МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ С ПРИСОЕДИНЁННЫМ ОСЦИЛЛЯТОРОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2023, Т. 165, кн. 2 С. 153-166

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

УДК 519.63 10.26907/2541-7746.2023.2.153-166

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ С ПРИСОЕДИНЁННЫМ ОСЦИЛЛЯТОРОМ

Д. М. Коростелева1, С. И. Соловьев2

1 Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, 420066, Россия 2Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Аннотация

Для задачи о собственных колебаниях пологой оболочки с присоединённым осциллятором предложена новая симметричная вариационная постановка в гильбертовом пространстве. Установлено существование последовательности конечнократных положительных собственных значений с предельной точкой на бесконечности и соответствующей полной ортонормированной системы собственных векторов. Задача приближена сеточной схемой метода конечных элементов с эрмитовыми конечными элементами. Доказаны теоретические оценки погрешности приближённых решений. Приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие теоретические выводы.

Ключевые слова: собственное колебание, пологая оболочка, осциллятор, собственное значение, собственный вектор, задача на собственные значения, метод конечных элементов, эрмитов конечный элемент

Введение

Задачи о собственных колебаниях оболочечных конструкций с присоединёнными грузами возникают при математическом моделировании в авиационной и космической технике, проектировании надводных и подводных судов, расчёте различных ёмкостей и резервуаров в химической и нефтяной промышленности [1—3]. При учёте упругости крепления грузов такие задачи формулируются как задачи на собственные значения с нелинейной зависимостью от спектрального параметра [2-4].

В монографиях [1-3] приведён обзор публикаций по динамике пластин и оболочек с присоединёнными массами. В [2, 3] для решения и исследования задач собственных колебаний пластин и оболочек с осцилляторами применен аналитический метод, который основан на использовании частотного уравнения и представлении динамической функции Грина несущей тонкостенной конструкции в виде разложения по собственным формам колебаний несущей конструкции. Этот подход имеет ограничения на форму области несущей поверхности, вид коэффициентов дифференциальной задачи и тип граничных условий.

В монографии [4] для решения задач о собственных колебаниях механических систем с осцилляторами применена вариационная постановка нелинейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве. Здесь доказано существование собственных значений и собственных функций для нелинейных задач на

собственные значения, изучена сходимость конечномерных аппроксимаций, исследованы итерационные методы решения нелинейных матричных задач на собственные значения. Предложенный подход снимает ограничения из [2, 3] на область несущей поверхности, вид коэффициентов дифференциальной задачи и тип граничных условий. Однако этот подход требует решения нелинейных спектральных задач с полюсами, кроме того, здесь не удаётся получить свойство полноты системы собственных функций, что не позволяет провести обоснование метода разделения переменных для динамической задачи с осцилляторами.

В настоящей статье для задачи о собственных колебаниях пологой оболочки с присоединённым осциллятором предложена новая симметричная вариационная постановка в гильбертовом пространстве с линейной зависимостью от спектрального параметра. Установлено существование последовательности конечнократных положительных собственных значений с предельной точкой на бесконечности и соответствующей полной ортонормированной системы собственных векторов. Задача приближена сеточной схемой метода конечных элементов с эрмитовыми конечными элементами. Доказаны теоретические оценки погрешности приближённых решений. Приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие теоретические выводы.

1. Дифференциальная постановка задачи

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях однородной изотропной пологой оболочки постоянной толщины многоугольной формы, защемлённой по границе, с присоединённым осциллятором. Пусть проекция срединной поверхности оболочки совпадает с плоской многоугольной областью Г2 с границей Г, Г2 = Г2 и Г, и задана уравнением х'з = /(х), х = (х'1,х'2) €= Г2, Н^1 = —9ц/, Д^1 = —¿>22/-Пусть р и Е - плотность и модуль Юнга материала оболочки, V - коэффициент Пуассона материала оболочки, г - толщина оболочки, О = г3Е/( 12(1 — V2)) -цилиндрическая жёсткость материала оболочки, О = Е/(2(1 + V)) - модуль сдвига материала оболочки. Предположим, что в точке с координатой к € О упруго присоединён груз массой М (гармонический осциллятор) с коэффициентом упругости подвески К, М > О, К > 0, при этом \jKjM - парциальная частота осциллятора. Обозначим через т(х,г) = (т1 (х,г),т2(х,г),тз(х,г))т вектор перемещений точки х (Е Г2 срединной поверхности оболочки в момент времени I, при этом ги\{х,1), т2(х,г), тз(х,г) - перемещения вдоль координатных осей Ох1, Ох2, Ох3. Обозначим через п(^) смещение от положения равновесия груза массы М в момент времени г. Собственные колебания механической системы оболочка-осциллятор определяются функциями т(х, г) и г/^) вида

т(х,г) = п(х)у(г), х € О, п(4) = ¿> 0, (1)

где и(х) = (гч(х), 112(х), мз(х))т, г>(1) = ао соэа/А^ + Ьо йша/А^, I > 0; ао, Ьо, А -константы.

