CC BY
79
УДК: 519.863
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЫНКА ТУРОПЕРАТОРОВ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»
О.М.Бритаева1, И.В.Звонарева2
Санкт-Петербургский государственныйуниверситет сервиса и экономики (СПб ГУСЭ),
191015, Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7, лит. А.
В статье рассмотрена модель взаимодействия видов Лотки-Вольтерра применительно к рынку туроператоров. Выявлено, что простейшая модель типа «хищник-жертва» может применяться для моделирования рынка туроператоров и динамики конкурентной борьбы.
Ключевые слова: динамическая система, туроператор, модель, «хищник-жертва», фазовый портрет.
MATHEMATICAL MODELING OF THE TOUR OPERATORS MARKET ON THE BASIS OF THE SYSTEM OF THE "PREDATOR-VICTIM".
O.M. Britaeva, I.V. Zvonareva
St.-Petersburg state university of service and economy (SPbSUSE), 191015, St.-Petersburg, streetKavalergardskaya,7, lit.A.
In the article the model of interaction of types of Lotki-Volterra with reference to the market of tour operators is considered. It is revealed that the simplest model of the «predator -victim» type can be applied to modeling of the market of tour operators and dynamics of competitive fight.
Key words: the dynamic system, the tour operator, the model of the "predator-victim", phase portrait.
В настоящее время российской туристский рынок находится в завершающей фазе структуризации. Происходит разделение его участников на оптовых и розничных игроков: туроператоров и турагентов. В данной работе рассматривается рынок туроператоров, то есть компаний, имеющих деловые отношения на основе контрактов: с туробъектами (музеями, галереями, театрами), с ведущими авиакомпаниями и другими организациями, предоставляющими транспортные и прочие услуги.
На конкурентном поле намечаются следующие тенденции:
• рынок испытывает процесс консолидации. На каждом направлении выделяется 3-5 компаний, контролирующих большую часть рынка.
• происходит диверсификация туристического рынка. Происходит переход от узкой специализации по направлениям к широкому спектру предлагаемых услуг.
• сокращается количество независимых туристических агентств и увеличивается доля турагентских сетей
• крупные туроператоры применяют франчайзинговые схемы работы.
• на рынке растёт конкуренция, которая способствует созданию монополий, так как
каждый конкурент на туристском рынке мечтает стать монополистом.
В России создана и действует Ассоциация туроператоров, включающая 47 туроператорских компаний, которые, по экспертным оценкам, в 2010 году обслужили более 7 млн туристов во всех сегментах туристического рынка. Совокупный оборот операторов-членов ATOP в 2010 году составил около 9 млрд долларов. По данным Ростуризма из них 12 туроператоров с финансовым обеспечением более 100 млн руб.
Единый федеральный реестр представил данные по финансовому обеспечению туроператоров за 2011 год - таблица 2.
Рынок туроператоров - это рынок монополистической конкуренции с небольшой группой явных лидеров. Как любая сложная социально-экономическая система, этот рынок развивается в результате действий многочисленных игроков, имеющих собственные цели, а также случайных факторов. Происходит типичный процесс конфликта интересов, математической моделью которого является дифференциальная игра N лиц. Такой динамичной системе свойственны сложные типы поведения: ограниченность роста, мультистабильность, периодические и квазистохастические измене-
ния переменных, характеризующих развивающуюся систему.
Таблица 1. Данные Ростурпзма по наиболее крупным туроператорам
Основными проблемами в дифференциальных играх N лиц являются выработка принципа оптимальности (определение того, что является оптимальным поведением), доказательство его существования и поиск аналитических методов или численных алгоритмов нахождения оптимального решения.
При анализе рынка туроператоров и составления математической модели можно применить классическую модель взаимодействия видов, которая впервые была предложена А.Лоткой и В.Вольтерра в тридцатые годы XX
века для объяснения периодических изменений числа особей. В зависимости от выбора коэффициентов модель описывает либо борьбу видов за общий ресурс, либо взаимодействие типа хищник - жертва, когда один вид является пищей для другого [2]. В данном случае в роли хищника можно рассматривать крупные компании, а в роли жертвы - средние и малые туристские фирмы.
