Математическое моделирование течений с гомогенной конденсацией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 57-72:537.7

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ С ГОМОГЕННОЙ КОНДЕНСАЦИЕЙ

1КОРЕПАНОВ М.А., 2ГРУЗДЬ С. А.

1Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

2

Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7

АННОТАЦИЯ. Предложена математическая модель, рассматривающая процесс гомогенной конденсации в рамках теории быстрой коагуляции Смолуховского. Рассмотрено течение паров воды в коническом сопле, определено критическое значение числа сверхкритических кластеров.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: агломераты, пересыщенный пар, коагуляция, гомогенная конденсация.

В предыдущих работах авторов [1, 2] было предложено использовать идею Смолуховского [3], который в теории быстрой коагуляции рассматривал процесс образования агломератов следующим образом: сначала одинарные первоначальные частицы сталкиваются и образуют двойные частицы; затем двойные сталкиваются с подобными и образуют четверные и т.д. Еще одним примером такого ряда является ряд Фибоначчи, в котором каждое последующее число ряда образуется путем сложения двух предыдущих чисел ряда: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Данный процесс можно описать так:

& п &п—1 + &п-2 .

При этом квазиравновесные концентрации малых агломератов рассчитываются по константам равновесия, определяемым по модели Эйнштейновского кристалла либо по модели макроскопической капли. На рис. 1 приведены зависимости парциальных давлений агломератов в переохлажденных парах воды. При этом в случае появления сверхкритических кластеров необходимо проверять возможность конденсации, и если скорость образования кластеров или их концентрация пренебрежимо малы, исключать максимальный кластер из расчета квазиравновесного состава и продолжать без него [4].

|д Рд

-5.0

-15.0

-25.0

-35.0

-45.0

Рис. 1. Парциальные давления агломератов в парах воды при переохлаждении

Скорость коагуляции в единице объема за единицу времени, предполагая, что образование околокритических кластеров происходит за счет столкновения двух достаточно больших различных агломератов, запишется в виде:

I = кп , п ,, (1)

Я Я-1 Я-2 ' V '

где п - частичная концентрация, к - постоянная скорости коагуляции, характеризующая вероятность сближения и равная:

к = 8лЯБ, (2)

где Я = Яя-1+Яя-2, Б = ПЯ-1+ПЯ-2 - коэффициент диффузии, являющийся суммой диффузий двух сталкивающихся кластеров, образующих другой более крупный. Для определения коэффициента диффузии может быть использована известная зависимость для коэффициента бинарной диффузии [5].

Моделирование течения паров по сверхзвуковой части сопла производилось в одномерной постановке в переменных плотность-температура, за основу была взята система уравнений из [6]. При разработке математической модели были приняты следующие допущения:

- до появления достаточного числа сверхкритических кластеров их ростом пренебрегается, а после их образования процесс нуклеации считается прекратившимся и рассматривается только рост сверхкритических зародышей. Это допущение считается общепринятым [7];

- используется модель однотемпературного и односкоростного потока в связи с малым размером зарождающейся фазы, вследствие чего теплота конденсации отнесена к плотности всего потока (равной начальной плотности газовой фазы), и теплоемкость среды принята постоянной и равной для газовой и конденсированной фаз.

Система уравнений для определения параметров смеси до начала роста частиц, т.е. до появления достаточного количества сверхкритических кластеров содержит следующие уравнения:

- для числа (концентрации) сверхкритических кластеров

йг

■ь, (3)

для массы сверхкритических кластеров

— =0, (4)

йг

- для плотности газовой фазы

йг М2 -1 ^ (х) йх

для температуры потока

йр М2 р й¥

- —V- I■gcr■ml, (5)

йТ (к -1) М2 Т й¥ ^ т АН, к

V +1 ■ ясг • т1--, (6)

йг М2 -1 ^ (х) йх Я 1 р0С

для скорости потока

йУ 1 V й¥ ^

— = —2---тт---V, (7)

йг М2 -1 ^ (х) йх

- для текущей координаты сопла

- = V, (8) йг

где т - масса кластера, которая после образования достаточного количества сверхкритических кластеров и при начале их роста может быть принята равной массе