Функции (1) удовлетворяют уравнениям

Ьт(х,г) + ргшц (х,г) = f(х, 4), х € О, (2)

МП' (г) + К (п(4) — тз (*,*))= 0, (3)

где 4 > 0, Ь - дифференциальный оператор из теории пологих оболочек [2,3], ти (х, г) = д2 т(х,г)/дг2. Действие присоединённого осциллятора на оболочку моделируется [2, 3] функцией правой части вида

f (х, г) = К (п(4) — тз(к,Ь))5(х — к).,

(4)

где ¿(х) - дельта-функция, сосредоточенная в точке х = 0, J = (0, 0,1)т . Добавим к уравнениям (1)-(4) условия защемления по контуру оболочки:

ад(х, £) = 0, дпадз(х,£) = 0, х € Г,£ > 0, (5)

где дп - производная по внешней нормали к Г.

Подставив (1) в (2)-(5), получим задачу на собственные значения, состоящую в нахождении чисел А, векторных функций и(х), х € О, чисел £, составляющих ненулевой вектор (и,£)т, для которых выполнена следующая система уравнений:

£и(х) — К(£ — мз(к))^(х — = Аргм(х), х € О, (6)

К (£ — из(к)) = АМ£, (7)

и(х) = 0, д„мз(х) = 0, х € Г. (8)

Число А называется собственным значением задачи (6)-(8), а вектор (и,£)т -соответствующим собственным вектором.

2. Вариационная постановка задачи

Через Ь2(О), ^^(О) и ^22(О) будем обозначать вещественные гильбертовы пространства Лебега и Соболева, снабжённые следующими скалярными произведениями и нормами:

1 2 (и, «)о = м(х)«(х) ¿х, ((и, «))1 = , ((м,«))2 = ,

п 4=0 4=0

1/2 / 1 \ 1/2 / 2 \ 1/2

Но = и Кх))2Йх) , ||«Н1 = (емА , N2 = (ЕМ2

о / \г=0

при

22 (и, V)! = ^(дгМ, д^)о, (м,-у)2 = Е (дци, дц«)о,

4=1 4,^=1

/ 2 \ 1/2 ( 2 \ 1/2 М1 = £ |дг«|2 , |V12 = (£ «Ю

Д = д11 + д22, А2 = (дц + д22)(д11 + д22 ), д% = д/дх*, дц = д^дц, г, = 1, 2.

о

Определим пространство ^24О), состоящее из функций V € ^^ (О), подчи-

о

няющихся граничному условию v(x) =0, х € Г. Норму в пространстве ^21(О) определим с помощью полунормы |. 11, которая эквивалентна исходной норме ||. || 1.

оо

Известно, что (О) вложено компактно в £2(О). В пространстве ^2(О) опреде-

о

лим скалярное произведение (и^)1, и, V € ^2(О).

Обозначим через ^2(О) пространство функций V из ^22(О), удовлетворяющих условиям v(x) = дпv(x) = 0, х € Г. Через ^2а(О) для а € (0,4] обозначим пространство Соболева дробного порядка с нормой ||.||а [5, с. 214].

Определим пространство C(fí) непрерывных функций v(x), х Gil, с нормой

Но,,» = max |г'(ж)|.

же о

Тогда существуют такие положительные константы 70 и 71, что

о 2

|v|o < 70И2, |v|o,to < Yi1v12 Vv G W2(^).

о

Известно, что пространство W22(^) компактно вложено в пространство £2^) и

пространство С(Г2). В введём норму |.|2, эквивалентную норме ||.Ц2 -

Обозначим через D(^) пространство бесконечное число раз дифференцируемых функций, определённых на с компактным носителем. Известно, что про-

оо

странство D(^) всюду плотно в пространствах W^(^) и W22(^).

