Математическое моделирование термомеханического состояния тепловыделяющего элемента Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.63 М. В. Васильева, Д. А. Стальнов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕГО ЭЛЕМЕНТА

Рассматривается численное моделирование термомеханического состояния тепловыделяющего элемента (твэла) реактора, состоящего из топливной таблетки, газового зазора и оболочки. Численная реализация построена на основе метода конечных элементов, позволяющего проводить численное моделирование в областях со сложной геометрией c использованием программного пакета FEniCS. Представлены результаты численного моделирования для двухмерной осесимметричной постановки. Математическая модель описывается системой уравнений для температуры и перемещений. Для моделирования теплопереноса в тепловыделяющем элементе за счет наличия внутреннего источника тепла используется параболическое уравнение, для аппроксимации которого строится неявная разностная схема по времени. Возникающие перемещения за счет градиента температур рассчитываются отдельно в области топливной таблетки и в оболочке.

Ключевые слова: задачи термоупругости, тепловыделяющий элемент, тепловое расширение, теплоперенос, задача линейной упругости, метод конечных элементов, математическое моделирование, закон Гука, коэффициенты Ламе.

M. V. Vasilyeva, D. A. Stalnov

Mathematical Modeling of Thermomechanical State of the Fuel Element

The paper considers a numerical simulation of the thermoelastic behavior of reactor fuel element, which consists of fuel tablet, gas gap and shell. Mathematical model is described by the system of equations for

ВАСИЛЬЕВА Мария Васильевна - доцент-исследователь научно-исследовательской кафедры вычислительных технологий ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: vasilyevadotmdotv@gmail.com

VASILYEVA Maria Vasilyevna - Candidte of Physcal and Mathematical Sciences, Associate Professor and Researcher of the Research Department of Computational Technologies, the Institue of Mathematics and Informatiion Science, North-Eastern Federal University named after M. K. Ammosov.

E-mail: vasilyevadotmdotv@gmail.com

СТАЛЬНОВ Денис Алексеевич - магистрант научно-исследовательской кафедры вычислительных технологий ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: d.stalnov@mail.com

STALNOV Denis Alexeevich - Master Student of the Research Department of Computational Technologies, the Institute of Mathematics and Information Science, North-Eastern Federal University named after M. K. Ammosov.

E-mail: d.stalnov@mail.com

temperature and displacements. For numerical simulation of the heat transfer in fuel element by the internal heat source, we use the parabolic equation for temperature and the implicit difference scheme by time is used for approximation. Arising displacements by the temperature gradient are calculated separately in the domains of fuel and shell. Numerical implementation is based on the finite element method, which allows to modeling in domains with complex geometries. We present the results of numerical simulation for two-dimensional axisymmetric formulation.

Keywords: thermoelasticity problem, fuel element, thermal expansion, heat transfer, linear elasticity problems, finite element method, mathematical modeling, Hook's law, Lame coefficient.

Введение

Численное моделирование используется во многих областях науки и техники, в том числе и в областях, связанных с атомной энергетикой. Тепловыделяющий элемент (твэл) является главным конструкционным элементом активной зоны ядерного реактора, содержащим ядерное топливо. Ядерным топливом служит диоксид урана в виде таблеток. Он уложен в цилиндрические топливные стержни (твэлы) из сплава на основе циркония, которые затем упаковываются в тепловыделяющие сборки (ТВС). Понимание изменения свойств ядерного топлива и предсказания поведения топливных элементов являются основными проблемами при производстве топлива и его хранении.

Для моделирования процессов активной зоны ядерного реактора существует множество программ, например, BISON и FALCON. Программа BISON [1-3, 4] разрабатывается в INL (Idaho National Laboratory) и позволяет проводить стационарный и нестационарный анализы поведения тепловыделяющих элементов, в том числе и на высокопроизводительных вычислительных системах. Математические модели в программе BISON описывают распределение температуры, выгорание топлива в зависимости от тепловых свойств, газового вспухания таблетки за счет продуктов деления, модели пластичности, ползучести, трещин, механического контакта таблетки и оболочки и т. д. Программа FALCON [5] разрабатывается на основе кодов EPRI (Electric Power Research Institute) и позволяет проводить анализ ядерного топлива в нормальных условиях эксплуатации и в случае аварий. Отметим, что во многих работах иностранных авторов при проведении численного моделирования используются коммерческие программные продукты, такие как COMSOL [6-7].

