Математическое моделирование сопряженной задачи кристаллизации и гидродинамики на адаптивной сетке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 53с -£4 * 536.42

А.И. Цаплмгн, С.С. Гусман

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ КРИСТАЛЛИЗАДИЙ И ГИДРОДИНАМИКИ НА АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ

ABSTRACT

A matlieniuxttса.1 formulation of conjugate problem for the cryataX i i ssat ion and, hy&ro&yntmice in coordinates relat tue to the’ curved moving boundary of phase transition is observed. The algorithm of numerical realization is presented. The computer re-sult t* о/ a case at rectangular area on the grid with minimized divisions are compared with the experimental data on water crystal I ization under the conditions of liquid phase free convention.

Необходимость постановки сопряженной задами кристаллизации и гидродинамики возникает при прогнозировании технологии внешних воз де»'-ч на жидкую фазу металла, например,при электро-

магнитном перемешивании жидкого ядра кристаллизующегося слитка, при плавлении металла концент рированным пучком энергии и т.п. При этой математическая модель процесса включает в себя систему дифференциальных уравнений переноса энергии а твердой и жидкой Фазах, а также уравнения гидродинамики в жидкой Фазе* которые требуется решать совместно. Задача усложняется также тем, что на границе фазового перехода , положение которой заранее неизвестно и псдлежи-»- определению, теплофизические свойства среды изменяются скачкообразно, а в жидкой Фазе максимальные градиенты старости к температуры отмечаются в узких погранслоях у твердых границ

Для решения -л-азанной зг-1— 'i в работе [1] применен метод сквозного счета с использов^, - регулярной сетки без явного выделения подвижкой границы £. , "четной области. Однако такой подход не учитывает сингулярность решения на границе Фазового перехода. Поэтому экспериментальные данные удается описать удовлетворительно лишь на достаточно густой сетке, что снижает эффективность метода. В работе [23 предложен более эффективный метод решения задачи теплопроводности с подвижной границей, основанный из адаптивной сетке, координаты узлов которой заранее не известны и определяются в процессе движения границы. Применение адаптивной сетки известно и для задачи плавления с учетом гидродинамики жидкого металла [з].

В настоящей работе дана постановка сопряженной задачи кристаллизации и гидродинамики в прямоугольной области с произвольной конфигурацией границы фазового перехода. Основная идея состоит в том, что исходные уравнения Формулируются в новой системе координат, связанной с подвижной границей Фазового перехода. При этом сложные по конфигурации области жидкой и твердой Фаз отображаются в прямоугольные, в которых применяются сетки с

Фиксированным числом ячеек. Эти сетки автоматически пересчиты-

ваются в ходе счета при движении границы и могут сгущаться, учитывая сингулярность решения.

Рис, 1. Расчетная схема Сслева>, линии тока (в центре> и изотермы СсправаЭ, построенные через равные интервалы в жидкой Фазе при замерзании воды.

Рассмотрим затвердевание вязкой жидкости в прямоугольной области размерами В>-Е с двумя изотермическими и двумя адиаба-тивными границами Срис. }>■ При охлаждении правой границы до

температуры Т ниже температуры Фазового перехода 2* происходит

2 {

затвердевание. В жидкой Фазе перепад температур АТ^Т ~Т{ создает тепловую конвекцию, искривляющую границу затвердевания. Ширина жидкой Фазы С изменяется по высоте области. На этом же рисунке представлены экспериментальные данные по кристаллизации воды - линии тока и изотермы в температурном интервале, включающем инверсию плотности [4] СТ — 14,5°С? Т --6,7° О-

1 2

Процесс затвердевания и циркуляции жидкой Фазы описывается системой уравнений, включающих уравнения гидродинамики в жидкой Фазе в переменных завихренность - Функция тока:

(1)

V - «о , (2)

я

л

и теплопроводностей твердели

&Т

-37— -а V2'!'

д± 55 Й

а также условия баланса .уц

Фазового пррех

дТ <*Т

3 I, _ от.

&п ь &п &і

( о

где индексы Ь И 5 ОТНОСЯТСЯ СПСТ0Є7'СТЕЄКНО К ЖИДКОМ и ? ? 2 2 2

Фазам; V -д’/дя +д -■>;; Лапласа; а”Х/<р;--'

коэффициенты температуропрсводно: ти, теплопроводности,

ность, теплоемкость; иш&Ч'/д^ ї>г-

проекциях на оси х и у ; /Ї

и - коэффициент кинематичо* •:

ного падения; 0 - удельная: у і;

границе затвердевания.

Краевые условия включак. ч *

Т = Т > V — ^ — 0> граничные і

рис./. В жидкой фазе приняты ./г. ницах.

Перейдем к новой системе к разованиями:

,т - компоненты скорости ‘ФФмциент объемного расШИР£-"'коста; (г - ускорение

плавления; п - ноомал ь

л у ■ лое ра с п ределение п с- реме - <; 5.::; м.-, температуре показаны

пГ'илипания на твердых •• г /і'мсі1, е соответст'гии с прек

Хи=Х/С,

х =(в~х)/(в іп, у;

где С<-уУ> ~ ширина жидкой Фазы.