Определим вещественные гильбертовы пространства векторных функций Ho =

ооо

(Ь2(О))3 и У0 = ^21(О)х^21(О)х^22(О) с нормами

Мяо = (К10 + Ы0 + Ьз^)1/2, V = К«2,«з)Т € Но,

1Мк = (Ы? + Ы? + Ы2)1/2 , V = («1 ,«2,«з)Т € Уо, 1/2

1Н|яо = («, «)я0 , (и, «)яо = (м1, «1)0 + («2, «2)о + (из, «з)о,

и = (м1,И2,мз)Т= («1,«2,«з)т € Я0, 1/2

V. = («, «)у0 , (и,«)Уо = (и1 ,«1)1 + (и2,«2)1 + (из,«з)2, и = (и1,и2,из)Т= («1,«2,«з)т € У0.

Отметим, что V} компактно вложено в Но.

Пусть М - числовая прямая. Зададим вещественное гильбертово пространство V = У0 х М со скалярным произведением

(й,и)у = (и,г>)Уо

и соответствующей нормой

= (1М|у0 + С2)1/2

для й = V = (г',С)Т € V.

Введём также вещественное гильбертово пространство Н = Но х М со скалярным произведением

(й,и)н = (и,г>)н0 +

и соответствующей нормой

№ = (1И1к + С2)1/2

для и = (и, ц)Т, V = (V, € Н.

Предположим, что 0 < V < 1/2, Е, г, Д1, Й2, К и М - заданные положительные постоянные. Обозначим

О = гз5/12, О = Е/ (2(1 + V)), 5 = Е/ (1 — V2),

С11 = С22 = г5, С12 = С21 = vгS, сзз = гО,

С13 = С23 = 0, С31 = С32 = 0, С44 = С55 = Д С45 = С54 = С66 = Г3 С/3,

С46 = С56 = 0, С64 = С65 = 0,

С =

С11

С21

С12

С22

С11 =

С11 С12 С1з С44 С45 С46

С21 С22 С2з , С22 = С54 С55 С56

С31 С32 Сзз С64 С65 С66

(и, V) = итV, = (Н^, Е^, ЕзV, Е^, Е5V, ,

= д^1 + Д-^з, ^^ = д2 V2 + Д-^з, ^^ = д2Vl + дlV2,

= —дllvз, Д V = —д22Vз, ^ = — д^з.

Здесь через С12 и С21 обозначены квадратные матрицы размера три с нулевыми элементами. Зададим билинейные формы ао : Уо х Уо ^ М и Ьо : Но х Но ^ М соотношениями

" 4 ' " .V € Уо,

ао(и, V) = J(СДи, Fv)dx Ум, V € Уо, п

Ьо(и, V) = Р^ У (и, V) ¿х Ум, V € Но.

Определим билинейную форму а : V х V ^ М по формуле

а(«,г>) = а0{и,г>) + - мзМХС ~ г'з(я))

при и = ^ = С)Т € У и билинейную форму 6:ЯхЯ->М с помощью

выражения

Ь(й,гТ) = Ъ0{и,г>) +

при м= (м,ц)Т, г? = (г',С)Т € Н.

Обозначим До = (Д(О))3. Понимая уравнение (6) в смысле распределений, запишем это уравнение в виде

(Ь^ ^)Яс — К(£ — м3(к))<^3(к) = АРГ(м,^)Яо

для любого вектора ^ = ,^2,^з)т € До. Учитывая в этом равенстве, что рг (и, ^)я0 = Ьо(и, у>) и (Дм, <£>)я0 = ао(и, <^>) для любого вектора ^ € До [6, с. 216], получим соотношение

ао(и,у) — К(£ — из(к))^з(к) = АЬо(и,

для любого вектора ^ € До. Сложим теперь с этим равенством равенство

К (£ — из(к))С = АМ£С,

полученное из уравнения (7) после умножения на произвольное число С € М. Тогда выведем соотношение

ао(и, + К(£ — из(к))(С — ¥>з(к)) = А (Ьо(и, + М£С)

для любого вектора ^ € До и произвольного числа С € М. Поскольку пространство До всюду плотно в пространстве Уо, придём к соотношению

ао(и, V) + К(£ — из(к))(С — vз(к)) = А (Ьо(и, V) + М£С)

для любого вектора V € Уо и произвольного числа С € М.

В результате получим вариационную постановку дифференциальной задачи (6)—(8), которая заключается в нахождении А £ К, и G V \ {0} из уравнения

a(ïi,v) = Xb(ïï,v) (9)

для любого вектора v G V.

