СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей производства.
- М.: Энергия, 1975. - 376 с.
2. Светлаков А.А. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами. - Томск: Изд-во НТЛ, 2003. - 388 с.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974.
- 296 с.
4. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1980. - 400 с.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 575 с.
6. Светлаков А.А. Многошаговый алгоритм адаптивного оценивания моделей линейных статических объектов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1986. - № 3. -С. 187-191.
7. Светлаков А.А. Адаптивный алгоритм идентификации с регулируемыми параметрами // Корреляционно-экстремальные системы управления. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1980. -Вып. 5. - С. 115-124.
УДК 681.5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ СТРУКТУРНО-ПЕРЕСТРАИВАЕМЫХ СИСТЕМ
С.В. Шидловский
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: stas@iit.tusur.ru
Рассматривается моделирование управления нестационарными температурными полями объектов со сложной геометрической конфигурацией. Приводятся сравнительные динамические характеристики замкнутых систем автоматического регулирования с перестраиваемой и фиксированной структурами.
Введение
Технические системы управления обычно являются довольно сложными устройствами, динамика которых описывается различными функциональными уравнениями. В каждом конкретном случае при использовании тех или иных математических методов необходимо составить математическую модель объекта. На практике подавляющее большинство объектов - это объекты с распределенными параметрами. Управляемый процесс с распределенными параметрами описывается краевыми задачами для дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными или бесконечными системами обыкновенных дифференциальных уравнений [1].
Если рассматривать пространственно-многомерные объекты со сложной формой границы области изменения пространственных координат, а также учитывать принципиально нелинейные эффекты, получить аналитическое решение уравнения объекта затруднительно. Данный аспект привел к широкому распространению на практике приближенных моделей объектов с распределенными параметрами упрощенного вида, описывающих их поведение с требуемой точностью. В инженерной практике получили широкое распространение разностные методы приближенного описания объектов с распределенными параметрами, использующие различные способы пространственного, временного или пространственно-временного квантования в области изменения аргументов входа и выхода рассматриваемого распределенного блока [2, 3].
Для построения моделей будем использовать метод конечных элементов, позволяющий произвести дискретизацию области изменения пространственных переменных путем разбиения с некоторой погрешностью на ряд неперекрывающихся подобластей простой формы, в пределах каждого из которых функция состояния объекта приближенно описывается однотипным образом линейной комбинацией конечного числа заранее выбранных базисных функций.
Поддержание необходимого физического параметра на заданном уровне в подобных объектах является важной и трудоемкой задачей. Одним из возможных способов обеспечения данного режима является вычислительная среда с перестраиваемой структурой, формирующая управляющее воздействие, построенная по автоматному принципу и имеющая в узловых точках многофункциональные логические модули (МЛМ), т. е. автоматы с перестраиваемой структурой [4].
Общее выражение для двувходового автомата можно представить в виде
V = (А х А', 0, Б,ф,у).
Функционирование такого автомата обуславливается некоторым сверхсловом ~а 'е(А)“, и предполагается, что на первый вход автомата V (алфавит А) в каждый момент времени поступает произвольный входной сигнал, а на второй вход - только очередной символ сверхслова а Следовательно, сверхслово а 'управляет изменением структуры автомата V Под функционированием автомата с перестраиваемой структурой V понимается тернарное
отношение {( а',<-(#,~ха),у/(д,~х а))|#е0,аеА*}, где «ха ' - слово вида (а(1),а '(1))...(а(я),а (д)), а=а(1)...а(^), а =а (1)а (2)...
Поэтому разумное сочетание инженерной интуиции и математической строгости в анализе явления составляет основу обоснованного выбора математической модели.
Постановка задачи
Исследуемый объект (рис. 1) состоит из трех частей, каждая из которых занимает некоторую область Д (/=1,2,3 - номер части) трехмерного пространства, а - поверхность, ограничивающая соответствующую область Д.
д2к . д2 к. д2к.
