Математическое моделирование реальных нелинейных задач фильтрации со свободной границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Достоинством предложенной системы является то, что она легко настраивается для эксплуатации в конкретных условиях и может быть использована в организациях с различной информационно-вычислительной структурой.

Удк 519.63:532.55

А.А. Афонин

Таганрогский государственный радиотехнический университет, г. Таганрог

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Задача линейной стационарной фильтрации была впервые поставлена и решена в работах [1,2] в случае прямоугольной плоской области (дамбы) с использованием теории вариационных неравенств, причем доказано существование решения; вопрос единственности оставлен открытым.

В настоящей работе рассматривается вопрос моделирования задачи стационарной фильтрации со свободной границей для области общего вида и произвольных законов фильтрации, а также вопросы существования и единственности реше-.

,

грунтовых вод определяются интервалом изменения числа Рейнольдса

Яе ~Н10; при этом преобладающими являются силы вязкости. При дальнейшем увеличении Яе (например, если увеличивается скорость фильтрации) образуется переходная зона, когда течение является ламинарным, но преобладают и управляют движением инерционные силы. Например, Яе = 100 является верхним пределом такой переходной зоны, в которой закон Дарси не является устойчивым. Некоторые авторы объясняют это отклонение от линейного закона отделением течения от стенок порового пространства, вызванным при больших Яе инерционными силами. При еще больших значениях Яе течение становится турбулентным.

В работе [3] путем усреднения уравнения баланса для ньютоновской несжимаемой жидкости (т.е. уравнения Навье-Стокса) получено усредненное уравнение баланса жидкости в пористой среде. Оно имеет вид

рт—- цАх + ш(Ур + р^1 )Т + (тц)/к ■ fq = 0, (1)

&

где Т - коэффициент, определяющий величину статического момента ориентиро-, -

, .

(1) . член представляет собой силу инерции, вызывающую ускорение, одновременно и локальное и конвективное. Второй член представляет силы вязкого сопротивления, вызванного трением внутри жидкости. Третий член представляет собой давление и силу гравитации. Последний член представляет собой силу сопротивления, вызванную взаимодействием системы жидкость - твердое тело.

Если пренебречь двумя первыми членами (оставляя без изменения два по), . , -, , использовано при больших значениях числа Яе.

Не существует универсальных способов упрощения нелинейного закона (1). В работе [4] силы трения предлагается моделировать силами сопротивления, которые являются функциями скорости фильтрации и направлены в сторону, противоположную вектору скорости , т.е.

F, =-Ф(^1 q , q = |q|.

q

В этом случае зависимость между гидравлическим градиентом и скоростью фильтрации I = Ф^) является нелинейной. Ф(д) является неотрицательной

функцией, определенной на некотором промежутке [0, q0 ]; вид и свойства ее

определяются структурой области фильтрации и областью изменения скорости жидкости в пористой среде. В этом случае уравнение движения жидкости в пористой среде можно записать в виде

J = Ф (q) q, (2)

q

или иначе

q = -g (q) • gradu, (3)

I I I I p

где J = J , q = q , g(q) = q/Ф(д), u = — + z.

Y

Здесь g(q) зависит от закона фильтрации. Например, в случае закона Форхгеймера

<£>(q) = aq + bqY, 1,6 <Y< 2, g(q) = l/(a + bqY-1); для закона Соколовского

Ф(ч) = ql (1 - (g/m)2), g (q) = к(1 - (q/m)2)1/2;

для закона фильтрации с начальным (предельным) градиентом, когда

Ф(д) = Kq + J0 при q > 0; 0 < Ф(q) < J0 при q = 0, имеем

g (q) = Kq(q+J 0).

,

J = J| = \grad U = &(q). (4)

Из равенств (2) - (4) получим уравнение нелинейной стационарной фильтрации в виде

q = -G(|Vu|)grad u. (5)

Для квадратичного закона фильтрации Форхгеймера имеем 0(q) = aq + bq2,

G (£) = (2b a)(1 + 4b ^ a 2)V2, £ = |Vu|.

При b = 0 , a = 1/K имеем линейный закон Дарси с G(£) = 1/K.

Для Ф^) = bq 2(a = 0) имеем G (£)=1/(i#)1/2.

Аналогично для фильтрации с предельным гидравлическим градиентом имеем G(£) = (1 - J 0/ £)/к; при J 0 = 0 получаем закон Дарси.

К наиболее важным относится класс задач со свободной границей. Особенностями этих задач является то, что решение в них ищется в неизвестной области, и, наоборот, неизвестная свободная граница определяется по неизвестному решению. К таким задачам относятся задачи стационарных и нестационарных течений жидкостей в дамбе, фильтрация из канала, фильтрация к дренам и другие задачи, - и все это происходит при различных условиях, выражаемых различными законами фильтрации, причем рассматриваются, вообще говоря, трехмерные задачи. Под свободной границей в таких задачах понимают поверхность (или линию в двумерном случае), которая является для области фильтрации верхней границей, разделяющей ее влажную часть от сухой.

