МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ SIMULINK Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование сложных технических систем с помощью Simulink

А.А.Руппель, Е.Д.Комаров Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Аннотация: В статье рассматривается принципы моделирование сложных

технических систем с помощью метода Лагранжа-Эйлера с применением теории сжимаемой жидкости, и реализация этих моделей в Matlab.

Ключевые слова: математическое моделирование, уравнения Лагранжа-Эйлера, сжимаемая жидкость, SimScape,

SimHydraulics, SimMechanics.

Математическое моделирование сложных технических систем целесообразно проводить, разбивая целую систему на несколько взаимосвязанных подсистем, каждая из которых рассматривается в рамках своей дисциплины. Для строительной и манипуляционной техники распространено разбитие на подсистему описывающее движение элементов системы и подсистему гидро- пневмо- электро- привода, описывающих возникновение сил между элементами системы. Подобный подход упрощает как создание, так и анализ математических моделей. Так же он реализован в одной из самых мощных программ для научной работы - ЫайаЪ. Его составная часть БШиНпк позволяет при помощи блок-диаграмм в виде направленных графов, строить динамические модели, включая дискретные, непрерывные и гибридные, нелинейные и разрывные системы. На основании составленной в БтиНпк блок-диаграммы ЫайаЪ синтезирует уравнения характеризующие систему и получает их численное решение, что и требуется для анализа работы системы.

На данный момент можно выделить три основные методики моделирования движения строительных манипуляторов [1]:

1. Уравнения Ньютона-Эйлера позволяющие получить описание динамики манипулятора, не учитывая кориолисовы и центробежные силы, что влияет на точность вычислений и для сложных технических процессов неприемлемо.

2. Обобщенные уравнения Д'Аламбера, анализ которых доставляет некоторые трудности, но отражают полную картину динамики манипулятора.

3. Уравнения Лагранжа-Эйлера, так же отражающими полную картину динамики манипулятора и простые для анализа.

В этой работе были использованы уравнения Лагранжа-Эйлера, записанных с помощью

аппарата однородных координат и с учетом следующих допущений:

• манипулятор представляет собой шарнирно-сочлененный пространственный многозвенник;

• элементы манипулятора представляются как абсолютно жесткие стержни;

• каждому элементу манипулятора придана своя локальная система координат;

• связи в шарнирах являются голономными и стационарными;

• люфты и силы сухого трения в шарнирах отсутствуют.

Уравнения Лагранжа-Эйлера можно применять как для малых, так и для больших перемещений. Вычислительные затраты при моделировании малых перемещений можно значительно сократить используя тела Фохта и следующую форму записи уравнений [2]:

<И

дК

дК дР д п , и1)

--+ — + — = 0, (г = 1,2,..., п) (1)

дд1 дд1 дд.

где - ьая обобщенная координата,

К - полная кинетическая энергия манипулятора,

Р - полная потенциальная энергия манипулятора, учитывая потенциальную энергию сжатия пружин в телах Фохта,

Ф - работа диссипативных сил отражающих вязкость тел Фохта,

п - количество степеней свободы. Для моделирований в больших перемещениях необходимо выбрать другую форму записи уравнений Лагранжа-Эйлера, учитывающую подвод внешних сил:

йг

г дь ^

^ = Т, (. = 1,2, к, п)

(2)

М у

где Ь - функция Лагранжа (Ь = К — Р),

Т. - непотенциальные силы непотенциальные

силы в ьй обобщенной координате.

Непотенциальными, внешними силами являются результаты действий силовых приводов, реакций опоры, сопротивления качению, копанию и др.

В качестве силовых приводов для строительной техники используются, в основном,

гидравлические приводы с гидроцилиндрами и гидромоторами в роли исполнительных устройств. Для моделирования сил, вырабатываемых ими, разделим сливную и напорные гидролинии на условные объемы до и после золотника, и внесем ряд допущений:

• изменение давления во всем объеме происходит одновременно, т. е. система в сосредоточенных параметрах;

• силы инерции жидкости не учитывается;

• силы вязкого и сухого трения не учитываются;

• гидролинии абсолютно жесткие;

• угловая скорость вращения вала гидронасоса постоянна;

• перетечки не учитываются;

• поток жидкости турбулентен.

Непотенциальные силы, создаваемые

гидравлическим приводом, это функции от давлений, в соответственных полостях. Учитывая уравнение неразрывности течения сжимаемой жидкости, вытекающее из закона сохранения материи [3,4], изменение давления зависит от количества поступающей и отводимой жидкости, а так же изменения рассматриваемого объема.

