Математическое моделирование стационарных фильтрационных течений со свободной границей методом R-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63:532.5

А.П. БЛИШУН, М.В. СИДОРОВ, И.Г. ЯЛОВЕГА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ МЕТОДОМ Я-ФУНКЦИЙ

Рассматривается задача расчета фильтрационного течения жидкости со свободной границей. Предлагается численный метод её решения, использующий конструктивную теорию Я-функций для построения структуры решения краевой задачи, и метод наименьших квадратов для итерационного уточнения свободного участка границы области фильтрации.

Введение

Актуальность исследования. В последние десятилетия наблюдается катастрофическое снижение естественной дренажности и устойчивый подъем уровня грунтовых вод, что приводит к подтапливанию аграрных, городских и других ландшафтов. Поэтому проблема математического моделирования движения грунтовых вод (т.н. фильтрационных течений) в пористых средах является актуальной. Методы моделирования физических процессов в пористых средах можно найти в [1 - 5]. Математическое моделирование фильтрационных течений использует методы теории функций комплексного переменного. Однако они часто труднореализуемы в областях сложной геометрии. Еще больше вычислительных сложностей возникает, если область фильтрации содержит участки свободной поверхности. Например, в [6] предлагается делать в таких задачах невырожденную замену переменной, которая преобразует область со свободной границей в область с границей фиксированной, однако делает уравнение задачи нелинейным. В связи с этим разработка новых численных методов решения задач этого класса является актуальной.

Цели и задачи исследования. Целью настоящего исследования является разработка нового метода решения краевых задач теории фильтрации со свободной границей, который бы точно учитывал всю имеющуюся аналитическую и геометрическую информацию. Для этого необходимо решить следующие задачи:

- построить полную структуру решения краевой задачи, т.е. пучок функций, точно удовлетворяющий всем краевым условиям задачи;

- описать алгоритм итерационного уточнения уравнения свободной границы.

Для решения поставленных задач будут использованы методы конструктивной теории Я-функций и методы аппроксимации функций в гильбертовых пространствах.

Настоящая работа распространяет результаты, полученные в [7, 8], на случай наличия в области свободной границы. В работе не рассматриваются вопросы существования и

единственности поставленных краевых задач. Предполагается, что все задачи поставлены корректно в некоторых функциональных пространствах для заданных входных данных и все математические модели рассматриваются с точки зрения их алгоритмизации для дальнейшего решения на ЭВМ. 1. Постановка задачи

Рассмотрим случай двухмерного несжимаемого установившегося потока через ортот-ропный грунт в области ^, для которого закон Дарси может быть записан следующим

ди ди

образом: у1 =-к11-, у2 =-к22 . Здесь и - напор, к11,к22 - коэффициенты фильтра-

дх^ 0X2

ции, у1, у2 - компоненты скорости потока. Уравнение неразрывности для такого потока имеет вид:

Í

Sx,

Su

5x-

\

f

i У

Sx2

Su

Sx.

Л

= 0 в Q.

2 У

Граничные условия задачи таковы:

f

u = u на SQ,; vn =-

k Su k Su

^l^- an1 + k22^~ a-

Sx, Sx2

Л

= vn на SQ2

(l)

(2)

1 /

где уп - скорость, направленная по нормали к границе; ап1 и ап2 - направляющие

косинусы нормали с осями Ох1 и Ох2; дЦ - непроницаемая часть границы; -

проницаемая часть границы.

Пусть в пористом грунте образуется свободная поверхность фильтрующейся жидкости, называемая обычно поверхность депрессии. Точное положение этой поверхности неизвестно и её определение составляет одну из частей общего решения. Для этой цели используется простое условие: в любой точке свободной поверхности полный потенциальный напор и равен напору Н, соответствующему геометрическому возвышению свободной поверхности над плоскостью сравнения (атмосферное давление принимается равным нулю). Отметим, что наличие свободного участка границы области фильтрации делает краевую задачу (1), (2) нелинейной.

x2,v

0

Cp = x2

xi,vi

2'

C p = const = HE

dn

Рис. l

Рассмотрим общий случай фильтрации, показанный на рис. 1, с четырьмя различного типа границами.

