CC BY
38
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014
УДК 681.382 Кобзаренко Д.Н.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕСОВ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯХ
Kobzarenko D.N.
MATHEMATICAL MODELING OF THE THERMOPHYSICAL PROCESSES IN SEMICONDUCTOR THERMOELECTRIC CONVERTERS
Рассмотрена математическая модель слоистого термоэлектрического преобразователя энергии, рассчитанного на большие токи питания. Получены тепловые поля и поля термомеханических напряжений в нем. Показаны преимущества сильноточной слоистой конструкции термоэлементов перед классической П-образной.
Ключевые слова: математическая модель, температурный режим, полупроводниковый термоэлектрический преобразователь, температурное поле, теплообмен, термомеханические напряжения.
This paper presents a mathematical model of layered thermoelectric energy Converter, designed for high current power supply. The obtained thermal fields and fields of thermo-mechanical stresses in it. Advantages of high-current layered design elements before the classic U-shaped.
Key words: mathematical model, temperature mode, semiconductor thermoelectric Converter, temperature field, heat transfer, thermo-mechanical stress.
При проектировании термоэлектрических холодильных установок средней мощности, рассчитанных на величину холодопроизводительности до 1,0-1,2 кВт целесообразным является использование сильноточных термоэлектрических батарей (ТЭБ), надежность которых повышается за счет уменьшения количества паяных соединений в термоэлементах (ТЭ). Однако при реализации сильноточных ТЭБ в классическом П-образном виде возникает проблема, связанная с обеспечением их термомеханической надежности. В данном конструктивном исполнении ТЭ при увеличении значения тока питания, и, соответственно удельных тепловых потоков на его холодных и горячих спаях, резко возрастают термомеханические напряжения вследствие теплового расширения (сужения) материалов, что во многом сказывается на надежность функционирования ТЭБ. В этих условиях необходимо принятие определенных конструктивных мер для снижения их величины.
В настоящей работе предлагается к рассмотрению расчет тепловых полей и полей термомеханических напряжений в данной конструкции ТЭ.
Расчетная схема определения теплового поля в слоистом ТЭ приведена на
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014
рис.1. Области 1, 3 и 5 - коммутационные пластины. 2 и 4 - термоэлектрический материал.
Система дифференциальных уравнений теплопереноса для этой схемы имеет вид:
А,^ + + С дТ1
1 дх2 1 су2
Л + а д2Т2 . ,2
д/ дТ,
, А + I2 П = С
'2 ^.2 А2 ^.2 ^ П2 С2 ^ ,
А
дх ду
д2Т, „ д2Т ■ +А,
3 дх2 3 ду2
3 + ]2п3 = с дТз
д 2 Т д 2 Т дТ А -Г- + А ——4 + /А = С
3- 3 а '
дТ
(1) (2)
(3)
(4)
= с, д/ , (5)
где А - коэффициент теплопроводности, П - удельное электрическое сопротивление, у - плотность электрического тока, С - объемная теплоемкость, Т -температура, t - время.
Начальные, граничные условия и условия сопряжения имеют вид:
4 дх2 4 ду2
Ы ' дТ
д2Т д2Т
а5 ^+а5 ^+]2п5 = с 5
5 дх2 5 ду2
5
4
3
2
\Ъ
И
И
И
0
У
1
Рисунок 1 - Расчетная схема
Т1234 = ТсрПРи * = 0 , (6)
-Т -Т- = ¡тсТ - Ттс)при х = 0,0 < у < £, дх (7)
-Т -Т Л1 —1 = Л2 —2 + а12]Т2 при х = Н1 , 0 < у < £, -х -х (8)
-Т -Т Л2—2-а23]Т2 = Л3—3при х = к2,0 <у <£, -х -х (9)
-Т -Т Л3 —3 = Л4 —- - а34]Т4 при х = к3,0 < у < £, -х -х (10)
-Т -Т Л4 —- + а45]Т4 = Л —3 при х = к4,0 < у < £, -х -х (11)
-Т Л "Г =5тс Т - Ттс ) при х = к5, 0 < у < £ , -х (12)
= ¡Т - ТСР ) при у = 0 и £, 0 < х < к, -у (13)
Л2 Т =5Т Тср )при у = 0 и £, к1 < х < к2 > -у (14)
дТ Л3 —3 = ¡{тз - Т ) при у = 0 и £, к2 < х < к3, -у (15)
Л4 —4- = р(Т4 - Т ) при у = 0 и £, к3 < х < к4, -у (16)
дт Л5 —3 = р(т5 - Т ) при у = 0 и £, к4 < х < к , -у (17)
где Тср - температура окружающей среды, а- коэффициент термо-э.д.с., ¡- коэффициент теплообмена с окружающей средой, ¡тс - коэффициент теплообмена с системой теплосброса, Ттс - температура системы теплосброса.
