Математическое моделирование рынка форвардных контрактов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 518.9, 519.86

А.А. Васин, А.Г. Гусев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЫНКА ФОРВАРДНЫХ КОНТРАКТОВ

(кафедра исследования операций факультета ВМиК, e-mail: [email protected],

[email protected])

Исследуется математическая модель рынка, на котором торговля происходит в два этапа: на первом заключаются форвардные контракты, а на втором проходит аукцион единой цены, где удовлетворяется остаточный спрос. Получены необходимые и достаточные условия существования совершенного подыгрового равновесия в этой модели. Проведено сравнение двухэтапного рынка с аукционом Курно с точки зрения потребителей.

1. Введение. Проблема использования рыночной силы крупными компаниями и связанного с этим отклонения рынка от состояния конкурентного равновесия имеет важное теоретическое и практическое значение. Согласно известным результатам экономической теории (см. [1]), состояние конкурентного равновесия является оптимальным с точки зрения общего благосостояния экономических агентов (производителей и потребителей). Использование "рыночной власти" (market power) приводит обычно к снижению общего объема выпуска, повышению рыночной цены, сокращению общего благосостояния и его перераспределению в пользу производителей в ущерб потребителям. Дополнительное внимание к указанной проблеме связано с развитием в России (а также в ряде других стран) конкурентного рынка электроэнергии. Особенности производства электроэнергии не позволяют осуществлять стандартные меры антимонопольного регулирования, направленные на ограничение рыночной силы, т. е. формировать рынок из мелких компаний. Дробление рынка производства электроэнергии на мелкие компании нежелательно как с точки зрения издержек производства, так и с точки зрения надежности поставок электроэнергии. Альтернативным способом снижения рыночной власти является развитие форвардного рынка. Основной (спотовый) рынок электроэнергии функционирует в виде аукциона на сутки вперед, который проходит обычно по правилам аукциона единой цены. Форвардные контракты заключаются обычно в виде двусторонних договоров между отдельными производителями и потребителями. Вследствие заключения форвардного контракта производитель берет на себя обязательства поставить весь договорный объем, а потребитель — заплатить за него по договорной цене. Существуют определенные эмпирические свидетельства и теоретические модели, показывающие, что наличие рынка форвардных контрактов существенно снижает рыночную власть отдельных компаний.

Одной из первых работ по изучению рынка форвардных контрактов была работа [2], в которой исследовался случай дуополии Курно при возможности заключения форвардных контрактов. Было доказано, что имеет место более жесткая конкуренция и общественное благосостояние увеличивается по сравнению с рынком в отсутствие форвардных контрактов.

В работе [3] было показано, что для увеличения общественного благосостояния форвардные сделки должны быть общеизвестными.

В [4] авторы показали, что при конкуренции по Бертрану-Эджворту на спотовом рынке возможность заключать форвардные контракты может уменьшить конкуренцию. В этой работе было установлено, что если производитель имеет возможность через третьих лиц приобрести форвард на собственное производство, то он будет его приобретать с целью установления более высоких цен на спотовом рынке. В результате конкуренции по Бертрану на спотовом рынке другие производители тоже увеличивают свои цены, благодаря чему увеличивается прибыль первого производителя. Таким образом, в равновесии все производители покупают форварды на собственное производство, что приводит к увеличению цен на спотовом рынке и снижению общественного благосостояния по сравнению со случаем отсутствия форвардных контрактов.

Работа [5] основана на работе [2], но вместо дуополии рассмотрена олигополия, а вместо постоянных предельных издержек — возрастающие. Получено, что рынок, на котором существуют контракты по фиксированным ценам, а форвардные позиции являются общеизвестными, может в значительной степени снизить влияние отдельной фирмы. Эффект форвардных контрактов зависит от издержек. Для случая постоянных предельных издержек эффект (измеряемый индексом Лернера) от введения

форвардных контрактов эквивалентен увеличению числа фирм на спотовом рынке с п до п2. При возрастающей функции издержек относительный эффект от форвардных контрактов будет уменьшаться по мере роста наклона функции предельных издержек.

