CC BY
103
УДК 631.171
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ КАПЛИ ЖИДКОСТИ С ПОВЕРХНОСТИ ВЕРТИКАЛЬНО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКОВОГО РАСПЫЛИТЕЛЯ
UDC631 .171
MATHEMATICAL SIMULATION OF LIQUID DROP MOTION TRAJECTORY FORM THE SURFACE OF VERTICALLY REVOLVING DISK SPRAYER
Шекихачев Юрий Ахметханович д.т.н., профессор
Шомахов Лев Аслангиреевич д.т.н., профессор
Shekikhachev Yuriy Akhmetkhanovich Dr.Sci.Tech., professor
Shomahov Lev Aslangireevich Dr.Sci.Tech., professor
Хажметов Луан Мухажевич д.т.н., доцент
Кабардино-Балкарская государственная сельскохозяйственная академия им. Кокова, Нальчик, Россия
Твердохлебов Сергей Анатольевич
к.т.н., доцент кафедры «Технология металлов»
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия Бербеков Владимир Нажмудинович к.с.-х.н.
Афасижев Юрий Сафарбиевич инженер
Кабардино-Балкарская государственная сельскохозяйственная академия им. Кокова, Нальчик, Россия
В данной статье описывается процесс математического моделирования траектории движения капли жидкости с поверхности вертикально вращающегося дискового распылителя, для химической зашиты молодых плодовых растений
Ключевые слова: УЛЬТРАМАЛООБЪЕМНЫЙ, РАСПЫЛИТЕЛЬ, ОПРЫСКИВАТЕЛЬ, ФАКЕЛ РАСПЫЛА, УГОЛ РАСКРЫТИЯ, РАБОЧАЯ ЖИДКОСТЬ
В современных ультрамалообъемных опрыскивателях применяются вращающиеся (ротационные) распылители, выполненные в виде различного рода дисков, конических чаш и барабанов, вращающихся с большой скоростью. Вращающиеся дисковые распылители получили наибольшее применение на штанговых опрыскивателях, которые применяются для химической защиты полевых культур.
Вращающиеся распылители устанавливаются на штанговых опрыскивателях горизонтально, а распыленные ими капли осаждаются на рас-
Hazhmetov Luan Mukhazhevich Dr.Sci.Tech., associate professor
Kabardino-Balkarian State Agricultural Academy of Kokov, Nalchik, Russia
Tverdokhlebov Sergey Anatolyevich Cand.Tech.Sci., assistant professor of the metals technology department
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
Berbekov Vladimir Nazhmutdinovich Cand.Agr.Sci.
Afasizhev Yuriy Safarbievich engineer
Kabardino-Balkarian State Agricultural Academy of Kokov, Nalchik, Russia
In the given article process of mathematical modeling of a mechanical trajectory of a drip of a fluid from a surface of upright gyrated disk sprayer is featured, for chemical protection of young fruit plants
Keywords: ULTRA LITTLE VOLUME SPRAYER, SPRINKLER, DISPERSION TORCH, DISCLOSING CORNER, WORKING LIQUID
тения за счет силы тяжести. Такое конструктивное решение приводит к уменьшению эффективности опрыскивания и увеличению сноса капель рабочей жидкости ветром.
С целью уменьшения сноса капель и повышения качества опрыскивания применяется принудительное осаждение препаратов, для чего вращающиеся распылители на штанговых опрыскивателях устанавливают совместно с вентиляторами небольшой мощности.
Для эффективного применения штанговых опрыскивателей для защиты молодых плодовых деревьев вращающиеся распылители должны быть установлены вертикально так, чтобы распыливаемые капли рабочей жидкости осаждались на деревья не только за счет сил тяжести, но и за счет центробежных сил. В вертикально вращающихся дисковых распылителях используется только та часть факела распыла, которая направлена к обрабатываемой поверхности, а остальная часть факела экранируется кожухом в специальный сборник и отсасывается насосом. При этом важное значение имеет угол раскрытия факела распыла.