В данной работе рассматривается численное моделирование распределения температур в тепловыделяющем элементе и возникающих при этом тепловых расширений. Для численного моделирования строится математическая модель, описывающая термомеханическое поведение тепловыделяющей сборки в осесимметричной постановке. Для численного реше -ния используется метод конечных элементов, который позволяет проводить расчет в областях со сложной геометрией. Геометрическая конфигурация тепловыделяющего элемента включает в себя топливную таблетку, оболочку и зазор, заполненный газом. Топливная таблетка из двуокиси урана может быть как с отверстием в центре, так и сплошной. Такие таблетки помещены в оболочку и сверху поджаты пружиной [8-9].

Для аппроксимации возникающей системы уравнений для температуры и перемещений используется метод конечных элементов, позволяющий проводить расчет в сложных геометрических областях. Расчет температурного поля проводится в расчетной области, содержащей таблетку, зазор и оболочку. В каждой подобласти задаются характерные тепло -физические параметры. Последующий расчет напряженно-деформированного состояния за счет термических расширений происходит отдельно в подобласти таблетки и в подобласти оболочки тепловыделяющего элемента, т. е. газовый зазор на этапе решения задачи упругости исключается из модели, и контактные модели не рассматриваются [8-9].

Постановка задачи

Рассмотрим математическую модель, описывающую распределение температуры в расчетной области, содержащей таблетку, газовый зазор и оболочку:

СР^Г -(gradТ) = Q(,х,')■

(1)

Полученное уравнение является стандартным нелинейным параболическим уравнением [10]. Здесь П = Ц иО„ где - подобласть топливной таблетки, ^ - подобласть газово-го зазора и Ц - оболочка (1) [11].

Коэффициенты для уравнения (1) зависят от подобласти и определяются следующим образом:

к =

к1, х е

к2,х ей2, ср ■ к3,х е О,

с1р1, х е с2р2,х е 02, с3р3,х е П3

где индексы 1, 2, 3 соответствуют топливной таблетке, зазору и оболочке. В общем случае теплофизические свойства слоев зависят от температуры и выгорания топлива, а также от некоторых других факторов [11].

Уравнение (1) дополняется начальным распределением температуры

Т (х,0) = Т0, х еО.

и граничными условиями

дТ

-к ш=а(т - Тои1х еГ*'

, дТ

-к— = 0, х е Гж, дп

(2)

(3)

где ЗП = Гн и Г и а - коэффициенты конвективного теплообмена.

Рассмотрим уравнение теплопроводности (1) в цилиндрических координатах, т. е. осе-симметричную задачу для (г,г) (рис. 2)

-; Ь (гк (2 ^ Н (к (г'2 )=е (г'2}

(4)

с соответствующими начальными условиями

Т(г,z) = Т0, X I = 0

(5)

и граничными условиями

дТ

-кдп =а(Т -Т°и'Х ' дТ

-к— = 0, х е Г1 иГТ и Гд. дп

(6)

Рис. 1. Твэл: серый цвет - топливная таблетка, желтый - газовый зазор и синий - оболочка

Рис. 2. Расчетная область: Ц - топливная таблетка, - газовый зазор и - оболочка

Здесь Q(r,z) - внутренние источники тепла, в простейшем случае можно задать внутренний источник тепла в топливной таблетке Q=QfгleI в подобласти ^ и Q=0 в остальных областях, й2 ий,.

