt.
По приведенной выше математической модели было проведено численное моделирование течений в сверхзвуковых соплах. На входе в сверхзвуковую часть сопла задавались давление, температура и скорость втекающего потока паров воды: P = 1924594 Па, T = 484,8 K, k = 1,32, R = 461 Дж/(кг К) (теплофизические параметры были определены с помощью online-калькулятора на сайте www.spiraxsarco.com [20]), а также начальный уровень турбулентной вязкости, который определялся на основании модели пути смешения Прандтля [21]:
ды
где lm = 0,14 - 0,08 ■ И - R
e = l
У
дг
- 0,06 • 11 - длина
(9)
пути смешения, определяемая по
формуле Никурадзе [22], у - расстояние от стенки. На выходе из сопла ставились условия свободного истечения.
На рис. 1, 2 приведены результаты расчетов для конического сопла с радиусом критического сечения 0,01 м и углом полураствора конуса а = 18,435° (а = агй§(1/3)).
R, м
0,015
0,01
0,005
500
480
460
440
420
400
380
0,005
0,01 0,015 0,02
Рис. 1. Поле температур
0,025
L, м T, K
На рисунке четко видна зона конденсации (выраженное увеличение температуры при I = 0,01 м по оси сопла). Вследствие подъема температуры из-за выделения тепла конденсации, также происходит изменение разгона сверхзвукового потока (рис. 2) - число
2
4
Маха на участке конденсации перестает расти. Следует отметить, что процесс конденсации и рост капель продолжается и далее по соплу, но с меньшей скоростью, и поэтому охлаждение газа за счет расширения преобладает над тепловыделением при конденсации.
К, м
0,015
0,01
0,005
0,005 0,01 0,015 0,02
Рис. 2. Распределение числа Маха по соплу
0,025
I, м М
Аналогичные расчеты с теми же исходными данными были проведены для сопла с радиусом критического сечения 0,015 м и тем же углом полураствора конуса (рис. 3, 4).
К, м
0,02
0,015
0,01
0,005
500
480
460
420
400
'380
0,005
0,01 0,015 0,02
Рис. 3. Поле температур
0'025 I, м Т, К
При этом можно отметить, что, несмотря на геометрическое подобие сопел, процесс конденсации в соплах больших размеров происходит гораздо раньше по приведенной длине сопла, что ранее было отмечено в работах авторов при расчетах по одномерной модели [23]. В частности это выражается в более существенном подъеме температуры, кроме того, зона конденсации в более крупных соплах смещается в сторону критического сечения, что связано с зависимостью процессов образования сверхкритических кластеров и их дальнейшего роста от времени пребывания определенных термодинамических условиях, которое увеличивается пропорционально увеличению линейных размеров сопла. Так максимум температуры вдоль оси при конденсации для сопла с Якр = 0,01 м равен 456 К и расположен в зоне 1/Яхр » 1, а для сопла с Якр = 0,015 м равен 477 К и расположен в зоне 1/ЯКр » 0,95.
Ъ, м
0,02
0,015
0,01
0,005
0,005
0,01 0,015 0,02
Рис. 4. Поле давлений
0,025
м Р, бар
Выделение теплоты в зоне конденсации и вызванное этим существенного повышение температуры также оказывает влияние на статическое давление в потоке. В зависимости от скорости расширения потока, зависящего от геометрии сопла, давление может замедлить падение или даже несколько увеличится. При этом в экспериментальных исследованиях для фиксации точки начала процесса конденсации используется, как правило, именно отклонение статического давления от случая адиабатного расширения без конденсации [2, 3, 15, 24].
В то же время стоит отметить, что большинство экспериментальных исследований проведено на прямоугольных соплах с фиксацией давления вдоль стенки. Для моделирования таких течений необходимо использование трехмерных моделей, что приводит к существенному увеличению вычислительной сложности задачи, т. к. в этом случае необходимо проводить численный эксперимент на сетке в несколько миллионов ячеек (шаг по сетке 10-5 м) при шаге по времени 10-10 с, что связано со скоростью процесса конденсации - роста капель, когда характерное время менее микросекунды.