■ = а I---------- +-------- +-------
дИ - I дх2 ду2 дх2
а =■
(1)
Р СР
где а; - коэффициент температуропроводности; х, у, г - пространственные декартовые координаты; р - плотность; ер. - теплоемкость; к - коэффициент теплопроводности.
Для уравнения (1) начальное условие Н(х,у,г,0)=0, граничные условия дк,
-к<~
] дп
в)
=пЧ;)> ,=3,2;
-к-
дк,
' дп
= 0, - = 1,2,3;
к 1 1 = ии).
1 в)
(2)
(3)
(4)
(5)
щее воздействие с ограничением: 0<и(/)<40; Ц поверхность, получаемая из выражения
Ь, = (01 \ в))\2,
где е,2=(С;ПС;+1).
Рис. 1. Исследуемый объект
Функция Н(х, у, г, 0 описывает распределение температуры в соответствующей /-й части и удовлетворяет уравнению теплопроводности
дк . ( д2к . д2 к. д2 к. ^ к.
Рис. 2. Общий вид составных частей объекта: а) первая; б) третья; в) вторая
Требуется, чтобы
| к* - к(х', у', X, да) |< е*
(6)
Здесь дЩдп\а 1 означает производную по нормали п к поверхности 0/, взятую в точке, лежащей на поверхности 0/ (рис. 2); / - номер части объекта; П - коэффициент теплоотдачи; и(/) - управляю-
где Н* - требуемое значение температуры; х, у', г'-заданные координаты точки А в трехмерном пространстве (рис. 1); е®" - допустимое значение статической ошибки регулирования.
Классический алгоритм управления
Существует большое число способов [5] нахождения решения уравнения теплопроводности. В нашем случае мы имеем дело с уравнением, описывающим поведение геометрически сложного объекта в трехмерной декартовой системе координат. Так как для данного рода систем регулирующим органом является параметр объекта, в данном случае изменяющаяся температура на границах, то теоретическое исследование работы такого рода систем автоматического регулирования, особенно при наличии распределенных параметров, наталкивается на большие математические трудности, связанные с исследованием нелинейных уравнений. Пожалуй, одним из эффективных способов достижения поставленной цели в сложившейся ситуации является привлечение численных методов и проведение имитационного моделирования.
Ь
Анализ и синтез современных систем автоматического управления в настоящее время немыслимы без применения средств вычислительной техники. Существует большое количество пакетов прикладных программ (ППП), в которых реализованы популярные и эффективные численные методы. Эти ППП способны облегчить решение задач синтеза и анализа подобных систем. К наиболее известным зарубежным ППП можно отнести Matlab, Mathcad, Comsol Multiphysics (FemLab), Maple, Fluent.
Наиболее интересным, по нашему мнению, является пакет Comsol Multiphysics, в основу которого заложен метод конечных элементов. Используя возможности ППП, произведем дискретизацию исходной геометрической модели (рис. 1), разбивая ее на ряд конечных элементов.
Сформируем управляющее воздействие u(t) по пропорциональному закону с ограничением:
kmax ПРИ к e(t) ^ кш«>
u(t) = \кs(t) при &mm <к s(t) < &шах,
Лшп ПРИ к e(t) ^ kmin ’
где kmax, kmin - максимально и минимально возможное значение на выходе управляющего устройства соответственно; k - коэффициент передачи управляющего устройства; s(t) - ошибка регулирования.
Зададим £=16; ^=40; kшin=0; a1=a3= 7,69-10-6; a2=8,9•10-7; Н*=10; s¿Tо"=0,5; Я1=Я3=27; к=1,3. Здесь и далее, когда единицы измерения не указаны, то числа представляют соответствующие физические величины в любой согласованной системе единиц.
В результате проведения имитационного моделирования получено распределение температурного поля по поверхности исследуемого тела (рис. 3).
Динамика изменения температуры в контрольной точке (х', у', г') трехмерного пространства представлена на рис. 4, а, а управляющее воздействие, при котором получена эта динамика, - на рис. 4, б.