Для определения угла раскрытия факела распыла рабочей жидкости, вертикально вращающего дискового распылителя воспользуемся рисунком 1.
Вначале определим угол а1. Из рисунка 1 видно, что
10,412 = |о,а,|! + Ia.f12 = • 2+ Л1г, (1)
где • р - расстояние от центральной оси плодового дерева до места крепления
распылителя на штанге опрыскивателя, м.
ЛИ = И - И ,
рд
где Ир - высота установки распылителя от поверхности земли, м;
И д - высота плодового дерева, м.
С другой стороны:
Рисунок 1 - Схема к определению угла раскрытия факела распыла рабочей жидкости, вертикально вращающего дискового распылителя
|ОД| = |ОД| + |ОД| , (2)
где
DiF
ВД |A1F1| - АД Ah - rpcos a1 Ah - rpcos a1
sin a1 sin a1 sin a1 ^1 - cos2 a1
где гр - радиус дискового распылителя, м.
С учетом (3) выражение (2) примет вид:
Приравниваем выражения (1) и (4):
2 2 2 Ah2 - 2Ahr cos a, + r2 cos2 a,
•2 + Ah2 = r2 + p 1 p 1
p p 1 - cos2 a1
(3)
■ ,2 = r2 + (Ah - rpcos a1 )2 = r2 + Ah2 - 2Ahrpcos a1 + rW a1 (4)
p 1 - cos2 a1 p 1 - cos2 a1
После преобразований получим уравнение:
(• 2p + Ah2 )cos2 a1 - 2Ahrp cos a1 - (• 2p - rp2) = 0. (5)
Решая уравнение (5), получим искомое выражение:
p
a = arccos
• j• “ + Ah2 - r2 + Ahr
p V p_____________p________P_
•2 + Ah2
p
Далее определяем угол a2. Из рисунка 1 видно, что
где
G,O
ОО = |OA|2 + A1O = • p + hp.
С другой стороны:
I i2 I i2 I i2
|О1О = |O1Gj + |G1O ,
|11О |A1O - |A1lJ hp - rpcos a1 hp - rpcos a
sin a 2 sin a 2 sin a 2 cor a 2
С учетом (9) выражение (8) примет вид:
)2
|G1O|2 = г + (hp - rp°osa2
1 p 2
1 - cos a
r2 + p
hp - 2hprp cos a2 + rp cos a2
p p 2 p 2
2
1 - cos2 a2
Приравниваем выражения (7) и (10):
• 2 + h2 = r2 + h2 -2V„cosa2 + rpcos2a2 p p p 1 - cos2a
2
После преобразований получим уравнение:
(l 2p + hp )cos2 a2 - 2hprp cos a2 - (l 2p - rp2 ) = 0. Решая уравнение (11), получим искомое выражение:
a = arccos
• J •2 + h2 - r2 + hr
p v p p p p p
•2 + h2
pp
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
При • р =1,5 м; Ир=2,0 м; Ид =1,5 м; гр =0,1 м получим, что а,=150, а а2=51°.
Графическое изображение результатов расчета по приведенным выражениям показано на рисунке 2.
Для математического моделирования траектории движения капли жидкости с поверхности вертикально вращающегося дискового распылителя рассмотрим силы, действующие на каплю (рисунок 3). Движение еди-
2
p
ничной капли определяется влиянием начальной скорости, направленной под углом к горизонту и силой сопротивления движению.
Таким образом, процесс движения происходит под действием двух сил: тяжести Gк и сопротивления воздушной среды Fв.
Дифференциальное уравнение движения /-той капли имеет вид:
dV
т = о.-4., (13)
к1 л. к1 в1 “ V /
dt
где тк1 - масса /-той капли, кг;
V - скорость движения /-той капли, м/с.
Вес капли Ок1 рассчитывается по выражению
4
0.=-ш-3у , (14)
к1 3 к1 » воды “ V /
где гк1 - радиус /-той капли, м;
7 - объемный вес воды, Н/м .
