CC BY
4
УДК 517.98:519.2:621.039 doi:10.21685/2307-4205-2022-3-5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ЭВОЛЮЦИИ И ВНУТРЕННЕГО
ВРЕМЕНИ В ТЕОРИИ ДОЛГОВЕЧНОСТИ СИСТЕМ С ДЛИТЕЛЬНЫМИ СРОКАМИ АКТИВНОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ
В. А. Острейковский1, А. В. Сорочкин2
1 2 Сургутский государственный университет, Сургут, Россия 1 academicostr@yandex.ru, 2 sorochkin_av@surgu.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Современные и проектируемые сложные, высокоопасные и критически важные системы уже сегодня должны выполнять свой функционал 30-50 и более лет (ядерная энергетика, космонавтика, транспортные системы, в том числе магистральные трубопроводы нефти и газа). Поэтому для подобных комплексов чрезвычайно важно заранее знать показатели долговечности (ресурс, срок службы и их остаточные значения) и, следовательно, уметь оценивать их значения путем анализа функции распределения состояния р в любой момент времени применения по назначению. Цель статьи - исследование зависимостей показателей долговечности с применением современных методов функционального анализа. Материалы и методы. Спектральные преобразования операторов эволюции и внутреннего времени систем, статистические методы теории надежности. Результаты и выводы. Проанализированы спектральные преобразования операторов Лиувилля и внутреннего времени, а также физическая сущность перехода исследований из гильбертова пространства к оснащенным пространствам.
Ключевые слова: необратимость, неустойчивые системы, операторы эволюции и внутреннего времени, долговечность, ресурс, срок службы
Для цитирования: Острейковский В. А., Сорочкин А. В. Математическое моделирование спектрального представления операторов эволюции и внутреннего времени в теории долговечности систем с длительными сроками активного существования // Надежность и качество сложных систем. 2022. № 3. С. 42-48. doi:10.21685/2307-4205-2022-3-5
MATHEMATICAL MODELING OF THE SPECTRAL REPRESENTATION FOR EVOLUTION OPERATORS AND INTERNAL TIME IN THE THEORY OF DURABILITY OF SYSTEMS WITH LONG PERIODS OF ACTIVE EXISTENCE
V.A. Ostreykovskiy1, A.V. Sorochkin2
1 2 Surgut State University, Surgut, Russia 1 academicostr@yandex.ru, 2 sorochkin_av@surgu.ru
Abstract. Background. Modern and designed complex, highly dangerous and critical systems today should fulfill their functionality for 30-50 years or more (nuclear power, cosmonautics, transport systems, including oil and gas trunk pipelines. Therefore, for such complexes it is extremely important to know the durability indicators in advance (resource, service life and their residual values) and, therefore, be able to evaluate their values by analyzing the distribution function of the state р at any time of the intended use. The purpose of the article is to study the dependences of durability indicators using modern methods of functional analysis. Materials and methods. Spectral transformations of operators of evolution and internal time of systems, statistical methods of reliability theory. Results and conclusions. The spectral transformations of the Liouville and internal time operators are analyzed, as well as the physical essence of the transition of studies from the Hilbert space to the equipped spaces.
Keywords: irreversibility, unstable systems, evolution and internal time operators, longevity, resource, service
life
For citation: Ostreykovskiy V.A., Sorochkin A.V. Mathematical modeling of the spectral representation for evolution operators and internal time in the theory of durability of systems with long periods of active existence. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh sis-tem = Reliability and quality of complex systems. 2022;(3):42-48. (In Russ.). doi:10.21685/2307-4205-2022-3-5
© Острейковский В. А., Сорочкин А. В., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Введение
Известно [1, 2], что хаотические отображения служат простейшими системами, порождающими необратимые процессы. При этом в этих работах обосновывается, каким образом возможно обобщение классической и квантовой механики в случае неустойчивости динамических систем, а именно: нарушение эквивалентности между индивидуальным описанием на уровне траекторий и статистическим, на уровне ансамбля. Это чрезвычайно важно, и для объяснения влияния чувствительности к начальным условиям для ходических систем и доказано, что две траектории, выходящие из сколь угодно близких начальных точек, со временем экспоненциально расходятся [3, 4]. Здесь необходимо подчеркнуть, что в случае решения задач долговечности на статистическом уровне подобные вопросы отсутствуют. Но имеются, к сожалению, другие, а именно: в хаотических отображениях исследователи обычно имеют дело с небольшим числом неизвестных переменных, в частности для сдвига Бернулли оно равно единице, а для преобразования - двум.