Предшествующие исследования основаны на некоторых предположениях, не вполне адекватных реальности. Важнейшее из них — равенство цен на спотовом и форвардном рынках при любых стратегиях фирм-производителей. Обычно это условие объясняют наличием агентов — арбитражеров, которые покупают товар на одном рынке и продают на другом. На практике это зачастую невозможно. Например, электроэнергию невозможно хранить. Поэтому неизбежно возникают отклонения форвардных цен от спотовых.

Мы отказываемся от предположения о единой цене на рынках. Потребители не играют активной роли, они раскупают товар сначала на форвардном, а затем на спотовом рынке в соответствии с функциями спроса и остаточного спроса. На форвардном рынке торговля проходит в соответствии с моделью Бертрана-Эджворта, которую обычно используют для описания децентрализованных рынков. На спотовом рынке удовлетворяется остаточный спрос, причем торговля идет в форме аукциона Курно. Последнее связано с тем, что, как показано в работе, устойчивые исходы используемого на практике аукциона единой цены соответствуют равновесию аукциона Курно. Наша цель — построить и исследовать модель такого двухшагового рынка. В качестве модели поведения мы рассматриваем понятие совершенного подыгрового равновесия, т. е. на каждом шаге любой производитель действует так, чтобы максимизировать свою прибыль. Это обычная концепция, рассматриваемая в игровых моделях (см. [6]). Мы исследуем вопросы о существовании и единственности, вычисляем параметры равновесия и выясняем, насколько введение форвардного рынка обеспечивает повышение конкуренции. Мы также сопоставляем исход совершенного подыгрового равновесия с равновесием Нэша для модели Курно рынка без форвардных контрактов.

2. Описание модели. Рассматривается рынок однородного товара (электроэнергии), торги на котором происходят в два этапа. На первом шаге (форвардный рынок) производители назначают цены и предлагают свои объемы товара, а потребители раскупают их в соответствии с функцией спроса согласно модели Бертрана-Эджворта. На втором шаге (спотовый рынок) производители назначают дополнительные объемы выпуска, а потребители раскупают их, исходя из остаточного спроса, согласно модели Курно. Таким образом, активными участниками (игроками) являются фирмы — производители товара. Результаты заключения сделок на первом этапе известны всем игрокам при выборе стратегии второго этапа.

Обозначим I = {1,... ,п} множество фирм-игроков. Предположим также следующее. Все фирмы характеризуются одинаковыми и постоянными предельными издержками с на единицу выпускаемого товара. Каждая фирма характеризуется также максимальной производственной мощностью V*. Каждая фирма стремится максимизировать суммарную прибыль от продажи товара на форвардном и спотовом рынках. Поведение потребителей характеризуется следующим образом. Функция спроса 1)(р) показывает, какое количество товара хотят приобрести потребители при фиксированной цене р на товар. В случае когда товар предлагается по различным ценам и его фактическое предложение задается вектором V = (Ур, р € Р), где Р — множество назначенных цен, а — это количество

товара, предложенного по цене р, функция остаточного спроса 1)(р, V) = тах< 0, -С(р) — X) г пока-

I р'<р )

зывает, какое количество товара готовы купить потребители на первом этапе по цене р после продажи всех объемов Ур> по ценам р' < р. (В данном случае мы рассматриваем функцию остаточного спроса, соответствующую определенному правилу распределения товара среди потребителей — приоритету потребителей с высокими резервными ценами. Подробнее о правилах рационирования и функциях остаточного спроса см. [6].)