Vdp dV

' (3)

р dt dt

где V - рассматриваемый объем,

Qi - подаваемое количество жидкости,

Qo - отводимое количество жидкости,

р - плотность рассматриваемой

жидкости,

p - давление в объеме.

Для расчета объема полостей гидроцилиндров, необходимо знать

относительное положение штока и гильзы, этого можно достичь, введя координаты точки крепления гидроцилиндра в соответственной локальной СК. Расход жидкости через гидромотор, прямо пропорционально скорости изменения соответственной обобщенной координаты. Движение жидкости в гидролиниях так же определяется проходным сечением золотника и разницей давлений в соседних объемах.

Таким образом, всю математическую модель строительного манипулятора можно условно разбить на две части: механическую, описываемую уравнениями Лагранжа-Эйлера и рассчитывающую координаты и скорости движения всех элементов оборудования, и гидравлическую, основанную на уравнении неразрывности течения жидкости, и рассчитывающей силы воздействия приводов на механическую подсистему. На основании этого можно составить схему связей между подсистемами, изображенную на рисунке 1 [4].

Рисунок 1. Связи, действующие между подсистемами в строительном манипуляторе

Для численного решения дифференциальных уравнений математической модели был использован программный комплекс Matlab, в частности SimScape - среда для моделирования и симуляции физических систем, содержащих компоненты из различных инженерных сфер деятельности: механических, электрических, гидравлических и других. Продукт SimMechanis Second Generation позволяет описать движение в технической системе с помощью уравнений Лагранжа-Эйлера, а продукт SmHydraulics -работу гидропривода.

Рассмотрим методику построения блок-схемы математической модели, например, строительного манипулятора в обозначениях SimScape. Для начала рассмотрим построение механической подсистемы с помощью SimMechanics и ранее выбранной и обоснованной автором обобщенной расчетной динамической схемы манипулятора для укладки трубопроводов, а также заданных необходимых степенях свободы [5]. Рассматриваемая схема изображена на рисунке 2. Она включает в себя 7 звеньев, каждому из которых придана своя локальная система координат:

1) базовое шасси манипулятора массой m1, включающей массу ходового оборудования и опор;

2) поворотная платформа массой m2;

3) стрела манипулятора массой m3;

4) рукоять манипулятора массой m4;

5) подвеска рабочего органа, массой m5;

6) вертикальный шарнир РО, массой m6;

7) горизонтального шарнира РО, массой m7.

Инерциальная система координат совпадает с

системой координат базового шасси.

Звенья расчетной схемы характеризуются массами mi,, геометрическими размерами и моментами Jxi, Jyi, Jzi и центробежными моментами Jxyi, Jxzi, Jyzi .

Обобщенные координаты, принятые для данной пространственной динамической системы приведены в таблице 1.

Для моделирования любых физических систем в контур системы включается блок Solver Configuration, задающий параметры численного решения дифференциальных уравнений. Для моделирования механических систем включается два блока: Mechanism Configurator - отвечающий за пределы линеаризации при вычислении частных производных и задающий вектор гравитации действующий в модели; World Frame - блок задающий инерциальную СК, связями с которым задаются положение остальных СК [6].

Рисунок 2. Обобщенная расчетная динамическая схема манипулятора для укладки трубопроводов.

Таблица 1.

Основные обобщенные координаты q., j = 1,2,... ,12 динамической системы строительного манипулятора для укладки трубопроводов.__

№ Характеристика координаты в локальной системе координат звена Обобщенная Координата

1 Перемещение центра масс базового шасси (01) вдоль оси X0 qx

2 Перемещение центра масс базового шасси (О1) вдоль оси Y0 q2

3 Перемещение центра масс базового шасси (О1) вдоль оси Zo q3

4 Поворот базового шасси вокруг оси X1 q4

5 Поворот базового шасси вокруг оси Y1 q5

6 Поворот базового шасси вокруг оси 21 4б

7 Поворот поворотной платформы вокруг оси Y2 47

8 Поворот стрелы вокруг оси Z3 Я8

9 Поворот рукояти вокруг оси Z4 49

10 Поворот подвески РО вокруг оси Х5 410

11 Поворот вертикального шарнира РО вокруг оси У6 411

12 Поворот горизонтального шарнира РО вокруг оси 412

СК и матрицы перехода между ними задаются с помощью блоков Rigid Transform. Этот блок имеет два неравнозначных входа, B(Base) и F(Follower), каждому из которых соответствует своя СК. Внутри этого блока задается матрица перехода от СК B к СК F. Смещение может задаваться в декартовой СК, по одной из осей или цилиндрической СК. Поворот может осуществляться сменой осей, поворотом вокруг одной из осей или поворотом вокруг оси заданной

единичным вектором. Все переходы осуществляются относительной СК B и, таким образом, являются независимыми друг от друга. Точки крепления ГЦ, так же задаются с помощью этих блоков, в СК которым они принадлежат.