Поэтому представляет интерес использование одномерной модели течения с учетом вязкости и турбулентности. В предыдущих работах авторов [23, 25] приведена математическая модель одномерного течения идеального газа по соплу с учетом гомогенной конденсации. Для учета вязкости газа в уравнения сохранения количества движения
(уравнение для скорости) и уравнение сохранения энергии (уравнение для температуры) должны быть добавлены слагаемые, отвечающие за диссипацию количества движения и работу сил вязкого трения. В этом случае система уравнений на первом этапе расчета (до образования порогового числа сверхкритических кластеров) будет выглядеть следующим образом:
- для числа (концентрации) сверхкритических кластеров
— - 3 йг '
для массы сверхкритических кластеров
йт
йг м2
0,
- для плотности газовой фазы
йр йг
- для температуры потока
&Т = (к - 1)М2 йг ~ М2 -1 ^ (х) йх
р
М2 -1 ^ (х) йх
ёр V т
— V - 3•gcr•ml,
(10) (11) (12)
Т
М2 -1 для скорости потока
-_Л
йг '
-т V +
• т,
АН^К + л_ V2
V
z
(
М2 -1
V
й¥ „ кМ ^ ---1-+
РоС
1 йО к -1 N йт
4К(х) Су
\
7Г, (13)
^ (х) йх 4Я(х) 1 - О йг а2 р0 йг
АН
сопй
для текущей координаты сопла
- для массовой доли конденсата
&Х - V
йг
йО 1 г
-г-- 3 ёа йг р
•т,
(14)
(15)
(16)
где gcr - число частиц в сверхкритическом кластере, т1 - масса единичной молекулы. Коэффициент сопротивления 1 в общем случае зависит от многих факторов, но для гладких труб и течений с числом Яе » 105 рекомендуется [26] использовать следующую зависимость:
1- 0,3164Яе-0,25.
На втором этапе производится расчет роста частиц новой фазы, при этом образование новых сверхкритических кластеров прекращается в первую очередь из-за снижения пересыщения. Система уравнений будет выглядеть следующим образом:
- для числа (концентрации) сверхкритических кластеров
— - 0, (17)
йг
- для массы сверхкритических кластеров (рост в условиях свободномолекулярного режима [8])
йт 2 Л - Л т -- 4р г , , г - г •з —
Л сг _ ' сг 1ч
йг _ к „ ^
- для плотности газовой фазы
йр йг
2ж—Т
т р
т
(18)
М р й¥ тт йт
--2---^---V - N--
М2 -1 ^ (х) йх йг
(19)
- для температуры потока
«т=_(к _1)Мт<у.у+.V, (20)
Л М2 _ 1 ^ (X) «X «г р0СУ 4Я(х) Су
Уравнения для скорости (14) и текущей координаты сопла (15) остаются неизменными. Во всех уравнениях ¥(х) - площадь поперечного сечения сверхкритической части сопла
(для конического сопла представляет собой линейную функцию от х), - производная,
«х
для простоты расчетов определяемая аналитически.
На каждом шаге интегрирования по времени по известным параметрам состояния р, Т производится расчет состава паров с учетом докритических кластеров (сверхкритические при этом из расчета исключаются) [25].
Для определения коэффициента турбулентной диффузии (для учета турбулентности течения) предлагается использовать модель пути смешения Прандтля (формула 9). А для определения градиента скорости поперек потока - известный закон распределения скорости турбулентного потока по сечению. В частности степенной закон следующего вида:
1
( У ^ 7
и=и 1—1,
тах ^ к j >
достаточно хорошо описывающий профиль скорости турбулентного потока при Яе = 4 104^105. Максимальная скорость потока (по оси) связана со средней скоростью по сечению соотношением итах = 1,22 • У [26].