Обратный переход от вариационной задачи (9) к дифференциальной задаче (6)—(8) можно провести, положив в уравнении (9) v = (ср,0)т. Тогда получим соотношение

ao(u,¥>) - K(£ - м3(к))^3(к) = Abo(w,

для любого вектора ^ G D0, которое приводит к уравнению (6) в смысле распределений. Наконец, уравнение (7) получим из (9) при v = (0, для любого числа Z G R.

Лемма 1. Билинейные формы a : V х V ^ R и b : H х H ^ R удовлетворяют свойствам положительной определённости и ограниченности:

«îlNlv <a(v,v) \\v\\ v WG V,

wgh,

где ai, a2, вь в2 - положительные постоянные.

Доказательство. Справедливы неравенства [6, с. 263]

aoi|M|V0 ^ ao(v,v) < ao2||v||V0 ^v G Vo при положительных aoi и ao2 . Кроме того, имеет место равенство

b0(v,v)= ||v||H0 Vv G Ho.

Квадратичная форма a(v,v) равна нулю тогда и только тогда, когда вектор v G V нулевой. Действительно, если a(v, v) = 0, то получим

a(v,v) = a0(v,v) + I<(Ç - г'зМ)2 = 0.

Поэтому aoi|M|yn ^ O'o(v,v) = 0. Следовательно, v = 0, поэтому г>з(х) = 0, х G Г2, и К (С — г'з(я))2 = К('2 = 0. Отсюда выведем ( = 0, v = (v, () = 0.

В пространстве V определим новое скалярное произведение и соответствующую норму: (Ti,v)a = ||г?||0 = \J(v, v)a, для любых и, v G V.

Докажем, что для некоторого а\ > 0 справедливо неравенство ^ a(v,v)

при любом v G V. Это неравенство запишем в виде а\ ^ a(v, ^VH^Hv- ПРИ Л1°бом v G V \ {0}. Предположим, что последнее неравенство не выполняется. Тогда найдётся такая последовательность Vj G V, j = 1,2,..., что j j) /\\v j\\\r —> 0 при j —> oo. Положив Wj =^'/11^111', Wj = (îOj,z/j)t, iUj = (го], w2, г«з)Т, j = 1,2,..., получим a(wj,Wj) —> 0 при j —> oo. Тогда

( ■ 'Л1/2

IK'IU = [ao(iVj,Wj) + K{vj ~ Ц(^))2] 0

при j ^ то. Отсюда aoi||wj||V0 ^ ao(wj,wj) ^ 0 при j ^ то. Поэтому |wj(к)| ^ |w3|o,œ ^ 7i|wj|2 ^ 7i|wj||v0 ^ 0 при j ^ то, и, следовательно, w3(к) ^ 0 при j ^ то. Теперь имеем Vj ^ 0 при j ^ то. В результате заключаем

при j —> то, что противоречит соотношению ||w7j||v = 1.

Таким образом, билинейная форма a : V х V ^ R удовлетворяет свойствам положительной определённости и ограниченности для некоторого положительного числа ai, и = a02 + 2(1 + y2)K.

Для билинейной формы b : H х H ^ R выполняются аналогичные свойства при ßi = min {pr, М} , ßo = max {pr, M} . Лемма доказана. □

Теорема 1. Задача (9) имеет неубывающую последовательность конечно-кратных собственных значений Ak, k = 1,2,..., 0 < A1 < А2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то при k ^ то. Этим собственным значениям соответствует ортонор-мированная система собственных векторов Tik = (Mfc,Cfc)T G V, k = 1,2,..., a(Tii,Tij) = Xjöij, b(üi,üj) = öij, i,j = 1,2,... . Векторы Tik, к = 1,2,..., co-ставляют полную ортонормированную систему в пространстве H, то есть для любого вектора v G H имеет место разложение

Векторы и к = йк/у/ХЦ, к = 1,2,..., составляют полную ортонормированную систему в пространстве V, то есть для любого вектора Т> £ V имеет место разложение

то

V = я (Ж ¿=1

о о

Доказательство. Из компактности вложений пространств и

в ¿2 следует компактность вложения V в Н. Поэтому согласно лемме 1 и теореме 5.6.1 из [7, с. 98] получим утверждения теоремы. □