воды
Силу сопротивления воздушной среды для /-той капли можно рассчитать по выражению
12
4,=-Ср V.2S., (15)
в1 2 ХГ возд к1 к1 “ V /
где СХ - коэффициент сопротивления движущейся капли;
3
р возд - плотность воздуха, кг/м ;
Sкl - площадь лобовой поверхности /-той капли, м .
После некоторых преобразований из (15) получим:
4=1 рг2 7 ^2, (16)
в1 2 к1 возд Х к1
3
где 7воз - объемный вес воздуха, Н/м .
от радиуса вертикально вращающегося дискового распылителя при высоте плодового дерева 1,5 м и высоте установки распылителя 1,7
В литературе встречаются различные расчетные значения коэффициента сопротивления при движении капли воды в воздухе.
Ряд исследователей полагают, что этот коэффициент постоянный и равен 0,4. Okamura S. принимает этот коэффициент равным 0,45, а Прандтль Л. - равным 0,5 [22ж, 110ж].
Однако многие ученые считают, что допущение постоянства коэффициента Сх, является слишком грубым и определяют его по эмпирическим зависимостям. Наиболее широкое распространение получила зависимость
С = К
Сх “^ (17)
Научный журнал КубГАУ, №72(08), 2011 года где К - постоянный коэффициент.
Рисунок 3 - Силы, действующие на каплю жидкости, вылетающую с поверхности вертикально вращающегося дискового распылителя
По мнению А. С. Лышевского и А.Б. Шупяцкого при малых и умеренных значениях числа Рейнольдса до Яе » 800(^Яе = 2,9), значения коэффициента сопротивления снижаются при увеличении числа Яе [3, 4].
Для капли диаметром ёк £ 0,1 мм. и значений Яе<2,0 коэффициент сопротивления изменяется в соответствии с формулой Стокса
С = 24
С = -Д7' (18)
Для значений 1,0<Яе<800 коэффициент сопротивления рекомендуется определять по формуле
С,
12,5
(19)
Для установившегося свободного падения с предельной скоростью, указанным числам Рейнольдса, соответствуют капли размерами 0,1<ак<2,0 мм.
В проекциях на оси координат выражение (13) примет вид:
а2хк1 12 С ах
ш.-------51 = —ягу С —
кі і,2 кі • возд х
аг 2
а2у„ 4
&
ш.------- = —ягу —ягу С
- ~ /-ч кі I воды /-ч кі I возд
(20)
кі а^2 з к. * воды 2 к. * возд х Делим обе части выражений в системе (20) на шк
а2х, 1 2 ^ ах,
Ркі У воздСх'
&2
а2у
2ш
1
&
2 ^ ау ■ 4 3
-яг у С —- +-------------------------яг у
кі возд х кі в
(21)
Л2 2т " к1 ,возд-х & 3т " к1 ,воды
К1 К1
Умножаем обе части выражений в системе (21) на Ж и после некоторых преобразований получим:
а X \
а кі
& 0
< V
а ( ёУ- \
кі
_ 1 0
= - Мх кі
(9)
где к и к2 - коэффициенты пропорциональности, которые можно рассчи-
тать
по формулам: І
1
І=
2шк
4
Зш
-яг2 у С
кі возд х
3
ягу
ків
Интегрируем выражения в системе (22), получим:
Ьир://еі.киЬацго.т/2011/08/раГ/28.раГ
ах
&
ау
&
-к1х ■ + С1
1 кі 1
-к1У ■ + к2і + С2
1 кі 2 2
(23)
Произвольные постоянные С1 и С2 определяем по начальным условиям. При г = 0 имеем:
X к1 = У, = 0.
ах к
кі кі
аі
ау
аі
= ^ соб а і, = V ; бій а,
(24)
(25)
коі і
где Уоі - начальная скорость /-той капли, м/с, равная:
V ■ =шЯ .
коі
(26)
(27)
где юд - угловая скорость вращения диска, с" ;
Я д - радиус диска, м.
