МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ, СОПРОВОЖДАЮЩИХ АВТОЭЛЕКТРОННУЮ ЭМИССИЮ ИЗ НАНОРАЗМЕРНОГО ОСТРИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.711.3

Математическое моделирование тепловых процессов, сопровождающих автоэлектронную эмиссию из наноразмерного острия

Н.А.Дюжев

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

М.А.Махиборода

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Рассмотрены особенности моделирования тепловых процессов, сопровождающих автоэлектронную эмиссию из одиночного кремниевого острийного катода. Приведены результаты аналитического моделирования разогрева катода током проводимости в стационарном приближении.

Ключевые слова: вакуумная наноэлектроника, автоэлектронная эмиссия, на-норазмерный эмиттер, автокатод, деградация катода.

Открытие автоэлектронной эмиссии позволило создать новые фундаментальные методы исследования топологии поверхности с атомарным разрешением (сканирующая и просвечивающая электронная микроскопия, туннельная микроскопия, электронная голография и др.) и привело к появлению новой области микро- и наноэлектроники -вакуумной наноэлектроники. Бурное развитие технологий нано- и микросистемной техники, с одной стороны, открывает возможности создания эмитирующих структур с хорошо воспроизводимым микро- и нанорельефом, а с другой - требует использования все новых инструментов исследования и оперирования микро- и нанообъектами.

Разработана базовая технология изготовления кремниевых автоэлектронных катодов [1]. Проведенные экспериментальные исследования эмиссионных характеристик этих катодов выявили их деградацию, связанную с процессами тепловыделения на острие

эмиттера.

В настоящей работе проводится анализ тепловыделения в процессе автоэлектронной эмиссии с применением аналитического подхода. Объектом исследования является одиночный острийный автокатод, сформированный методами анизотропного травления в объеме подложки монокристаллического кремния (рис.1). Параметры моделируемого объекта выбраны в соответствии с параметрами экспериментально исследуемых образцов: высота кремниевого катода 15 мкм; угол при вершине около 20°; радиус скругления острия менее 10 нм.

© Н.А.Дюжев, М.А.Махиборода, 2011

Рис.1. РЭМ-изображение кремниевого автоэлектронного эмиттера

Упрощенная модель разогрева наноразмерного острия эмиссионным током и аналитическое решение задачи. Наиболее полная и корректная постановка задачи о разогреве твердотельного острийного катода выполнена в работе [2]. Авторами численно решена трехмерная задача для аксиально-симметричного острия с учетом истинного объемного и поверхностного распределения температуры и мощности источников тепловыделения. Также учитывалось влияние поля температуры на распределение плотности тока в эмиттере. Показано, что в зависимости от начальной плотности тока либо существует режим стабилизации тока и температуры, либо развивается тепловая неустойчивость эмиттера (ток и температура растут лавинообразно во времени). В работе [3] постановка задачи дополнена уравнениями Навье -Стокса, что позволило моделировать процессы электрогидродинамической и тепловой неустойчивости жидкой проводящей поверхности в сильном электрическом поле (жидкий автокатод). При численном решении использовался метод преобразования расчетной области к канонической форме, описанный в [4], и алгоритм решения на разнесенной сетке.

В настоящей работе для количественной оценки величины теплового эффекта, наблюдаемого в экспериментальном исследовании, рассмотрена упрощенная стационарная модель разогрева кремниевого острия в омическом приближении, не учитывающая пластические деформации катода в сильном электрическом поле. Явным преимуществом такой модели является возможность корректного аналитического решения.