Решение системы уравнений (1)-(5) с соответствующими начальными и граничными условиями (6)-(17) аналитическим методом затруднительно, при этом полученное решение будет непригодно для анализа ввиду большой сложности. В этом случае целесообразно использовать численные методы решения. Для задач со сложной геометрией наиболее оптимальным подходом является поиск решения с помощью метода конечных элементов [4].
Общее решение данной задачи методом конечных элементов осуществляется в следующей последовательности.
Вводится конечно-элементное представление:
к
~{х,у,Г)= ~0 (х,у,/)+ £ Ык (х, ур (*), (18)
к=1
к = 1,2,... ,К
где чертой сверху обозначено приближенное решение; K - суммарное число узловых точек; ~0 (х,у^) выбирается так, чтобы точно удовлетворялись начальные и граничные условия; функция N (х,у) - пробная функция; коэффициент р ) - неизвестны и определяются из системы уравнений, получаемых из ис-
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014
ходного уравнения.
Каждое из исходных уравнений (1)-(5) можно записать в символьном виде
L(T) = 0, (19)
Если подставить (19) в (18), то оно не будет тождественно удовлетворяться. Следовательно, можно записать
L(T) = R,
где величина Я - невязка уравнения. Для определения коэффициентов рк(/) используется система уравнений Галеркина:
| ^ {x,y)R{x,y,t)dxdy = 0, т = 1,... К
в
Для поиска решения стационарной задачи использованы изопараметриче-ские элементы треугольной формы. На рис.2 представлены изопараметрические треугольные элементы двух типов. Приближенное решение в этом случае может быть представлено в виде:
(P(x, у) = (С, л) + Ръ^ъ (С, л) + (С, л\ если х,у е еаъ^
Р(X, у) = (С,л)+ Ре^е (С,л)+ <Р/М/ (С, Л ) если х,у е edef,
где базисные функции (С,л) определяются как
к
ЫС=1. п=1)
-►
/
р.(С=1. п=1)
> С
► С
Рисунок 2 - Треугольные изопараметрические элементы двух типов
N
КБ
W
^-- Б / N
Б
е„
SW
Рисунок 3 - Шесть треугольных элементов е5№, окружающих точку
сетки к
п
п
а
5
= 1 "Л, = =
Выбирая для уменьшения невязки функцию Щх,у) ортогональной ко всем базисным функциям N (х,У), и учитывая, что они обладают локальным носителем только на элементах, расположенных вокруг точки сетки к, имеем:
(Я,Мк ) = КА + кв + кс + кв + КЕ + кр,
где
к, .
д~ дЫк , д~ дЫк
+ 2Ы,
Ск Су, р = А,В,С,Б,Е,Е.
е, ^ дх дх ду ду
Элементы А, ... , Б, как показано на рис.3, окружают точку сетки к.
По данной методике осуществлен численный расчет температурного поля слоистого ТЭ. Основные результаты вычислительного эксперимента приведены на рис.4-8.
На рис.4 приведена структура ТЭ с геометрическими размерами и наложенной на нее конечноэлементной сеткой.
Рисунок 4 - Структура слоистого ТЭ с конечноэлементной
сеткой
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014
Размер ячейки сетки подбирается исходя из определяющего размера.
На рис. 5-6 показано соответственно двумерное температурное поле слоистого ТЭ, а также распределение плотности теплового потока после выхода его на стационарный режим работы.
В качестве исходных данных принималось: Л1=Л3=Л5=395 Вт/(м-К), ¿2=^4=1,5 Вт/(м-К), а=А=А=0,0172-10-6 Ом-м, ^2=^4=10,65-10-6 Ом-м, С= С3= С5=383 Дж/(кг-К), С2= С4=123 Дж/(кг-К), Тср=293 К, Т0=291 К, о=0,2-10-3 В/К, /3=10 Вт/(м2-К), Ттс=291 К, /тс=70 Вт/(м2-К).
Величина теплового потока определялась из соотношения:
дх ду
Т (К)
302.0
297.1
292.2
287.3
282.4
277.5
272.6
267.7
262.8
257.9
I
253.0
Рисунок 5 - Температурное поле слоистого ТЭ
где /=1,...,5.
На рис.7-8 показано соответственно распределение температуры ТЭ вдоль его продольной оси при различной величине тока питания, а также изменение во времени температуры в различных точках слоистого ТЭ.