На рис. 5 приведены результаты расчетов одномерного течения водяного пара с конденсацией в сопле для сравнения с учетом турбулентной диффузии и без нее.
Т,к Р/Ро
480.0 0.55
\ |\ \
460.0 0.45 \\
440.0 0.35 \
Т
420.0 0.25 •
• Р * •
400.0 0.15
0.0 20.0 40.0 1_,ММ
(точки - экспериментальные данные по давлению [3]) Рис. 5. Давление и температура по длине сопла с учетом и без учета турбулентной диффузии
Из графиков видно, что без учета турбулентной диффузии конденсация начинается значительно дальше по соплу и температура начала конденсации оказывается примерно на 10 К ниже. В то же время для сравнения на графике точками приведены результаты эксперимента [3] для сопла L (wet 1) с параметрами торможения потока P0 = 35,5 бар, Т0 = 562,4 К, которые хорошо совпадают с кривой давления, рассчитанной с учетом турбулентной диффузии.
На рис. 6 приведены результаты расчетов для сопоставления с экспериментальными данными [2]. Расчеты проведены с учетом турбулентной диффузии. Из графиков видно хорошее совпадение результатов расчетов с экспериментом. Исходные данные для расчетов приведены в табл. 1.
Р/Ро
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
, 5 \-\421 •ч щ
. 4 . 3
. 2
, л 8 10 12
8.0 ю.о 12.0 |_,ст
Рис. 6. Сравнение результатов расчета давления по длине сопла с экспериментом [2]
Таблица 1
Термодинамические параметры паров воды [2]
Эксперимент Р0, torr T, °C
410 530,5 104
417 525,2 106
421 501,1 112
Кроме того, в [2] приводятся результаты по определению размеров сверхкритических кластеров в момент начала конденсации методом рассеяния видимого света (лазер с длиной волны 514,5 нм). При этом по результатам эксперимента был получен размер сверхкритического кластера 4,4^5,0 А, а по результатам расчетов размер сверхкритического кластера составляет 23 молекулы (что связано с выбранной моделью образования сверхкритических кластеров) [25], и при эквимолярном радиусе молекулы воды в жидкой фазе равном 1,92 А составляет 5,4 А.
Таким образом, можно отметить, что введение в уравнение скорости образования сверхкритических кластеров коэффициента турбулентной диффузии повысило точность расчетов гомогенной конденсации при течениях в соплах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горбунов В. Н., Пирумов У. Г., Рыжов Ю. А. Неравновесная конденсация в высокоскоростных потоках газа. М. : Машиностроение, 1984. 200 с.
2. Moses C. A., Stein G. D. On the growth of steam droplets formed in a laval nozzle using both static pressure and light scattering measurements // Journal of Fluids Engineering, 1978, vol. 100, pp. 311-322.
3. Bakhtar F., Zidi K. Nucleation phenomena in flowing high-pressure steam: experimental results // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part A: Journal of Power and Energy, 1989, vol. 203, no. 3, pp. 195-200. doi:10.1243/PIME_PR0C_1989_203_027_02
4. Behesti Ameri H., Kermani M. J., Piroozi A. A. Parametric studies influencing condensation evolution in compressible steam flow // Heat Mass Transfer, 2015, vol. 51, pp. 1075-1084. doi: 10.1007/s00231-014-1479-x
5. Xiaofei Lv, Bofeng Bai. A multi-fluid model for non-equilibrium condensation in gaseous carrier flows // Applied Thermal Engineering, 2014, vol. 65, pp. 24-33.
6. Yong Yang, Shengqiang Shen. Numerical simulation on non-equilibrium spontaneous condensation in supersonic steam flow // International Communications in Heat and Mass Transfer, 2009, vol. 36, pp. 902-907.
7. Анисимов М. П. Нуклеация: теория и эксперимент // Успехи химии. 2003. Т. 72, № 7. С. 664-705.
8. Гидаспов В. Ю., Пирумов У. Г., Иванов И. Э., Северина Н. С. Модели образования наночастиц в потоках газа: Учебно-методический комплекс. Калуга, Москва : Изд-во «Эйдос», 2011. 214 с.