Для расчета напряженно-деформированного состояния вследствие термического расширения используем следующее уравнение для перемещений

-divст + agrad(т - Т^ ) = 0, (7)

где Тге/ - постоянная абсолютная температура, при которой тело находится в начальном равновесном состоянии, и а=аТ(3Х+2^), где аТ - температурный коэффициент линейного расширения.

При рассмотрении изотропного случая имеем следующую линейную зависимость напряжений от деформации (обобщенный закон Гука):

=Х{£х +£у ) + > Тху = ^Уху >

= +£у + ) + , ТУ2 = , (8)

а2 = + Еу + е2 ) + , тХ2 = ,

где X и ^ - упругие постоянные Ламе

= Е к= Еу Ц 2 (1 +у) (1 + у)(1 - 2у)

и Е - модуль упругости, V - коэффициент Пуассона.

Здесь а - тензор напряжений и е - тензор деформаций:

т ху тх2 Уху Ухг

т ух ау туг У ух £у Ууг

тх тгу Ух Угу С _

(9)

где в случае малой деформации для компонент тензора деформаций имеют место формулы Коши:

1( дих 5иу £х =—-, 7™ =~\ —- + —

х дх - 2 ^ду дх

,ди-

дх ди„

1( диу ди2 £ =-Г = — \ ---£

у ду Гуг 2 \ди ду

ди 1 (ди ди £ =-У = — -- +--£

х ди - 2 { ди дх

(10)

Для расчета перемещений будем также рассматривать задачу в осесимметричной постановке. Для тензора деформаций и напряжений имеем следующие соотношения:

а х 0

0 0

а

, £ :

0

Угг

ех 0

0 0

Еа

(11)

поскольку в осесимметричном случае угв, у2в и тгв, тгв равны нулю. Для деформаций имеем

диг дг

ди? иг д? в г

У г? =~

1 ( ди ди

(12)

(13)

2\ д? дг

где и=(иг,и).

Таким образом, задача напряженно-деформированного имеет следующий вид:

1 д { \ дт а„ др

---(гаг)--— + —- + а— = 0,

г дг дг г дг

1 д , \ даг др ---(гт„)--- + а — = 0.

г дг д- д-

При численной реализации задач упругости будем использовать следующие представления тензора деформаций и перемещений:

(14)

аг £г

,£ =

а £в

Ттг _ У к _

где у =т и т =т .

' rz ' zr ге zr

Тогда зависимость деформаций от перемещений можно записать в следующей матричной форме:

д 0

дг

0 д

дг

1

0

г

д д

дг дг

= Du.

Зависимость напряжений от деформации также примет матричный вид

а = Се,

где

С =

Е

(1 +у)(1 - Ту)

1 -V V V 0

V 1 -V V 0

V V 1 -V 0

0 0 0 1 (1 -

Х + 2^ X X 0

X X + 2^ X 0

X X X + 2^ 0

0 0 0

(15)

(16)

Вариационная постановка задачи напрямую соотносится с функционалом общей потенциальной энергии

а =

а =

и

г

г

Е =

и

г

и (и Н

¿V.

П(и ) = и (и )-Ж (и ),

где Ж - потенциал внешней работы (внутренних сил и поверхностной тяги) и и - функционал энергии деформации

и (и) =1Г <JTsdV = 1 Г sTCsdV,

V 2 J V

0" 0 0

ц_

Для элемента объема ёУ и элемента границы ёБ в осесимметричном случае имеем

dV = 2лrdrdz, dS = 2лrds.

При рассмотрении напряженно-деформированного состояния области, представленной на рис. 2, содержащей три подобласти: топливную таблетку, газовый зазор и оболочку -будем предполагать, что в подобласти зазора 0.2 задано некоторое давление ра снаружи твэла течет жидкость с заданной температурой и давлением роШ.