Как следует из полученных данных, при использовании ТЭ в слоистом исполнении можно получить значительный перепад температур между холодной и горячей коммутационной пластиной при большой величине теплового потока.
? (104Вт/м2)
. _.-.,»-.__. __1.840
__1.657
,1.473
,1.290
,1.106
.0.923
.0.739
0.556
0.372 .0.189
. -.--- < ---.--. __0.005
Рисунок 6 - Картина распределения тепловых потоков в
слоистом ТЭ
Как следует из рис.6-7, при перепаде температур между коммутационными пластинами в 47 К тепловой поток на холодном спае ТЭ, пропорциональный его холодопроизводительности, составляет порядка 18000 Вт/м , что соответствует при данной геометрии ТЭ току питания в 140 А. С уменьшением величины питающего электрического тока значение теплового тока на холодном спае ТЭ и перепад температур между его спаями также уменьшаются. Согласно рис.7 при снижении тока питания ТЭ с 140 А до 80 А перепад температур между спаями ТЭ уменьшается с 47 К до 31 К, соответственно тепловой поток на
9 9
холодном спае уменьшается с 18000 Вт/м до 12000 Вт/м .
Т(К)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
L (мм)
Рисунок 7 - Распределение температуры ТЭ вдоль продольной оси слоистого ТЭ при различное величине тока питания: 1 - 140 А, 2 - 120 А, 3 - 100 А, 4 - 80 А
На рис.8 приведены данные об изменении температуры холодной и горячей коммутационной пластин, а также различных точек ветви ТЭ во времени при токе питания 140 А. Согласно приведенным данным, температура в указанных точках выходит на установившийся режим примерно через 900 с. Данное обстоятельство связано с достаточно большими габаритными размерами ТЭ. При толщине коммутационных пластин 2 мм и высоте ветвей ТЭ 4 мм площадь
4
поперечного сечения равняется 400-10-6 м2. При этом, как следует из расчетных данных, целесообразным будет являться предусмотреть съем теплоты не только поперечного сечения равняется 400-10-6 м2. При этом, как следует из расчетных данных, целесообразным будет являться предусмотреть съем теплоты не только с горячих коммутационных пластин, но и также с близлежащей к ним поверхности ветвей ТЭ. В данном конструктивном исполнении может быть предложен
дополнительный теплосъем примерно с 1/3 боковой поверхности ТЭ. т (К) 310
308
306
304
302
300
298
296
294
292
290
288
286
284
282
280
278
276
274
272
270
268
266
264
262
260
258
256
254
3
2
300
600
900
1200
1500
1800 Время (с)
Рисунок 8 - Изменение температуры в различных точках слоистого ТЭ
вдоль продольной оси во времени Для оценки термомеханических характеристик ТЭ слоистой конструкции был произведен расчет возникающих в нем механических напряжений и деформаций, являющихся следствием теплового расширения материалов.
0
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014
Расчет производился также с использованием метода конечных элементов. При этом, математическая формулировка задачи имела следующий вид.
Температурная деформация материала определяется коэффициентами линейного расширения и изменением температуры относительно температуры недеформированного состояния. Составляющая начальной термической деформации для изотропного материала (для упрощения расчетов термоэлектрический материал, из которого изготавливались ветви ТЭ, также принимался изотропным) имеет вид:
{е0 }-(1 V
ЛТ
(20)
где V- коэффициент Пуассона, у- коэффициент линейного расширения материала, ЛТ - перепад температуры между деформированным и недеформирован-ным состоянием.
Соотношение между механическими напряжениями и деформациями выражается зависимостью:
где [о]=
Е
1 -V2
1 V 0
V 1 0
1 -V
0 0
2
И=№}-К}),
- матрица упругости, Е - модуль Юнга,
(21)
М =
дх ду дх ду
- деформация, ¡^
компоненты вектора перемещений.
Уравнения статического равновесия имеют следующий вид:
дх ду х
ху . д°У _ /
(22)
дх ду
где ^, ^ - компоненты вектора плотности объемной силы, ст <уу, т^ - нормальные и касательное механические напряжения по осям.
Решение уравнений (20)-(22) совместно с граничными условиями, определяющими наличие по всем граням системы нулевого нормального давления, распределение температуры, определяемого при решении уравнений (1)-(19), а также наличие упругих подвесов в крайних точках ТЭ, дает возможность полу-
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014
чить двумерную картину механических напряжений, деформаций и перемещений.