Рассмотрим более детально механизм торгов на первом этапе. Все производители одновременно и независимо друг от друга назначают цены и объемы. Таким образом, стратегия производителя ! 6 / на первом этапе включает в себя цену р{ > 0 и объем д/ € [О, Щ. Обозначим его стратегию = (р{, д/, 'I € /), а в? — набор стратегий реализованных на первом шаге. По заданному набору стратегий первого этапа определяется вектор фактического предложения товара: = (Рр, р € Р(^)), где

= X) я{ — количество товара, предложенного по цене р, а Р(я^) — множество назначенных . /

г:р1 =р

цен. Потребители покупают товар в порядке возрастания цены в соответствии с функцией остаточного

спроса D(p,V) = max< О, D(p) — ^ >. Максимальная продажная цена R(sf) = maxjp G P(sf)\

I p'<P J

D(p,V(sf)) > 0}. Прибыли производителей по итогам первого этапа торговли:

-О, p{>R(7f),

ffi~T\ _ (Pi - Pi < R(sf)i

к \sJ > ~ \ t —__, / , , —

(p{ - c)D{R{sf),V{sf))q( £ _ g/, p{ = R(sf).

> j:pf=R(sf)

Определяется также и значение остаточного спроса на втором этапе: D(p,sf) = max {0, D(p) — Qi}, где Qi = min< ^ qf, D(R(sf)) >, qf — объем, реализованный фирмой i на первом шаге. На

втором шаге стратегией каждой фирмы является предлагаемый объем товара в зависимости от итогов первого шага. Формально эта стратегия задается функцией q?(sf), где qf € [0, V* — q(\. Обозначим qs набор объемов (qf, i I), проданных фирмами на втором шаге. В соответствии с моделью Курно цена p(sf, qs) на спотовом рынке устанавливается таким образом, чтобы сбалансировать остаточный спрос

и общее фактическое предложение товара: qf = D(p, s-f). Прибыль производителя г на втором шаге

Ш

определяется следующим образом:

fi(sf,¥) = ч!(р&,¥) -с). (1)

В рассматриваемой модели полной стратегией каждой фирмы i € I является тройка (р{, qf, Q'i(sО) = si-, а Функция выигрыша игрока i £ I определяется соотношением

= + (2)

где s — это набор полных стратегий фирм Si.

Напомним, что для игры в нормальной форме Г = {I, Si, fi(s),i € Г), где Si — множество допустимых стратегий игрока г, a fi(s) — функция выигрыша игрока г, ситуация s = € Г) называется равновесием по Нэшу, если для любого г £ / справедливо max fi(s\\si) = fi(s).

■SiESi

Для рассматриваемого двухэтапного рынка в качестве модели поведения игроков мы используем понятие совершенного подыгрового равновесия (СПР). Формально это понятие определяется так: (sf*, qs* (•)) — СПР, если:

1) для любого набора sf стратегий первого этапа значения qf*(sf), i £ образуют равновесие Нэша относительно функций выигрыша (1);

2) набор стратегий первого этапа sf* является равновесием Нэша для игры с функциями выигрыша (2) и фиксированными стратегиями второго этапа qs*.

Мы также рассмотрим для данного рынка исход Курно, который соответствует одноэтапному механизму торговли согласно аукциону Курно. В этом случае стратегией каждой фирмы является объем выпуска qf € [0, V*], г £ Цена на рынке устанавливается таким образом, чтобы фактическое

предложение товара ^ qf соответствовало спросу на него. Обозначим через qc = qf, i € I, вектор i£l

инк UJ>ACI равна i ) — iJ ^^

i € I определяется из соотношения

выпуска товара. Тогда цена на рынке будет равна Р(дС) = £>-1 )■ Прибыль производителя

Чг£/

lf(qC) = q?(P(qC)^c). (3)

Вектор qc* — равновесие Курно для данного рынка, если он является равновесием Нэша относительно функций выигрыша (3). Обозначим qf*, i € I, равновесные по Нэшу объемы выпуска в модели

Курно, а Р* = D-1 ( Y1 qf* ) — равновесную цену. \iei /

Согласно результатам [1], необходимым условием равновесия по Нэшу является условие qf* = = min{(P* — с) \Df(P*)\ , Vi}, если с < Р*, qf* = 0 при с ^ Р*. Отсюда определяется функция предложения Курно Sf (р*) производителя i G I, показывающая равновесный объем выпуска в зависимости от цены р*. Пересечение суммарной функции предложения Курно Sc(р*) = ^ Sf (р*) и

iei

функции спроса D(p) определяет равновесную по Курно цену р*.