При решении задачи упругости будем отдельно рассчитывать напряженно-деформированное состояние таблетки с заданным наружным давлением и условиями симметрии в качестве граничных условий (рис. 3)

2J у X + 2ц X X 0

2J у X X X + 2ц X X X + 2ц 0 0

= 0, стг = 0, (г, z )еГ., = 0, пг = 0, (г, z )еГд, ап = -реп, (г, z) е а Ц / ( иГ' )

иг аг

(17)

и отдельно рассчитывать напряженно-деформированное состояние для оболочки с внутренней части, в которой поддерживается давление р^, а с наружной части оболочки задано давление роШ

= 0, и2 = 0, (г,2)еГд иГ^, ап = -ргп, (г,2) е Г, ап = -РоиП 2)еГ*.

(18)

Рис. 3. Расчетная область для топливной таблетки (слева) и оболочки (справа) Вычислительный алгоритм

Для численного решения задачи распределения тепла в расчетной области проведем аппроксимацию уравнения (4) с учетом граничных условий (6) с использованием метода конечных элементов. Для задания вариационной постановки задачи умножим уравнение (4) на тестовую функцию V и проинтегрируем по области

а

-2п\ | ср'д— +1 — \ Л —— | + —| k —— ||qrdrdz =

дt г дг , дг) дz \ дz)) (19)

= 2п | Qqrdrdz, Уд е V.

Используя формулу интегрирования по частям и неявную разностную схему для аппроксимации по времени, получим следующую вариационную постановку задачи: найти Т е V такую, что

_ г ( Т дТ дд дТ дд ),,

2п1 I ср—+ гк---+ гк--I drdz

т дг дг дz дz '

-2п\т а(Т - Т0и, = 2п\í

( Т 1 (20)

ср —+ Qqr drdz, Уд е V. т

Для численного решения мы должны перейти от непрерывной вариационной задачи (20) к дискретной. Введем конечномерные пространства Ук е V и Vh е и определим в них следующую задачу: найти Тк е Vh такую, что

Тк , ,дТк дЧн , ,дТк дЧн

-2п\ \срГ + гк дГ, дЛк. + гк дТ дЗк. 1 -1 щ т дг дг дг дг '

-2п\га(Тк -Тош= 2п\(

( Т I (21)

ср — + Qqhг dгdz, е Vк.

Заметим, что выбор пространств Ук ,Ук непосредственно вытекает из типа применяемых конечных элементов. Мы будем использовать стандартные линейные аппроксимационные полиномы [12].

Проведем теперь аппроксимацию задачи упругости для подобласти топливной таблетки

и отдельно оболочки

Для подобласти топливной таблетки имеем

2п| ет ^)Се(и')rdrdz - 2п| (agrad(т - Тг^=

г ^ ч (22)

= 2пЦ,(г. .г- ( v Н.

Для оболочки имеем аналогичную задачу

2 лj £т (у)Се(и)Ыг& - 2п| {agrad (т - Тге/ =

(23)

= 2п1г1 {РП vУ + 2п|г| („„П v У^.

Заметим, что для полученных задач (22) и (23) также следует перейти к конечномерным пространствам [9, 12].

Таким образом, алгоритм решения поставленной задачи можно представить следующим образом:

1) загружаем сетку для области ф

2) вычисляем распределение температуры Т посредством решения уравнения (21) в области О = ий2 ий,;

3) генерируем сетку для подобласти ^ из общей сетки для области ф

4) решаем задачу (22) для расчета напряженно-деформированного состояния в подобласти

5) генерируем сетку для подобласти из общей сетки для подобласти ф

6) решаем задачу (23) для расчета напряженно-деформированного состояния в подобласти

7) переходим на следующий временной слой.

Численное моделирование проводится с использованием вычислительной библиотеки FEniCS [13]. Для построения расчетной области и сетки использовалась программа Gmsh [14], а для визуализации полученных результатов применялась программа ParaView [15]. Следует заметить, что все используемые библиотеки и программы являются свободно распространяемыми.