Далее, в работах [1, 2], также строго доказано, что если решается статистическая задача динамики, то прежде всего необходимо наблюдать за изменением функции распределения состояния объекта p(y) под действием оператора эволюции U на функцию
Ри+1 (У ) = Up „ (y), (1)
в моменты p = f (t) времени t.
Известно, что существуют такие функции p(y; t), которые инварианты в условиях действия оператора U, а именно собственные функции оператора.
Из теории операторов также известно, что значения собственных функций и собственных значений оператора зависят от типа функционального пространства. Поэтому включение необратимости при исследовании долговечности структурно и функционально сложных динамических систем (СФСС) требует перехода от «хороших» функций (вида x или sin x) распределения гильбертова пространства к сингулярным обобщенным функциям более широкого класса пространств типа пространства Гельфанда, так как эквивалентность между индивидуальным (по траекториям) и статистическим (по ансамблям) описаниями нарушается [1].
Другими словами, из выражения (1) для Гильбертова пространства следует
U"1+П2 = U"1U"2, (2)
при любых знаках показателей n1 и n2 (знак «плюс» соответствует будущему n > 0, а знак «минус» прошлому n < 0), т.е. существуют два различных спектральных представления: одно для будущего, другое для прошлого (динамическая группа делится на две подгруппы). И, следовательно, необходимо выбрать ту подгруппу, равновесие в которой достигается в будущем, ибо все необратимые процессы во времени ориентированы в одном направлении - в будущее в соответствии со стрелой времени.
Таким образом, чрезвычайно важным является вопрос об адекватном выборе вида спектрального преобразования операторов, именно на это решение задачи и направлена данная статья.
Спектральные преобразования оператора Лиувилля
Оператор Лиувилля относится к классу операторов, описывающих эволюцию объектов во времени, т.е. эволюцию функции распределения состояния объекта во времени р в соответствии с уравнением
; dp
dt
Lp = , (3)
т.е. изменение р(0 получается от действия оператора Ь на р, а Ь - линейный оператор. Формальное решение уравнения (2) имеет вид
р(' )= * . (4)
В задачах теории долговечности СФСС хаотического поведения систем и включения необратимости на статистическом уровне необходимо значение спектрального представления оператора
Лиувилля. Для решения этой задачи требуются знания его собственных функций и собственных значений.
Из теории функционального анализа известно, что спектральные представления зависят от вида функционального пространства для функций, описывающих вероятности состояния p(y; t) объекта. Для случая интегрируемых систем эволюция во времени с оператором L существуют в гильбертовом пространстве собственные значения ln и в соответствии с (3) осцилляторный член равен
exp (itL )= cos (tln)-sin (tln), (5)
поэтому и прошлое и будущее играют одинаковую роль.
А для включения в описание необратимости требуются комплексные собственные значения
вида
ln = -iQn,
n n n'
для того, чтобы обеспечить экспоненциальное затухание e-,п" эволюции во времени. Тогда такой вклад будет прогрессивно убывать в будущем (при t > 0) и возрастать в прошлом (при t < 0). Следовательно (как вывод), симметрия во времени для такого случая нарушается и получение комплексных собственных значений оператора возможно выполнить, лишь выйдя из гильбертова пространства.
Здесь следует подчеркнуть важность разницы в описании систем во времени на уровне траекторий и ансамблей в исследованиях долговечности (что часто делают ошибочно), а не функций распределения p(y; t).
Сущность причин перехода от гильбертова пространства к оснащенным пространствам в задачах спектрального представления операторов
Для решения этой задачи необходимо оценить незатухающие взаимодействия в природе. При этом в первую очередь рассматривать систему как единое целое из большого числа входящих в нее элементов с позиций сингулярности функций распределения p(t).