Ограничим расчетную область задачи образующей конуса и двумя концентрическими поверхностями (рис.2). Процессы теплопроводности учитываются только в осевом направлении, а распределения усредненных температуры и плотности тока считаются равномерными в каждом сечении, перпендикулярном оси. Таким образом, рассматриваемая модель является одномерной. Координата х откладывается по оси конуса. Точка х0 соответствует вершине катода, точка XI - основанию. Соответствующие радиусы сечений конуса обозначены как г0 и г1. Одномерное стационарное (ёи/& = 0) уравнение теплопроводности, которое описывает разогрев катода при прохождении по нему эмиссионного тока за счет эффекта Джоуля (правая часть уравнения), имеет вид

Рис.2. Упрощенная модель разогрева наноразмерного острия эмиссионным током

дх

(дЗ) = wS,

(1)

ёи

где д = —%-, и = (Т — Т0 ) = и(х), Т - температура вершины, Т0 - температура подложки;

дх

12о

З = З(х) = кx2tg2a, w = —р.

З2

Здесь а - половина угла при вершине конуса; р - удельное сопротивление; % - коэффициент теплопроводности.

Для данной задачи использовались следующие граничные условия:

[д(хо )=о,

Т (х ) = То.

(2)

Н.АДюжев, М.АМахиборода

Первое из уравнений (2) представляет собой граничное условие второго рода, определяющее тепловой поток на вершине усеченного конуса. В рассматриваемом случае это условие является однородным. Физически оно означает, что на вершине катода не происходит теплообмена с внешней средой. Второе уравнение в системе (2) задает температуру основания эмиттера, равную температуре подложки.

Выполнив простые преобразования уравнения (1), получим

й2и 2 йи а

йх х йх X

12Р

где а =

2 4

к а Проведем замену переменных

X

х = х0х', 1 < X < х, и = Т0и хо

и получим окончательное уравнение

й2и 2 йи у

йх'2 х ' йх' х'4

где

+ = (3)

- а _ 12Р

У = ^ 2 = 2 ^ 2, 4 ' (4)

Т0х0 к ХТ0^ а Уравнение (3) имеет общее решение:

и = С-Л + ^2 ,

х' 2х '2 2

в котором константы С1 и С2 подлежат определению из граничных условий.

С учетом произведенных замен граничные условия (2) можно переписать в виде

йи а я 1

-%-= 0 при о = 1,

йх '

и ' = 0,

где 5 = (Х1/Х0). В рассматриваемом случае для катода с высоким аспектным отношением будет выполняться условие 5 » 1. Тогда

С+ _у х'2 х1

Л.(1) = 0: = 0 ^ С1 =у,

у у У У У

и '(5) = 0: С2 —7— = 0 ^ С2 = -1 + -Ц.*-1 2 5 252 2 5 252 5

Теперь можно записать окончательное решение:

и(х) Ц--У2 -7 ' 1< х< 5.

х 2 х 5

На вершине конуса х = 1, тогда

и(1)-2

^ (Т — То )х=хо-уТо / 2 .

(5)

Уравнение (5) определяет изменение температуры вершины конуса по отношению к основанию. Объединив (5) и (4), можно записать

(Т То ) х=хо =

12Р

2к\х11§4а

Радиус скругления вершины эмиттера го = х^а. Тогда окончательную формулу

для расчета разогрева вершины кремниевого катода при прохождении по нему электрического тока получим в виде

АТ =

12Р

2л2%Го21§2а

(6)

Проанализируем полученное соотношение. Как и ожидалось, разогрев верхушки катода согласно (6) определяется величиной эмиссионного тока и проводимостью материала катода. Кроме того, очевидно, что малый размер г0 и малый острый угол а эмитирующей области иглы катода должны усугублять тепловую деградацию.

Произведем численный расчет разогрева вершины кремниевого катода по формуле (6): г0 = 10 нм; а = 10°; удельное сопротивление кремния марки КДБ-12 р = 12 Омсм; коэффициент теплопроводности кремния лежит вблизи значения % = 1 Вт/(см К). Подставив эти значения в (6), получимАТВ = 1,5-ю1312 [к].

Таким образом, при токе 1 мкА вершина катода нагревается всего на 15°. Температура плавления кремния составляет 1415 °С. Для достижения этой температуры значение тока, проходящего по катоду, должно составить 9,6 мкА. Заметная пластическая деформация кремния начинается при 800 °С, что в рассматриваемой модели будет соответствовать току 7,3 мкА.