1) Непроницаемая граница (линия AF) - поверхность слоя почвы и твердые породы.

Su Sn

тока.

2) Границу грунта с жидкостью составляют поверхности пористой плотины, ограничивающие район фильтрации вверх и вниз по потоку (линии ABC и EF). На данные поверхности

Условие на таких границах есть — = 0 на , следовательно, они являются линиями

действует гидростатическое давление; полный потенциальный напор вдоль них может быть принят постоянным и равным возвышению жидкой поверхности. Эти границы являются эквипотенциальными линиями.

3) Линия фильтрации (или кривая депрессии) СБ есть самая верхняя линия тока в области течения. В каждой точке вдоль этой линии давление в порах равно атмосферному и поэтому полный напор равен геометрическому напору, т.е. и = Н = х2 в произвольной точке СБ . Кроме того, эта кривая является линией тока.

4) Поверхность высачивания - это поверхность, где вода просачивается сквозь грунт в воздух. Так как давление на такой границе постоянно и равно атмосферному, полный напор равен возвышению (и = х2). Эта граница не является ни эквипотенциальной линией, ни линией тока.

Рассмотрим двумерный случай: х1 = х, х2 = у, х3 = 0 и, кроме того, к- = 0 при 1 Ф j, 1, j = 1,2 , т.е. оси координат являются главным направлением тензора коэффициента фильтрации. Будем решать смешанную краевую задачу, связанную с определением подземной части гидросооружения:

дх

5u

Í

дх) dy i dy

Su

Л

= 0 в Q ,

uIae = ui

uifc = u3

du

cN

-anu

ABCUA'B'C'

= Yo (х'У ),

(3)

(4)

(5)

где

Su

= k,

Su

-cos

(n'x y

du ¡ \

22—cos (n,y) - производная по конормали; n - единичным

dy

dN dx

вектор внешней нормали; u15u3 - постоянные величины. Часть границы области ABC' (рис. 2) - неизвестная линия, которую обозначим через SQ.. В частном случае, когда ABC и A'B'C' - непроницаемые границы, имеем с0 = 0 и у0 = 0 .

У

A

A'

C

В

Рис. 2

Предполагаем, что точки А' и С' неизвестные. Так как у нас дП. означает неизвестную границу, то согласно теории на ней задается дополнительное, так называемое «геометрическое условие» (или «кинематическое условие»)

и = ^(б) на дП., (6)

где означает заданный напор на подземном контуре гидросооружения.

2. Общие положения теории Я-функций

Наиболее общим методом учета априорной информации аналитического и геометрического характера, содержащейся в краевой задаче, является метод Я-функций, разработанный школой академика НАН Украины В.Л. Рвачёва. Рассмотрим общие положения теории этого метода [9]. Этот раздел носит вспомогательный характер и призван объяснить используемые в разделе 3 понятия и преобразования.

Сформулируем обратную задачу аналитической геометрии. Пусть в Я2 задан геометрический объект О с кусочно-гладкой границей дО и требуется построить функцию ю(х,у), положительную внутри О, отрицательную вне О и равную нулю на дО . Уравнение ю(х,у) = 0 будет в неявной форме определять геометрическое место точек, представляющих границу дО области О .

Определение 1. Я -функцией (функцией В.Л. Рвачева), соответствующей разбиению числовой оси на интервалы (-да, 0) и [0, + да), называется такая функция, знак которой вполне определяется знаками ее аргументов, т.е. функция ъ = ^х,у) называется Я -функцией, если существует такая булева функция Б, что 8[ъ(х,у)] = Б[8(х), 8(у)], где двузнач-

Г0, х < 0, ный предикат 8(х) = <

[1, х > 0.

Наиболее часто используется система Я-функций :

хла у = Т—(х + у— Vх2 + у2 -2аху) , х vа у = -^(х + у + у1 х2 + у2 -2аху), х = —х .

1 + а 1 + а

Здесь —1 < а(х, у) < 1, а(х,у) = а(у,х) = а(—х,у) = а(х,— у).