Тогда исходная система урв?-и> -ни!- < 5> преобразуется с ;

том <б>» например, производная т?с> вертикальной координате жидкой фазе принимает следующий вид

д%)

а

&у

х

У

С г,

Для записи системы уравнений в безразмерном виде выберем в качестве масштабов следующие величины- характерный линейный размер ?,“Н; время * “X /ь>-, скорость ио~у/Х; Функцию тока

завихренность ы^=и/1Г■, температуру в жидкой АТ^-Т1~Т{ и твердой

АТ “Т ~Т Фазах. Эти параметры образуют критериальные комплексы к ' г

Прандтля Рг=и/а, ГрасгоФа 0=в^Х АЗГ /V» , СтеФана 3*в“С^ДТь/0.

Вводятся также обозначения для отношений масштабов температур 3*”=ДТ ■/АТ , теплопроводностей \*«*\ УК , плотностей р*=р /р и

в Ь 3 Ь £5 Ь

температуропроводностей а*=а. /а -

г I-

Опуская промежуточные преобразования и сохраняя для безразмерных переменных те же обозначения, запишем окончательный вид уравнений г идродинамик и:

дм X дС

I.

а* с а* ах. с ах

Ь ь (в}

х ас а а 2 &т ат

----!:-------------(№>) +-----о>------------------------— ,

с ау ах^ ау с ахь

- . (9)

переноса энергии в жидкой:

ау х ас ат

!. Ь I,

+ -------- СиТь>-

а* с а* ахь с ахь

х ас а а V г

---------------(иТ ------------ („у ;= —^

с ау ах. ау Рг

по;

и твердой Фазах:

ат

а*

х ас

к

*

а 2

в-с at

Рг

V Т б: б

(11 )

Условие баланса энергии в проекции на ось х:

. . ' ■ ат „ Рг ас

. _ . *э» “

X 3 (----------------------+ —-------------)=р--------------------. (12)

в-с ах^ с адь 8te а±

В соответствии с преобразованиями <6> изменяется и оператор Лапласа, который принимает следующий вид для жидкой:

г я ’ N N ' ас ’ 2 а2 2Х и ас

. ВС. 2 !и <0 С ау

и твердой Фаз:

(13)

ЗУ

' ас ' ас

. С2 . «г , с ау2

ах.

я

а

в2св-с;2 ахзг (в-ог

ас

вГ£

2 а2

ах„

2хв ас

в-с ау ах ау

г

см;

ау

2*в ' ас ' *с]

ЛВ-С)2 в-с ау2

а

ах_

Компоненты вектора скорости определяются из соотношений:

ау

ау

х1_ ас а^

ау ах.

я ау

вс ах.

с»5;

Для численного решения задачи применяли метод установления с продольно-поперечной прогонкой. В преобразованных координатах использовали конечно-разностную сетку:

*Ї,І

= а-п\ = и-пня

= (Ь-1)Н

1=1 2 . . К Ьх

3=1,2,. . Чх

к=1 2 . . . . М + 1 ; \

= с/л^

= (В~С)/№ = Е/и

числа разбиений сетки в направлениях координат

сгущаться,

ж^,хд,у. В жидкой Фазе у твердой границы сетка может например:

В єхр(ІВр/Л )-1 2 ехр( Вр/2) -1

1 = 1.2......»ь/г . (17)

где р - параметр сгущения, при стремлении которого к нулю сетка С 17> приближается к регулярной <1б>-

Примеры дискретизации исходных уравнений даны в работе [4]-Алгоритм решения задачи включает задание начального положения границы затвердевания, например, с использованием модели чистой теплопроводности. Далее решаются совместно уравнения гидродинамики и переноса энергии СВ~1(У> в жидкой Фазе с Фиксированными размерами. Затем совместно решаются уравнения теплопроводности в твердой Фазе С||) и баланса энергии С12~> для нахождения нового положения границы затвердевания. Указанная процедура повторяется для следующего шага установления и заканчивается при достижении наперед заданной точности.

Рис. 2. Сетки в прямоугольной Сслева) и исходной системах координат. Штриховая линия - экспериментальная конфигурация

границы кристаллизации.

Ка рис,2 показаны некоторые результаты вычислительного эксперимента, проведенного на ПВЭМ типа ІВМ- В преобразованной системе координат области жидкой и твердой Фаз - прямоугольные. На этом же рисунке представлены результаты расчета на сетке с

минимальными числами разбиений СИ —я —М-4>. Видно, что расчет-

I. я

ная граница затвердевания отклоняется от вертикальной, что объясняется конвективным теплопереносом в жидкой Фазе. Результаты расчета качественно описывают экспериментально наблюдаемую конфигурацию границы затвердевания даже на редкой сетке, что подтверждает эффективность вычислительного эксперимента с применением адаптивных сеток.

Литература

1. Цаплин А.И. Гидромеханика и тепломассообмен при кристаллизации непрерывных стальных слитков в условиях внешних воздействий на жидкую Фазу // Гидродинамика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука» 1990. С. 169-178.

2. Дарьин Н.А., Мажукин в.И. Математическое моделирование задачи СтеФана на адаптивной сетке - / Дифференциальные уравнения 1987. Т.23. Я 7. С. 1154-1160.

3. Benar-d С., Gobin B.,Zanoll Л. Moving Boundary problem: fL&at conduct Ion in the во lid phase of a phase-change material during welting driven by natural convection, in, the litpiiitg //Int.J.Heat Mass Transfer. 1986. У.29. N 11. P. 1669-1681.

4. Цаплин А.И. Тепло- и массоперенос при затвердевании вяз-

кой жидкости в прямоугольной области // Процессы тепло-- и массопереноса вязкой жидкости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986.

С. 58-67.

Пермский политехнический институт