С математической точки зрения, при моделировании таких задач приходят к уравнениям математической физики, вообще говоря, с нелинейными операторами с весьма общими свойствами и характерными для задач со свободной границей . -

цей может быть сведена к вариационным неравенствам эллиптического или пара, -

венности обобщенных (слабых) решений задачи в соответствующих функцио-.

Рассмотрим задачу стационарной фильтрации в дамбе в самой общей формулировке как задачу фильтрации со свободной границей.

Пусть дамба представляет собой ограниченную область Й £ RN с липши,

дЙ — 51 Ц S2 Ц S3 (рисунок 1). Здесь S1 - дно дамбы, являющееся непроницаемым для жидкости; 82- часть дЙ , ;

53 - часть дЙ, находящаяся в контакте с водным резервуаром.

Г4

5 - Гз 51 - П

Ставится задача: найти область А СЙ, которая является влажной частью

О, и функцую и, определенную в А, такую, что:

1) граница 0А состоит из 4-х частей: дА — Г1 Ц Г2 Ц Г3 Ц Г4, где

Г1 - 81,

Г1 - непроницаемая для жидкости часть 0А; Г2 СЙ, Г2 - свободная граница внутри области О; Г3 — $3, Г3 - часть дА

водным резервуаром; Г4 с Эй -часть, находящаяся в контакте с атмосферой и являющаяся промежутком высачивания;

2) функция и = и(х) удовлетворяет следующим условиям:

на

Г2 ^4,

N Э

-Е —а(х,и,У и) + а0(х,и,У и) = /(х), в а

і=і дх1

и=0 и = р( х)

э

—(и + XN) = 0 дп

д

—(и + XN) < 0

дп

на

Г

на .Г4.

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

Уравнение (6) представляет различные законы фильтрации, в частности, если а { (X, и, Ум) = их , а0 = 0, ТО уравнение принимает вид —Ди = /(х), является

уравнением Пуассона и описывает линейную фильтрацию в области А с законом

N

Дарси; если а(X,^o,^l,к,^N) = I аЛ1, то уравнение (6) описывает

У=о

фильтрацию в А с переменным коэффициентами фильтрации. Уравнение (6) может также описывать нелинейную фильтрацию.

Пусть на 51 имеем кп < 0 ; здесь п - единичный вектор внешней нормали к 51, к=(0,..,0,1) - единичный орт, определяющий вертикальную ось декартовой прямоугольной системы координат 0 х^..., ХЬ1. Из граничных условий (7) - (10), а также из принципа максимума для оператора, определяемого уравнением (6) следует, что и (х) > 0 в А.

Переходя к слабой формулировке задачи, продолжим функцию и(х) на О, полагая и (х) = 0 на й \ А ; и.

В дальнейшем рассматривается уравнение вида

а {-1ТЪааа{х\8ки(х)) = о ІФ1

формальным

дифференциальным действующим

в О

из

(11)

оператором

пространства

(Аи)(х) = У (— \)аВаС1а(^§ки(х)),

ои

Ж ,д (й) в сопряженное при условии аа е САЯ(р) (удовлетворяет условию ).

Введем выпуклое множество

К = { у є Н !(0);у=0 на ^,у > 0 на 82|.

(12)

с

и(х) ,

место следующее неравенство:

Тогда слабая постановка исходной задачи формулируется как следующая задача:

Задача 1: Найти и е H (П), и > 0 в Q, удовлетворяющую условиям и = 0 на S2, и = р(х) на S3 И неравенству (13) для любого V е K.

Тогда для широкого класса функций aa(x;Sku(х)), соответствующих различным законам стационарной фильтрации, имеет место следующий результат.

Теорема: Существует по меньшей мере одно решение u(x) задачи 1. Кроме того, и е W1,q(Q) для Vq > 1 и, в частности, ие C0,a(O) для любого 0 < a< 1.

Доказательство проводится на основе общей теории монотонных операторов в применении к теории вариационных неравенств.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Baiochi C. Su un problema afrontiera libera connesso a questioni di hidraulica. Ann.Mat.Pura Appl. 92, 1972.

2. Baiochi C. Free boundery problems in the theory of fluid flow through porous media. Proc. Int. Congr. Math. Vancouver, 1974, Vol II. Canadian Math Congress.

3. Bachmat, Y, Bear, J. Macroscopic modelling of transport phenomena in porous media. The continuum approach, Transport in Porous Media, 1, 1986.

4. Христианович C.A. Движение грунтовых вод, не следующее закону Дарси. ПММ, 1940, IV, Вып. 1.

УДК 681.3

В.М. Курейчик

Таганрогский государственный радиотехнический университет e-mail: кигЩ^'иге.ги

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАНТОВЫХ АЛГОРИТМОВ В КОНСТРУКТОРСКИХ САПР*

Введение

В последнее время оптимизация стала одним из этапов процесса разработки,

. . .

оптимизации особенно важно при автоматизации конструкторского проектирова-. , алгоритмы определения экстремальных частей в математической модели схемы. На основе этих частей строятся алгоритмы компоновки, размещения, минимизации внутрисхемных пересечений, трассировки и верификации.

* Работа выполнена при поддержке Целевой программы «Рювитие научного потенциала высшей школы» (2006-2008) РНП.2.1.2.3193