Пусть область О может быть сконструирована из более простых (опорных) областей

О1 = {ю1(х,у) > 0},..., От = {ют(х,у) > 0} с помощью теоретико-множественных операций

объединения, пересечения и дополнения. Тогда области О можно поставить в соответствие предикат

О = Б(О1, О2, к, От), (7)

который принимает значение 1, если (х,у) е О, и значение 0, если (х,у) й О .

Переход от предикатной формы задания области (7) к обычному, принятому в аналитической геометрии, уравнению для границы области осуществляется с помощью формальной замены О на ю(х,у), О1 на ю1(х,у) (1 = 1, 2, ..., т), а символы {I, и, —} - на символы Я-операций {ла, vа, —} соответственно. Получим в итоге аналитическое выражение ю(х,у), определяющее в элементарных функциях требуемое уравнение ю(х,у) = 0 границы дО . При этом для внутренних точек области ю(х,у) > 0 , а для внешних ю(х,у) < 0.

Определение 2. Уравнение ю(х,у) = 0 границы дО области Ос Я2 называется нормализованным на границе дО до п -го порядка, если функция ю(х,у) удовлетворяет

, дю

условиям ю = 0, —

|дО дп

= 1 дю

= — , дп1

= 0 (1 = 2, 3, ..., п), где п - вектор внешней нормали

дО

к дО, определенный в ее регулярных точках.

Нормализованное до первого порядка уравнение ю(х,у) = 0 может быть получено из уравнения ю1(х,у) = 0 следующим образом.

дю дп

Теорема. Если ю(х,у) е Ст(Я2) удовлетворяет условиям ю| = 0 и

> 0, то

дО

функция ю1 = , е Ст (Я), где |ую| =

^ю2 + |Ую|2 ' ' V

дю

, удовлетворяет усло-

виям ю10О = 0

дп

= —1 во всех регулярных точках границы дО .

дО

Если Ую11 Ф 0 в П = П и дП , то для построения нормализованного до первого порядка

уравнения можно воспользоваться более простой формулой ю ^—1—¡-.

Рассмотрим схему применения аппарата теории Я-функций для решения краевых задач. Задача расчета физического поля сводится к отысканию в некоторой области П решения и уравнения Аи = f при следующих условиях на границе дП области П : Ь1и = ф1, 1 = 1, ..., т, где А и Ь1 - заданные дифференциальные операторы (Ь1 в частном случае могут представлять собой тождественный оператор); f и ф1 - функции, определенные соответственно внутри области П и на участках дП ее границы. Участки дП1 не обязательно все различные и могут совпадать со всей границей дП . Приведенные в постановках краевых задач функции и , f , ф1 и операторы А и Ь1 называются аналитическими компонентами краевой задачи; область П, ее граница дП , участки границы дП1 - геометрическими компонентами. Существование двух разнородных видов информации (аналитической и геометрической) является серьезным препятствием при отыскании решения краевой задачи. При исследовании и решении краевых задач необходимо не только учитывать вид формул, входящих в постановку задачи, но и приводить геометрическую информацию к аналитическому виду, позволяющему включать ее в разрешающий алгоритм. Осуществить эту процедуру позволяет метод Я -функций.

С помощью нормализованного уравнения можно строить пучки функций, нормальная производная которых, либо произвольная линейная комбинация нормальной производной и самой функции на границе области принимает заданные значения. Для этого введем

дю д дю д

сначала следующий оператор: Б1 =---1---, где ю(х,у) - нормализованное уравне-

дх дх ду ду

ние границы области. При этом для произвольной достаточно гладкой функции f на

границе области дП будет иметь место Б1Л =--, где п - вектор внешней нормали

дп

и" дП

к границе. Аналог оператора Б1, соответствующий участкам дП1 границы дП, будем

_ _(1) дю1 д дю1 д обозначать через Б; =—L--1--1—, где ю1(х,у) - нормализованные уравнения участ-

дх дх ду ду

ков границы дП1 . Можно доказать, что Б1ю = 1 + 0(ю), Б1(юФ) = (Б1ю)Ф + юБ1Ф = Ф + 0(ю), где ю(х,у) - нормализованное уравнение границы области.