3. Сеточная аппроксимация

Зададим на Г2 регулярное разбиение Тк на замкнутые треугольные и четырёхугольные элементы e с диаметром, не превосходящим h [8-10]. Предположим, что точка к совпадает с вершиной одного из элементов разбиения. Введём [8-10] пространства эрмитовых конечных элементов:

Wlh = {vh : vh G W^fi) n C^fi),^ G Ve, e G %},

W2h = {vh : vh G wf (fi) П C^fi),^ G Ге, e G %},

где Pe - пространство полиномов, содержащее пространство полиномов степени три на множестве е, С1(Г2) - пространство непрерывно дифференцируемых функций на Г2. Заметим, что W\h ~ конечномерное подпространство пространства

о о

W2(^), W2h - конечномерное подпространство пространства W 2(^). Обозначим Ni = dim Wih, N2 = dim W2h. Положим V0h = Wih x Wih x W2h. Введём вещественное гильбертово пространство Vh = Voh x R. Заметим, что Voh - подпространство V0, dim V0h = 2Ni + N2, Vh - подпространство V, dim Vh = N, N = 2Ni + N2 + 1.

Приближение по методу конечных элементов задачи (9) сводится к определению Xh G М, Tih G V/, \ {0} из уравнения

a(uh,vh) = Xhb(uh,vh) (10)

для любого вектора г'к € V/,. Решения А2 и ин задачи (10) называются приближённым собственным значением и приближённым собственным вектором соответственно.

Теорема 2. Конечномерная задача (10) имеет конечную последовательность положительных собственных значений А^, к = 1,2,...,Ж, 0 <А2 < А2 < ... < А^ . Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных векторов й\ = € V/, к = 1,2,..., Ж, такая, что = А ; = 1,] = 1,2,... ,М. Векторы й\, к = 1,2,..., М, составляют полную ортонормированную систему в пространстве , то есть для любого вектора Vй е V/, имеет место разложение

N ¿=1

Векторы и£ = мй/^/а^, к = 1,2,...,М, также составляют полную ортонормированную систему в пространстве V/,, то есть для любого вектора Vй е V/, имеет место разложение

N

¿=1

Доказательство. Утверждение теоремы устанавливается аналогично утверждению теоремы 1 с учётом конечномерности задачи (10). □

Для v G V обозначим

- ~ — "" ~h,\v.

sh(v)= inf \\v — vhu

uhevh

Лемма 2. Если v G V, mo £h(v) —> 0 при, h —> 0.

Доказательство. Пусть nih - оператор -интерполяции [8-10] при i = 1, 2. Обозначим через Щ оператор V0h -интерполяции, определяемый по формуле = (Пхь^Ч, nih^2, П2ь^з)т для ^ = (^1,^2, ^з)т е Do. Поскольку пространство D0 всюду плотно в пространстве V0, то для вектора v е V0 и любого £0 > 0 существует такой вектор ^ е D0, что ||v — у>||у0 < £0/2. Кроме того, существует такое h-0 = ^(£0) > 0, что при h < h-0 выполняются соотношения ||^> — Щ¥>||v0 ^ ch < £0/2 [8-10], где c - положительная постоянная. Тогда для v = (v, £)т (Е V получим

sh(v) = inf ||г> - vh||v s' ||f - ЩИк <■ - y\\Vn + - ЩИк < £0.

~hevh

Лемма доказана. □

Для измерения расстояния между подпространствами введём раствор подпространств. Пусть W1 и W2 - два подпространства гильбертова пространства V, dim W1 = dim W2 < то, Pj - оператор ортогонального проектирования из V на Wj, i = 1, 2. Тогда раствор подпространств W1 и W2 вычисляется по формуле

t9(lFi, Wo) = sup ||ы7 — Pi«7||v = sup ||w - Р2ы7||у.

— 1Г^, ||\- = 1 — l Г , ||7F|| \- = l

Пусть Afc - собственное значение задачи (9) кратности s такое, что Ад— < Ak = Afc+i = ... = Afc+S_i < Afc+S, щ, i = к, к + 1,..., к + s - 1, - соответствующие собственные векторы, А^, , i = к, к + 1,..., к + s — 1, - приближения по

схеме (10), С4 = span{wfc, Uk+i, ■ ■ ■, «fc+s-i} _ собственное подпространство, отвечающее Afc , Ujh = span{ и\, • • •, 1} приближение к собственному подпространству Uk.