Из рис. 4, а видно, что в системе присутствует статическая ошибка ест=0,5, возникающая в результате использования пропорционального закона регулирования в статической системе и удовлетворяющая заданному требованию (6). Чтобы свести ее к нулю, достаточно в контур управления добавить интегрирующее звено, тем самым наделив всю систему свойством астатизма.
Рис. 3. Температурное поле на момент времени: а) 300 и б) 655 с
Рис. 4. Динамические характеристики: а) переходный процесс в контрольной точке; б) управляющее воздействие
Итак, в системах с распределенными параметрами допустимо применять законы управления, функционирующие в системах с сосредоточенными параметрами, в случае, если предъявляемые требования к системе ограничиваются поддержанием
технологического параметра в одной единственной точке и никаких других ограничений на соседние точки технологического объекта не наложено.
Структурно-перестраиваемый алгоритм управления
Рассмотрим случай, когда динамика распространения тепла в исследуемом объекте описывается выражениями (1)-(4) с дополнительным граничным условием
-аД
дп
в)
= ПО(:) - к\в;)
где )л(1) - выходной сигнал исполнительного механизма, описываемый уравнением
Т,.м М'(0 = и(:).
Здесь Ти.м - постоянная времени исполнительного механизма; и(7) - управляющее воздействие.
Обеспечим в системе переходный процесс с заданным качеством (время регулирования 60 с, перерегулирование 20 %) в точке с координатами x ', у ', г Для этого сформируем управляющее воздействие, используя в управляющем устройстве, базирующемся на МЛМ, принцип перестраиваемости структур [6, 7]:
и (:) = Те(:),
[а при е(:)5 > 0,
I в при е(:)5 < 0,
Т =
иш М 1,7 ГГц, ОЗУ 2 Гб) моделирование динамических характеристик длительностью 900 с заняло 10 мин, а для системы со структурно-перестраивае-мым алгоритмом управления 90 с - 3,5 ч. Связано это с тем, что в структурно-перестраиваемой системе в граничные условия, описывающие динамические характеристики исследуемого объекта, входит разрывная функция, т. е. динамика процесса становится принципиально нелинейной. Следовательно, при имитационном моделировании подобных систем накладываются более жесткие требования на аппаратные средства, с помощью которых проводится вычислительный эксперимент.
где а и в - коэффициенты передачи первой и второй линейных структур, используемых в управляющем устройстве соответственно; s=sgn(s'(t)+еs(t)) - информация о знаке линейной комбинации ошибки и ее производной, характеризующая положение системы в фазовом пространстве относительно прямой переключения; е - коэффициент наклона прямой. Как видно, для функционирования системы не требуется точного значения производной от сигнала ошибки, а достаточно лишь информации о знаке ее линейной комбинации с величиной ошибки, которую можно получить сравнительно простыми техническими средствами, например, описанными в [8].
Зададим значение коэффициента а максимальным, которое может обеспечить управляющее устройство, а коэффициент в достаточно выбрать так, чтобы система в момент переключения на вторую линейную структуру была охвачена положительной обратной связью и ее фазовая траектория обращена в противоположное направление движения траектории первой линейной структуры (при коэффициенте а). Итак, а=50; в=-10; с=0,1; Ти.м=5.
Из результатов моделирования, рис. 5, следует, что полученный переходный процесс удовлетворяет заданным оценкам качества: время регулирования составляет 58 с и перерегулирование - 0 %.
При рассмотрении первой системы автоматического регулирования с классическим алгоритмом управлением (на технических средствах Ые1 Репй-
Рис. 5. Динамические характеристики в системе с перестраиваемой структурой: а) переходный процесс; б) регулирующее воздействие на объект
Заключение
Приведены результаты математического моделирования нестационарных тепловых полей регулируемых объектов сложной геометрии, когда в граничные условия входит функция регулирования.