Определение 3. Общей структурой решения краевой задачи называется выражение и = В(Ф, ю, {ю1}т=1, {ф-}»), которое при любом выборе неопределенной компоненты ф точно удовлетворяет всем краевым условиям задачи. Здесь В - оператор, зависящий от геометрии области П и участков дП1 ее границы, а также операторов краевых условий, но не зависящий от вида оператора А и функции f .

Соответственно, частной структурой решения будем называть выражение вида и = В1(Ф, ю, ю1, ф-), при любом выборе неопределенной компоненты точно удовлетворяющее лишь граничному условию на 1-м участке границы дП .

Таким образом, структура решения осуществляет продолжение граничных условий внутрь области.

Задача построения уравнения сложного геометрического объекта является частным случаем более общей проблемы, когда искомая функция ф принимает на различных участках дП1 границы области П заданные значения ф1, т.е.

ф = ф1 на дП1, 1 = 1, ..., т. (8)

Для простоты будем считать, что ф1 - элементарные функции, определенные везде в области П и дП . С применением методики, описанной выше, конструируются функции ю°, равные нулю везде на дП , за исключением участка дП1. Тогда функция 22

(т Vт V

Ф = 1&1Ю0 | (9)

V 1= Л j=1 )

удовлетворяет условиям (8) и определена везде в области, за исключением точек, общих для различных участков. Вместо выражения (9) можно также применять формулу

( т V т V1

фЧЕФ® I Е®-1 , (ю)

V !=1 Л J=1 у

где < = 0 - уравнение участка границы дО , причем < > 0 вне . При приближении к участку дQi функция < ^ 0 и предельные значения функции Ф совпадают со значениями соответствующей функции ф1.

Оператор "склеивания" граничных значений, определяемый какой-либо из приведенных формул (9), (10), будем обозначать в дальнейшем ЕС (ЕСф1 = ф).

Практически все приближенные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных основаны на сведении бесконечномерной задачи к конечномерной. В методе Я -функций это достигается представлением неопределённой компоненты Ф струк-

п

туры решения в виде суммы ф(х,у) «Фп(х,у) = ЕскФк(х,У), где фк(х,у) - известные

элементы полной функциональной последовательности, а ск (к = 1, 2, ..., п) - неизвестные коэффициенты разложения. Неопределённые функции, входящие в структурные формулы, должны выбираться так, чтобы наилучшим образом (в том или ином смысле) удовлетворить основному дифференциальному уравнению задачи. Методы поиска приближений к неопределенным функциям могут быть самыми различными, например, можно воспользоваться вариационными (Ритца, наименьших квадратов и т.д.), проекционными (Галёркина, коллокаций и т.д.), сеточными и другими методами.

3. Построение структуры решения краевой задачи

Будем предполагать, что уравнение (4) эллиптическое невырождающееся, т.е. при всех 1;2 е Я\{0} в о выполнено неравенство к^2 + к2^2 ^ЦоОа +12), > 0.

Введем следующие обозначения:

Au к,, ^ I —

к ^

к22 -

Su

du

Nu = kn—cos(n,x) + kn—cos(n,y)

dx dy

Sx ^ Sx) Sy ^ Sy dQ. = A'B'C' - свободная граница, 5QJ = AA' U C'C , dQ2 = ABC. Пусть функция ®'(x,y) обладает следующими свойствами:

J) ®'(x,y) = 0 на AA'; 2) ®'(x,y) > 0 в Q U A'B'C' U C'CU ABC; 3)

дю' Sn

= -J,

а функция ю' (x,y) - следующими:

J) ю' (x, y) = 0 на C'C; 2) ю' (x,y) > 0 в Q U A'B'C' U AA' U ABC; 3)

a®'

Sn

= -J.

C'C

Такие функции всегда могут быть построены по описанной в п. 2 методике. Продолжим краевые условия (4) по формуле (10) внутрь области. Функция

Из<а'(х,у) + цю" (х,у)

9(x,y)=-

®'(x, y) + ®''(x, y)

определена всюду в

Q и<={U3

u, на AA',

на C'C.