В главе 5 (разделы III-VI, с. 102-113) [1] И. Р. Пригожин рассматривает различие между незатухающим и переходными взаимодействиями на примерах классической динамики и термодинамики. В частности, предлагается следующий подход, называемый «иерархией ценностей», который состоит в следующей последовательности шагов:
1) использование «термодинамического предела»;
2) применение классической теории рядов (или интервалов) Фурье;
3) расширение понятия необратимости как прямого аналога процесса старения, как основного фактора в теории долговечности.
В теории систем для описания взаимодействий оперируют двумя разновидностями функций распределения - локализованными и делокализованными. Локализованные функции распределения существуют на конечном отрезке прямой, а делокализованные - на всей прямой. И те, и другие функции оценивают различные состояния систем. Так, локализованные функции описывают в основном переходные взаимодействия элементов в системе, а делокализованные - по всей прямой -незатухающие взаимодействия. Таким образом, особенно в макроскопических системах, исследователи имеют дело с делокализованными функциями распределения. Локализованные функции распределения связаны с траекториями поведения элементов систем, а для описания незатухающих взаимодействий в твердых телах и в газах используется понятие «термодинамический предел», где
N
N - число элементов и V - объем, и отношение ^ остается постоянным (состояние материи и фазовые переходы). Термодинамический предел позволяет провести различие между равновесными состояниями и неравновесными.
В главе 5 [1] строго доказано, что сингулярные функции (4) в динамическом описании систем играют главную роль, так как делокализованные функции распределения являются главными составляющими в описании незатухающих взаимодействий. Поэтому возникает необходимость в сингулярных функциях при динамическом описании систем. Именно этот фактор требует от исследователей понижать гильбертово пространство и использовать оснащенные пространства. Кроме этого, так как уже равновесные распределения, являющиеся функциями распределения гамильтониана,
лежат за пределами гильбертова пространства, то не возникает вопросов использования оснащенных пространств.
И последнее. Из-за того, что необратимые процессы являются главным фактором в теории долговечности систем, то чрезвычайно интересны образные сравнения понятия необратимости как аналога процесса старения, приведенное Нобелевским лауреатом И. Р. Пригожиным: «В нашей временной шкале атомы, из которых состоят наши тела, бессмертны. В этом смысле старение - свойство популяций, а не индивидов. Это утверждение верно и применительно к неодушевленному миру» [1, с. 113].
Спектральные представления оператора внутреннего времени
В 1978 г. Б. Мистра, продолжив дальше исследования школы А. Н. Колмогорова (К-потоки теории КАМ), В. И. Арнольда и Ю. К. Мозера [6-8] влияния резонансов на траектории состояния динамических систем, доказал, что в случае ^-потоков линейному оператору Лиувилля L соответствует сопряженный оператор внутреннего времени T вида коммутатора
-i [L,T] = -i (LT - TL ) = 1, (6)
где 1 - единичный оператор, или
UTtTUt = T +1 *1, (7)
где оператор эволюции
U = e-iL'. (8)
Если выражения (6) и (7) справедливы, то физический смысл оператора T очень простой (как вывод): оператор T - нелокальный оператор для сильно неустойчивых систем, реализующий новое описание классической динамики. А дальше все становится ясным. Как доказано в работе [2]: полная система собственных функций оператора T является суммой всех возможных конечных произведений функций хп
Х „ =UnX о, (9)
и любое такое произведение из формулы (9) соответствует собственному значению m оператора T, причем m - наибольший из индексов п. Так как
TX = пХп, (10)
то Хп - значение собственной функции оператора T, соответствующее «возрасту» п.
Из любого учебника по функциональному анализу известно, что всякая функция распределения состояний системы р может иметь разложение по собственным функциям {1, фп}
р = 1 + X Сфп, (И)
п = -ж
т.е. выражение (11) позволяет получить полную систему собственных функций оператора T по всем возможным конченым произведениям функций Хп. Причем если известна точная локализация системы, то функция р имеет вид 5-функции
Р= §m, (x У )= §(x - xo )8(y - Уо )= 1 + X Фп (о. Уо )Ln (x> У ) (12)
где x и У - оси координат.
