Математическое моделирование состояния тонкого диска при тепловом и силовом воздействиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование состояния тонкого диска при тепловом и силовом воздействиях

М.А. Артемов, Е.С. Барановский, В.В. Акиньшин, Н.С. Скорняков, Д.Б. Фатхудинов Воронежский государственный университет

Аннотация: Выполняется математическое моделирование состояния тонкого кругового диска, испытывающего тепловое и силовое воздействия. В центральной части диска создается однородное поле температур. В рамках деформационной теории идеального упругопластического тела выбирается квадратичное условие пластичности. Установлены зависимости между радиусом диска, температурой центральной области диска и внешним давлением, определяющие возникновение пластических областей. Для различных значений внешних параметров модели приведены графики напряжений, эквивалентных напряжений и годографа вектора напряжений.

Ключевые слова: быстровращающийся диск, деформационная теория, идеальное упругопластическое тело, условие текучести Мизеса, плосконапряженное состояние, термо-упругопластичность.

Введение

Вопросы математического моделирования состояния тонкого диска, испытывающего воздействия разной природы, рассматривались в ряде статей, например, [1-10]. В [3-5, 8-10] рассматривалось термо-упругопластическое состояние диска для кусочно-линейных функций пластичности. Такой подход позволяет выполнить процедуру интегрирования соотношений ассоциированного закона пластического течения. Однако выбор кусочно-линейных функций пластичности приводит к разрыву пластических деформаций для сингулярных режимов пластичности. Выбор гладких функций пластичности не позволяет выполнить процедуру интегрирования соотношений ассоциированного закона пластического течения аналитически. Существенное упрощение для гладких функций пластичности достигается при использовании соотношений деформационной теории [6, 7]. Такой подход реализуется в данной статье. Для оценки напряженного состояния в упругой области выбирается

эквивалентное напряжение [11], равное функции пластичности. В настоящей работе используется термин «параметры управления поведением изучаемого объекта» (точнее говоря, математической модели объекта). По сути, «параметры управления» совпадают с термином «исходные данные», который используется в информатике при построении алгоритмов решения задач.

На внешнем контуре тонкого кругового диска р = Ь поддерживается постоянная температура ТЬ = 0 и задано давление рЬ. В центральной части диска 0 < р < а температура Т = Та . Для решения задачи определения полей напряжений, деформаций, перемещений и температур выбирается цилиндрическая система координат р,в,2. Поле температур центральной части диска 0 < р < а, которую в дальнейшем называем ядром диска, является однородным Т = Та .

Все приводимые соотношения являются безразмерными. Масштабная единица длины равна радиусу диска Ь. Предел пластичности на одноосное растяжение при температуре Т = 0 является масштабной единицей для напряжений. Для безразмерных величин принято обозначение размерных величин.

Используя усредненные по толщине диска величины, для несвязной термомеханической задачи поле температур определяется по формуле [1]

Постановка задачи

Поле температур

1, 0 < р < а, Т = Та/, / = <! МЬ / р)

0 < р < Ь.

(1)

Эквивалентное напряжение

Для оценки величины напряженного состояния определим

эквивалентное напряжение. Полагается, что эквивалентное напряжение сед

совпадает с функцией пластичности условия Мизеса

2 2 2 С +ср-свср= к . (2)

По принятой терминологии [11] упругопластическую область, в которой

выполняется условие (2), будем называть пластической.

О переходе в пластическое состояние

Возможный переход ядра диска 0 < р < а в предельное состояние

2

сед 1о <р< а = к (3)

происходит, когда

Та = Т1П = ^ \ , !оь Арр*р-

аЕ(Ь2 - 21оЬ) о

а возможный переход границы диска р = ь в предельное состояние

(4)

происходит, когда

2

сеа 1р=Ь = к (5)

= = (рь + У4к2 - 3рЬ)Ь2 а " 4аЕ10Ь ' 1 6

Формулы (4), (6) определяют согласованные значения внешних параметров управления при выполнении условий (3) и (5) соответственно.

Равенство Тп = Тех позволяет определить внутренний радиус диска а = а к, когда область однородного напряженного состояния 0 < р < а и внешний контур диска р = Ь переходят в пластическое состояние. На рис. 1 показаны зависимости Тп, Тех от радиуса а центральной части диска.