Теорема 3. Имеет место сходимость Ah ^ Aj при h ^ 0, Ah > Aj, i = k,

h к .

k +1,...,k + s - 1, ^(Uk,Ukh) ^ 0 при h ^ 0.

Доказательство. Результат сходимости вытекает из леммы 2 и теорем 8, 9 из [И]. □

Положим

'■к

£hk = Slip £h{u)-Ti^Uk, ||ТГ| \- = 1

Так как ик - конечномерное подпространство, то справедлива сходимость е? ^ 0 при Н ^ 0.

Далее считаем Н достаточно малым, а через с обозначим различные константы, не зависящие от Н. Положим Уа = ^21+а(^)х^21+а(^)х^22+а(^) при а е (0, 2].

Теорема 4. Выполняются следующие оценки погрешности: 0 < А? - А; < с (е£)2 , ОД< се? для г = к, к + 1 ,...,к + в — 1.

Доказательство. Оценки погрешности вытекают из лемм 1, 2 и теорем 10, И из [И]. □

Лемма 3. Если V € УахМ, то £л(г>) < сЪа.

Доказательство. Для г> = (г>, С)Т € УахК согласно [9, с. 379] получим

ике\',г уне\'01г

Лемма доказана. □

Лемма 4. Если гц G Va хК для некоторого числа a G (0, 2], i = к, к + 1,...,

h к

k + s — 1, то справедлива оценка £h < cha.

Доказательство. Нормированный вектор и (Е ||м||гг = 1, представим в виде разложения по базису

к + 8-1 й= £ с.,~ч

г=к

с коэффициентами с; = Ь(м, щ), г = к, к +1,..., к + в — 1. Тогда, учитывая лемму 3, получим

к+я-1 к+я-1 к+я-1

£ъ,{й) < £ |с;,| гн(щ) < с1га £ \а\ = с!га £ \Ь(й,щ)\ <

г=к г=к г=к

к+.э-1 Й +

< сЬа £ \/Ъ(й,й)\/Ъ(щ,щ) < сЬа £ ||й||Д/ < сЬа.

г=к г=к

Следовательно, е\ ^ сНа. Лемма доказана. □

Теорема 5. Если гц £ Vа хК для некоторого числа (0,2], г = к, к + 1,..., к + в — 1, то имеют место оценки погрешности

0 < А^ — А, < с^2а, Ц1) < ейа

при г = к, к + 1,...,к + в — 1.

Доказательство. Требуемые оценки погрешности следуют из теоремы 4 и леммы 4. □

4. Вычислительные эксперименты

Пусть Г2 = (0,/) х (0,/) - квадратная область с границей Г, Г2 = [0,/] х [0,/]. На Г2 зададим сетку х.^ = (x.j, х^), х; = ih, i, j = 0,1, 2,..., n, /? = Z/n, с ячейками ejj = [xj_i,xj] x [xj_i ,Xj], = 1, 2,...,n. Пусть к = xni„2, 0 <ni <n, 0 <n2 <n. Введём [8, с. 77] пространства эрмитовых бикубических конечных элементов

Wlh = {vh : vh G П С1 (П), г." |ец G Q3(e.y), i.j 1.2.....«},

W^ = : vh G Wf(ii) П С^П),^|es3 G Qaietj), i.j 1.2.....«},

где Фз(е) - пространство полиномов степени три по каждой переменной на множе-

о

стве e. Известно, что Wih - конечномерное подпространство пространства W2(^),

dim W1h = (2n)2 , W2h - конечномерное подпространство пространства W2(^), dim W2h = (2n - 2)2 [8, с. 77]. Обозначим V0h = W1h x W1h x W2h. Введём вещественное гильбертово пространство Vh = V0h x R. Заметим, что V0h - подпространство V0, dim V0h = 2(2n)2 + (2n — 2)2 , Vh - подпространство V, dim Vh = N, N = 2(2n)2 + (2n — 2)2 + 1.

Вариационная задача собственных колебаний оболочки с присоединённым осциллятором (9) решалась численно с помощью сеточной схемы (10). Расчёты проводились при следующих значениях параметров: E = 210000, v = 0.167, р = 7800, r = 0.06, R1 = 5, R2 = 5, l = 1, к = (0.2,0.7). Решена серия задач при разных значениях K и M. Вычислены порядки погрешности ад, k = 1, 2,..., 6, для собственных значений Ад, k = 1, 2,..., 6, по формуле

, - А*/2

при n = 20, h = 0.05. В результате вычислений экспериментально получена оценка погрешности А^ — Ад и chCTfc. Установлено, что порядок погрешности ад находится в интервале [2, 4] в зависимости от параметров K, M и к присоединённого осциллятора. В таблице 1 приведены собственные значения Ад, k =1, 2,..., 6, и порядки погрешности ад, k = 1, 2,..., 6, при K = 10000 и M = 2000. Собственные значения для таблицы 1 вычислены на мелкой сетке размера h/4 = 0.0125.