3. Исследование модели. Выведем необходимое условие для СПР в описанной модели двух-этапного рынка.

Лемма. Пусть (sf*, qs*) — СПР. Тогда:

1) цена на енотовом рынке определяется из условия:

__iei

, Vi — q{ | — функция остаточного предложения Курно фирмы г после продажи на форвардном рынке объема q{;

2) все фирмы продают товар на форвардном рынке по одной цене р{ = pf, г Е /;

71 f

3) суммарная заявка на форвардном рынке полностью удовлетворяет спрос по цене pJ: >D(pf)-,

4) цена на спотовом рынке меньше цены на форвардном рынке;

5) все фирмы продают товар только на форвардном рынке.

Доказательство.

1. Это утверждение напрямую следует из пункта 2 определения СПР и определения равновесия Курно.

2. Доказываем от противного. Допустим, что в СПР производители продают товар на форвардном рынке по разным ценам. Тогда на рынке сформировалась следующая ситуация. Любому производителю, продающему товар на рынке, выгодно поднять свою цену до R(sf), так как при этом он будет продавать на форвардном рынке тот же объем по большей цене. Объемы продаж на форвардном рынке не изменятся, соответственно функция остаточного спроса D(p,s{) не изменится и на спотовом рынке все будут продавать такие же объемы, как и раньше. За счет увеличения цены на форвардном рынке производитель увеличивает свою прибыль, а это противоречит определению СПР (рис. 1).

3. Доказываем от противного. Допустим, что

п

в СПР суммарная заявка ^ q\ не полностью

г=1

f

удовлетворяет спрос по цене р[. Тогда ситуация на рынке выглядит следующим образом. Каждо-

и f

му производителю выгодно поднять цену до pf, соответствующей условию D(pf) = ^ ql . При этом

г=1

прибыль от продажи товара на спотовом рынке не изменится, а на форвардном рынке увеличится. Это противоречит определению СПР (рис. 2).

п

4. Из свойства 3 получаем: ^ q\ ^ D(pf). В соответствии с тем, что функция остаточного спроса

_г=1

после продажи всех объемов q{, % Е /, на форвардном рынке имеет вид D(p, sf) = max {0, D(p) — Qi}, спрос на спотовом рынке по ценам р ^ pf будет равен 0, а значит, цена на спотовом рынке будет меньше цены на форвардном (при положительном объеме продаж).

5. Доказываем от противного. Допустим, что в СПР фирма г Е I продает на форвардном рынке

объем q( ^ Vi, г Е /, по цене pf, такой же, как у других производителей, торгующих на форвардном

= mm

Up-с) D'(p)

Рис. 2. Возможность выгодного изменения

форвардной цены, (¿(ит = ^

гет

Рис. 3. Суммарная заявка равна спросу по цене

Кит = ^

гв!

рынке (равенство цен следует из свойства 1). На спотовом рынке фирма г продает объем > 0 по цене рБ меньше, чем р?, по свойству 4. У производителя г Е торгующего на форвардном рынке, есть конкурент, продающий положительный объем, тогда, снизив цену на фирма г может увеличить объем продаж хотя бы на то количество, которое продавал конкурент. При достаточно малом £ его прибыль увеличится, поскольку дополнительный объем на форвардном рынке будет продан по более высокой цене. Это противоречит определению СПР.

Лемма доказана.

Теорема. В описанной модели существует совершенное подыгровое равновесие тогда и только тогда, когда набор стратегий (р{ = с, = Т^), % Е /, является равновесием Нэша в модели Бертрана-Эджворта, т. е. ^ Vi — О (с) > тах!^.

ге/

Доказательство. Необходимость. Докажем от противного. Допустим, что на форвардном рынке существует СПР с р{ > с (д/ = У{ по свойству 5 леммы). Исходя из свойства 3, получаем два случая: а) = ^ и б) ^ > В(р^). В первом случае ситуация, сложившаяся на форвардном

рынке, выглядит следующим образом (рис. 3).