сверхкритического кластера т0 = т1 • ясг , или с учетом постепенного накопления сверхкритических кластеров возможно разных размеров, например, при быстром

7

охлаждении (течения в сверхзвуковых соплах) - т = ———, т =-т--масса

0 N 1000 • Ыл

моночастицы газа, кг, т - мольная масса моногаза, г/моль. Как показывают расчеты, при течениях в соплах скорость конденсации увеличивается очень быстро, так что большую часть начальных зародышей новой фазы составляют критические кластеры соответствующие термодинамическим условиям в момент перехода расчета к их росту, т. е. массы сверхкритических кластеров, полученные из разных условий, практически совпадают.

В уравнении для плотности учитывается отвод массы при образовании сверхкритических кластеров, который пренебрежимо мал практически до самого начала конденсации из-за очень низких значений скорости конденсации 1ё. В уравнении для температуры добавлено слагаемое, учитывающее выделение тепла при образовании сверхкритических кластеров, при этом в связи с тем, что в малых кластерах (§ < 300), число связей между частицами намного меньше их числа в жидкости, в выражении учитывается к

множитель [1, 2].

На втором этапе производится расчет роста частиц новой фазы, при этом образование новых сверхкритических кластеров прекращается в первую очередь из-за снижения пересыщения. Система уравнений будет выглядеть следующим образом:

- для числа (концентрации) сверхкритических кластеров

^ = 0, (9)

йг

- для массы сверхкритических кластеров (рост в условиях свободномолекулярного режима [10])

йт . 2 р - р

-= 4р-Г2 ^ ^

йг с

2я—Т ^ *

т

3 т 4р т1

(10)

- для плотности газовой фазы

йр М2 р й^ ^ ЛГ йт ....

— =--2---т—---V - N--, (11)

йг М2 -1 ^ (х) йх йг

для температуры потока

dL = -(Jk^1MLт йFv + N^m.^, (12)

йг М2 -1 ^ (х) йх йг р0су

Уравнения для скорости (7) и текущей координаты сопла (8) остаются неизменными.

Во всех уравнениях ^(х) - площадь поперечного сечения сверхкритической части сопла (для конического сопла представляет собой линейную функцию от х), й¥

--производная, для простоты расчетов определяемая аналитически.

х

На каждом шаге интегрирования по времени по известным параметрам состояния —, Т производится расчет состава паров с учетом докритических кластеров (сверхкритические при этом из расчета исключаются).

Одним из наиболее важных вопросов является определение числа сверхкритических кластеров, после достижения которого можно начинать рассмотрение их роста. Для этого было проведено моделирование процесса охлаждения насыщенных паров воды Гнач = 373 К, что соответствует точке кипения. Система уравнений, описывающая процесс конденсации, в этом случае сокращается, из нее удаляются уравнения и слагаемые, относящиеся к течению по соплу, а в уравнение для температуры добавляется слагаемое для отвода энергии в виде - Q/CV/—.

На рис. 2 приведена зависимость температуры от времени для процесса гомогенной конденсации насыщенного пара воды Н20. Пороговое значения концентрации

12 13 14 3

сверхкритических кластеров было принято равным 1012, 1013, 1014 м- . Выделение теплоты конденсации после начала роста капель приводит к росту температуры. При этом кривая температуры имеет две точки перегиба. Вначале это связано с тем, что размер критических зародышей очень мал, вследствие чего поток массы конденсирующегося на них пара ограничен площадью поверхности. В конце процесса - это объясняется снижением пересыщения до 1, вследствие чего поток массы конденсирующегося пара падает до 0. Тем

12 3

не менее, важным является тот факт, что весь процесс занимает около 0,1 мс при N = 10 ми около 0,02 мс N = 1014 м-3.

Рис. 2. Изменение температуры паров Н20 при конденсации

На рис. 3 приведена аналогичная зависимость температуры от времени для процесса гомогенной конденсации насыщенного пара углекислого газа С02. Пороговое значения концентрации сверхкритических кластеров было принято равным 1010, 1012, 1014 м-3.