Пусть y(x, y) = ECy0, c(x, y) = ECc0 - про-

должение функций у и с внутрь области. Тогда задача (3) - (6) запишется в виде:

AA

Аи = 0 в п ,

и 1дП1 = ф1дП1 ,

№ + си|„ ,„ = ук

д

(11) (12)

1дП2 ^дП* ' 1дП2 ^дП '

(13)

и = £(х,у) на дП*. (14)

Если дП* была бы заданной границей, то краевая задача (11) - (13) могла бы быть сведена к нахождению минимума соответствующего квадратичного функционала.

В данном случае мы сразу не можем находить минимум полученного функционала, так

как область П, по которой ведется интегрирование, и часть её границы дП* неизвестны. Поэтому для полного решения задачи необходимо использовать и условие (14).

Для решения поставленной задачи сформируем итерационный процесс следующим

образом. Пусть получено к -е приближение к свободной границе дП(к) . Тогда получим

конкретную область п(к) с известной границей.

Определим функцию и(к)(х,у) как решение задачи

Аи(к) = 0 в П(к), (15)

"(к)1 = ф Лд

(к)

-си

дП1

(к)

1дП1

1дП2 УдП*к)

= У|,

дП2 УдП<к)

(16) (17)

Для решения задачи (15) - (17) воспользуемся методом Я -функций. Пусть уравнение дП(к^ представлено в виде у = Ь(х) , причем у - Ь (х)> 0 в

у - Ь(х)

П(к) иЗП1 идП2, тогда ю(к)(х,у) =

л/1 + (Ь'(х))

1) ю(к) (х, у) = 0 на дП((к); 2) ю(к)(х,у) > 0 в П(к) и дП1 и дП

внешняя нормаль.

Пусть ю1(х,у) и ю2(х,у) обладают свойствами:

1)ю1(х,у) = 0 на ЗП1 ; ю2(х,у) = 0 на ЗП2 ;

2) ю1(х,у) > 0 в Пи дП2 и дП(,к); ю2(х,у) > 0 в Пи дП1 и дП

обладает следующими свойствами:

3)

дю(к)

дп

= -1, п -

8П<к)

(к)

дю1 дп

= -1-

дю2

дП1

Далее строим

дп

= -1

ю(х,у) = ю2(х,у) Аа ю(к)(х,у)

1 = (11, 12) = -

1

V

, дсо

к11 — дх

(

к дю ^

к22 ау

(к дю

кц

дх

ока

-ю

Вектор 1 определен всюду в П( ) и на границе совпадает с вектором единичной

внутренней конормали. Тогда дифференциальный оператор Б^и = —1 +—12 обладает

дх ду

(

й г, дюо

свойством: - ЛI к11 (17) можно записать в виде

дю ^ к22 ду

¿5 2Б,Ти

=

дП2 идП(к)

. Значит, краевое условие

дП2 идП(к)

дП

SDíu(k)-cu(k)ЦU0QSk)=-YL2U3Q(k), (J8)

где S = Л kjj

do ] ( , do

1 + k22 «y

ю2 . Продолжив краевое условие (J6) внутрь области Q(k),

Sx) 1 " 1

получим частичную структуру решения краевой задачи (J5) - (J7), удовлетворяющую краевому условию (J6), в виде

u(k) = ф + ю,Ф, (J9)

где ф - неопределенная функция.

Будем предполагать, что (I, Vca) > 0. Используя оператор D1, краевое условие (J8) заменим равенством r

SDju(k) -cu(k) = —у + юW, (20)

где W - неопределенная функция. Неопределенную функцию ф, входящую в формулу (J9), представим в виде Ф = Ф 0 +ю Ф, и подставим (J9) в (20):

SDÍ^+ra^0 +ю,(й Ф,) — с(ф+ю,Ф0 + ю,(й Ф,) = —у + ю W,

SD1 ф+SD1 (ю,Ф0) + Sra^D1 ю + Sc5 D1 (ю,Ф,) — сф — сю,Ф0 — сю,с5 Ф, = —у + ю W. (2J)