9. Волков В. А. Коллоидная химия. М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, 2001. 640 с.
10. Корепанов М. А., Груздь С. А. Математическое моделирование течений с гомогенной конденсацией // Химическая физика и мезоскопия. 2015. Т. 17, № 1. С. 55-63.
11. Корепанов М. А., Груздь С. А. Моделирование гомогенной конденсации с учетом квазиравновесной концентрации малых агломератов // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 1. С. 63-67.
12. Липанов А. М. Теоретическая гидромеханика ньютоновских сред. М.: Наука, 2011. 551 с.
13. Холщевникова Е. К. Изучение возможности использования дифференциальной модели турбулентной вязкости для описания перехода от ламинарного режима течения к турбулентному. Техн. отчет. ЦИАМ, 1980. 27 с.
14. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие / И. А. Белов, С. А. Исаев, СПб.: Изд-во Балтийского государственного университета, 2001. 108 с.
15. Ding H., Wang C., Chen C. Non-equilibrium condensation process of water vapor in moist air expansion through a sonic nozzle // Flow Measurement and Instrumentation, 2014. http://dx.doi.org/10.1016/j.flowmeasinst.2014.08.002i
16. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей: Справочное пособие / пер. с англ. под ред. Б. И. Соколова. Л.: Химия, 1982. 592 с.
17. Корепанов М. А., Груздь С. А. Расчет давления насыщенного пара с учетом малых агломератов // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 2. С. 223-230.
18. Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания: Справочник в 10 томах / В. Е. Алемасов, А. Ф. Дрегалин, А. П. Тишин, В. А. Худяков / под ред. В. П. Глушко. М.: ВИНИТИ, 1971-80. Т. 1-10.
19. Горбацкий В. Г. Газодинамические неустойчивости в астрофизических системах: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1999. 168 с.
20. URL: http://www2.spiraxsarco.com/esc/SH Properties.aspx?country id=ru&lang id=rus (дата обращения 15.06.2016).
21. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 576 с. URL: http://books.sernam.ru/book gam.php?id=33 (дата обращения 15.06.2016).
22. Ahmadi G. Advanced turbulence.
URL: http://web2.clarkson.edu/projects/fluidflow/courses/ me639/index.html (дата обращения 15.06.2016).
23. Корепанов М. А., Груздь С. А. Гомогенная конденсация паров воды при течении в соплах. Сравнение с экспериментальными данными // Химическая физика и мезоскопия. 2016. Т. 18, № 2. С. 215-224.
24. Dykas S., Majkut M., Strozik M., Smolka K. Experimental research on coarse water formation in steam condensing flow on a transition through the shock wave // Journal of Physics: Conference Series, 2014, vol. 530, p. 012023. doi:10.1088/1742-6596/530/1/012023
25. Корепанов М. А., Груздь С. А. Математическое моделирование течения с конденсацией в соплах // Труды Института механики УрО РАН «Проблемы механики и материаловедения». Ижевск, 2015. С. 119-134.
26. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.
27. Загузов И. С., Поляков К. А. Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 1: Учеб. пособие. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2001. 92 с.
MATHEMATICAL MODELING OF TURBULENT FLOW WITH HOMOGENEOUS CONDENSATION IN THE SUPERSONIC NOZZLE
1Korepanov M. A., 2Gruzd' S. A.
institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia 2Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The flow of water vapor in a supersonic nozzle is examined. A mathematical model of homogeneous condensation process, which takes into account in the expression for the rate of formation of supercritical clusters influence of turbulence, is proposed. The formation rate of supercritical clusters is determined in accordance with the Smoluchowski coagulation equation J = K■ng-1 -ng_2 as the multiplication of the concentrations of the colliding components, where K = 8pRD rate constant depends on the size of the colliding particles and it's diffusion rate in the gas mixture. Accounting turbulence provided by introducing into the expression for the rate constant of diffusion formation of supercritical clusters a values of the coefficient of turbulent diffusion Dt. In the simulation of turbulent flows by analogy with the molecular transport the turbulent diffusion coefficient associated with the turbulent viscosity through the turbulent Schmidt number - Dt = e/Sc. Numerical simulation of two-dimensional axisymmetric and one-dimensional flows has been done. For modeling of turbulence in a two-dimensional axisymmetric flows used Nut-92 model, and in one-dimensional flows - Prandtl mixing length model. The good qualitative and quantitative agreement between the results of calculations by presented mathematical model with experimental data are shown.