Таблица 2. Финансовое обеспечение туроператоров за 2011 год
более млн рублей тыс. рублей
рублен
Рисунок 1. Гистограмма, построенная на статистике финансового обеспечения туроператоров
В основу предложенного моделирования положены следующие идеализированные представления о характере внутривидовых и межвидовых отношений в системе хищник-жертва [1]:
1) В отсутствии хищника популяция жертвы размножается в соответствии с принципом Мальтуса - экспоненциально;
2) Популяция хищника в отсутствии жертвы экспоненциально вымирает;
3) Суммарное количество жертвы, потребляемое популяцией хищника в единицу времени, линейно зависит и от плотности популяции жертвы, и от плотности популяции хищника;
4) Потребленная хищником биомасса жертвы с постоянным коэффициентом перерабатывается в биомассу хищника;
Название туроператора Финансовое обеспечение,млн рублей Примечание
Пегас туристик 164,9 Основан 1994 год
Тез тур 100,0 Основан 1994 год
Верса 351,5 Основан 1994 год
Корал тревел 100,0 Основан 1995 год. Состоит в международном холдинге OTI
НТК Интурист 100,0 Глобальный комплект НТК Интурист соединил в себе четыре крупнейшие компании, войдя на российский туристический рынок в 2007 году компания наделена собственными колоссальными ресурсами - авиаброкерской компанией, отелями и гостиницами как в России, так и за рубежом.
Асент тревел 161,0 Основан 1994 год. В 2007 году Асент Тревел входит в состав крупнейшего европейского холдинга HotelPlan Group
Сольвекс 298,0 Основана 1993 год.
Нева 442,1 Основана 1990 год. Один из учредителей Ассоциации Туроператоров России, официальный турагент Администрации Санкт- Петербурга и член Международной Ассоциации Воздушного Транспорта.
тит 105,4 Основан 1994 год
Данные Единого феде- Количество туроперато-
рального реестра туро- ров,ед
ператоров
100 и более млн рублей 37
60 млн рублей 35
30 млн рублей 2241
10 млн рублей 122
550-1500 тысяч рублей 11
500 тысяч рублей 1960
Математическое моделированиерынка туроператоров на основе системы
«хищник-жертва»
5) Какие бы то ни было дополнительные факторы, влияющие на динамику популяции отсутствуют.
Рассматриваем случай, когда крупная компания является хищником, а малая — жертвой, и будем считать, что хищник питается только жертвой.
Пусть x (t) и у (V) - численность жертв
и хищников соответственно. допустим, что единственным лимитирующим фактором, ограничивающим размножение жертв, является давление на них со стороны хищников, а размножение хищников ограничивается количеством добытой ими пищи (количеством жертв). Тогда в отсутствии хищников численность жертв должна расти экспоненциально с относительной скоростью (X , а хищники в отсутствии жертв - также экспоненциально вымирать с относительной скоростью m. Коэффициенты а и m - коэффициенты естественного прироста жертв и естественной смертности хищников со отв етств енно.
Пусть V = V (x) - количество жертв, потребляемых одним хищником за единицу времени, причем k -ая часть полученной с этого количества энергии расходуется хищником на воспроизводство, а остальное тратится на поддержание основного обмена и охотничьей активности.
Тогда уравнение системы хищник-жертва можно записать в виде:
ск
= 0.x - V ( x) у
dt dy dt
■ y ( kV ( x )-m )
(1)
ства, производитель направляется в отрасли и регионы, где они могут быть применены наиболее эффективно). Аналогичный вид будет иметь трофическая функция, если жертвы могут вырабатывать защитную стратегию (например, прятаться в убежище, недоступное хищникам). Динамическое поведение системы в значительной степени зависит от вида трофической функции. По нашему мнению для исследуемой проблемы наиболее характерны первый и третий тип трофической функции.
О i О I j я1
I Й
Рисунок 2. Различные типы трофических функций в системе хищник-жертва
Рассмотрим ситуацию малых значений x. При малых значениях x, например, когда трофические отношения в системе напряжены и почти все жертвы становятся добычей хищника, который всегда голоден и насыщение не наступает (ситуация довольно обычная в природе), трофическую функцию V (x) можно считать линейной функцией численности жертв, т.е. V = /3x . Кроме того, предположим, что k = const. Тогда:
Функцию V (x) обычно называют трофической функцией хищника или функциональным откликом хищника на плотность популяции жертвы. Именно эти функции обычно определяются в экспериментальных работах, посвященных изучению хищничества, и к настоящему времени считается установленным, что эти функции обычно принадлежат к одному из следующихтрехтипов (рис.2) [3].