На рисунках 1 и 2 показаны изолинии и нулевые линии третьих компонент k = 1, 2,..., 6, собственных векторных функций мд = (ид, £,к)Т, iik = (wf, м2, ttg)т, k = 1, 2,..., 6, при K = 10000 и M = 2000. На этих рисунках отмечена точка присоединения груза к. При увеличении значения коэффициента упругости K задача собственных колебаний оболочки с упруго присоединёнными грузами приближается к задаче собственных колебаний оболочки с жёстко присоединённым грузом. При увеличении величины коэффициента упругости K и величины массы M присоединённого груза третьи компоненты собственных векторных функций

Табл. 1

Собственные значения

к Хк

1 1.7662 2.0074

2 13.2043 2.0499

3 45.9259 3.9647

4 49.8541 2.1180

5 102.1462 2.3326

6 145.5951 3.9091

Рис. 1. Изолинии собственных функций

\

•

0.5 0.5

N /

0.5

0.5

0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1

Рис. 2. Нулевые линии собственных функций

с номерами k = 2, 3,... приближаются к нулю в точке присоединения груза. Из рис. 2 видно, что точка присоединения груза к лежит на нулевых линиях функций Mg и Mg. Поэтому мд(к) = мд(к) = 0. Следовательно, сингулярные слагаемые в дифференциальном уравнении (6) для собственных функций с номерами k = 3 и k = 6 не присутствуют. Это стало причиной увеличения гладкости собственных функций с номерами k = 3 и k = 6 и привело к увеличению порядка сходимости до четырёх для собственных значений Ад и Аб согласно таблице 1. Для других собственных значений порядки сходимости приближённо равны двум. Полученные численные результаты полностью согласуются с теоретическими результатами теорем 1-5.

Благодарности. Работа выполнена за счёт средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета («ПРИОРИТЕТ-2030»).

Литература

1. Серёгин С.В. Динамика тонких цилиндрических оболочек с присоединённой массой. Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2016. 175 с.

2. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами. М.: Машиностроение, 1988. 195 с.

3. Андреев Л.В., Станкевич А.И., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика тонкостенных конструкций с присоединёнными массами. М.: МАИ, 2012. 214 с.

4. Соловьёв С.И. Нелинейные задачи на собственные значения. Приближённые методы. Saarbrücken: LAP, 2011. 256 с.

5. Adams R.A. Sobolev Spaces. New York: Acad. Press, 1975. 268 p.

6. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987. 366 с.

7. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. шк., 1977. 431 с.

8. Ciarlet P.O. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Ser.: Classics in Applied Mathematics. Vol. 40. O'Malley R.E. (Ed.). Philadelphia: SIAM, 2002. 530 p.

9. Brenner S.C., Scott L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Ser.: Texts in Applied Mathematics. Marsden J.E., Sirovich L., Antman S.S. (Eds.). New York: Springer, 2008. xviii, 400 p. URL: https://doi.org/10.1007/978-0-387-75934-0.

10. Brenner S.C., Sung L.-Y. C0 interior penalty methods for fourth order elliptic boundary value problems on polygonal domains. J. Sci. Comput. 2005. V. 22-23, No 1. P. 83-118. URL: https://doi.org/10.1007/s10915-004-4135-7.

11. Solov'ev S.I. Approximation of variational eigenvalue problems. Differ. Equations. 2010. V. 46, No 7. P. 1030-1041. URL: https://doi.org/10.1134/S0012266110070104.