Положения СК относительно любой другой СК в модели можно измерить с помощью блока Transform Sensor. Он так же имеет два входа - B и F, позволяет замерять положение, скорость и ускорение СК F, относительно СК B, причем

система, в которой выводится результат, задается отдельно, и это может быть инерциальная СК, СК B, СК F, и так называемая невращательная система, в каждый момент времени центр, которой совпадает с СК B, а направление осей с инерциальной СК. Этот блок в последующем позволяет строить переходные процессы перемещения характерной точки рабочего органа, для последующих исследований.

Звенья манипулятора задаются блоками Solid. Они задают массу, геометрические размеры, моменты и центробежные моменты, причем есть возможность импорта из CAD систем, и тогда все параметры будут рассчитаны автоматически. Блоки необходимо присоединять к СК задающей центр масс представляемого звена, таким образом, вводятся вспомогательные блоки Rigid Transform и задаются центры масс звеньев. Одна из настроек блока отвечает за представление соответственного звена во время визуализации. На данный момент в работе использовано представление звеньев в виде графических примитивов - призм и цилиндров, но модульность SimScape позволяет с минимальными затратами при необходимости включить более точное представление.

Степени свободы задаются с помощью блоков из библиотеки Joints. Необходимо обратить внимание, что представленные в библиотеке блоки охватывают степени свободы не по всем осям СК. Предположим, одна вращательная степень свободы задается только для оси Z прикрепленной СК, таким образом, для получения степени свободы по оси Y, необходимо ввести вспомогательную СК, повернув ее на 90 градусов по оси X, тем самым ось Y основной СК, совпадет с осью Z вспомогательной. Подобным образом с помощью

блока Revolute Joint заданы степени свободы, описываемые с 7 по 12 основными обобщенными координатами, а блоком Prismatic Joint степени свободы между гильзой и штоком ГЦ.

Согласно расчетной схеме базовая машина имеет 4 точки соприкосновения с опорой, каждая из которых имеет 3 поступательные степени свободы. Для реализации этого были использованы блоки Cartesian Joint. К одному входу блоков были подсоединены блоки Rigid Transform задающие положение опор в СК базовой машины, к другому задающие начальное положение опор в инерциальной системе координат.

Все блоки библиотеки Joint обладают следующими возможностями применительно к каждой степени свободы входящей в него:

1. задавать начальные и выводить текущие значение обобщенных координат, скорости их изменения и их ускорения (применяется при работе систем управления основанных на этой модели);

2. задавать действие силы\момента (оказываемых со стороны гидроприводов на механическую подсистему);

3. накладывать упруго-вязкие связи (моделирует упруго-вязкую реакцию опоры).

Для удобства механическая модель была разбита на следующие подсистемы, представляющие собой звенья манипулятора: базовая машина (рисунок 3); поворотная платформа, стрела, рукоять, захват, вертикальный шарнир, горизонтальный шарнир (являются однотипными, пример представлен на рисунке 4) и гидроцилиндры (рисунок 5). Шарниры, задающие степени свободы, скомпонованы вне подсистем.

pillart

Рисунок 3. Подсистема базовой машины

Рисунок 4. Подсистема стрелы

Barrel

Рисунок 5. Подсистема гидроцилиндра

Подсистема гидроцилиндра подключается к соответственным входам подсистем звеньев. Представляет собой шток и гильзу ГЦ в виде блоков solid и поступательной степени свободы между ними задаваемую блоком Prismatic Joint, используя свойства которого, снимается текущее положение гильзы относительно штока и задается значение силы действующей между ними.

Таким образом, используя ранее описанные блоки и принципы можно составить математическую модель механической подсистемы в SimMechanics. Для ее работы необходимо подать значение непотенциальных сил на входы соответственных шарниров, с которых снимается значение обобщенной координаты для подачи в гидравлическую подсистему.