Игроку г Е I выгодно отклониться, подняв цену до р{. Остаточный спрос по цене р{ больше 0.

Фирма г продаст на форвардном рынке по цене р{ > р? объем

объем V;

по цене рБ = р?, так как остаточный спрос по цене рЛ на спотовом рынке равен Г)(р1, = 0{р*) ~ • Суммарная прибыль: (р[ - с)д/ + {р* - - д/ ) > {р* - с)д/.

Зфг

Мы получили, что, отклоняясь, фирма % увеличит свою прибыль, — это противоречит определению СПР. Во втором случае не выполняется необходимое условие 5 существования СПР, так как не все фирмы г Е I продают на форвардном рынке объем Vi. Необходимость доказана.

Достаточность. Проверим, является ли равновесием Нэша в модели Бертрана-Эджворта ситуация (р{ = сч = Т^), г Е /. Рассмотрим все возможные отклонения фирмы г с целью увеличения прибыли. Фирма г не может с выгодой понизить свою цену на форвардном рынке, так как она продает по цене р\ = с. Поднимать цену до с + где £ > 0, производителю г тоже невыгодно: покупатели сначала раскупят товар по более низкой цене с, а остаточный спрос по ценам р > с будет равен 0, так как Уг ~ В (с) > тах!^. Продавать товар на спотовом рынке фирме невыгодно, так как цена на нем (по ге/ ^1

свойству 4 леммы) ниже, чем на форвардном, т. е. меньше с. Достаточность доказана.

< Уг, а на спотовом рынке —

4. Заключение. Мы получили необходимое и достаточное условие существования совершенного подыгрового равновесия в нашей модели. Сравним его с равновесием Нэша для одноэтапного механизма торговли согласно аукциону Курно. Рассмотрим различные функции спроса (рис. 4).

1. Пусть Уа = тах Т^, а функция спроса (р) такая, что ^ —0\(с) > Уа, 1?1 (с) > 0. Тогда в СПР

^1 ш

двухэтапной модели фирмы продадут по цене с < р\ большее количество товара, чем в равновесии Нэша на одноэтапном аукционе Курно. С точки зрения потребителей, двухэтапный механизм торговли лучше, так как в этом случае цена на рынке ниже, а их благосостояние выше.

2. Пусть р' = гшп|р Бс(р7) = а

функция спроса (р) такая, что (с) > ^ Т^,

ieI\a

В(р') < Бс (р'). Тогда в описанной двухэтапной модели СПР нет, а в модели Курно существует равновесие Нэша. В этом случае возникает неопределенность, возможно образование коалиций фирм с целью увеличения прибыли.

3. Функция спроса такая, что Из(р;) ^ Бс(р;). Тогда одноэтапный аукцион Курно однозначно лучше, так как равновесие Нэша на нем совпадает с конкурентным равновесием, а в случае использования двухэтапного механизма торговли совершенного подыгрового равновесия нет и предсказать поведение фирм нельзя.

Итак, нельзя однозначно сказать, какой механизм торговли лучше для потребителей, так как наличие СПР в описанной модели зависит от функции спроса.

Рис. 4. Сравнение СПР с равновесием Нэша для одноэтап-ной модели, Vsum = Vi

iei

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс, 2005.

2. Allaz В., Vila J. L. Cournot competition, forward markets and efficiency //J. of Economic Theory. 1993. 59. N 1. P. 1-16.

3. Hughes J.S., Kao J. L. Strategic forward contracting and observability / / Intern. J. of Industrial Organization. 1997. 16. P. 121-133.

4. Mahenc P., Salanie F. Softening competition through forward trading //J. of Economic Theory. 2004. 116. N 2. P. 282-293.

5. Bushnell J. Oligopoly equilibria in electricity contract markets. CSEM Working Paper. WP-148. В.: University of California Energy Institute, 2005.

6. Васин А. А. Некооперативные игры в природе и обществе. М.: МАКС Пресс, 2005.

Поступила в редакцию 31.10.07