Численное сравнение вычислительных параметров

Проведем численное моделирование рассмотренной задачи при следующих параметрах [16-18]:

£ =170409, «=10-5, V =0,3, £3=60409, «^=2-10-5, v=0,32, к1 = 3,2

Дж

Вт

м*К

к2 = 0,334

Вт

м*К

к3 = 118

Вт

м*К

с = 300

Дж кг*К

Дж кг*К

кг* К

= 104

кг

,„3

Р2 = 0,1

кг

,„3

р3 = 6550

кг

, 0=24О8.

В качестве граничных условий использовались следующие параметры: Т =750[К], а=7500, р^=2406 и роц(=15406. В качестве модельной задачи для проведения численного сравнения использовалась стационарная модель теплопереноса.

Моделирование проводилось для области со следующими размерами: радиус таблетки 4,3-10"3, высота таблетки 0,5-10"3, толщина зазора 0,03-10"3 и толщина оболочки 5,5-10"3 (рис. 4). Расчеты проводились на треугольной сетке, содержащей около 38 тысяч элементов и около 19 тысяч узлов (рис. 5).

Результаты расчетов представлены на рис. 6-8. Распределение температуры и перемещений по г вдоль горизонтальной средней линии представлено на рис. 9.

О 0.0045

Рис. 4. Расчетная область для таблетки с отверстием

Рис. 5. Расчетная сетка для таблетки с отверстием

Рис. 6 иллюстрирует нагрев топливной таблетки за счет наличия внутреннего источника тепла и охлаждения за счет конвективного теплообмена с окружающей средой посредством задания граничных условий. Возникающие перемещения в топливной таблетке (рис. 7) и в оболочке (рис. 8) иллюстрируют перемещения, возникающие за счет тепловых расширений. При этом представленные перемещения достаточно малы. В случае больших тепловых расширений необходимо будет использовать другие модели для описания упругого состояния, в том числе и с учетом возможного контакта таблетки с оболочкой. В данном случае мы проводили моделирование перемещений в рамках простейших моделей линейной упругости.

Рис. 6. Распределение температуры

Рис. 7. Распределение перемещений (*10"6) для таблетки по г и по г (слева направо)

Рис. 8. Распределение перемещений (*10~6) для оболочки по г и по г (слева направо)

Рис. 9. Температура и перемещения в таблетке иг вдоль горизонтальной серединной линии (слева направо)

Проведем численное сравнение для различных расчетных сеток. Расчеты проводились на следующих сетках (рис. 10):

• mesh1 - 478 ячеек и 266 узлов;

• mesh2 - 3716 ячеек и 1933 узлов;

• mesh3 - 54918 ячеек и 27749 узлов.

На рис. 11-12 представлено численное сравнение решения задачи для различных расчетных сеток. Распределение температуры для различных сеток не отличается существенно (рис. 11),

Рис. 10. Расчетные сетки: те8Ы, mesh2 и mesh3 (слева направо)

Рис. 11. Распределение изотерм температуры: синяя линия -mesh1, зеленая - mesh2 и красная - mesh3

в то время как на распределение перемещений и расчетная сетка влияет достаточно сильно (рис. 12). Отметим, что расчет на второй и третьей сетках практически совпадает вследствие того, что погрешность аппроксимации с использованием линейных базисных функций имеет второй порядок, т. е. 0(к2), и, следовательно, использование сильно малого шага по сетке не оправдано.

Рис. 12. Распределение перемещений и и по иг (сверху вниз): синяя линия - mesh1, зеленая - mesh2 и красная - mesh3

Численное моделирование для нескольких таблеток

Моделирование проводилось для области, состоящей из трех таблеток, зазора и оболочки (рис. 13). Расчеты проводились на сетке, содержащей около 41 тысяч элементов и около 21 тысяч узлов (рис. 14).

Результаты расчетов представлены на рис. 15-16. Распределение срезов температуры и перемещений по г представлены на рис. 17. Отметим, что рассмотренная математическая модель является крайне упрощенной и не учитывает многих факторов, но зато позволяет рассмотреть основные компоненты и их вычислительную реализацию. Использование конечно-элементной аппроксимации позволяет проводить расчет в произвольных областях со сложной геометрией, т. е. предоставляет возможность расчета в полной геометрии, которая может содержать произвольное количество топливных таблеток.