Гидравлическая система построена с помощью SimHydraulics, расчетная схема типового контура приведена на рисунке 6. Стрелками отображено направление течения жидкости принятое за положительное (отрицательное значение расхода жидкости означает ее течение в противоположном направлении). Моделирование подобных систем целесообразно осуществлять модульным

принципом, расчетную схему можно разбить на следующие элементы:

1) гидравлический насос;

2) золотник;

3) предохранительный клапан;

4) гидроцилиндр (гидромотор);

5) гидролинии A,B,C и D.

Течение жидкости между рассматриваемыми объемами происходит под действием разницы давлений между этими объемами и определяется открытием золотника распределителя

соответствующего сечения.

Течение жидкости в объемах задается с помощью уравнения неразрывности (3), оно задает связь между подводимыми и отводимыми из объема жидкостями и изменением давления в связи со сжатием жидкости.

Основными параметрами гидравлической подсистемы являются параметры жидкости, такие как плотность, газонасыщенность и модуль объемной упругости. В моделях SimHydraulics эти параметры задаются для каждой гидравлической сети блоком Custom Hydraulics Fuild и используются для расчетов в остальных блоков рассматриваемой гидравлической сети [7].

Рисунок 6. Расчетная схема гидропривода

В гидроприводе так же присутствуют путовые потери давления. С целью упрощения модели эти потери давления было решено ввести с помощью введения линеаризованного гидравлического сопротивления участков гидролиний, тогда потери давления будут выражаться формулой [8]

pпот = GQ, (4)

где G - приведенный коэффициент гидравлического сопротивления.

В SimHydraulics необходимую зависимость представляет блок Linear Hydraulic Resistance. Объем гидролинии задается с помощью блока Constant Volume Hydraulics Chamber, в настройках блока указывается начальное давление в объеме, тем самым задавая начальные условия для решения дифференциальных уравнений. Для учета потерь давления в гидролиниях использована упрощенная модель, состоящая из последовательно соединенных входного сопротивления, объема гидролинии и выходного сопротивления. Для упрощения модели небольшими значениями потерь давления можно пренебречь, таковыми являются потери между гидронасосом и предохранительным клапаном.

Математические модели золотника и предохранительного клапана представляются моделями течения жидкости через отверстие регулируемого диаметра. Учитывая допущение о турбулентности потока, модели золотника и клапана представляются уравнением (5):

Q = Ч Г Dp\sign(DP)'

(5)

где Q - расход жидкости через рассматриваемое сечение,

Св - коэффициент расхода,

р - плотность жидкости,

Ар - разность давлений в соседних объемах,

А - площадь сечения [3].

Разность давление вычисляется согласно выбранному положительному направлению течения жидкости, это и определяет знак значения расхода. При отрицательных значениях жидкость течет в противоположном направлении.

Площадь сечения обоих проходов золотника определяется как:

A = h

\h.

упр

A

(6)

где

hm h

- максимальное смещение золотника,

упр

- максимальное смещение золотника,

для объемного регулирования представляет собой нелинейную зависимость(насыщение) от

управляющего сигнала г у

его

упр

максимальная

пропускная

max

площадь.

Золотник представлен в модели SimHydraulics блоком 4-Way Directional Valve.

Площадь сечения для предохранительного клапана определяется как:

0 при Pa £ Pset

An s ........ . ' (7)

A =

( Pmax Pset) Amax

(P - Pset) при Pset < PA < Pm

при Pa ^ P,

где Pset - значение давления, при котором клапан начинает открываться,

Pmax - значение давления, при котором клапан открыт полностью,

Amax - его максимальная пропускная площадь.

Предохранительный клапан в модели SimHydraulics представлен блоком Pressure Relief Valve. В связи с принятыми допущениями об отсутствии перетечек, параметры для блоков золотника и предохранительного клапана, задающие это, принимаются равными 0, так же, в связи с допущением о турбулетном движении, критическое значение числа рейнольдса задается равным 0.

Гидравлический объемный насос определяет подачу жидкости, в зависимости от скорости вращения своего вала и значения управляющего сигнала, выражается формулой [8]:

Qa = Dpw = zупр ^ w , (8)

z„

где Dp - рабочий объем гидронасоса,

максимальный рабочий объем

гидронасоса,

СО - угловая скорость вала гидронасоса (оборот/секунду),

zynp - текущее положение рейки гидронасоса,

zmax - максимальное положение рейки

гидронасоса.

Момент сопротивления вращению вала гидронасоса выражается формулой:

T = DpP / hmech = Zупр — Р / hmech , (9)

Zmax

где p - разность давлений на входе

(атмосферное) и выходе гидронасоса,

hmech - механический КПД насоса.