На рис. 4, 5 приведены распределения температуры и давления по длине сопла в зависимости от принятого достаточного количества сверхкритических кластеров N = 1010^1014 м-3, радиус критического сечения сопла 0,01 м, угол полураствора конуса 5,71°, параметры паров задаются соответствующими точке насыщения Т = 393 К, р = 1,12 кг/м3.

На рис. 6 приведены экспериментальные данные по конденсации паров воды в соплах из [7]. Видно хорошее качественное совпадение полученных результатов при N = 1012-1014 м-3.

Г ___

N=10^ N=10^ N=1010

0.000 0.019 0.037 0.056 ^ МС

Рис. 3. Изменение температуры паров СО2 при конденсации

Рис. 4. Изменение температуры пара при конденсации по соплу

Рис. 5. Изменение давления пара при конденсации по соплу

г = 1 см: о - р0 = 4,9-105 Па, Т0 = 442 К, Т5 = 415 К; • - р0 = 2-105 Па, Т0 = 445 К, Т5 = 370 К; 1 - равновесное течение; 2 - неравновесное

Рис. 6. Экспериментальные данные по распределениям относительного давления и относительной температуры по длине конического сопла [7]

При пороговом числе сверхкритических кластеров #=1010 их количества оказывается недостаточно, вследствие чего на графике температуры максимум оказывается слабо выраженным, а на кривой давления перегиба, вызванного конденсацией, практически не видно, что расходится с известными экспериментальными данными.

На рис. 7 приведено изменение по времени температуры, степени пересыщения и размера сверхкритического кластера по времени течения по соплу для N = 1014 м-3.

Рис. 7. Температура, степень пересыщения и размер сверхкритического кластера

по времени течения по соплу

Дополнительные пояснения к графикам приведены в табл. Из результатов видно, что по мере снижения температуры пересыщение паров растет и вместе с этим снижается размер сверхкритического кластера. По мере уменьшения размера сверхкритического кластера увеличивается скорость их образования, что связано с увеличением скорости диффузии, а также тем, что концентрации более мелких кластеров существенно выше. Особенно заметны разница по скорости образования сверхкритических кластеров (в 5 - 6 порядков) при переходе от размера в 21 частицу к 13 при практически том же пересыщении.

Таблица

Скорость образования и концентрация сверхкритических кластеров при течении по соплу

Число частиц в Скорость образования Концентрация Степень

кластере, % сверхкритических кластеров, сверхкритических кластеров, N, 1/м3 пересыщения, Р/Рв

4, 1/(м3-с)

89 1,60-10-7 1,60-10-16 1,84

1,05-109 2,60-102 3,60

55 4,86-109 2,64-102 3,60

6,50-Ю11 2,90-105 4,21

34 2,72-1012 2,93-105 4,21

1,54-1014 1,30-108 5,40

21 5,54-1014 1,31 -108 5,40

9,38-1015 1,62-1010 7,78

13 1,92-1021 1,93 -1012 7,78

1,95-1021 1,01 -1014 7,81

Примечание: для одного размера кластера верхний ряд значений соответствует началу ступеньки на графике (рис. 7), а второй - концу ступеньки.

Из анализа графика размера сверхкритического кластера и данных табл. видно, что

даже если определять размер критического кластера с точностью до одной частицы это не

приведет к существенному изменению момента конденсации, т.е. момента роста

сверхкритических зародышей.

При расчетах конденсации в сопле при различных пороговых значениях

концентрации сверхкритических кластеров были получены следующие значения размеров

12 3

образующихся в результате конденсации капель г^ = 3,16 мкм при N = 10 м- , г^ = 1,55 мкм при N = 1013 м-3 и Гс1 = 0,72 мкм при N = 1014 м-3. Из полученных результатов видно, что изменение радиуса капли связано с изменением их числа - при изменении N на порядок

радиус капли меняется примерно в ^10 = 2,15 раз.