Первый тип характерен, например, для беспозвоночных и некоторых видов хищных рыб (в нашем случае этап хищнического накопления капитала). Второй тип - это трофическая функция с резко выраженным порогом насыщения, характерная для хищников-фильтратов. Тритий тип характерен, для позвоночных - организмов, проявляющих достаточно сложное поведение (в нашем случае оптимизация использования всех факторов производ-
dx
— -ax - pxy dt
— = kfixy - my. dt
(2)
Система с точностью до обозначений совпадает с классической моделью В.Вольтерра, который показал, что эта система имеет интеграл вида
f e^ ^
V^ У
С ч
VY У
= С.
(3)
= m/k р
где: X = x/x *; Y = y/y *: y* = a/fi .
Если x0, y0 - начальные значения чис-ленностей жертв и хищников соответственно, то
( „x0/x* ^
С =
V x0/
{ eyo
y
у
> 0
(4)
V УО/У * у
и уравнение (3) описывает семейство вложенных друг в друга замкнутых кривых, соответ-
ствующих фазовым траекториям периодических решений системы (2). Заметим, что при увеличении C амплитуды колебаний x и у возрастают (рис. 3).
■Z
Рисунок 3. Фазовый портрет классической вольтеровской системы хищник-жертва
т-г ^¡к (ш+а)
При минимальном значении С* = е ' эти кривые стягиваются в точку с координатами (х*, у *) . Легко видеть, что X* = ш/к@ и у* = &!Р являются решениями системы (2) при = ёу/Ж = 0, т.е. ее нетривиальным
равновесием. Для случая малых колебаний возле этого состояния (р = х - х*, q = у - у *) уравнения модели можно записать в виде:
dp m dq ,
— =--q, — = kap .
dt k dt
(5)
Корни соответствующего характери -стического уравнения есть \ 2 =+/л/осш , т.е. точка (х, у) - центр. Период малых колебаний
Т = 2л/л!аш , причем колебания численности одного вида сдвинуты по фазе относительно колебаний другого на п/2.
В системе имеется еще одно положение равновесия - начало координат. Нетрудно видеть, что эта точка - седло. Оси координат являются сепаратрисами, причем ось Оу входит
в седло, а ось Ох - выходит из него.
Очевидно, что характер изменения состояния (х, у) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния системы.
Несмотря на то, что модель Вольтерра смогла объяснить многие реально наблюдав-
шиеся явления, у нее есть большой недостаток - негрубость (в математическом смысле этого слова) вольтерровских циклов, так что при любых сколь угодно слабых возмущениях фазовых координат система переходит с одного цикла на другой. Отсутствие асимптотической устойчивости равновесия указывает на то, что в вольтеровской системе отсутствуют механизмы, стремящиеся сохранить ее нетривиальное равновесное состояние.
Выводы:
• простейшая модель «хищник-жертва» может применяться для моделирования рынка туроператоров и динамики конкурентной борьбы за ресурсы и за потребителя
• при моделировании использовался метод аналогии с биологическими сообществами, представленный моделью «хищник-жертва». Предполагается, что конкурируют туроператоры, поставляющие на рынок однотипную продукцию.
• конкурентная борьба за ресурсы и за потребителя описывается системой двух дифференциальных уравнений, типичной для модели «хищник-жертва». Параметры системы характеризуют чувствительность к недостатку ресурса, к динамике спроса на продукцию фирм
• в работе рассмотрен случай существования двух стационарных точек системы дифференциальных уравнений модели; исследована устойчивость движения в окрестности стационарной точки.
• при неограниченной конкуренции система является абсолютно неустойчивой и в ней происходит неограниченная концентрация ресурсов. Эффективным методом поддержания динамического равновесия может служить политика государства в роли «охотника».
Литература
1. Базыкин А.Д., Математическая биофизика взаимодействующих популяций. - М., Наука, 1985.
2. Ризниченко Г.Ю., Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,2002. - 232 стр.
3. Свирижев Ю.М., Логофет Д.О., Устойчивость математических сообществ. - М., Наука, 1978. - 352 стр.
1 Бритаева Ольга Муратовна, старший преподаватель кафедры «Прикладная математика и эконометрика»; тел.: (812) 560-18-84, e-mail: kafpme@yandex.ru;
2 Звонарева Ирина Владимировна, магистрант 2 курса направления 010400.68, тел.: +7 911 820 46 77; email: IraZvonareva@yandex.ru