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1) в формулу (12) входят с равными весами все «возрасты» системы;
2) получена новая дополнительность между двумя свойствами описания системы: а) на языке точек в фазовом пространстве состояний системы и б) на языке «разбиений», соответствующим различным внутренним «возрастам» системы;
3) понятие «внутренний возраст» свидетельствует о новом нелокальном описании динамических систем.
ныи
НАДЕЖНОСТЬ И КАЧЕСТВО СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. 2022. № 3 Можно добавить к этим трем выводам еще два дополнения:
4) функция распределения состояния системы р(0 имеет «нулевой возраст» при % = %0;
5) если по сравнению с равномерным равновесным распределением имеем избыток р, рав-
р = р -1 = £ Сифи, (13)
П=—Ж
то имеет место быть чрезвычайно важная формула
= Мр, (14)
Р, Р
утверждающая, что каждому состоянию р системы возможно сопоставлять средний возраст Гр.
Если учесть ортонормированность функции Ln и (6), то выражение (14) можно представить в
виде
£ ^
р £ ^
£ <
В этом случае в соответствии с формулой (7) имеем
(15)
Г = Г + t, (16)
Р Ро ' у '
и вывод: средний возраст состояния системы изменяется адекватно с внутренним временем или с обычным внешним временем.
Заключение
Два последних столетия, XIX и XX вв., характеризуются большими достижениями в исследовании нового направления в термодинамике - разработкой закономерностей в описании законов хаоса динамических систем. Однако вместе с этим следует отметить, что эти исследования имеют и ограниченное применение, так как основаны на разработке хаотических отображений сравнительно узкого класса систем с небольшим числом независимых переменных, равных всего минус единице -для сдвига Бернулли и двум - для преобразования пекаря.
Таким образом, для получения значений показателей долговечности (ресурса, срока, службы и их остаточных значений) в данный момент времени необходимо знать аналитический вид функций распределения р анализируемого объекта и спектральные представления операторов [9-11].
Из содержания статьи целесообразно сделать следующие выводы:
1. Необратимые процессы и неустойчивость являются главными факторами появления понятия «внутреннего времени» как источника нелокальности сложных систем в условиях их применения по назначению.
2. Возраст систем зависит не только от срока службы (ресурса) «слабого звена», хотя и наиболее важного в системе, а от средней обобщенной оценки, относящейся ко всем частям системы.
3. Вызывает серьезные опасения адекватность оценки долговечности сложной критически важной системы по статистическим данным наблюдения за траекториями (и даже ансамблями) наиболее важных (с определенной точки зрения) частей системы.
4. Чрезвычайно важным также является заблуждение относительно одинаковости течения времени в прошлом, настоящем и будущем систем с длительными сроками активного существования и, следовательно, и вычисленными значениями ресурса, срока службы и их остаточных величин, при отмеченных выше особенностях фактора асимметрии времени.
Список литературы
1. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы. Ижевск : Ижевская республиканская типография, 1999. 216 с.
2. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. Изд. 2-е, доп. М. : Едиториал, УРСС. 2002. 288 с.
3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М. ; Л. : ОНТИ, 1935.
4. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. М. ; Л., 1956. Т. 2. 263 с.
5. Денисова Т. Ю., Острейковский В. А. Онтология феномена времени в теории прогнозирования техногенного риска сложных динамических систем : монография. Сургут : Печатный мир, 2017. 253 с.
6. Колмогоров А. И. Об аналитических методах в теории вероятности // Успехи математических наук. 1938.
7. Арнольд В. И. Особенности, бифуркации и катастрофы // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. С. 569-590.
8. Мозер Ю. К. Регулярная и стохастическая динамика. М. : Мир, 1984.
9. Острейковский В. А., Шевченко Е. Н. Математическое моделирование эффекта асимметрии внутреннего времени в теории долговечности структурно и функционально сложных критически важных систем // Итоги науки : избр. тр. Междунар. симп. по фундаментальным и прикладным наукам. М. : РАН, 2018. Вып. 37. С. 69-111.
10. Острейковский В. А., Лысенкова С. А., Шевченко Е. Н. О методе применения оператора внутреннего времени в задачах обоснования долговечности сложных динамических систем // Надежность и качество сложных систем. 2020. № 4. С. 31-41.