Слагаемые, содержащие ¿5 , могут быть поглощены членом ю W за счет произвольности функции W . Это дает право переписать (2J) в виде

SD1 ф+SDl1(юJФ0) + SraJD1 ю Ф, —сф—сю,Ф0 = —у + ю W,,

где W, - неопределенная функция. К левой и правой частям последней формулы прибавим функцию ю(S + 5ю,)Ф,, где 5 =, — (I,Véo) >0:

SD1 ф+SD1 (ю,Ф0) + ^ю^1 об + Sóa + 5ю ю, )Ф, — сф — сю,Ф0 = —у + об W2, где W 2 - новая неопределенная функция. Находим отсюда

Ф —SD, ф—SD^ra^o ) + сф + сю,Ф0 — у + ю W2 , юJ(SDÍ ю + 5cо) + Só .

Подставив Ф, в u(k) = ф+ю,Ф0 + юJю Ф,, получим общую структуру решения краевой задачи (,5) - (,7):

u(k) = ф+ю,Ф0 + т ю,ю [—SDtV SD1 (ю,Ф0) + сф + сю,Ф0 — у + юW2] (22)

юJ(SDí ю + 5ю) + Seo -у^)

Неопределенные компоненты Ф0 и W 2 структуры (22) можно аппроксимировать, например, каким-либо вариационным методом. При этом получим функцию u(k) - приближенное решение задачи (,5) - (,7). Ясно, что условию на свободной границе оно не удовлетворяет.

4. Алгоритм уточнения уравнения свободной границы

Для итерационного уточнения уравнения свободной границы построим алгоритм, основанный на использовании точечного метода наименьших квадратов и условия (,4).

Уравнение свободной границы oQ^^ для следующей (k +,) -й итерации ищем в виде:

y(k+,) =¿crV(x), (23)

r=0

где n - натуральное число, c(k+'1) (r = 0, ,, 2, ..., n) - неизвестные коэффициенты, у0 (x),..., уn (x) - базисные функции (степенные или тригонометрические полиномы, сплайны и т.д.). Пусть a(k) и c(k) - абсциссы точек A'(k) и C'(k). Положим d(k) = |c(k) — a(k)|. Выберем натуральное число N такое, что N > n, и зададим систему точек (узлов)

x1 = a(k) + ^Т^00, 1 =,, 2,..., N. Обозначим у(М) = ¿c^Vr(x1).

r=0

Кроме единичной нормали п = (п1,п2) введем в рассмотрение конормаль v = (v1,v2)

к,,п,

8 '

к22П0 _8

, где 8 = [(кП, П1)2 + (к22, п2)2]2, П1 = ^(п, х),

согласно правилу: v1 = -п2 = ео8(п, у).

(к) ди(к)(Р)

Из условий (13) на ОП* имеем 8-= у(Р1) - си(к)(Р1), откуда, приближенно заме-

дv

ди(к)(Р) 1

няя и(к)(Р1) « итк)(Р1), получим —[у (Р1)-ситк)(Р1)] = где итк)(Р1) - значение

0v 8

приближенного решения исходной задачи для области П(к) с границей дП(к) в точке Р1, точка Р1 = (х1, у1) лежит на 0П(к).

Кинематическое условие в точках, лежащих на 0П*к), очевидно, не выполняется. Пусть Р1 = (х 1, у 1) - точка нормали (рис. 3) к 0П*к), проходящей через Р1 и лежащей на 0П(к), в которой (14) выполняется приближенно, т.е. и(к)(1'1) -^(Р,) « 0 , откуда, разлагая в окрестности точки Р1 в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным приближением, имеем

ад) - и(к)(^=ад) - и(к)(Р1)+- Р «ад)-ипк)(Р1)+-Р1

оад)

ОУ

оад) 0и(к)(Р1)'

дv дv

-0(Р1)

Из АРР11>1 получим

х 1 - х1 = |Р1 - Р11соз ), у 1 - у1 = |1Р1 - Р11сов (v,y) .