-й.ооги экие

Рис. 13. Расчетная область

Рис. 14. Расчетная сетка

Рис. 15. Распределение температуры и перемещений для таблетки по г и по г (слева направо)

Рис. 16. Распределение перемещений для оболочки по г и по г (слева направо)

рзЬгг паЬы опта р^л поЬ'г ос^т-) эсом* одаг п&я ода* [хи.ч ол&м птэо сдал опЛ+г ада-)-)

Рис. 17. Температура и перемещения (*10"6) в таблетке иг (слева направо) вдоль середины нижней таблетки (зеленая линия), середины средней таблетки (крагсная) и середины верхней таблетки (синяя)

Заключение

В данной работе получено решение задач термоупругости для тепловыделяющего элемента реактора. По полученным результатам можно сделать вывод, что более мелкая сетка способствует более точному решению. В дальнейшем планируется ввести нелинейные коэффициенты плотности, теплопроводности и теплоемкости, зависящие от температуры. А также планируется решение трехмерной нессиметричной задачи параллельно с использо -ванием вычислительного кластера «Ариан Кузьмин»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 1531-20856;

Л и т е р а т у р а

1. Newman C., Hansen G., Gaston D. Three dimensional coupled simulation of thermomechanics, heat, and oxygen diffusion in UO2 nuclear fuel rods // Journal ofNuclear Materials. - 2009. - Vol. 392. - № 1. - P. 6-15.

2. Williamson R. L. et al. Multidimensional multiphysics simulation ofnuclear fuel behavior // Journal of Nuclear Materials. - 2012. - Vol. 423, № 1. - P. 149-163.

3. Hales J. D. et al. BISON Theory Manual The Equations Behind Nuclear Fuel Analysis. - 2013.

4. Hales J. D. et al. Asymptotic expansion homogenization for multiscale nuclear fuel analysis // Computational Materials Science. - 2015. - Vol. 99. - P. 290-297.

5. Rashid Y., Dunham R., Montgomery R. Fuel analysis and licensing code: FALCON M0D01 // EPRI Report. - 2004. - Т. 1011308.

6. Ramirez J. C., Stan M., Cristea P. Simulations of heat and oxygendiffusion in UO2 nuclear fuel rods // Journal of nuclear materials. - 2006. - Т. 359, № 3. - С. 174-184.

7. Mihaila B. et al. Simulations of coupled heat transport, oxygen diffusion, and thermal expansion in UO2 nuclear fuel elements // Journal of Nuclear Materials. - 2009. - Vol. 394, № 2. - P. 182-189.

8. Kang C. H. et al. 3D FE simulation of the nuclear fuel rod considering the gap conductance between the pellet and cladding. - 2013.

9. Kang C. H. et al. 3D finite element analysis of a nuclear fuel rod with gap elements between the pellet and the cladding // Journal of Nuclear Science and Technology. - 2015. - № ahead-of-print. - P. 1-8.

10. Вабищевич П. Н., Самарский А. А. Вычислительная теплопередача. - М.: Едиториалл УРСС, 2003.

11. Williamson R. L. et al. Multidimensional multiphysics simulation of nuclear fuel behavior // Journal of Nuclear Materials. - 2012. - Vol. 423, № 1. - P. 149-163.

12. Philip B. et al. A parallel multi-domain solution methodology applied to nonlinear thermal transport problems in nuclear fuel pins // Journal of Computational Physics. - 2015. - Vol. 286. - P. 143-171.

13. Anders Logg, Kent-Andre Mardal, Garth N. Wells Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. The FEniCS Book. - 2011.

14. Software GMSH. URL: http://geuz.org/gmsh/.

15. Software package PARAVIEW. URL: http://www.paraview.org/.

16. Veshchunov M. S. et al. Code package SVECHA, modeling of core degradation phenomena at severe accidents // Transactions of SMiRT-13Conference. - 1995. - Vol. 1. - P. 159-163.