Рис. 1. Пунктирная линия - Тех, сплошная - Тш, рь = 0,у = 0.3

Если температура Та ядра диска равна нулю, то диск переходит в предельное состояние, когда давление на внешнем контуре диска рь = ±к. В дальнейшем будем рассматривать случай, когда Та > 0. В ядре диска реализуется однородное напряженное состояние, при этом ар=ав.

Внутренняя пластическая область

Рассмотрим случай, когда пластическая область зарождается в центре диска. Выше было показано, что для этого должно выполняться условие а > ак. Температурное воздействие приводит к сжимающим радиальным напряжениям. Пусть с1 - радиус упругопластической границы (а < с1). Если считать предел пластичности величиной независящей от температуры, то в пластической области 0 < р < с1 напряжения ар=ае=-к.

Упругая область

Пусть область с1 < р < Ь находится в упругом состоянии, тогда:

а

3 + у

р

-шр

ТааЕ

а а = --

8 р

1 + ЗУ 2

I. р+ А

В

2 с\р

I,

2' с\р р с

р

\ /р^^р,

8

шр 2 + ТааЕ

1

р

1с, р I

2 с\р

+ А +

В

(7)

р

2

Если для определения величин А и В используем условия ср \р= = -к,

ср \р=ь =- Рь , то

3 + У .,2 2ч аЕТа1с1Ь - Ь РЬ + с1к А =-т(Ь 2 + с2) +-Ц-2-,

8 " Ь2 - с12

22

3 + У ,2 2 (аЕТа1с1Ь + (к - Рь )Ь )с1 В =-тЬ с22 + 1

8 1 Ь2 - с2

а радиус упругопластической границы определяется из условия

св \р=с, = -к .

Если для определения величин А и В используем условия ср \р= = -к,

С? \р=с1 =-к , то

1 + V 2 1

А =-тс +—аЕТа{с. - к,

4 1 2

„ 1 - V 4 1 Гш 2 /

В =--— тс1 + ^ аЕТас1 У.с1 •

а радиус упругопластической границы определяется из условия <ср \р=Ь = -рЬ Согласно закону Гука деформации в области с1 < р < Ь:

Е^р = ср-VСв, Е^в = св-с.

На упругопластической границе, учитывая (7),

, 2

Евр \р=1 = (3v2 + 2v - 3)^ + (1 - V)А - (1 + V)^.

с1

•2+2v- 3) тс........В

8 с;

т-т и du

Поскольку Бв=— ,£р= —, то на упругопластической границе

р dр

и с = ев с с1.

Если принять гипотезу о естественном состоянии [11], то в случае активного нагружения, согласно теории пластического течения и деформационной теории в области 0 < р < с1 пластические деформации

4 = 4 . (8)

В области 0 < р < с\ упругие деформации

Eseв = Eeeр =-(1 -у)к . (9)

Учитывая, что

4=4 + 4 =-, ер=4р +4р = ^т, (10)

р ар

из (8)-(10) получаем уравнение для радиального перемещения

аи и ар р

Решение уравнения (11) имеет вид и = Ср. Поэтому

(11)

1 - у

4р = 4? = С + —к

в р е

Поскольку на упругопластической границе 4р = 4рр = 0, то величина

1 -V

С = -—к.

Е

Таким образом, при увеличении упругопластической границы в пластической области пластические деформации остаются нулевыми.

Изменение напряженного и деформированного состояния обусловлено изменением значений внешних параметров Та и рЬ. Параметром нагружения, определяющим процесс активного нагружения диска, является радиус упругопластической границы, поэтому монотонность функции с1 может выполняться только при согласованном изменении внешних параметров. Параметром нагружения в точках упругой области является эквивалентное напряжение. Изменение напряженного состояния в точках диска показывает годограф вектора напряжений.

В процессе нагружения в диске будет только одна внутренняя пластическая область, пока эквивалентное напряжение аед \р=Ь < к . Данное

условие позволяет определить максимальное значение параметра Та , контролирующее выполнение этого условия.