Результаты и их обсуждение. Результаты расчетов по упрощенной модели показали, что относительное изменение температуры вершины острия прямо пропорционально удельному сопротивлению материала катода и квадратично зависит от уровня эмиссионного тока. Кроме того, из выражения (6) следует, что максимальный перегрев достигается именно на вершине катода, а абсолютное значение эффекта тем больше, чем меньше радиус скругления острия.

В ходе экспериментального исследования ток эмиссии с одного острия варьировался в пределах от 0,1 до 15 мкА. Во всех случаях наблюдалась существенная тепловая деградация автокатода. Кроме того, выявлена закономерность в перестройке геометрии эмиттера. Она заключается в том, что в ряде случаев первоначальную форму теряет лишь средняя часть острия, в то время как вершина эмиттера остается неизменной (рис.3). Предлагаемая для аналитических оценок упрощенная модель Рис.3. РЭМ-изображение кремниевого авто-

не объясняет этого эффекта. Очевидно, что ^етроттаго ритора п°сле крата^р^н-

с- ного отбора эмиссионного тока. Отчетливо

для более детального теоретического анализа

г _ видна область пластической деформации,

результатов эксперимента необходим учет на- Не затрагивающая вершину эмиттера

Н.АДюжев, М.А.Махиборода

личия жидкой фазы в теле автокатода. Поскольку вопросы поведения жидкой проводящей поверхности в сильном электрическом поле достаточно подробно рассмотрены в [3], в дальнейшем будет проведено численное моделирование двухфазного автокатода с учетом свободной границы раздела фаз и поверхностного натяжения, действующего на границе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007 -2012 годы» (ГК № 02.523.11.3018).

Литература

1. Дюжев Н.А., Махиборода М.А., Федирко В.А. Исследование различных режимов автоэлектронной эмиссии кремниевого кантилевера: тез. конф. «Вакуумная наука и техника» (Москва, 2007). - М.: МИЭМ. - С. 248-251.

2. Глазанов Д.В., Баскин Л.М., Фурсей Г.Н. Кинетика импульсного нагрева острийных автокатодов реальной геометрии эмиссионным током высокой плотности // ЖТФ. - 1989. - Т. 59, вып. 5. -С. 60-68.

3. Баренгольц С.А., Литвинов Е.А., Суворов В.Г., Уйманов И.В. Численное моделирование электрогидродинамической и тепловой неустойчивости жидкой проводящей поверхности в сильном электрическом поле // ЖТФ. - 2001. - Т. 27, вып. 5. - С. 41-46.

4. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Коньщин В.Н. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // Журн. выч. матем. и матем. физики. - 1987. -Т. 27. - С. 594-608.

Статья поступила 24 ноября 2010 г.

Дюжев Николай Алексеевич - кандидат физико-математических наук, начальник НТЦ «Нано- и микросистемная техника» МИЭТ. Область научных интересов: на-но- и мембранная технология, вакуумная и плазменная электроника, СВЧ-электроника, нано- и микроструктуры.

Махиборода Максим Александрович - аспирант кафедры прикладной математики МИЭМ, руководитель лаборатории исследования изделий нано- и микросистемной техники НТЦ «Нано- и микросистемная техника» МИЭТ. Область научных интересов: математическая физика, математическое моделирование, вакуумная и плазменная электроника, средства визуализации, мезоскопика, нано- и микроструктуры. E-mail: m.makhiboroda@gmail.com

Информация для читателей журнала «Известия высших учебных заведений. Электроника»

Вы можете оформить подписку на 2011 г. в редакции с любого номера. Стоимость одного номера - 700 руб. (с учетом всех налогов и почтовых расходов).

Адрес редакции: 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ, комн. 7232 Тел./факс: 8-499-734-62-05. E-mail: magazine@miee.ru http://www.miet.ru/ structure/s/894/e/12152/191