На основе полученной математической модели проведены вычислительные эксперименты по исследованию динамики систем автоматического регулирования с двумя типами алгоритмов управления: классическим (пропорциональным) и струк-турно-перестраиваемым. В результате исследований выявлено, что моделирование последних занимает значительно больше времени вычислений, чем в классических системах. Однако проигрыш во времени моделирования при анализе системы компенсируется значительным выигрышем в динамических характеристиках функционирующей системы (быстродействие в 10 раз выше и отсутствует перерегулирование).
Применение декартовой системы координат в построенной модели позволяет производить исследования объектов как с осью симметрии, так и без нее. Особое внимание при рассмотрении подобных задач следует уделять построению геометрии исследуемого объекта, от которой зависит как скорость вычисления, так и вообще их возможность. Следует избегать избыточности мелких деталей, оказывающих малое влияние на динамику изучаемого процесса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Егоров А.И. Основы теории управления. - М.: Физматлит, 2004. - 504 с.
2. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003. - 299 с.
3. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - М.: Физматлит, 2001. - 320 с.
4. Шидловский С.В. Логическое управление в автоматических системах с перестраиваемой структурой // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - № 2. - С. 123-127.
Одной из наиболее важных проблем при создании интеллектуальных систем выявления закономерностей и поддержки принятия решений является проблема анализа признакового пространства на предмет выделения наиболее значимых признаков и оценивания величины их значимости [1, 2]. Несмотря на то, что этой проблеме посвящено большое количество публикаций, например, [2-4], до настоящего времени отсутствует корректное сравнение методов ее решения.
При решении многокритериальных задач выбора понятие относительной важности (весомости, значимости) критериев является основным [1-4]. Следует отметить, что более детально представлены результаты по многокритериальным функциям предпочтения, использующих базовые шкалы оценок альтернатив по критериям [5]. Функция предпочтения, как правило, представляет собой отображение множества альтернатив на числовую ось, и лучшей альтернативе приписывается большее число.
Таким образом, на основе проведенных исследований можно сделать вывод об эффективности структурно-перестраиваемых алгоритмов управления, позволяющих осуществлять высококачественное управление при неполной информации об объекте управления и наделяющих всю систему новыми свойствами, не присущими ни одной из фиксированных структур.
5. Агошков В.И., Дубровский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. - М.: Физматлит, 2002. -320 с.
6. Шидловский С.В. Автоматическое управление. Перестраиваемые структуры. - Томск: Томский госуниверситет, 2006. - 288 с.
7. Шидловский С.В. Логическая система с перестраиваемой структурой в задачах управления технологическими процессами // Автометрия. - 2005. - № 4. - С. 104-113.
8. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. - М.: Наука, 1967. - 336 с.
В интеллектуальных системах, основанных на методах тестового распознавания образов [2, 5, 7], для принятия решения используются «хорошие» тесты, т. е. тесты, содержащие меньшее количество признаков и с большим весом, где под весом теста понимается сумма весовых коэффициентов признаков [2].
Работа посвящена вычислению весовых коэффициентов характеристических признаков (ВКП), используемых в системах поддержки принятия решения [1, 2], основанных на тестовых методах распознавания образов.
Основные определения и понятия
Нижеприведенные методы вычисления весовых коэффициентов характеристических признаков основаны на матричной модели представления данных и знаний, включающей матрицу описаний 0 объектов в пространстве характеристических
УДК 519.7:007.52;519.81
О ПОДХОДАХ К ОЦЕНИВАНИЮ ИНФОРМАТИВНОСТИ ПРИЗНАКОВ В ТЕСТОВОМ РАСПОЗНАВАНИИ
С.И. Колесникова
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: skolesnikova@yandex.ru
Предлагаются два подхода к вычислению весовых коэффициентов характеристических признаков, используемых в тестовых системах поддержки принятия решения, а именно: подход на основе формализма мультимножеств и метода анализа иерархий и подход на основе упрощенного метода анализа иерархий, частично решающего проблему определения весовых коэффициентов признаков для случая, когда размерность признакового пространства достаточно велика. Обсуждаются методы, реализующие данные подходы.