Внешняя упругопластическая область Рассмотрим случай, когда пластическая область зарождается на границе р = Ь диска. Выше было показано, что для этого должно выполняться условие а < ак. Пусть с2 - радиус упругопластической границы. Тогда область диска 0 < р < с2 находится в упругом состоянии, где

3 + у 2 ТааЕ т , В

ар =--— тр -рЬр+ А--2-

8 р р

1 + 3^ 2 гр г

&в=--— тр + ТаССЕ

8

г 1 - Л

"710р f \р

В

+ А +

р2

В центре диска ар = а в, поэтому В = 0 (можно привлекать иные

соображения [1]). На упругопластической границе должны выполняются условия непрерывности напряжений. Обозначим через рс давление на

упругопластической границе. Тогда

, 3 + у 2 ТааЕ т А = ~Я~ ^ 10с2 - Рс2.

8 с2

В области с2 < р < Ь напряжения находим из решения задачи Коши

аа г

_/_'

аг

г^р + ар-ав= 0,

а в = {ар 4к 2 - 3ар ) / 2,

аг \р=Ь = - рЬ

Величины р и с2 определяются из условия непрерывности ар, а в на границе р = с2 . Упругие деформации определяются согласно закону Гука.

Для того чтобы реализовалась только внешняя пластическая область, должно выполняться условие сед |р—0 < к , из которого следует формула для определения наибольшего допустимого значения Та

ТааЕ + 3 + „2 , ТааЕ

2

8

тс2 +^^ 10с2 — Рс2

к2 = 0.

Согласно деформационной теории [2, 11] тензор пластических

деформаций пропорционален девиатору напряжений £р — —1 ^ъЗ^).

] у 3

Учитывая формулы (10), имеем

йЕи 2ср — сф Еи

- (--св + уср) + ср—Усв'

йр 2с в —ср р

и р=с2 - ис2 ■

Величина ис определяется из условия непрерывности перемещений на

упругопластической границе. Полные и пластические деформации определяются по формулам (10).

Две пластические области

В области 0 < р < с1

ср-св- к.

В области с1 < р < с2

1 + V 21 1 — V 41 2

А — 4 тс1 + -аЕТа1с — к, В —--— тс1 + -^аЕТ^ /с

напряжения

с

р

3 +У 8

тр

ТааЕ

I, А

В

р

2 с\р

р

2

1 + 3v 2 , гр г? сп—--:— тр + 1ааЕ

г

8

_1с, р I

2 с\р \р У

+ А +

В

р

На границе р — с2

2

1

(ав +а1 -авар)\р=с2 = к 2 -

3 + У

а

р р=с2

-тсг,

ТааЕ

В

с.

2 1с1р + А - "Г -

с

а

р=с2

1 + 3У 2 гр р --тс2 + 1ааЕ

8 2 а

-1 - f

2 с\р •> с2

V с2

В

+ А +—.

с22

Величины с1 и с2 определяются из условия непрерывности ар, а в на границах р = с1, р = с2. Когда с1 = с2. Диск переходит в предельное состояние.

Результаты численных расчетов

На рис. 2 приведены графики напряжений и годограф вектора напряжений, когда пластическая область занимает только центральную часть диска

а ) Ь)

Рис. 2. а) напряжения, Ь) годограф вектора напряжений, когда с1 = 0.2, Та = 237.5.7, аЕ = 0.012, у = 0.2 ,рЬ = 0

На рис. 3 приведены графики напряжений и годограф вектора напряжений, когда пластическая область занимает область с2 < р < Ь .

8

о е Y -

(У

i

/ ■■'' /

/ о / )

/у

0 0 2 0 4 0 6 0 82]

1 а й

I /

п г (

U. J О

Л 1 -С |.5 0 0 5 ./]

А Ч

U. J

1

.1

1.1

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

a) b)

Рис.3. a) напряжения, b) годограф вектора напряжений, когда a = 0.1, v = 0.4, pb = 0.95, aE = 0.012, Ta = 112.3

В области 0<р< a рис. 2a) и рис. 3a), где реализуется однородное напряженное состояние <r = <р = const, соответствует одна точка годографа

напряжений рис. 2 b) и рис. 3 b) .