Поступила в редакцию 5.04.2023 Принята к публикации 5.07.2023

Коростелева Диана Маратовна, старший преподаватель кафедры «Информатика и информационно-управляющие системы»

Казанский государственный энергетический университет

ул. Красносельская, д. 51, г. Казань, 420066, Россия E-mail: [email protected] Соловьев Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и искусственного интеллекта

Институт вычислительной математики и информационных технологий, Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2023, vol. 165, no. 2, pp. 153-166

ORIGINAL ARTICLE

doi: 10.26907/2541-7746.2023.2.153-166

Mathematical Modeling of Eigenvibrations of the Shallow Shell with an Attached Oscillator

D.M. Korostelevaa*, S.I. Solov'evb**

aKazan State Power Engineering University, Kazan, 420066 Russia bKazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: *[email protected], **[email protected]

Received April 5, 2023; Accepted July 5, 2023 Abstract

For the problem of eigenvibrations of the shallow shell with an attached oscillator, a new symmetric variational statement in the Hilbert space was proposed. It was established that there exist a sequence of positive eigenvalues of finite multiplicity with a limit point at infinity and the corresponding complete orthonormal system of eigenvectors. The problem was approximated by the mesh scheme of the finite element method with Hermite finite elements. Theoretical error estimates for the approximate solutions were proved. The theoretical findings were verified by the results of numerical experiments.

Keywords: eigenvibration, shallow shell, oscillator, eigenvalue, eigenvector, eigenvalue problem, finite element method, Hermite finite element

Acknowledgments. This study was supported by the Kazan Federal University Strategic Academic Leadership Program (PRIORITY-2030).

Figure Captions

Fig. 1. Isolines of the eigenfunctions.

Fig. 2. Zero lines of the eigenfunctions.

References

1. Seregin S.V. Dinamika tonkikh tsilindricheskikh obolochek s prisoedinennoi massoi [Dynamics of Thin Cylindrical Shells with Attached Mass]. Komsomolsk-on-Amur, KnAGTU, 2016. 175 p. (In Russian)

2. Andreev L.V., Dyshko A.L., Pavlenko I.D. Dinamika plastin i obolochek s sosredoto-chennymi massami [Dynamics of Plates and Shells with Concentrated Masses]. Moscow, Mashinostroenie, 1988. 195 p. (In Russian)

3. Andreev L.V., Stankevich A.I., Dyshko A.L., Pavlenko I.D Dinamika tonkostennykh konstruktsii s prisoedinennymi massami [Dynamics of Thin-Walled Structures with Attached Masses]. Moscow, MAI, 2012. 214 p. (In Russian)

4. Solov'ev S.I. Nelineinye zadachi na sobstvennye znacheniya. Priblizhennye metody [Nonlinear Eigenvalue Problems. Approximate Methods]. Saarbrücken, LAP, 2011. 256 p. (In Russian)

5. Adams R.A. Sobolev Spaces. New York, Acad. Press, 1975. 268 p.

6. Litvinov V.G. Optimizatsiya v ellipticheskikh granichnykh zadachakh s prilozhenyami k mekhanike [Optimization in Elliptic Boundary Value Problems with Applications to Mechanics]. Moscow, Nauka, 1987. 366 p. (In Russian)

7. Mikhlin S.G. Lineinye uravneniya v chastnykh proizvodnykh [Linear Partial Differential Equations]. Moscow, Vyssh. Shk., 1977. 431 p. (In Russian)

8. Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Ser.: Classics in Applied Mathematics. Vol. 40. O'Malley R.E. (Ed.). Philadelphia, SIAM, 2002. 530 p.

9. Brenner S.C., Scott L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Ser.: Texts in Applied Mathematics. Marsden J.E., Sirovich L., Antman S.S. (Eds.). New York, Springer, 2008. xviii, 400 p. URL: https://doi.org/10.1007/978-0-387-75934-0.

10. Brenner S.C., Sung L.-Y. C0 interior penalty methods for fourth order elliptic boundary value problems on polygonal domains. J. Sci. Comput., 2005, vols. 22-23, no. 1, pp. 83118. URL: https://doi.org/doi: 10.1007/s10915-004-4135-7.

11. Solov'ev S.I. Approximation of variational eigenvalue problems. Differ. Equations, 2010, vol. 46, no. 7, pp. 1030-1041. URL: https://doi.org/10.1134/S0012266110070104.

Для цитирования: Коростелева Д.М., Соловьев С.И. Математическое моделиро-/ вание собственных колебаний пологой оболочки с присоединённым осциллятором // \ Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 2. С. 153-166. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.153-166.

For citation: Korosteleva D.M., Solov'ev S.I. Mathematical modeling of eigenvibrations / of the shallow shell with an attached oscillator. Uchenye Zapiski Kazanskogo Univer-\ siteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 2, pp. 153-166. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.153-166. (In Russian)