С учетом выражений (24)... (26) получим:
С1 = V ■ соб а
1 коі і
С 2 = V ■ бій а ■
2 коі і
(28)
(29)
Таким образом, систему уравнений (23) можно переписать в виде:
ах.
&
ау
&
= -к1х ■ + V ■ соб а ■
1 кі коі і
= -к1У ■ + к21 + V ■ бій а■
1 кі 2 коі і
(30)
Перейдем к дальнейшему интегрированию выражений системы уравнений (30). Перепишем ее в виде:
, ^ ах ■
к1х ■ +------------ = V ■ соб а■
1 кі л. коі і
аі ау
к1У- +------------- = к21 + V бій а■
1 кі л. 2 коі і
аі
ЬПр://еі.киЬацго.щ/2011/08/раГ/28.раГ
Можно заметить, что интегрирующий множитель этих дифференциальных уравнений есть ек‘. Умножаем эти уравнения на ек‘ и представляем в виде:
&
Умножение на & и интегрирование первого выражения в системе уравнений (32) дает:
(X eklt )= ekltV cos a.
\ K1 / KOI 1
(Y„ek" )= ek1,Vrasm a.+ e^t
(32)
(33)
При t = 0 имеем, что XKi = 0. Тогда из выражения (33) получим, что
V cos a
ко1 1
k
(34)
Следовательно
Xe
t ek1tV . cos a. V . cos a.
1t __ _________ко____________1 ко.__________1
k
k
(35)
откуда
X
V cos a
k
L (1 - e-k1t) .
(36)
Интегрируем второе выражение системы уравнений (30), и умножив на &, получаем,
k t e 1 V . s1na. г k t i ^
Y ek1t =------=-------l + k2 fek1ttdt + C5
K1 k 2 *
Интеграл f ek1ttdt интегрируем по частям:
kit i 1 k,^ k,t
e 11 1rkt,. e 11 e1
k 1 k1
k! k2
С учетом (38) выражение (37) примет вид:
Y ek.t = e^ s1n a. + k2ek:tt - + C
k.
k.
k
2 5
(37)
(38)
(39)
При t = 0 имеем, что Y = h - R cosa.,
Г 5 к д д 1 ’
где h д - высота расположения диска, м.
С учетом этого произвольное постоянное С5 будет равно:
V sin a k„
C5 = h - R cos a ■
5 д д і
k
1 + 2
k2
(40)
Тогда выражение (39) примет вид:
kt ek1tV sin a. k2ek1tt k2ek1t , „ V,m1 sin a. k
Y e =-----------22-----L + —2------2—~ + h д - R д cos a.-- к 1
1 + 2
k1 k1 k2 1 k1 k2
Окончательно после несложных преобразований получим:
Y . = h - R cos a. +
кі д д 1
ґлт • 1 \
VкоlS1n a І k 2
k,
k2
(41)
(42)
Таким образом, движение /-той капли будет определяться выраже-
ниями:
X =
V cos a
k
(1 - e -1')
YKi = h д - R д cosa 1 +
Чоі^П a 1 k 2
k2t
k
k: Г1 - ^)+ k
(43)
Реализация системы уравнений (43) приведена на рисунке 4 при диаметре дискового распылителя 100 мм, числе его оборотов 1000 об/мин и высоте его расположения 1,9 м.
распыливающего диска
Список использованной литературы
1. Губер К.В., Лямперт Г.П., Храбров М.Ю., Степанов В.П. Тенденция развития техники для орошения на ближайший период // Тракторы и сельскохозяйственные машины, №8, 1995.- с. 5-9.
2. Прандтль Л. Гидроаэромеханика.- М., 1951.- 575 с.
3. Лышевский А.С. Изменение коэффициента сопротивления жидких капель // Известия вузов.- М., Машиностроение, 1964.- с. 75-81.
4. Шупяцкий А.Б. Форма и скорость падения водяных и дождевых капель // Известия АН СССР, №5.- М., 1959