Рисунок 9 - Картина распределения механических напряжений в
слоистом ТЭ
Результаты вычислений приведены на рис.9-10. Расчеты выполнены при следующих исходных данных: Е=1,2-106 Н/м2, у=0,3 у=22,2-10-6 1/К для термоэлектрического материала и Е=1,2-1011 Н/м2, у=0,34 у=16,8-10-6 1/К для медных коммутационных пластин. Предел прочности термоэлектрического материала
7 2 8 2
составляет 1,0-10 Н/м , коммутационных пластин - 3,2-10 Н/м .
На рис.9 показано двумерное поле механических напряжений для слоистого ТЭ при токе питания 120 А, что соответствует величине теплового потока 16000 Вт/м . Как следует из приведенных данных для указанного конструктивного исполнения ТЭ величина механических напряжений не выходит за допустимые значения. Наибольшая нагрузка приходится на места контакта комму-
тационных пластин с ветвями ТЭ. Здесь величина механической нагрузки до-
7 2
стигает значения 0,9-10' Н/м2 для коммутационной пластины. Наибольшие механические напряжения в термоэлектрическом веществе не превышают 0,2-10 Н/м2. На
рис.9 также показана деформированная граница ТЭ. Как следует из рисунка, в случае слоистой конструкции ТЭ деформации относительно незначительны и связаны, прежде всего, с удлинением и расширением ТЭ с боков, что объясняется отсутствием его жесткой фиксации по краям. При этом максимальная величина перемещений не превышает 0,18 мм.
а
б
Т (К) ст (109 Н/м2)
,311.0
,306.3
,301.6
,296.9
292.2
,287.5
_.282.8
_.278.1
_.273.4
_.268.7
,264.0
0.273
0.125
,-0.024
-0.172
,-0.320
,-0.4
,-0.617
-0.765
-0.913
-1.062
-1.210
Рисунок 10 - Температурное поле (а) и поле механических напряжений (б) классической П-образной конструкции ТЭ
Для сравнения на рис.10 рассмотрена картина механических напряжений при тех же условиях для классического П-образного ТЭ. В данном случае деформации достаточно велики, и при величине тока питания 120 А без применения специальных мер по снижению термомеханических нагрузок механические усилия превышают соответствующий предел прочности материала. Например, для коммутационных пластин в стыке с ветвью ТЭ значение механических
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014
напряжений свыше 7-108 Н/м2, что более чем в 2 раза превышает величину предела прочности меди, для термоэлектрического материала соотношение механических нагрузок и предела прочности в данном случае еще выше.
При этом, в соответствии с проведенными расчетами установлено, что для данной конструкции ТЭ наибольшим током питания без превышения допустимого значения механических нагрузок в системе является электрический ток, не превышающий величины 82 А, т.е. почти в 1,7 раза меньше, чем в случае использования слоистого ТЭ, для которого максимальная величина тока питания по расчетам составляет 140 А.
Таким образом, проведенные расчеты в полной мере подтверждают преимущества слоистой ТЭБ перед ТЭБ, выполненной из ТЭ П-образной формы. В первом случае можно получить более мощную ТЭБ без снижения ее термомеханических характеристик и надежности работы.
Библиографический список:
1. Патент РФ на изобретение № 2269183. Термоэлектрическая батарея / Ис-маилов Т.А., Вердиев М.Г., Евдулов О.В., Меркухин Н.Е., опубл. 27.01.2006, БИ №3.
2. Патент РФ на изобретение № 2269184. Термоэлектрическая батарея / Ис-маилов Т.А., Вердиев М.Г., Евдулов О.В., Меркухин Н.Е., опубл. 27.01.2006, БИ №3.
3. Патент РФ на изобретение № 2280919. Термоэлектрическая батарея / Ис-маилов Т.А., Вердиев М.Г., Евдулов О.В., опубл. 27.07.2006, БИ №21.
4. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. Перевод с англ. - М.: Мир, 1988. - 544с.
УДК 681.382
Кобзаренко Д.Н., Рашидханов А.Т., Юсуфов Ш.А.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО БЛОКА С ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ОХЛАЖДЕНИЕМ В СОСТАВЕ ШКАФА ДЛЯ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОГО ОБОРУДОВАНИЯ
Kobzarenko D.N., Rashidkhanov A.T., Yusufov Sh.A.
MODELING OF A TEMPERATURE FIELD OF THE ELECTRONIC BLOCK WITH THERMOELECTRIC COOLING AS A PART OF A CASE FOR THE TELECOMMUNICATION EQUIPMENT
В статье рассмотрена математическая модель электронного блока с термоэлектрическим охлаждением в составе шкафа для телекоммуникаци-