17. Berdyshev A. V. et al. SVECHA / QUENCH Code for the modeling of reflooding phenomena in severe accidents conditions // Proceedings ofthe Ninth International Topical Meeting on Nuclear Reactor Thermal Hydraulics (NURETH-9), San Francisco, California, USA. - 1999.

18. Hagrman D. L., Reymann G. A. MATPRO-VERSION 11: a handbook of materials properties for use in the analysis of light water reactor fuel rod behavior. - Idaho National Engineering Lab., Idaho Falls (USA), 1979.

R e f e r e n c e s

1. Newman C., Hansen G., Gaston D. Three dimensional coupled simulation of thermomechanics, heat, and oxygen diffusion in UO2 nuclear fuel rods // Journal ofNuclear Materials. - 2009. - Vol. 392. - № 1. - P. 6-15.

2. Williamson R. L. et al. Multidimensional multiphysics simulation ofnuclear fuel behavior // Journal of Nuclear Materials. - 2012. - Vol. 423, № 1. - P. 149-163.

3. Hales J. D. et al. BISON Theory Manual The Equations Behind Nuclear Fuel Analysis. - 2013.

4. Hales J. D. et al. Asymptotic expansion homogenization for multiscale nuclear fuel analysis // Computational Materials Science. - 2015. - Vol. 99. - P. 290-297.

5. Rashid Y., Dunham R., Montgomery R. Fuel analysis and licensing code: FALCON MODOl // EPRI Report. - 2004. - T. 1011308.

6. Ramirez J. C., Stan M., Cristea P. Simulations of heat and oxygendiffusion in UO2 nuclear fuel rods // Journal of nuclear materials. - 2006. - Vol. 359, № 3. - P. 174-184.

7. Mihaila B. et al. Simulations of coupled heat transport, oxygen diffusion, and thermal expansion in UO2 nuclear fuel elements // Journal of Nuclear Materials. - 2009. - Vol. 394, № 2. - P. 182-189.

8. Kang C. H. et al. 3D FE simulation of the nuclear fuel rod considering the gap conductance between the pellet and cladding. - 2013.

9. Kang C. H. et al. 3D finite element analysis of a nuclear fuel rod with gap elements between the pellet and the cladding // Journal of Nuclear Science and Technology. - 2015. - № ahead-of-print. - P. 1-8.

10. Vabishchevich P. N., Samarskii A. A. Vychislitel'naia teploperedacha. - M.: Editoriall URSS, 2003.

11. Williamson R. L. et al. Multidimensional multiphysics simulation of nuclear fuel behavior // Journal of Nuclear Materials. - 2012. - Vol. 423, № 1. - P. 149-163.

12. Philip B. et al. A parallel multi-domain solution methodology applied to nonlinear thermal transport problems in nuclear fuel pins // Journal of Computational Physics. - 2015. - Vol. 286. - P. 143-171.

13. Anders Logg, Kent-Andre Mardal, Garth N. Wells Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. The FEniCS Book. - 2011.

14. Software GMSH. URL: http://geuz.org/gmsh/.

15. Software package PARAVIEW. URL: http://www.paraview.org/.

16. Veshchunov M. S. et al. Code package SVECHA, modeling of core degradation phenomena at severe accidents // Transactions of SMiRT-13Conference. - 1995. - Vol. 1. - P. 159-163.

17. Berdyshev A. V. et al. SVECHA / QUENCH Code for the modeling of reflooding phenomena in severe accidents conditions // Proceedings ofthe Ninth International Topical Meeting on Nuclear Reactor Thermal Hydraulics (NURETH-9), San Francisco, California, USA. - 1999.

18. Hagrman D. L., Reymann G. A. MATPRO-VERSION 11: a handbook of materials properties for use in the analysis of light water reactor fuel rod behavior. - Idaho National Engineering Lab., Idaho Falls (USA), 1979.

^■Mir^r