Объемный гидронасос в модели SimHydraulics представлен блоком Variable-Displacement Pump. В данной работе гидронасос, как объект регулирования не рассматривается, скорость вращения вала гидронасоса принимается равной номинальному значению для гидронасоса, при необходимости, реализовать модель работы гидронасоса, учитывая момент сопротивления вращению вала и характеристики самого гидронасоса, представляется тривиальной задачей.

Гидромотор характеризуется скоростью вращения, моментом и расходом жидкости проходящей через него, учитывая допущение об отсутствии утечек (объемный КДП равен 1) можно записать следующее:

Qg = DwG , (10)

где D - рабочий объем ГМ;

CG - скорость его вращения. Момент создаваемый гидромотором:

TG = DPhGmech • (11)

где p - разность давлений на противоположных сечения гидромотора, hGmech - механический КПД.

Гидромотор в модели SimHydraulics представлен блоком Hydraulics Motor.

Гидроцилиндр представляет собой два объема с гидравлической жидкостью, давление в которых создает силу, действующую на поршень, для промежуточных положений это можно выразить уравнением [9] :

F = pcSc - PdSd , при 0 < хшт < xmax , (12)

где pc / pD - давление в поршневой/штоковой

полостях,

Sc / SD - площадь поршневой/штоковой полости

X , хтах-

шт> шт

текущее положение штока и

максимальное его выдвижение.

Объем этих жидкостей задается скоростью

перемещения штока гидроцилиндра.

Для крайних положений поршня

гидроцилиндра сила представляется упруго-вязким связями:

F = к(*шт - -Vшмb, ПРи Хшт < 0 Хшт > '(13)

Сам гидроцилиндр в модели SimHydraulics представлен блоком Double-Acting Hydraulic Cylinder, блок Ideal Force Sensor снимает значение силы действующей по оси штока гидроцилиндра, это значение используется механической подсистемой. Блок подключается к портам гидроцилиндра. Блока Ideal Translation Sensor задает скорость смещения штока гидроцилиндра, ставится в разрыв связи между блоком Ideal Force Sensor и Double-Acting Hydraulic Cylinder. Для контуров содержащих гидромоторы используются блоки: Ideal Tongue Sensor и Ideal Rotational Motion Sensor.

Начальными условиям для решения дифференциальных уравнений гидравлической подсистемы являются давления в каждом из рассматриваемых объемов (гидролинии или гидроцилиндров) и начальное положение штока гидроцилиндра относительно гильзы. Давления в SimHydraulics для объемов гидролиний задается параметром Intial pressure в настройках Constant Volume Hydraulics Chamber, давление в поршневой и штоковой полостях гидроцилиндра задаются параметрами Chamber A Intial pressure и Chamber B Intial pressur, начальное положение штока параметром Piston initial distance from cap A в настройках Double-Acting Hydraulic Cylinder.

Давления в начальный момент времени высчитывается согласно условиям равновесия манипулятора, а положения штока гидроцилиндра выражается геометрической зависимостью от значения соответственной обобщенной координаты.

Общий вид контура гидравлической подсистемы содержащей гидроцилиндр изображен на рисунке 8. Аналогично построены и контуры содержащие гидромоторы. В рассматриваемом манипуляторе используются 4 гидроцилиндра и 2 гидромотора, для удобства восприятия все гидравлические контуры объединены в подсистемы. Общий вид модели в обозначениях Simulink изображен на рисунке 9.

Таким образом, математическая модель строительного манипулятора состоит из 12 дифференциальных уравнений для механической подсистемы, 36 дифференциальных уравнений для гидравлической подсистемы (6 контуров гидропривода, для каждого по 6 уравнений неразрывности течения жидкости) и нескольких десятков обычных уравнений. Эти уравнения отображают работу колебательной системы, для их численного решения был выбран метод трапеции с интерполяцией и переменным шагом, как наиболее оптимальный по соотношению точность/скорость, а так же рекомендованный Matlab [6]. В настройках модели Simulink, он представлен решателем ode23t.

Рисунок 8. Контур подсистемы гидропривода содержащей гидроцилиндр.