KEYWORDS: homogeneous condensation, supersonic nozzle, turbulent diffusion, supercritical cluster.
REFERENCES
1. Gorbunov V. N., Pirumov U. G., Ryzhov Yu. A. Neravnovesnaya kondensatsiya v vysokoskorostnykh potokakh gaza [Non-equilibrium condensation in the high-speed gas flows]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1984. 200 p.
2. Moses C. A., Stein G. D. On the growth of steam droplets formed in a laval nozzle using both static pressure and light scattering measurements. Journal of Fluids Engineering, 1978, vol. 100, pp. 311-322.
3. Bakhtar F., Zidi K. Nucleation phenomena in flowing high-pressure steam: experimental results. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part A: Journal of Power and Energy, 1989, vol. 203, no. 3, pp. 195-200. doi:10.1243/PIME_PR0C_1989_203_027_02
4. Behesti Ameri H., Kermani M. J., Piroozi A. A. Parametric studies influencing condensation evolution in compressible steam flow. Heat Mass Transfer, 2015, vol. 51, pp. 1075-1084. doi: 10.1007/s00231-014-1479-x
5. Xiaofei Lv, Bofeng Bai. A multi-fluid model for non-equilibrium condensation in gaseous carrier flows. Applied Thermal Engineering, 2014, vol. 65, pp. 24-33.
6. Yong Yang, Shengqiang Shen. Numerical simulation on non-equilibrium spontaneous condensation in supersonic steam flow. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2009, vol. 36, pp. 902-907.
7. Anisimov M. P. Nucleation: Theory and Experiment. Russian Chemical Reviews, 2003, vol. 72, no. 7, pp. 591-628.
8. Gidaspov V. Yu., Pirumov U. G., Ivanov I. E., Severina N. S. Modeli obrazovaniya nanochastits v potokakh gaza: Uchebno-metodicheskiy kompleks [Models of formation of nanoparticles in gas flows: Educational-methodical complex]. Kaluga, Moscow: Eydos Publ., 2011. 214 p.
9. Volkov V. A. Kolloidnaya khimiya [Colloid chemistry]. Moscow: MGTU im. A.N.Kosygina Publ., 2001.
640 p.
10. Korepanov M. A., Gruzd' S. A. Matematicheskoe modelirovanie techeniy s gomogennoy kondensatsiey [Mathematical modeling of flows with homogeneous condensation]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and mezoskopiya], 2015, vol. 17, no. 1, pp. 55-63.
11. Korepanov M. A., Gruzd' S. A. Modelirovanie gomogennoy kondensatsii s uchetom kvaziravnovesnoy kontsentratsii malykh aglomeratov [Modeling of homogeneous condensation taking into account the quasi-equilibrium concentration of small agglomerates]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and mezoskopiya], 2014, vol. 16, no. 1, pp. 63-67.
12. Lipanov A. M. Teoreticheskaya gidromekhanika n'yutonovskikh sred [Theoretical Fluid Newtonian fluids]. Moscow: Nauka Publ., 2011. 551 p.
13. Kholshchevnikova E. K. Izuchenie vozmozhnosti ispol'zovaniya differentsial'noy modeli turbulentnoy vyazkosti dlya opisaniya perekhoda ot laminarnogo rezhima techeniya k turbulentnomu. [Explore the use of differential eddy viscosity model to describe the transition from laminar flow to turbulent flow]. Tekhn. otchet TsIAM [Tech. report Central Institute of Aviation Motors], 1980. 27 p.