11. Острейковский В. А., Лысенкова С. А., Недорезов В. Г., Юрков Н. К. Концептуальные основы обоснования применения операторов эволюции микроскопической энтропии, преобразования и внутреннего времени в теории долговечности структурно и функционально сложных систем // Надежность и качество сложных систем. 2021. № 1. С. 17-30.
1. Prigozhin I. Konets opredelennosti. Vremya, khaos i novye zakony prirody = The end of certainty. Time, chaos and new laws of nature. Izhevsk: Izhevskaya respublikanskaya tipografiya, 1999:216. (In Russ.)
2. Prigozhin I. Ot sushchestvuyushchego k voznikayushchemu: Vremya i slozhnost' v fizicheskikh naukakh. Izd. 2-e, dop = From the existing to the emerging: Time and complexity in the Physical sciences. 2nd ed., add. Moscow: Editorial, URSS. 2002:288. (In Russ.)
3. Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya = The general problem of motion stability. Moscow; Leningrad: ONTI, 1935. (In Russ.)
4. Lyapunov A.M. Sobranie sochineniy = Collected works. Moscow; Leningrad, 1956;2:263. (In Russ.)
5. Denisova T.Yu., Ostreykovskiy V.A. Ontologiya fenomena vremeni v teorii prognozirovaniya tekhnogennogo riska slozhnykh dinamicheskikh sistem: monografiya = Ontology of the phenomenon of time in the theory offorecasting technogenic risk of complex dynamic systems: monograph. Surgut: Pechatnyy mir, 2017:253. (In Russ.)
6. Kolmogorov A.I. On analytical methods in probability theory. Uspekhi matematicheskikh nauk = Successes of mathematical sciences. 1938;(5):5-41. (In Russ.)
7. Arnol'd V.I. Features, bifurcations and catastrophes. Uspekhi fizicheskikh nauk = Successes of physical sciences. 1983;141:569-590. (In Russ.)
8. Mozer Yu.K. Regulyarnaya i stokhasticheskaya dinamika = Regular and stochastic dynamics. Moscow: Mir, 1984. (In Russ.)
9. Ostreykovskiy V.A., Shevchenko E.N. Mathematical modeling of the effect of internal time asymmetry in the theory of durability of structurally and functionally complex critical systems. Itogi nauki: izbr. tr. Mezhdunar. simp. po fundamental'nym i prikladnym naukam = Results of science : elected tr. International. simp. on fundamental and applied sciences. Moscow: RAN, 2018;(37):69-111. (In Russ.)
10. Ostreykovskiy V.A., Lysenkova S.A., Shevchenko E.N. On the method of using the internal time operator in the problems of substantiating the durability of complex dynamic systems. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh system = Reliability and quality of complex systems. 2020;(4):31-41. (In Russ.)
11. Ostreykovskiy V.A., Lysenkova S.A., Nedorezov V.G., Yurkov N.K. Conceptual foundations for substantiating the use of operators of the evolution of microscopic entropy, transformation and internal time in the theory of durability of structurally and functionally complex systems. Nadezhnost' i kachestvo slozhnykh system = Reliability and quality of complex systems. 2021;(1):17-30. (In Russ.)
№ 5. С. 5-41.
References
Информация об авторах / Information about the authors
Владислав Алексеевич Острейковский
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры информатики и вычислительной техники, Сургутский государственный университет (Россия, г. Сургут, просп. Ленина, 1) E-mail: academicostr@yandex.ru
Vladislav A. Ostreykovskiy
Doctor of technical sciences, professor,
professor of the sub-department of information theory
and computer technology,
Surgut State University
(1 Lenin avenue, Surgut, Russia)
Андрей Викторович Сорочкин
аспирант,
Сургутский государственный университет (Россия, г. Сургут, просп. Ленина, 1) E-mail: sorochkin_av@surgu.ru
Andrey V. Sorochkin
Postgraduate student, Surgut State University (1 Lenin avenue, Surgut, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию/Received 16.12.2021 Поступила после рецензирования/Revised 14.01.2022 Принята к публикации/Accepted 14.02.2022