HC з-

BM

H 3-,

TurbTable

HCHandle TT

Handle HCarrow

3-Е

Arrow

Piston Barrel

T P

CMD

Revolute Arrow

&Г

P

CMD CMDin

hyd

CMDarrow

Barrel Piston

P T

CMD

Hanger

Piston Barrel

T P

CMD

HCHager

P

CMD CMDin

hyd

CMDHanger

—>

-h ,

Le

Revolute VerticalJoint

1

HMVerticalJoint

cz>

inCMDhorizontaijoint

| F Ц—1

1-1± B , >0

Eh Revolute HorizontalJoint

Barrel Piston

P T

CMD

HChorizontaljoint

Hydraulic Referenci

■NO

Hydraulic Fluid

Рисунок 9. Общий вид модели в обозначениях Simulink

B

Рисунок 10. График изменения давления в камерах гидроцилиндрах стрелы, рукояти, захвата (желтая кривая - поршневая, фиолетовая - штоковая камеры).

Рисунок 11. Колебания произвольно выбранной точки на рабочем органе строительного манипулятора по вертикальной оси инерциальной системы координат

X V Р40Е ■-,-;—

0 0.5 1 1.5 2

>: А»$

Рисунок 12. Фазовый портрет работы системы управления строительным манипулятором

Адекватность полученной модели была доказана с помощью реальных экспериментов проведенных в СибАДИ. При анализе полученных переходных процессов различие между теоретическими и реальными данными составляло менее 5%, что позволяет использовать разработанную модель в дальнейших исследованиях.

С помощью составленной модели можно получать любые переходные процессы, в том числе изменения давления в объемах гидроцилиндра (рисунок 10), колебания характерных точек рабочего оборудованя манипулятора по выбранным осям (рисунок 11), строить фазовые портреты в системе управления для последующего анализа (рисунок 12), изменения введенных обобщенных координат (рисунок 13). Наглядное представление движения манипулятора можно получить с помощью встроенной функции $>1ш$>саре визуализации, что позволяет быстрее замечать ошибки при анализе.

В работе рассмотрены основные принципы построения математической модели

строительного манипулятора в ЫайаЬ 8ши1тк с использованием библиотек БтЫесИашсв и БшИу^аи1^. ЫайаЬ позволяет получать численное решение дифференциальных уравнения описывающих протекающие процессы при движении манипулятора, рассматривая не только самое движение, но и причины его возникновения. Полученная модель позволяет решать задачи анализа и синтеза систем управления работой манипулятора.

С помощью разработанной математической модели был проведен анализа системы управления центрированием труб при укладке строительным манипулятором, были

апробированы выведенные алгоритмы центрирования труб, и с помощью встроенных средств Matlab были оптимизированы параметры предложенной системы управления, что будет освещено в последующих статьях.

С помощью разработанной математической модели был проведен анализа системы управления центрированием труб при укладке строительным манипулятором, были

апробированы выведенные алгоритмы центрирования труб, и с помощью встроенных средств Matlab были оптимизированы параметры предложенной системы управления, что будет освещено в последующих статьях.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Фу К., Гонсалес Р., Ли К., Робототехника: Пер. с англ. - М.:Мир, 1989. - 624 с.

[2] Корытов М.С. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук по теме «Развитие теории управления процессами перемезения грузов грузоподъемными кранами в трехмерном неоднородном организованном пространстве» - Омск, 2012

[3] Попов Д.Н. Механика гидро- и пневмоприводов: Учеб. для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. - 320 с.

[4] D Dott. Ing. Alvin Anthony Modeling and Analysis of Hydraulic Load Sensing Strategies in Off Highway Equipment - 2004

[5] Выбор и обоснование расчетной схемы строительного манипулятора для укладки труб. -Комаров Е.Д., Материалы V всероссийской научно-

практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Книга 2, 2010.

[6] SimMechanics Documentation http://www. mathworks. com/help/physmod/sm/

[7] SimHydraulics Documentation http://www. mathworks. com/help/physmod/hydro/

[8] Гойдо М.Е., Проектирования объемных гидроприводов. М.: Машиностроение, 2009. - 304 с.

[9] Моделирование гидроцилиндров в программном продукте MATLAB SimMechanics. -Комаров Е.Д., Руппель А.А., М.: Вестник академии военных наук №2 (35) 2011.

Комаров Евгений Дмитриевич - аспирант СибАДИ.

Область научных интересов: Вопросы разработки, проектирования, математического моделирования, решение задач анализа и синтеза систем управления строительных и дорожных машин. Email:

oDengamer29@gmail.com Руппель Алексей Алексадрович - к.т.н., доцент, и.о. зав. каф. АППиЭ факультета НСТ СибАДИ. Область научных интересов: Вопросы разработки, проектирования, математического моделирования, решение задач анализа и синтеза систем управления строительных и дорожных машин.

Email: ruppel aa@bk.ru