Графики для годографа вектора напряжений являются элементом верификации алгоритма решения задачи. Такой прием верификации использовался также в работах [9, 10].

Выводы

Рассматриваемая модель не учитывает зависимость внутренних параметров управления k,v,E и др. от температуры, что привносит следующую существенную особенность. В центральной пластической области 0 < р < c1 поле напряжений однородное и, если эта область находится в пластическом состоянии, то в ней реализуется режим полной пластичности <r = <р= к. Данный результат непосредственно следует из

того, что для плоского напряженного состояния в пластической области задача статически определимая, а уравнение равновесия и условие пластичности не учитывают влияние температуры. Результаты исследования, приведенные в настоящей работе, позволяют достаточно просто

формулировать алгоритм определения значений внутренних параметров состояния, поскольку полученные формулы для нахождения значений параметров управления позволяют определять, когда и где будет происходить переход точек диска из упругого состояния в пластическое.

Литература

1. Timoshenko S. R., Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970, 506 p.

2. Chakrabarty J. Theory of Plasticity. Oxford: Elsevier ButterworthHeinemann, 2006, 882 p.

3. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М.: Физматлит, 1963, 252 с.

4. Gamer U. Elastic-plastic deformation of a centrally heated disk // Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8, pp. 41-51.

5. Arslan E., Mack W., Eraslan A. N. The rotating elastic-plastic hollow shaft conveying a hot medium // Forschung im Ingenieurwesen. 2010. V. 74, pp. 27-39.

6. Александров С. Е., Ломакин Е. В., Дзенг Й. Р. Решение темоупругопластической задачи для тонкого диска из пластически сжимаемого материала, подверженного термическому нагружению // Доклады Академии наук. 2012. Т. 443. С. 310-312.

7. Буренин А. А., Дац Е. П., Мурашкин Е. В. Формирование поля остаточных напряжений в условиях локального теплового воздействия // Механика твердого тела. 2014. № 2. C. 124-131.

8. Афанасьев А. А., Горностаев К. К., Ковалёв А. В., Чеботарев А. С. О механическом поведении упрочняющегося упругопластического диска под действием источника тепла // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. C. 57-66.

9. Артемов М. А., Барановский Е. С., Бердзенишвили Г. Г., Переяславская И. И. О напряженном состоянии тонкого диска с учетом

зависимости предела текучести от температуры // Инженерный вестник Дона, 2017, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4359

10. Бердзенишвили Г. Г., Артемов М. А., Барановский Е. С., Сёмка Э. В., Фатхудинов Д. Б. О поведении упругопластического диска под действием теплового источника // Инженерный вестник Дона, 2018, № 2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4973/.

11. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука. 1969. 420 с.

References

1. Timoshenko S. R., Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970, 506 p.

2. Chakrabarty J. Theory of Plasticity. Oxford: Elsevier ButterworthHeinemann, 2006, 882 p.

3. Parkus H. Neustanovivshiesya temperaturnye napryazheniya [Unsteady thermal stresses]. Moscow: Fizmatgiz, 1963, 252 p.

4. Gamer U. Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8, pp. 41-51.

5. Arslan E., Mack W., Eraslan A. N. Forschung im Ingenieurwesen. 2010. V. 74, pp. 27-39.

6. Aleksandrov S. E., Lomakin E. V., Dzeng Y. R. Dokladi Akademii nauk, 2012. V. 443, p. 310-312.

7. Burenin A. A., Dats E. P., Murashkin E. V. Mechanika tverdogo tela. 2014. № 2, p. 124-131.

8. Afanas'ev A. A., Gornostaev K. K., Kovalev A. V., Chebotarev A. S. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. 2017. № 50, pp. 57-66.

9. Artemov M. A., Baranovskii E. S. Berdzenishvili G. G., Pereyaslavskaya I. I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017. № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4359

10. Berdzenishvili G. G., Artemov M. A., Baranovskii E. S., Semka E. V., Fatchudinov D. B. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2018. № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4973

11. Kachanov L. M. Osnovy teorii plastichnosti [Foundations of the Theory of Plasticity]. Moscow: Nauka, 1969, 420 p.