0П

,(к+1) *

0П

(к) *

(24)

Из (24) вытекает, что

Р - Р =

Рис. 3

итк)(Р1)-да

оад)

дv

-

(25)

Согласно (25) из (24) имеем соотношение для вычисления координат точек Р1, лежащих

на 0П(к+1):

х 1 = х1 + С08^,х)

итк)(Р1)-зд)

0^(Р1>

ОУ

-

у 1 = у1 + cos(v, у)

итк)(Р1)-зд)

ОВД)

ОУ

-

(26)

Для нахождения коэффициентов в уравнении кривой ЗП(к+1) потребуем, чтобы кривая каким-то образом определялась через множество точек рр = (XX 1;у1 = 1, 2, ..., N. Для этого воспользуемся точечным методом наименьших квадратов: потребуем, чтобы выра-

-]2

жение

R = 1

yj-X c(k+1)V r(x j)

имело минимальное значение, где значения x l и yl

1=1

берутся из (26). Необходимое условие минимума ——- = 0, г = 0,1,2,...,п, дает систему

дСг

из п +1 линейных алгебраических уравнений, что позволяет определить п +1 параметров с0к+1-, с1к+1-,..., сПк+1-. После определения всех параметров из (34) криваяу(к+1- будет известной, значит, имеем известную область 0(к+1-. На следующей (к + 2) -й итерации строится приближенное решение и^2- для новой области 0(к+1:1. Итерация проводится до тех пор, пока " расстояние" между 50(,к) и 50(к+1) не станет достаточно малым:

V(х(к+1- - х(к) )2 - (у(к+1- - У(к) )2 < в , где в > 0 - наперед заданное достаточно малое

max

1<l< N

число.

Выводы

Для краевой задачи теории фильтрации со свободной границей в работе впервые получена структура решения и предложен алгоритм уточнения уравнения свободной границы. Предложенные методы можно использовать при проектировании различных гидротехнических сооружений, в частности, для предотвращения последствий паводков. Этим и определяется научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

Список литературы: 1. БуракЯ.Й., Чапля С.Я., Чернуха О.Ю. Континуально-термодинамiчнi моделi мехашки твердих розчишв. К.: Наук. думка, 2006. 272 с. 2. Бомба А.Я., Присяжнюк 1.М. Задачi типу "фшьтращя-конвекщя" у троьохзв'язних областях з умовами усереднення // Мат. методи та фiз.-мех. поля, 2005. Т. 48, № 2. С. 53 - 58. 3. Ляшко И.И., Сергиенко Н.В., Мистецкий Г.Е., Скопецкий В.В. Вопросы автоматизации решения задач фильтрации на ЭВМ. К.: Наук. думка, 1977. 288 с. 4. Ляшко Н.И., ВеликоиваненкоН.М. Численно-аналитическон решение краевых задач теории фильтрации. К.: Наук. думка, 1973. 264 с. 5. ШаманскийВ.Е. Численное решение задач фильтрации грунтовых вод на ЭЦВМ. К.: Наук. думка, 1969. 376 с. 6. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М., Изд-во Моск. ун-та, 1987. 164 с. 7. СидоровМ.В., СтороженкоА.В. Математическое и компьютерное моделирование некоторых фильтрационных течений // Радиоэлектроника и информатика. 2004. №4. С. 58 - 61. 8. Блишун А.П., СидоровМ.В., ЯловегаИ.Г. Математическое моделирование и численный анализ фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями с помощью метода R-функций // Радиоэлектроника и информатика. 2010. № 2. С. 24-30. 9. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с.

Поступила в редколлегию 16.02.2010 Блишун Александр Павлович, ст. гр. ПМм-09-1 факультета прикладной математики и менеджмента ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы математической физики. Увлечения и хобби: покер, футбол. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Сидоров Максим Викторович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения, стохастический анализ и его приложения. Увлечения и хобби: всемирная история, история искусств. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Яловега Ирина Георгиевна, канд. техн. наук, ст. преп. кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, анализ динамических систем, стохастический анализ и его приложения. Увлечения и хобби: оригами. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.