На рис. 8 приведены графики температуры по приведенной длине (Ь/Якр) для сопел разных размеров - с радиусами критического сечения сопла = 0,002; 0,01; 0,05 м и достаточного количества сверхкритических кластеров N = 10 м- . Известно, что при геометрическом подобии сопел, газодинамические параметры в них будут одинаковыми [8], однако это не относится к течениям с физико-химическими превращениями, т.к. в этом случае очень важную роль будет играть общее время процесса. Из графиков видно, что для очень маленьких сопел с Якр = 0,002 м и длиной сверхзвуковой части сопла Ь = 0,01 м процесс конденсации оказывается более растянутым по относительной длине сопла, и, очевидно, при еще меньших размерах сопел процесс конденсации может и не завершится в сопле.

Рис. 8. Изменение температуры пара при конденсации для сопел разных размеров

В литературе [4, 7, 9, 10] в качестве критерия начала процесса роста новой фазы предлагается использовать скорость образования сверхкритических кластеров, однако, с нашей точки зрения, наиболее правильным является использование концентрации сверхкритических кластеров в единице объема, т.к. при быстротекущих процессах, например, сверхзвуковые течения в соплах, времени пребывания может оказаться недостаточно для накопления необходимого числа зародышей новой фазы. Для сверхзвуковых сопел, несмотря на их геометрическое и газодинамическое подобие, физический размер будет играть существенное значение.

Кроме того, в [7] на основании анализа результатов численных исследований процесса конденсации при течении паров воды в сверхзвуковом сопле делается вывод о достаточности определения точки конденсации по температуре с точностью до ±5°. Из рис. 8, 11 и данных таблицы видно, что изменение порогового значения концентрации сверхкритических кластеров от 1010 до 1014 приводит к изменению температуры начала процесса конденсации около 2 градусов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Корепанов М.А., Груздь С.А. Моделирование гомогенной конденсации с учетом квазиравновесной концентрации малых агломератов // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 1. С. 63-67.

2. Корепанов М.А., Груздь С.А. Течения с конденсацией в соплах // Сб. трудов Восьмой Всерос. конф. «Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и ствольных системах» (1С0С'2014). Россия, Москва, 24-26 сентября 2014 г. Ижевск : Изд-во ИМ УрО РАН, 2014. С. 143-151.

3. Волков В. А. Коллоидная химия. М. : Изд-во МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2001. 640 с.

4. Скрипов В.П., Коверда В.П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидкостей. Зарождение кристаллов в жидкостях и аморфных твердых телах. М. : Наука, 1984. 232 с.

5. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей : справ. пособие / пер. с англ. / под ред. Б.И. Соколова. Л. : Химия, 1982. 592 с.

6. Барилович В. А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное решение : учеб. пособие. СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2009. 425 с.

7. Гидаспов В.Ю., Пирумов У.Г., Иванов И.Э., Северина Н.С. Модели образования наночастиц в потоках газа : учебно-методический комплекс. Калуга, Москва : Изд-во «Эйдос», 2011. 214 с.

8. Иров Ю.Д., Кейль Э.В. и др. Газодинамические функции. М. : Машиностроение, 1965. 400 с.

9. Анисимов М.П. Нуклеация: теория и эксперимент // Успехи химии. 2003. Т. 72, № 7. С. 664-705.

10. Горбунов В. Н. Пирумов У. Г. Рыжов Ю. А. Неравновесная конденсация в высокоскоростных потоках газа. М. : Машиностроение, 1984. 200 с.

MATHEMATICAL MODELING OF FLOW WITH HOMOGENEOUS CONDENSATION

1Korepanov M.A., 2Gruzd' S.A.

institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia 2Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia

SUMMARY. A mathematical model that considers homogeneous condensation in the framework of the Smoluchowski coagulation theory is proposed. The flows of water vapor in the conical nozzle are studied. Critical value of supercritical clusters is defined.

KEYWORDS: small agglomerates, supersaturated vapor, coagulation, homogeneous condensation.

Корепанов Михаил Александрович, доктор технических наук, доцент, ведущий научный сотрудник ИМ УрО РАН, e-mail: kma@udman. ru

Груздь Светлана Анатольевна, старший преподаватель ИжГТУ имени М. Т. Калашникова