14. Modelirovanie turbulentnykh techeniy: Uchebnoe posobie [Simulation of turbulent flows: Textbook]. I. A. Belov, S. A. Isaev. St. Petersburg: BGU Publ., 2001. 108 p.
15. Ding H., Wang C., Chen C. Non-equilibrium condensation process of water vapor in moist air expansion through a sonic nozzle. Flow Measurement and Instrumentation, 2014. http://dx.doi.org/10.10167j.flowmeasinst.2014.08.002i
16. Reid R. C., Prausnitz J. M., Sherwood T. K. The Properties of Gases and Liquids. Third Edition, 1977. 688 р.
17. Korepanov M. A., Gruzd' S. A. Raschet davleniya nasyshchennogo para s uchetom malykh aglomeratov [The calculation of the saturated vapor pressure including small agglomerates]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and mezoskopiya], 2013, vol. 15, no. 2, pp. 223-230.
18. Termodinamicheskie i teplofizicheskie svoystva produktov sgoraniya: Spravochnik v 10 tomakh [Thermodynamic and transport properties of the products of combustion: Guide in 10 volumes]. V. E. Alemasov, A. F. Dregalin, A. P. Tishin, V. A. Khudyakov / pod red. V. P. Glushko. Moscow: VINITI Publ., 1971-80. Vol. 1-10.
19. Gorbatskiy V. G. Gazodinamicheskie neustoychivosti v astrofizicheskikh sistemakh: Ucheb. posobie [Gas-dynamic instability in astrophysical systems: Proc. benefit]. St. Petersburg: St. Petersburg State University Publ., 1999. 168 p.
20. URL: http://www2.spiraxsarco.com/esc/SH Properties.aspx?country id=ru&lang id=rus (accessed June 15,
2016).
21. Prandtl' L. Gidroaeromekhanika [Hydroaeromechanics]. Izhevsk: NITs Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika Publ., 2000. 576 p. URL: http://books.sernam.ru/book gam.php?id=33 (accessed June 15, 2016).
22. Ahmadi G. Advanced turbulence.
URL: http://web2.clarkson.edu/projects/fluidflow/courses/ me639/index.html (accessed June 15, 2016).
23. Korepanov M. A., Gruzd' S. A. Gomogennaya kondensatsiya parov vody pri techenii v soplakh. Sravnenie s eksperimental'nymi dannymi [Homogeneous condensation of water vapor in the nozzle. Comparison with experimental data]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and mezoskopiya], 2016, vol. 18, no. 2, pp. 215-224.
24. Dykas S., Majkut M., Strozik M., Smolka K. Experimental research on coarse water formation in steam condensing flow on a transition through the shock wave. Journal of Physics: Conference Series, 2014, vol. 530, p. 012023. doi:10.1088/1742-6596/530/1/012023
25. Korepanov M. A., Gruzd' S. A. Matematicheskoe modelirovanie techeniya s kondensatsiey v soplakh [Mathematical modeling of flow with condensation in the nozzles]. Trudy Instituta mekhaniki UrO RAN. Problemy mekhaniki i materialovedeniya [Proc. of the IM UB RAS. Problems of Mechanics and Materials]. Izhevsk, 2015, pp. 119-134.
26. Loytsyanskiy L. G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid Mechanics]. Moscow: Drofa Publ., 2003. 840 p.
27. Zaguzov I. S., Polyakov K. A. Matematicheskie modeli v aerogidromekhanike. Ch. 1: Ucheb. posobie [Mathematical models in aerohydrodynamics. Part 1: Textbook. benefit]. Samara: Samarskiy Universitet Publ., 2001. 92 p.
Корепанов Михаил Александрович, доктор технических наук, доцент, ведущий научный сотрудник ИМ УрО РАН, e-mail: kma@Mdman.ru
Груздь Светлана Анатольевна, старший преподаватель ИжГТУ
